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第三节 分式
第一章 数与式
链接教材 基础过关
字母
公因式
B＝0
B≠0
A＝0，B≠0
√
√
√
√
考点突破 对点演练
命题点1 分式的有关概念及性质
√
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
√
利用分式的基本性质可解决的问题
(1)分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分式的基本性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
(2)解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
(3)处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
√
√
x≠3
命题点2 分式的运算
(1)通分时，要使用最简公分母，如果随意采用公分母，会造成运算的烦琐，不易约分．
(2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要换成最简分式或整式．
(3)分式的混合运算，一般按照常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，采用乘法的运算律进行灵活运算．
命题点3 分式的化简求值
(1)化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当……时，原式＝……”．
(2)代入求值时，有直接代入法、整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
分式化简求值时需注意以下两点
2
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共100分)
课时分层评价卷(三) 分式
√
A [由题意可知，|x|－3≠0，解得x≠±3．故选A．]
√
√
√
√
√
√
√
x≠4
23
0(答案不唯一)
√
√
√
√
√第三节 分式
考点一 分式的概念
1．分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
2．最简分式：分子和分母没有公因式的分式．
考点二 分式的意义
1．无意义的条件：当B＝0时，分式无意义．
2．有意义的条件：当B≠0时，分式有意义．
3．值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式＝0．
考点三 分式的基本性质
1．基本性质：＝＝(C≠0)．
2．由基本性质可推理出变号法则为：
＝＝；－＝＝．
考点四 分式的运算
1．分式的约分和通分
(1)约分(可化简分式)：把一个分式的分子与分母中的公因式约去，即＝．
(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，即＝．
2．分式的加减法
(1)同分母：分母不变，把分子相加减．即±＝．
(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减．即±＝．
3．分式的乘除法
(1)乘法：＝．
(2)除法：÷＝．
(3)乘方：＝ (n为正整数)．
4．分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．
1．(人教版八上P128例1改编)已知分式有意义，那么x的取值范围是( )
A．x≠2 B．x≠3
C．x≠－2 D．x≠－3
A [要使分式有意义，则x－2≠0，∴x≠2．故选A．]
2．若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A． B．
C． D．
D [若x，y的值均扩大为原来的3倍，则
A．＝≠，故此选项不符合题意；
B．＝＝≠，故此选项不符合题意；
C．＝＝≠，故此选项不符合题意；
D．＝＝，故此选项符合题意．
故选D．]
3．式子2a÷的运算结果为( )
A． B． C．a D．4a
C [原式＝2a×＝a．故选C．]
4．化简的结果是( )
A．x＋y B．y－x
C．x－y D．－x－y
A [＝＝＝x＋y．故选A．]
5．(青岛版八上P90例5改编)化简：÷．
[解] 原式＝
＝
＝x－1．
6．(青岛版八上P91例6改编)先化简，再求值：÷，其中a＝－2．
[解] ÷＝
＝
＝
＝－(a＋1)2．
当a＝－2时，原式＝－＝－．
命题点1 分式的有关概念及性质
【典例1】 若分式的值为0，则x的值是( )
A．1 B．0 C．－1 D．－3
A [∵分式的值为0，
∴x－1＝0，且3x＋1≠0，
解得x＝1，故选A．]
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【典例2】 如果把分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，那么该分式的值( )
A．缩小为原来的
B．扩大为原来的10倍
C．缩小为原来的
D．不变
A [根据题意，得＝，所以如果把分式中的x和y都扩大为原来的10倍，那么分式的值缩小为原来的．故选A．]
利用分式的基本性质可解决的问题
(1)分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分式的基本性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
(2)解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
(3)处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
[对点演练]
1．分式的值为0，则x的值是( )
A．0 B．－1 C．1 D．0或1
A [∵分式的值为0，
∴x2－x＝0且x－1≠0，
解得x＝0．
故选A．]
2．[易错题]下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝－1
C [C中，＝(y≠0)．故选C．]
3．若式子有意义，则实数x的取值范围是________________________________．
x≠3 [∵式子有意义，∴x－3≠0，解得x≠3．]
命题点2 分式的运算
【典例3】 (2023·临沂17题节选)下面是某同学计算－a－1的解题过程：
[解] －a－1
＝…①
＝…②
＝…③
＝＝1…④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
[解] 上述解题过程从第①步开始出现错误，
正确的解题过程如下：
－a－1
＝－(a＋1)
＝
＝
＝．
(1)通分时，要使用最简公分母，如果随意采用公分母，会造成运算的烦琐，不易约分．
(2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要换成最简分式或整式．
(3)分式的混合运算，一般按照常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，采用乘法的运算律进行灵活运算．
[对点演练]
4．化简÷．
[解] ÷
＝·(x＋1)
＝·(x＋1)－·(x＋1)
＝1－
＝
＝．
命题点3 分式的化简求值
【典例4】 (2024·山东17题节选)先化简，再求值：÷，其中a＝1．
[解] 原式＝÷
＝
＝a－3．
将a＝1代入，得
原式＝1－3＝－2．
分式化简求值时需注意以下两点
(1)化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当……时，原式＝……”．
(2)代入求值时，有直接代入法、整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
[对点演练]
5．(2024·济宁)已知a2－2b＋1＝0，则的值是________．
2 [∵a2－2b＋1＝0，
∴a2＋1＝2b，
∵a2≥0，
∴a2＋1≥1，
∴b＞0，
∴
＝
＝2．]
6．(2023·聊城)先化简，再求值：÷，其中a＝＋2．
[解] ÷
＝
＝
＝＝．
当a＝＋2时，
＝＝．
【教师备选资源】
(2023·菏泽)先化简，再求值：÷，其中x，y满足2x＋y－3＝0．
[解] ÷
＝
＝
＝2(2x＋y)．
∵2x＋y－3＝0，
∴2x＋y＝3，
∴原式＝2×3＝6．
课时分层评价卷(三) 分式
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共100分)
1．代数式x，，x2－中，属于分式的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
B [分式有：，共3个，故选B．]
2．若分式有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠±3 B．x≠－3
C．x≠3 D．x≥－3且x≠3
A [由题意可知，|x|－3≠0，解得x≠±3．故选A．]
3．(2024·聊城模拟)下列等式一定成立的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
B [B中，将原分式的分子与分母同乘b，故＝成立．故选B．]
4．若分式的值为负数，则x的取值范围是( )
A．x为任意数 B．x＜
C．x＞ D．x＜－
B [∵x2＋4＞0，分式的值为负数，
∴2x－5＜0，
∴x＜．
故选B．]
5．下列说法正确的是( )
A．根据分式的基本性质，可化为
B．分式是最简分式
C．若分式有意义，则x＞0
D．若＝0，则x＝±3
B [A．当m＝0时，由不能推出，故本选项不符合题意；
B．分式是最简根式，故本选项符合题意；
C．要使分式有意义，必须x－3≠0，即x≠3，故本选项不符合题意；
D．∵＝0，
∴x2－9＝0且x＋3≠0，
∴x＝3，故本选项不符合题意．
故选B．]
6．化简的结果为( )
A． B．
C．－1 D．2x－1
A [原式＝＝．
故选A．]
7．(2024·邹城一模)计算a2÷·b的结果是( )
A．a2 B． C．a2b2 D．2a2b2
C [a2÷·b＝a2·b·b＝a2b2．故选C．]
8．(2024·莘县一模)如果a2－2a－1＝0，那么代数式的值是( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
B [
＝
＝
＝a(2－a)
＝2a－a2，
∵a2－2a－1＝0，
∴2a－a2＝－1，
∴原式＝－1．
故选B．]
9．(2024·安徽)若分式有意义，则实数x的取值范围是________．
x≠4 [∵分式有意义，
∴x－4≠0，∴x≠4．]
10．已知：m＋＝5，则m2＋＝________．
23 [当m＋＝5时，
m2＋＝－2
＝52－2
＝25－2
＝23．故答案为23．]
11．[开放性试题](2024·吉林)当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ________．
0(答案不唯一) [∵＞0，1＞0，
∴x＋1＞0，即x＞－1，
则满足条件的x的值可以为0(答案不唯一)．]
12．(9分)(2024·甘肃临夏)化简：÷．
[解] 原式＝
＝
＝
＝．
13．(9分)(2024·北京)已知a－b－1＝0，求代数式的值．
[解] ∵a－b－1＝0，
∴a－b＝1，
∴
＝
＝
＝
＝
＝
＝3．
14．(10分)[易错题](2023·威海)先化简÷，再从－3＜a＜3的范围内选择一个合适的数代入求值．
[解] 原式＝÷
＝
＝．
要使分式有意义，a≠0且a－1≠0且a＋1≠0，
所以a不能为0，1，－1，
取a＝2，
当a＝2时，原式＝＝．(答案不唯一，选择其他符合条件的数代入，计算正确均可)
15．分式的值，可以等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
D [＝1＋＞1，
当x＝0时，原式＝2，
故选D．]
16．不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是( )
A． B．
C． D．
D [原式＝＝＝，故选D．]
17．(2024·河北)已知A为整式，若计算的结果为，则A＝( )
A．x B．y
C．x＋y D．x－y
A [∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴Ax＝(x－y)(x＋y)＋y2，
∴Ax＝x2，
∴A＝x．
故选A．]
18．(2024·临清市二模)若÷的计算结果为正整数，则对x值的描述最准确的是( )
A．x为自然数 B．x为大于1的奇数
C．x为大于0的偶数 D．x为正整数
B [÷
＝÷
＝
＝．
∵结果为正整数，
∴x为大于1的奇数．
故选B．]
19．[新定义](2024·阳谷县一模)对于分式P＝，我们把分式P′＝叫做P的伴随分式．若分式P1＝，分式P2是P1的伴随分式，分式P3是P2的伴随分式，分式P4是P3的伴随分式，…，以此类推，则分式P2 024＝( )
A． B．
C． D．
D [∵P1＝，
∴P2＝＝，
∴P3＝＝，
∴P4＝＝，
∴P5＝＝，
∴P5＝P1，P6＝P2，……，
∴4个一循环，
∵2 024÷4＝506，
∴P2 024＝P4＝，
故选D．]
20．(12分)(2024·烟台)利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：÷，再求值．
[解] ÷
＝
＝
＝．
根据计算器可得m＝±＝±＝±2，
∵4－2m≠0，
∴m≠2，
当m＝－2时，
原式＝＝－．
21．(12分)[数学文化](2024·滨州)欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称Pn＝(n＝0，1，2，3)为欧拉分式．
(1)写出P0对应的表达式；
(2)化简P1对应的表达式．
[解] (1)由题意可得，
P0＝＋＝．
(2)由题意可得，
P1＝
＝
＝
＝
＝
＝0．
