章末综合评价卷(二) 方程(组)与不等式(组)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．(2024·长春)不等关系在生活中广泛存在．如图，a，b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是( )
A．若a＞b，则a＋c＞b＋c
B．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc
D．若a＞b，c＞0，则＞
A [由题意得，a＞b，
∴a＋c＞b＋c，
∴图中两人的对话体现的数学原理是若a＞b，则a＋c＞b＋c．
故选A．]
2．(2024·凉山州)若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．
A [∵关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，
∴a2－4＝0且a＋2≠0，
解得，a＝2，
故选A．]
3．(2024·宁夏)已知|3－a|＝a－3，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
A [∵|3－a|＝a－3，
∴a－3≥0，
∴a≥3．
故选A．]
4．(2024·滨州)若点P(1－2a，a)在第二象限，那么a的取值范围是( )
A．a> B．a<
C．0
A [∵点P(1－2a，a)在第二象限，
∴，
解得，a＞．
故选A．]
5．将方程＝1去分母得到方程2x－4－3x＋3＝6，其错误的原因是( )
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分的多项式未添括号，导致符号错误
D．去分母时，分子未乘相应的数
C [原方程两边同乘6得：2(x－2)－3(x＋1)＝6，
去括号得，2x－4－3x－3＝6，
则其错误的原因是去分母时，分子部分的多项式未添括号，导致符号错误，
故选C．]
6．(2024·临清市二模)用配方法解一元二次方程x2＋6x＋3＝0时，将它化为(x＋m)2＝n的形式，则m－n的值为( )
A．3 B．0 C．－1 D．－3
D [x2＋6x＋3＝0，
x2＋6x＝－3，
x2＋6x＋9＝6，
(x＋3)2＝6，
∴m＝3，n＝6，
∴m－n＝3－6＝－3．
故选D．]
7．(2024·内江)某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意得方程是( )
A．0.64(1＋x)＝0.69 B．0.64(1＋x)2＝0.69
C．0.64(1＋2x)＝0.69 D．0.64(1＋2x)2＝0.69
B [根据题意得，0.64(1＋x)2＝0.69，
故选B．]
8．若关于x的分式方程－1＝的解是正数，则m的取值范围是( )
A．m＜4且m≠3 B．m＜4
C．m≠3 D．m＞4且m≠3
A [方程两边同时乘x－1得，1－m－(x－1)＋2＝0，
解得x＝4－m．
∵x为正数，
∴4－m＞0，解得m＜4．
∵x≠1，
∴4－m≠1，即m≠3．
∴m的取值范围是m＜4且m≠3．
故选A．]
9．(2024·内蒙古)A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？( )
A．60，30 B．90，120
C．60，90 D．90，60
D [设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运(x＋30)千克化工原料，
根据题意得，＝，
解得，x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意，
∴x＋30＝60＋30＝90，
∴A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料．
故选D．]
10．[新定义](2024·茌平区一模)定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn＋pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5＋3×4＝22．若关于x的方程[x2＋1，x]※[5－2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A．k＜且k≠0 B．k≤
C．k≤且k≠0 D．k≥
C [根据题意得k(x2＋1)＋(5－2k)x＝0，
整理得kx2＋(5－2k)x＋k＝0，
因为方程有两个实数解，
所以k≠0且Δ＝(5－2k)2－4k2≥0，解得k≤且k≠0．
故选C．]
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．(2024·青海)请你写出一个解集为x＞的一元一次不等式________．
2x＞2(答案不唯一) [2x＞2(答案不唯一)．]
12．(2024·云南)若一元二次方程x2－2x＋c＝0无实数根，则实数c的取值范围为________．
c>1 [∵一元二次方程x2－2x＋c＝0无实数根，
∴Δ＝(－2)2－4c＜0，
∴c＞1．
故答案为c＞1．]
13．一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，该轮船在静水中的速度为________千米/小时．
12 [设该轮船在静水中的速度为x千米/小时，
依题意得，－x＝x－，
解得，x＝12．
故答案为12．]
14．(2024·大庆)不等式组的整数解有________个．
4 [解不等式x＞得，
x＞－2，
解不等式5x－3＜9＋x得，
x＜3，
所以不等式组的解集为：－2＜x＜3．
所以不等式组的整数解为：－1，0，1，2，
即不等式组有4个整数解．
故答案为4．]
15．(2024·东昌府区模拟)分式方程＋1＝的解为________．
－2 [去分母，得x＋1＋x2－1＝2，
整理，得x2＋x－2＝0，
∴(x＋2)(x－1)＝0，
∴x1＝－2，x2＝1，
当x＝－2时，(x＋1)(x－1)≠0，
所以x＝－2是原方程的解；
当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，
所以x＝1不是原方程的解．
故答案为x＝－2．]
16．(2024·烟台)若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m＋n2的值为________．
6 [∵一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，
∴2m2－4m＝1，m＋n＝－＝2，mn＝－，
∴3m2－4m＋n2
＝2m2－4m＋m2＋n2
＝1＋(m＋n)2－2mn
＝1＋22－2×
＝6．
故答案为6．]
三、解答题(本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(9分)(2024·天津)解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得________；
(2)解不等式②，得________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为________．
[解] (1)解不等式①得，x≤1．
(2)解不等式②得，x≥－3．
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
(4)由(3)知原不等式组的解集为－3≤x≤1．
18．(9分)(2024·广州)关于x的方程x2－2x＋4－m＝0有两个不等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：÷．
[解] (1)根据题意得Δ＝(－2)2－4(4－m)＞0，
解得m＞3．
(2)∵m＞3，
∴m－3＞0，
∴÷
＝
＝－2．
19．(10分)已知关于x的方程－1＝．
(1)当k取何值时，此方程的解为x＝1；
(2)当k取何值时，此方程会产生增根；
(3)当此方程的解是正数时，求k的取值范围．
[解] (1)－1＝，
－1＝，
k－2(x－2)＝2x，
k－2x＋4＝2x，
4x＝k＋4，
x＝＝＋1．
∵x－2≠0，
∴x≠2，
∵方程的解为x＝1，
∴＋1＝1，解得k＝0，
∴当k＝0时，此方程的解为x＝1．
(2)∵方程会产生增根，
∴x＝2，
∴＋1＝2，解得k＝4，
∴当k＝4时，此方程会产生增根．
(3)∵方程的解是正数，
∴＋1>0且＋1≠2，
解得k＞－4且k≠4．
∴当此方程的解是正数时，k的取值范围是k＞－4且k≠4．
20．(10分)(2024·南充)已知x1，x2是关于x的方程x2－2kx＋k2－k＋1＝0的两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．
[解] (1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
∴Δ＝(－2k)2－4×1×(k2－k＋1)＝4k2－4k2＋4k－4＝4k－4＞0，
解得k＞1．
(2)∵1＜k＜5，
∴整数k的值为2，3，4，
当k＝2时，方程为 x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
当k＝3或4时，此时方程解不为整数．
综上所述，k的值为2．
21．(10分)(2024·雅安)某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3 000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
[解] (1)设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道(1＋25%)x＝1.25x米，
根据题意得，＋15＝，
解得，x＝40，
经检验x＝40是分式方程的解，且符合题意，
所以1.25x＝50，
则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米．
(2)设该公司原计划应安排y名工人施工，3 000÷40＝75(天)，
根据题意得，300×75y≤180 000，
解得，y≤8，
所以不等式的最大整数解为8，
则该公司原计划最多应安排8名工人施工．
22．(12分)(2024·泸州)某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1 770元，则购进A商品的件数最多为多少？
[解] (1)设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件，
根据题意得，
解得，
答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件．
(2)设购进m件A商品，则购进(60－m)件B商品，
根据题意得，
解得，19≤m≤20，
所以m的最大值为20．
答：购进A商品的件数最多为20件．
23．(12分)(2024·四川凉山)阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为______，前15行的点数之和为________，那么，前n行的点数之和为________
(2)体验：三角点阵中前n行的点数之和________(填“能”或“不能”)为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，……，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
[解] (1)三角点阵中前8行的点数之和为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝(1＋8)×8＝36，
前15行的点数之和为1＋2＋3＋…＋14＋15＝(1＋15)×15＝120，
那么前n行的点数之和为1＋2＋3＋…＋n＝(1＋n)×n＝n(n＋1)．
故答案为36；120；n(n＋1)．
(2)不能，
理由如下：
由题意得n(n＋1)＝500，
得n2＋n－1000＝0，
Δ＝12－4×(－1000)＝4001，
所以此方程无正整数解，
所以三角点阵中前n行的点数和不能是500．
故答案为不能．
(3)同理(1)可知，前n行的点数之和为2＋4＋6＋…＋2n＝2×(1＋n)×n＝n(n＋1)，
由题意得n(n＋1)＝420，
得n2＋n－420＝0，即(n＋21)(n－20)＝0，
解得n＝20或n＝－21(舍去)，
所以一共能摆放20排．(共45张PPT)
章末综合评价卷(二) 方程(组)与不等式(组)
第二章 方程（组）与不等式（组）
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．(2024·长春)不等关系在生活中广泛存在．如图，a，b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是( )
A [由题意得，a＞b，
∴a＋c＞b＋c，
∴图中两人的对话体现的数学原理是若a＞b，则a＋c＞b＋c．
故选A．]
√
A [∵关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，
∴a2－4＝0且a＋2≠0，
解得，a＝2，
故选A．]
√
3．(2024·宁夏)已知|3－a|＝a－3，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
A [∵|3－a|＝a－3，
∴a－3≥0，
∴a≥3．
故选A．]
√
√
√
C [原方程两边同乘6得：2(x－2)－3(x＋1)＝6，
去括号得，2x－4－3x－3＝6，
则其错误的原因是去分母时，分子部分的多项式未添括号，导致符号错误，
故选C．]
6．(2024·临清市二模)用配方法解一元二次方程x2＋6x＋3＝0时，将它化为(x＋m)2＝n的形式，则m－n的值为( )
A．3 B．0 C．－1 D．－3
√
D [x2＋6x＋3＝0，
x2＋6x＝－3，
x2＋6x＋9＝6，
(x＋3)2＝6，
∴m＝3，n＝6，
∴m－n＝3－6＝－3．
故选D．]
7．(2024·内江)某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意得方程是( )
A．0.64(1＋x)＝0.69 B．0.64(1＋x)2＝0.69
C．0.64(1＋2x)＝0.69 D．0.64(1＋2x)2＝0.69
B [根据题意得，0.64(1＋x)2＝0.69，
故选B．]
√
√
A [方程两边同时乘x－1得，1－m－(x－1)＋2＝0，
解得x＝4－m．
∵x为正数，
∴4－m＞0，解得m＜4．
∵x≠1，
∴4－m≠1，即m≠3．
∴m的取值范围是m＜4且m≠3．
故选A．]
9．(2024·内蒙古)A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？( )
A．60，30 B．90，120
C．60，90 D．90，60
√
√
12．(2024·云南)若一元二次方程x2－2x＋c＝0无实数根，则实数c的取值范围为________．
c>1 [∵一元二次方程x2－2x＋c＝0无实数根，
∴Δ＝(－2)2－4c＜0，
∴c＞1．
故答案为c＞1．]
c>1
13．一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，该轮船在静水中的速度为_____千米/小时．
12
4
－2 [去分母，得x＋1＋x2－1＝2，
整理，得x2＋x－2＝0，
∴(x＋2)(x－1)＝0，
∴x1＝－2，x2＝1，
当x＝－2时，(x＋1)(x－1)≠0，
所以x＝－2是原方程的解；
当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，
所以x＝1不是原方程的解．
故答案为x＝－2．]
－2
16．(2024·烟台)若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m＋n2的值为_____．
6
x≤1
x≥－3
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为___________．
－3≤x≤1
[解] (1)解不等式①得，x≤1．
(2)解不等式②得，x≥－3．
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
(4)由(3)知原不等式组的解集为－3≤x≤1．
20．(10分)(2024·南充)已知x1，x2是关于x的方程x2－2kx＋k2－k＋1＝0的两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．
[解] (1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
∴Δ＝(－2k)2－4×1×(k2－k＋1)＝4k2－4k2＋4k－4＝4k－4＞0，
解得k＞1．
(2)∵1＜k＜5，
∴整数k的值为2，3，4，
当k＝2时，方程为 x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
当k＝3或4时，此时方程解不为整数．
综上所述，k的值为2．
21．(10分)(2024·雅安)某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3 000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
(2)设该公司原计划应安排y名工人施工，3 000÷40＝75(天)，
根据题意得，300×75y≤180 000，
解得，y≤8，
所以不等式的最大整数解为8，
则该公司原计划最多应安排8名工人施工．
22．(12分)(2024·泸州)某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1 770元，则购进A商品的件数最多为多少？
23．(12分)(2024·四川凉山)阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为______，前15行的点数之和为______，那么，前n行的点数之和为________
(2)体验：三角点阵中前n行的点数之和________(填“能”或“不能”)为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，……，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
36
120
不能