章末综合评价卷(四) 几何初步与三角形
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．若＝，则的值等于( )
A． B． C． D．1
A [∵＝，
∴3a＝5b，即a＝b，
∴＝＝．
故选A．]
2．(2024·曹县一模)如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是( )
A．80° B．100° C．120° D．140°
B [∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°．
对于△AEF，∵∠1＝∠A＋∠AEF＝140°，
∴∠AEF＝140°－60°＝80°，
∴∠DEB＝∠AEF＝80°，
∵m∥n，
∴∠2＋∠DEB＝180°，
∴∠2＝180°－80°＝100°，
故选B．]
3．[跨学科](2024·广东深圳)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
B [如图，
∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，
∴CD⊥AB，∠5＝∠6，
∴∠1＋∠5＝∠2＋∠6＝90°，
则∠1＝∠2＝50°，
∵光线是平行的，
即DE∥GF，
∴∠2＝∠4＝50°，
故选B．]
4．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，已知AC＝6，BC＝4，则△BCD的周长是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
D [∵DE是边AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△BCD的周长＝BC＋CD＋BD＝BC＋CD＋DA＝BC＋AC＝10，
故选D．]
5．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°．(AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上)，则建筑物CD的高为( )
A．20米 B．15米
C．12米 D．(10＋5)米
B [如图，过A作AE⊥CD于E，
依题意，AB⊥BD，CD⊥BD
∴四边形ABDE为矩形，
∴AB＝DE＝10，AE＝BD，
设CE＝x，而∠CAE＝30°，
∴AE＝＝x＝BD，
∵CD＝x＋10，
∴tan 60°＝＝＝，
解得x＝5，
经检验x＝5是原方程的解，且符合题意；
∴CD＝x＋10＝15(米)，
故选B．]
6．(2024·东昌府区模拟)如图，某技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点A，B，D对应的刻度分别为1，7，4．若∠ADC＝120°，则AC的长为( )
A．2 B．3 C．2 D．3
D [∵点A，B，D对应的刻度分别为1，7，4，
∴AB＝7－1＝6，AD＝4－1＝3，BD＝7－4＝3，
∴AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝BD＝3，
∵∠ADC＝120°，
∴∠BDC＝180°－120°＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC＝BD＝3，
∴AC＝＝＝3，
故选D．]
7．(2024·河南)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为( )
A． B．1 C． D．2
B [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝AC，
∵点E为OC的中点，
∴CE＝OC＝AC，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴EF＝1，
故选B．]
8．(2024·四川资阳)第14届国际数学教育大会(ICME－14)会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF∶AH＝1∶3，则sin ∠ABE＝( )
A． B． C． D．
C [根据题意，设EF＝x，则AH＝3x，
∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形，
∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x，
∴AE＝4x，
∵∠AEB＝90°，
∴AB＝＝5x，
∴sin ∠ABE＝＝＝，
故选C．]
9．(2024·临沂一模)如图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)用去一部分液体后如图2所示，此时液面直径AB＝( )
A．2 cm B．2.5 cm
C．3 cm D．4 cm
C [如图，过O作OM⊥CD，垂足为M，过O′作O′N⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽△ABO′，即相似比为，
∴＝，
∵OM＝15－7＝8(cm)，O′N＝11－7＝4(cm)，
∴＝，
∴AB＝3(cm)，
故选C．]
10．(2024·重庆)如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G，则的值为( )
A． B． C． D．
A [过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H，
∴∠H＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，AD＝DC，
∵AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，
∴AE＝FE，∠AEF＝90°，
∵∠DAE＋∠AED＝90°，∠HEF＋∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠HEF，
在△ADE和△EHF中，
∴△ADE≌△EHF(AAS)，
∴AD＝EH，DE＝HF，
∴EH＝DC，
∴DE＝CH＝HF，
∴∠HCF＝45°，
∴∠G＝45°，
设CH＝HF＝DE＝x，正方形边长为y，
则CE＝y－x，CF＝x，CG＝y，
∴FG＝CG－CF＝y－x，
∴＝，
故选A．]
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE．则∠A＝________°．
66 [∵OC＝OE，∠C＝33°，
∴∠E＝∠C＝33°，
∴∠DOE＝∠E＋∠C＝66°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DOE＝66°，
故答案为66．]
12．(2024·黑龙江牡丹江)如图，△ABC中，D是AB边上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件________，使得AE＝CE．(只添一种情况即可)
DE＝EF(或AD＝CF，答案不唯一) [∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE，
∴添加条件DE＝EF，可以使得△ADE≌△CFE(AAS)，
添加条件AD＝CF，可以使得△ADE≌△CFE(ASA)，
故答案为DE＝EF(或AD＝CF，答案不唯一)．]
13．(2024·云南)如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若＝，则＝________．
[∵AC∥BD，∴△ACO∽△BDO，
∴＝＝，
故答案为．]
14．(2024·宁夏)如图1是三星堆遗址出土的陶盉(hè)，图2是其示意图．已知管状短流AB＝2 cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC＝DE＝11 cm，∠ABE＝120°，∠CBE＝80°．器身底部CD距地面的高度为21.5 cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为________cm(结果精确到0.1 cm)．
(参考数据：sin 80°≈0.984 8，cos 80°≈0.173 6，tan 80°≈5.671 3，≈1.732)
34.1 [过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点A作AG⊥EB，交EB的延长线于点G，
∵∠ABE＝120°，
∴∠ABG＝180°－∠ABE＝60°，
在Rt△ABG中，AB＝2 cm，
∴AG＝AB·sin 60°＝2×＝(cm)，
在Rt△BCF中，∠EBC＝80°，BC＝11 cm，
∴CF＝BC·sin 80°≈11×0.984 8＝10.832 8(cm)，
∵器身底部CD距地面的高度为21.5 cm，
∴该陶盉管状短流口A距地面的高度＝AG＋CF＋21.5＝＋10.832 8＋21.5≈34.1(cm)，
∴该陶盉管状短流口A距地面的高度约为34.1 cm，
故答案为34.1．]
15．将△ABC按如图所示翻折，DE为折痕，若∠A＋∠B＝130°，则∠1＋∠2＝________°．
100 [在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
在△CDE中，∠CDE＋∠CED＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠B＝∠CDE＋∠CED，
∵∠A＋∠B＝130°，
∴∠CDE＋∠CED＝130°，
∴∠BED＋∠ADE＝360°－130°＝230°，
由折叠的性质得，∠BED＝∠B′ED，∠ADE＝∠A′DE，
∴∠B′ED＋∠A′DE＝230°，
即∠1＋∠CDE＋∠2＋∠CED＝230°，
∴∠1＋∠2＝230°－130°＝100°，
故答案为100．]
16．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为________秒时，以A、B、P为顶点的三角形和△DCE全等．
1或7 [∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，∠B＝∠BCD＝∠A＝90°，
当P在BC上时，
∵AB＝DC，∠B＝∠DCE＝90°，
∴当BP＝EC＝2时，△ABP≌△DCE(SAS)，
∴2t＝2，
∴t＝1；
当P在CD上时，不存在以A，B，P为顶点的三角形和△DCE全等；
当P在AD上时，
∵AB＝DC，∠A＝∠DCE＝90°，
∴当AP＝EC＝2时，△ABP≌△CDE(SAS)，
∴2t＝6×2＋4－2，
∴t＝7，
∴当t的值是1或7时，以A，B，P为顶点的三角形和△DCE全等．
故答案为1或7．]
三、解答题(本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(9分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
(1)判断△DEF的形状，并说明理由；
(2)若AD＝12，CE＝7，则CF的长为________．
[解] (1)△DEF是等边三角形，理由如下：
∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ADB＝60°，∠ABD＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠DEF＝∠A＝60°，∠EFD＝∠ABD＝60°，
∴△DEF是等边三角形．
(2)连接AC交BD于点O，如图，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC垂直平分BD，
∴AO⊥BD，
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAO＝∠DAO，
∴AE＝CE＝7，
∴DE＝AD－AE＝12－7＝5，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝5，
∴CF＝CE－EF＝2．
故答案为2．]
18．(9分)如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．
(1)求证AD＝ED；
(2)若AC＝AB，DE＝3，求AC的长．
[解] (1)证明：∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵DE∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE．
(2)∵AB＝AC，AE是∠BAC的角平分线，
∴AE⊥BC，
∴∠C＋∠CAE＝90°，∠CED＋∠DEA＝90°，
∴∠C＝∠CED，
∴DE＝CD且DE＝3，
∴AD＝DE＝CD＝3，
∴AC＝6．
19．(10分)(2024·冠县一模)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D．
(1)求证：△EAC∽△ECB；
(2)若DF＝AF，求AC∶BC的值．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠ECA＝∠D，
∴∠ECA＝∠B，
∵∠E＝∠E，
∴△EAC∽△ECB．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，即CD∥AE，
∴＝，
∵DF＝AF，
∴CD＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴AE＝AB，
∴BE＝2AE，
∵△EAC∽△ECB，
∴＝＝，
∴CE2＝AE·BE＝BE2，
即＝，
∴＝．
20．(10分)[项目式学习](2024·贵州)综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．(直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．)
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20 cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求BC的长；
(2)求B，D之间的距离(结果精确到0.1 cm)．
(参考数据：sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62)
[解] (1)在Rt△ABC中，∠A＝45°，
∴∠B＝45°，
∴BC＝AC＝20 cm，
(2)由题可知ON＝EC＝AC＝10 cm，
∴NB＝ON＝10 cm，
又∵∠DON＝32°，
∴DN＝ON·tan ∠DON＝10×tan 32°≈10×0.62＝6.2 cm，
∴BD＝BN－DN＝10－6.2＝3.8 cm．
21．(10分)(2024·上海)如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD．
(1)求证：AD2＝DE·DC；
(2)F为线段AE延长线上一点，且满足EF＝CF＝BD，求证：CE＝AD．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，
∴∠ABD＋∠ADB＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE＋∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴△ADE∽△BAD，
∴＝，
∴AD2＝DE·BA，
∵AB＝DC，
∴AD2＝DE·DC；
(2)连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＋∠AED＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE＋∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AED，
∵∠FEC＝∠AED，
∴∠ADO＝∠FEC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD＝BD，
∵EF＝CF＝BD，
∴OA＝OD＝EF＝CF，
∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，
∵∠ADO＝∠FEC，
∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE，
在△ODA和△FEC中，
∴△ODA≌△FEC(AAS)，
∴CE＝AD．
22．(12分)(2024·郓城县模拟)如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)求∠FAE的度数；
(3)求证：CD＝2BF＋DE．
[解] (1)证明：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝90°，∠CAD＋∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE．
在△BAC和△DAE中，
∴△BAC≌△DAE(SAS)．
(2)∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由(1)知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC＋∠CAE＝45°＋90°＝135°．
(3)证明：延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
∴△AFB≌△AFG(SAS)，
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G．
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
∴△CGA≌△CDA(AAS)，
∴CG＝CD．
∵CG＝CB＋BF＋FG＝CB＋2BF＝DE＋2BF，
∴CD＝2BF＋DE．
23．(12分)[新定义](2024·济宁二模)定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，△ABC和△CDE为“同源三角形”，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB与∠DCE为“同源角”．
(1)如图1，△ABC和△CDE为“同源三角形”，∠ACB与∠DCE是“同源角”，请你判断AD与BE的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若“同源三角形”△ABC和△CDE上的点B，C，D在同一条直线上，且∠ACE＝90°，求sin ∠EMD的值；
(3)如图3，△ABC和△CDE为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD，BE的中点Q，P，连接CP，CQ，PQ，试说明△PCQ是等腰直角三角形．
[解] (1)AD＝BE．
理由：∵△ABC和△CDE是“同源三角形”，
∴∠ACB＝∠DCE，所以∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴AD＝BE．
(2)令AD与CE交于点O．
∵△ABC和△CDE是“同源三角形”，
∴∠ACB＝∠DCE．
∵∠ACE＝90°，
∴∠DCE＝∠ACB＝45°．
由(1)可知△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC．
∵∠MOE＝∠COD，
∴∠EMD＝∠DCE＝45°．
∴sin ∠EMD＝sin 45°＝．
(3)由(1)可知△ACD≌△BCE，
∴∠CAQ＝∠CBP，BE＝AD．
∵AD，BE的中点分别为Q，P，
∴AQ＝BP．
在△ACQ和△BCP中，
∴△ACQ≌△BCP(SAS)，
∴CQ＝CP，∠ACQ＝∠BCP．
∵∠BCP＋∠PCA＝90°，
∴∠ACQ＋∠PCA＝90°．
∴∠PCQ＝90°，
∴△PCQ是等腰直角三角形．(共71张PPT)
章末综合评价卷(四) 几何初步与三角形
第四章 几何初步与三角形
√
2．(2024·曹县一模)如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是( )
A．80° B．100° C．120° D．140°
√
B [∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°．
对于△AEF，∵∠1＝∠A＋∠AEF＝140°，
∴∠AEF＝140°－60°＝80°，
∴∠DEB＝∠AEF＝80°，
∵m∥n，
∴∠2＋∠DEB＝180°，
∴∠2＝180°－80°＝100°，
故选B．]
3．[跨学科](2024·广东深圳)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
√
B [如图，
∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，
∴CD⊥AB，∠5＝∠6，
∴∠1＋∠5＝∠2＋∠6＝90°，
则∠1＝∠2＝50°，
∵光线是平行的，
即DE∥GF，
∴∠2＝∠4＝50°，
故选B．
4．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，已知AC＝6，BC＝4，则△BCD的周长是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
√
D [∵DE是边AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△BCD的周长＝BC＋CD＋BD＝BC＋CD＋DA＝BC＋AC＝10，
故选D．]
√
√
√
√
9．(2024·临沂一模)如图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)用去一部分液体后如图2所示，此时液面直径AB＝( )
A．2 cm B．2.5 cm
C．3 cm D．4 cm
√
√
A [过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H，
∴∠H＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，AD＝DC，
∵AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，
∴AE＝FE，∠AEF＝90°，
∵∠DAE＋∠AED＝90°，∠HEF＋∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠HEF，
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE．则∠A＝______°．
66
66 [∵OC＝OE，∠C＝33°，
∴∠E＝∠C＝33°，
∴∠DOE＝∠E＋∠C＝66°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DOE＝66°，
故答案为66．]
12．(2024·黑龙江牡丹江)如图，△ABC中，D是AB边上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件__________________
___________，使得AE＝CE．(只添一种情况即可)
DE＝EF(或AD＝CF，
答案不唯一)
DE＝EF(或AD＝CF，答案不唯一) [∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE，
∴添加条件DE＝EF，可以使得△ADE≌△CFE(AAS)，
添加条件AD＝CF，可以使得△ADE≌△CFE(ASA)，
故答案为DE＝EF(或AD＝CF，答案不唯一)．]
34.1
15．将△ABC按如图所示翻折，DE为折痕，若∠A＋∠B＝130°，则∠1＋∠2＝________°．
100
100 [在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
在△CDE中，∠CDE＋∠CED＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠B＝∠CDE＋∠CED，
∵∠A＋∠B＝130°，
∴∠CDE＋∠CED＝130°，
∴∠BED＋∠ADE＝360°－130°＝230°，
由折叠的性质得，∠BED＝∠B′ED，∠ADE＝∠A′DE，
∴∠B′ED＋∠A′DE＝230°，
即∠1＋∠CDE＋∠2＋∠CED＝230°，
∴∠1＋∠2＝230°－130°＝100°，
故答案为100．]
16．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为________秒时，以A、B、P为顶点的三角形和△DCE全等．
1或7
1或7 [∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，∠B＝∠BCD＝∠A＝90°，
当P在BC上时，
∵AB＝DC，∠B＝∠DCE＝90°，
∴当BP＝EC＝2时，△ABP≌△DCE(SAS)，
∴2t＝2，
∴t＝1；
当P在CD上时，不存在以A，B，P为顶点的三角形和△DCE全等；
当P在AD上时，
∵AB＝DC，∠A＝∠DCE＝90°，
∴当AP＝EC＝2时，△ABP≌△CDE(SAS)，
∴2t＝6×2＋4－2，
∴t＝7，
∴当t的值是1或7时，以A，B，P为顶点的三角形和△DCE全等．
故答案为1或7．]
三、解答题(本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(9分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
(1)判断△DEF的形状，并说明理由；
(2)若AD＝12，CE＝7，则CF的长为____．
2
[解] (1)△DEF是等边三角形，理由如下：
∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ADB＝60°，∠ABD＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠DEF＝∠A＝60°，∠EFD＝∠ABD＝60°，
∴△DEF是等边三角形．
(2)连接AC交BD于点O，如图，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC垂直平分BD，
∴AO⊥BD，
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAO＝∠DAO，
∴AE＝CE＝7，
∴DE＝AD－AE＝12－7＝5，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝5，
∴CF＝CE－EF＝2．
故答案为2．]
18．(9分)如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．
(1)求证AD＝ED；
(2)若AC＝AB，DE＝3，求AC的长．
[解] (1)证明：∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵DE∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE．
(2)∵AB＝AC，AE是∠BAC的角平分线，
∴AE⊥BC，
∴∠C＋∠CAE＝90°，∠CED＋∠DEA＝90°，
∴∠C＝∠CED，
∴DE＝CD且DE＝3，
∴AD＝DE＝CD＝3，
∴AC＝6．
19．(10分)(2024·冠县一模)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D．
(1)求证：△EAC∽△ECB；
(2)若DF＝AF，求AC∶BC的值．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠ECA＝∠D，
∴∠ECA＝∠B，
∵∠E＝∠E，
∴△EAC∽△ECB．
20．(10分)[项目式学习](2024·贵州)综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．(直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．)
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20 cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求BC的长；
(2)求B，D之间的距离(结果精确到0.1 cm)．
(参考数据：sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62)
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，
∴∠ABD＋∠ADB＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE＋∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴△ADE∽△BAD，
(2)连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＋∠AED＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE＋∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AED，
∵∠FEC＝∠AED，
∴∠ADO＝∠FEC，
22．(12分)(2024·郓城县模拟)如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)求∠FAE的度数；
(3)求证：CD＝2BF＋DE．
(2)∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由(1)知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC＋∠CAE＝45°＋90°＝135°．
∴△CGA≌△CDA(AAS)，
∴CG＝CD．
∵CG＝CB＋BF＋FG＝CB＋2BF＝DE＋2BF，
∴CD＝2BF＋DE．
23．(12分)[新定义](2024·济宁二模)定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，△ABC和△CDE为“同源三角形”，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB与∠DCE为“同源角”．
(1)如图1，△ABC和△CDE为“同源三角形”，∠ACB与∠DCE是“同源角”，请你判断AD与BE的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若“同源三角形”△ABC和△CDE上的点B，C，D在同一条直线上，且∠ACE＝90°，求sin ∠EMD的值；
(3)如图3，△ABC和△CDE为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD，BE的中点Q，P，连接CP，CQ，PQ，试说明△PCQ是等腰直角三角形．
∴CQ＝CP，∠ACQ＝∠BCP．
∵∠BCP＋∠PCA＝90°，
∴∠ACQ＋∠PCA＝90°．
∴∠PCQ＝90°，
∴△PCQ是等腰直角三角形．
