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章末综合评价卷(五) 四边形
第五章 四边形
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．(2024·云南)一个七边形的内角和等于( )
A．540° B．900° C．980° D．1 080°
B [一个七边形的内角和为(7－2)×180°
＝5×180°＝900°．故选B．]
√
2．(2024·辽宁)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为
( )
A．4 B．6
C．8 D．16
√
3．(2024·济宁二模)如图，若干全等正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形( )
A．6个 B．7个
C．9个 D．10个
√
B [五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°－108°×3＝360°－324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个正五边形，
∴10－3＝7，
即完成这一圆环还需7个正五边形．故选B．]
4．(2024·甘肃)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
√
5．(2024·上海)四边形ABCD为矩形，过A，C作对角线BD的垂线，过B，D作对角线AC的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为( )
A．菱形 B．矩形
C．直角梯形 D．等腰梯形
√
√
√
√
D [∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝∠C＝90°，AB＝AD＝CD＝BC＝4，
又∵BE＝DF＝1，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE＝AF，
∵AM平分∠EAF，
∴∠EAM＝∠FAM，
√
√
②∵△CBE≌△DCH，
∴∠CBE＝∠DCH，
∵∠BCF＋∠DCH＝∠BCD＝90°，
∴∠BCF＋∠CBE＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CH⊥BE，
故结论②正确；
③过点G作GP⊥CD于P，GQ⊥AD于Q，如图1所示，
∵四边形ABCD为正方形，BD为一对角线，
∴BD平分∠CDA，
∴GP＝GQ，
又∵CE＝DH，
∴S△GCE＝S△GDH，
故结论③正确；
⑤当EC＝2DE时，如图3所示，
∴DE∶CE＝1∶2，
∴S△GDE∶S△GCE＝DE∶CE＝1∶2，
设S△GDE＝x，S△GCE＝2x，
由结论③正确得，S△GDH＝S△GEC＝2x，
∴S四边形DEGH＝S△GDE＋S△GDH＝x＋2x＝3x，
∵EC＝2DE，
∴CE∶CD＝2∶3，
∵CE＝DH，BC＝CD，
∴DH∶BC＝CE∶CD＝2∶3，
∵AD∥BC，
∴△GDH∽△GCB，
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．(2024·四川巴中)从五边形的一个顶点出发可以引_____条对角线．
2 [从五边形的一个顶点出发可以引的对角线条数为5－3＝2(条)．]
2
12．(2024·福建)如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为_____．
2
13．(2024·广州)如图， ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝________．
5
5 [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∴∠EAB＝∠CBA，
∵BA平分∠EBC，
∴∠EBA＝∠CBA，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE＝3，
∴DE＝AD＋AE＝2＋3＝5．]
14．(2024·单县三模)将一把直尺和正六边形ABCDEF按如图所示的位置放置，若∠1＝50°，那么∠2的大小为________．
70°
15．(2024·东昌府区模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝9，点E，F分别从点D，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿DA，BC向终点A，C运动．当AC⊥EF时，点E，F的运动时间为____秒．
4
4 [设点E，F的运动时间为t秒，
由题意得，DE＝BF＝t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠D＝90°，
∴AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
当AC⊥EF时， AFCE是菱形，
∴AE＝CE，
∵AD＝9，
∴CE＝9－t，
由勾股定理得，DE2＋CD2＝CE2，
∵CD＝AB＝3，
∴t2＋32＝(9－t)2，解得t＝4．]
16．(2024·济宁二模)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝6，CD＝8，E，F分别是边AB，CD的中点，DH⊥BC于H，现有下列结论：
①∠CDH＝30°；
②EF＝4；
③四边形EFCH是菱形；
④S△EFC＝3S△BEH．
你认为结论正确的有__________．(填写正确的序号)
①②③
三、解答题(本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(9分)(2024·吉林)如图，在 ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求证：AE＝BC．
[证明] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OBC，∠OCB＝∠E，
∵点O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∴△AOE≌△BOC(AAS)，
∴AE＝BC．
18．(9分)(2024·北京)如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．
(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；
(2)若∠EFB＝90°，tan ∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．
[解] (1)证明：∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵DF＝BF，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD，
∴CF∥AD，
∵AF∥DC，
∴四边形AFCD为平行四边形．
(2)由(1)知，EF是△ABD的中位线，
∴AD＝2EF＝2，
∵∠EFB＝90°，tan ∠FEB＝3，
∴BF＝3EF＝3，
∵DF＝FB，
∴DF＝BF＝3，
∵AD∥CE，
∴∠ADF＝∠EFB＝90°，
19．(10分)(2024·四川雅安)如图，点O是 ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
(1)求证：△ODE≌△OBF；
(2)当EF⊥BD时，DE＝15 cm，分别连接BE，DF．求此时四边形BEDF的周长．
(2)连接BE，DF，
由(1)得△ODE≌△OBF，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形，
∴DF＝BF＝BE＝DE＝15 cm，
∴DF＋BF＋BE＋DE＝4DE＝4×15＝60(cm)，
∴四边形BEDF的周长为60 cm．
20．(10分)(2024·湖南长沙)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝90°．
(1)求证：AC＝BD；
(2)点E在BC边上，满足∠CEO＝∠COE．若AB＝6，BC＝8，求CE的长及tan ∠CEO的值．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD．
(2)作OH⊥BC于点H，则∠OHE＝∠OHC＝90°，
21．(10分)(2024·东明县三模)如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BG⊥AE，垂足为点G，延长BG交CD于点F，连接AF．
(1)求证：BE＝CF；
(2)若正方形边长是5，BE＝2，求AG的长．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°，
∵BG⊥AE，
∴∠BGE＝90°，
∴∠AEB＋∠EBG＝90°，
∴∠BAE＝∠EBG，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴BE＝CF．
22．(12分)(2024·高唐县三模)如图，△ABC中，点D是BC上一点，过点D作DE∥AB，点F是AD的中点，连接EF，并延长EF交AB于点G．
(1)连接DG，求证：四边形AGDE是平行四边形；
(2)若使四边形AGDE是菱形，△ABC应为什么特殊三角形？点D在BC的什么位置？证明你的猜想．
[解] (1)证明：∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，∠AGE＝∠DEG，
又∵AF＝DF，
∴△AFG≌△DFE(AAS)，
∴DE＝AG，
∴四边形AGDE是平行四边形．
(2)若使四边形AGDE是菱形，则△ABC是等腰三角形 (AB＝AC)，D是BC的中点．
证明：如图，
23．(12分)(2024·青海)综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
【探究一】
如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形．
三角形中位线定理
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
AC＝BD 菱形
【探究二】
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
(2)下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
AC⊥BD ②______
【探究三】
(3)从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．
(4)下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
矩形
原四边形对角线关系 中点四边形形状
③________ ④________
【归纳总结】
(5)请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
结论：原四边形对角线③__________________时，中点四边形是④________．
AC⊥BD且AC＝BD
正方形
[解] (2)证明：∵AC＝BD，
∴EF＝FG，
∴中点四边形EFGH是菱形．
(4)证明：设AC与EH交于N，BD与EF交于M，如图，
∵EH，EF分别是△ABD和△ABC的中位线，
∴EH∥BD，EF∥AC，
∴四边形EMON是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴∠MON＝90°，
∴∠MEN＝∠MON＝90°，
∴中点四边形EFGH是矩形．
(5)如图，
故答案为AC⊥BD且AC＝BD，正方形．章末综合评价卷(五) 四边形
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．(2024·云南)一个七边形的内角和等于( )
A．540° B．900° C．980° D．1 080°
B [一个七边形的内角和为(7－2)×180°
＝5×180°＝900°．故选B．]
2．(2024·辽宁)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为( )
A．4 B．6
C．8 D．16
C [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝AC＝，OD＝BD＝，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED的周长为2(OC＋OD)＝2×＝8．故选C．]
3．(2024·济宁二模)如图，若干全等正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形( )
A．6个 B．7个
C．9个 D．10个
B [五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°－108°×3＝360°－324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个正五边形，
∴10－3＝7，
即完成这一圆环还需7个正五边形．故选B．]
4．(2024·甘肃)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
C [根据矩形ABCD的性质，得OA＝OB＝OC＝OD＝AC，
∵∠ABD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝2，
∴OA＝OB＝AB＝AC＝2，
∴AC＝4．故选C．]
5．(2024·上海)四边形ABCD为矩形，过A，C作对角线BD的垂线，过B，D作对角线AC的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为( )
A．菱形 B．矩形
C．直角梯形 D．等腰梯形
A [如图所示，
∵四边形ABCD为矩形，
∴S△OBC＝S△OAD，OC＝OB＝OA＝OD，
∵过A，C作对角线BD的垂线，过B，D作对角线AC的垂线，
∴S△OBC＝S△OAD＝OC·BF＝OB·CH＝OD·AE＝OA·DG，
∴CH＝BF＝AE＝DG，
如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形．故选A．]
6．(2024·莘县二模)如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝( )
A．4 B．8 C．12 D．16
B [∵四边形AMEF是正方形，
又∵S正方形AMEF＝16，
∴AM2＝16，
∴AM＝4．
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
∴AM＝BC，
即BC＝2AM＝8，
在Rt△ABC中，AB＝4，
∴AC＝＝＝4，
∴S△ABC＝AB·AC＝×4×4＝8．
故选B．]
7．(2024·成武县三模)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD＋PE的最小值为( )
A．3 B．6 C．3 D．6
A [如图，连接DE，
在△DPE中，DP＋PE＞DE，
∴当点P在DE上时，PD＋PE的最小值为DE的长，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝AD，
∴tan ∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵sin ∠ABD＝，
∴＝，
∴DE＝3．
故选A．]
8．(2024·重庆)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF，交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为( )
A．2 B． C． D．
D [∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝∠C＝90°，AB＝AD＝CD＝BC＝4，
又∵BE＝DF＝1，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE＝AF，
∵AM平分∠EAF，
∴∠EAM＝∠FAM，
又∵AM＝AM，
∴△AEM≌△AFM(SAS)，
∴EM＝FM．
设DM＝x，则EM＝FM＝DF＋DM＝x＋1，CM＝CD－DM＝4－x，
在Rt△CEM中，由勾股定理得EM2＝CE2＋CM2，
∴(x＋1)2＝32＋(4－x)2，
解得x＝，
∴DM＝．
故选D．]
9．(2024·兖州区模拟)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为(6，0)，点D是边BC的中点，现将菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2 025秒时，点D的坐标为( )
A． B．
C． D．
D [如图，连接OD，过点C作CH⊥OB于H，
∵四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为(6，0)，
∴OB＝6，OC＝BC，∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OC＝OB＝BC＝6，
∵点D是BC中点，
∴OD⊥BC，BD＝3，
∴OD＝BD＝3，
∵CH⊥OB，∠COB＝60°，
∴OH＝BH＝3，CH＝OH＝3，
∴点C(3，－3)，
∵点D是BC中点，
∴点D．
∵将菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，
∴第1秒后，点D1坐标为(0，－3)，第2秒后，点D2坐标为，第3秒后，点D3坐标为，第4秒后，点D4坐标为(0，3)，第5秒后，点D5坐标为，第6秒后，点D6坐标为，……
由上可知，点D的坐标每6个为一组依次循环着，
∴2 025÷6＝337……3，
∴第2 025秒时，点D的坐标为．
故选D．]
10．(2024·济宁二模)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE＝DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE．下列结论：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S△GCE＝S△GDH；④当E是CD的中点时，＝；⑤当EC＝2DE时，S正方形ABCD＝6S四边形DEGH，其中正确结论的序号是( )
A．①②③⑤ B．①②③④
C．①③④⑤ D．①②④⑤
B [①∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，AD∥BC，∠BCD＝∠CDA＝90°，
在△CBE和△DCH中，
∴△CBE≌△DCH(SAS)，
∴BE＝CH，
故结论①正确；
②∵△CBE≌△DCH，
∴∠CBE＝∠DCH，
∵∠BCF＋∠DCH＝∠BCD＝90°，
∴∠BCF＋∠CBE＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CH⊥BE，
故结论②正确；
③过点G作GP⊥CD于P，GQ⊥AD于Q，如图1所示，
∵四边形ABCD为正方形，BD为一对角线，
∴BD平分∠CDA，
∴GP＝GQ，
又∵CE＝DH，
∴S△GCE＝S△GDH，
故结论③正确；
④当E是CD的中点时，如图2所示，
设正方形ABCD的边长为2a，
∴BC＝CD＝DA＝2a，
∵E是CD的中点，CE＝DH，
∴CE＝DH＝a，
由勾股定理得，BE＝CH＝＝a，
由结论②正确可知，CH⊥BE，
由三角形面积得，S△BCE＝BE·CF＝BC·CE，
∴CF＝＝＝，
∴HF＝CH－CF＝a－＝，
∴＝，
故结论④正确；
⑤当EC＝2DE时，如图3所示，
∴DE∶CE＝1∶2，
∴S△GDE∶S△GCE＝DE∶CE＝1∶2，
设S△GDE＝x，S△GCE＝2x，
由结论③正确得，S△GDH＝S△GEC＝2x，
∴S四边形DEGH＝S△GDE＋S△GDH＝x＋2x＝3x，
∵EC＝2DE，
∴CE∶CD＝2∶3，
∵CE＝DH，BC＝CD，
∴DH∶BC＝CE∶CD＝2∶3，
∵AD∥BC，
∴△GDH∽△GCB，
∴＝＝，
∴S△GCB＝S△GDH＝×2x＝x，
∴S△BCD＝S△GCB＋S△GEC＋S△GDE＝x＋2x＋x＝x，
∴S正方形ABCD＝2S△BCD＝2×x＝15x，
∴S正方形ABCD＝5S四边形DEGH，
故结论⑤不正确．
综上所述，正确的结论是①②③④．故选B．]
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．(2024·四川巴中)从五边形的一个顶点出发可以引________条对角线．
2 [从五边形的一个顶点出发可以引的对角线条数为5－3＝2(条)．]
12．(2024·福建)如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为________．
2 [∵正方形ABCD的面积为4，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠D＝90°，
∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，
∴HD＝DG＝1，
∴S△DGH＝×1×1＝，
同理可得S△AHE＝S△EFB＝S△CGF＝，
∴四边形EFGH的面积为4－＝2．]
13．(2024·广州)如图， ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝________．
5 [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∴∠EAB＝∠CBA，
∵BA平分∠EBC，
∴∠EBA＝∠CBA，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE＝3，
∴DE＝AD＋AE＝2＋3＝5．]
14．(2024·单县三模)将一把直尺和正六边形ABCDEF按如图所示的位置放置，若∠1＝50°，那么∠2的大小为________．
70° [如图，过点C作CM与直尺平行，
∴∠BCM＝∠2，∠DCM＝∠1＝50°，
∵多边形ABCDEF为正六边形，
∴∠BCD＝＝120°，
∴∠2＝∠BCM＝∠BCD－∠DCM＝70°．]
15．(2024·东昌府区模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝9，点E，F分别从点D，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿DA，BC向终点A，C运动．当AC⊥EF时，点E，F的运动时间为________秒．
4 [设点E，F的运动时间为t秒，
由题意得，DE＝BF＝t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠D＝90°，
∴AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
当AC⊥EF时， AFCE是菱形，
∴AE＝CE，
∵AD＝9，
∴CE＝9－t，
由勾股定理得，DE2＋CD2＝CE2，
∵CD＝AB＝3，
∴t2＋32＝(9－t)2，解得t＝4．]
16．(2024·济宁二模)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝6，CD＝8，E，F分别是边AB，CD的中点，DH⊥BC于H，现有下列结论：
①∠CDH＝30°；
②EF＝4；
③四边形EFCH是菱形；
④S△EFC＝3S△BEH．
你认为结论正确的有______．(填写正确的序号)
①②③ [①∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∴BH＝AD＝2，AB＝DH，
∴CH＝BC－BH＝6－2＝4，
∵CD＝8，
∴CH＝CD，
∴∠CDH＝30°，①正确；
②∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴CF＝CD＝4，EF∥BC，EF＝(AD＋BC)＝4，②正确；
③∵EF∥BC，EF＝CH＝4，
∴四边形EFCH是平行四边形，
又∵EF＝CF＝4，
∴四边形EFCH是菱形，③正确；
④∵EF＝4，BH＝2，
∴S△EFC＝2S△BEH，④错误．
综上，结论正确的有①②③．]
三、解答题(本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(9分)(2024·吉林)如图，在 ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求证：AE＝BC．
[证明] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OBC，∠OCB＝∠E，
∵点O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∴△AOE≌△BOC(AAS)，
∴AE＝BC．
18．(9分)(2024·北京)如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．
(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；
(2)若∠EFB＝90°，tan ∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．
[解] (1)证明：∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵DF＝BF，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD，
∴CF∥AD，
∵AF∥DC，
∴四边形AFCD为平行四边形．
(2)由(1)知，EF是△ABD的中位线，
∴AD＝2EF＝2，
∵∠EFB＝90°，tan ∠FEB＝3，
∴BF＝3EF＝3，
∵DF＝FB，
∴DF＝BF＝3，
∵AD∥CE，
∴∠ADF＝∠EFB＝90°，
∴AF＝＝，
∵四边形AFCD为平行四边形，
∴CD＝AF＝，
∵DF＝BF，CE⊥BD，
∴BC＝CD＝．
19．(10分)(2024·四川雅安)如图，点O是 ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
(1)求证：△ODE≌△OBF；
(2)当EF⊥BD时，DE＝15 cm，分别连接BE，DF．求此时四边形BEDF的周长．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠OED＝∠OFB，
∵点O是 ABCD对角线的交点，
∴OD＝OB，
在△ODE和△OBF中，
∴△ODE≌△OBF(AAS)．
(2)连接BE，DF，
由(1)得△ODE≌△OBF，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形，
∴DF＝BF＝BE＝DE＝15 cm，
∴DF＋BF＋BE＋DE＝4DE＝4×15＝60(cm)，
∴四边形BEDF的周长为60 cm．
20．(10分)(2024·湖南长沙)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝90°．
(1)求证：AC＝BD；
(2)点E在BC边上，满足∠CEO＝∠COE．若AB＝6，BC＝8，求CE的长及tan ∠CEO的值．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD．
(2)作OH⊥BC于点H，则∠OHE＝∠OHC＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝
＝＝10，
∴OC＝OA＝AC＝5，
∵∠CEO＝∠COE，
∴CE＝OC＝5．
∵OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，且AC＝BD，
∴OC＝OB，
∴HC＝HB＝BC＝4，
∴EH＝CE－HC＝5－4＝1，
∵＝＝tan ∠ACB，
∴OH＝·HC＝×4＝3，
∴tan ∠CEO＝＝＝3．
∴CE的长为5，tan ∠CEO的值为3．
21．(10分)(2024·东明县三模)如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BG⊥AE，垂足为点G，延长BG交CD于点F，连接AF．
(1)求证：BE＝CF；
(2)若正方形边长是5，BE＝2，求AG的长．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°，
∵BG⊥AE，
∴∠BGE＝90°，
∴∠AEB＋∠EBG＝90°，
∴∠BAE＝∠EBG，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴BE＝CF．
(2)∵正方形边长是5，
∴AB＝BC＝CD＝5，
∵BE＝2，
∴AE＝．
易证△ABE∽△ABG，
∴AG∶AB＝AB∶AE，
∴AG∶5＝5∶，
∴AG＝．
22．(12分)(2024·高唐县三模)如图，△ABC中，点D是BC上一点，过点D作DE∥AB，点F是AD的中点，连接EF，并延长EF交AB于点G．
(1)连接DG，求证：四边形AGDE是平行四边形；
(2)若使四边形AGDE是菱形，△ABC应为什么特殊三角形？点D在BC的什么位置？证明你的猜想．
[解] (1)证明：∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，∠AGE＝∠DEG，
又∵AF＝DF，
∴△AFG≌△DFE(AAS)，
∴DE＝AG，
∴四边形AGDE是平行四边形．
(2)若使四边形AGDE是菱形，则△ABC是等腰三角形 (AB＝AC)，D是BC的中点．
证明：如图，
∵D是BC的中点，且DE∥AB，
∴DE是△ABC 的中位线，
∴DE＝AB，
同理，DG＝AC，
∴DE＝DG，
∵ AGDE两邻边相等，
∴四边形AGDE是菱形．
23．(12分)(2024·青海)综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF，GH分别是△ABC和△ACD的中位线，
∴EF＝AC，GH＝AC(①________)，
∴EF＝GH．
同理可得：EH＝FG．
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
(1)请你补全上述过程中的证明依据①________；
【探究二】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
AC＝BD 菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
(2)下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
AC⊥BD ②______
(3)从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．
(4)下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【归纳总结】
(5)请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
原四边形对角线关系 中点四边形形状
③________ ④________
结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．
[解] (1)三角形中位线定理．
(2)证明：∵AC＝BD，
∴EF＝FG，
∴中点四边形EFGH是菱形．
(3)矩形．
(4)证明：设AC与EH交于N，BD与EF交于M，如图，
∵EH，EF分别是△ABD和△ABC的中位线，
∴EH∥BD，EF∥AC，
∴四边形EMON是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴∠MON＝90°，
∴∠MEN＝∠MON＝90°，
∴中点四边形EFGH是矩形．
(5)如图，
故答案为AC⊥BD且AC＝BD，正方形．
