微专题一 平面直角坐标系中的面积
模型一 规则图形有边与坐标轴平行
或与坐标轴重合
模型展示
结论1：将该边作为底，直接将点的坐标转化为底边长及高，进而计算图形面积．
【典例1】 如图，在平面直角坐标系中，O是原点，小虫甲从点A(0，10)处开始，以每秒3个单位长度的速度沿y轴向下爬行，同时小虫乙从点B(8，0)处开始，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左爬行，2 s后，它们分别到达点A′，B′．
(1)求出点A′，B′的坐标；
(2)求四边形AA′B′B的面积．
[解] (1)由题意知，OA′＝10－2×3＝4，OB′＝8－2×2＝4，∴A′(0，4)，B′(4，0)．
(2)由题意知，S四边形AA′B′B＝S△AOB－S△A′OB′＝×10×8－×4×4＝32，
∴四边形AA′B′B的面积为32．
[跟踪训练]
如图，在平面直角坐标系中，BC∥x轴，AD＝BC，且A(0，3)，C(5，－1)，D(7，3)，求四边形ABCD的面积．
[解] ∵A(0，3)，D(7，3)，
∴AD∥x轴，AD＝7，
∵BC∥x轴，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵A(0，3)，C(5，－1)，
∴AD与BC之间的距离为3－(－1)＝4，
∴四边形ABCD的面积为4×7＝28．
2．如图，已知A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)．
(1)求点C到x轴的距离；
(2)求△ABC的面积．
[解] (1)∵C(－1，－3)，
∴|－3|＝3，
∴点C到x轴的距离为3．
(2)∵A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)，
∴AB＝4－(－2)＝6，点C到边AB的距离为3－(－3)＝6，
∴△ABC的面积为6×6÷2＝18．
模型二 用分割法求不规则图形的面积
模型展示
如图，S四边形AOBC＝S梯形OBCD＋S△ACD，
S四边形ABCD＝S△ADE＋S△BCF＋S梯形EFCD．
结论2：一般从图形的某个顶点向坐标轴作垂线，把图形分割成几个规则图形，再求几个规则图形面积的和．
【典例2】 如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为(3，0)，(1，)，(0，1)，求四边形OABC的面积．(用两种方法求)
[解] 法一：如图，连接OB，
S四边形OABC＝S△OAB＋S△OBC＝×3××1×1＝．
法二：如图，作BD⊥y轴于D，
S四边形OABC＝S四边形OABD－S△BCD＝(1＋3)×÷2－×(－1)×1
＝2
＝．
[跟踪训练]
3．(2024·内蒙古包头)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(1，2)，B(3，3)，C(5，0)，则四边形OABC的面积为( )
A．14 B．11 C．10 D．9
D [过A点作AE⊥x轴于E，过B点作BF⊥x轴于F，如图，
S四边形OABC＝S△AOE＋S梯形ABFE＋S△BCF
＝×1×2＋×(3＋2)×(3－1)＋×(5－3)×3＝9．
故选D．]
4．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD的顶点A的坐标为(－2，－1)，求四边形ABCD的面积．
[解] ∵四边形ABCD的顶点A的坐标为(－2，－1)，
∴B(2，－1)，C(4，3)，D(0，4)，
∴S四边形ABCD＝S△ADE＋S矩形BEFG＋S△DFC＋S△BGC
＝×2×5＋4×2＋×4×1＋×2×4
＝19．
模型三 用补形法求不规则图形的面积
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结论3：一般从图形的某个顶点向坐标轴作垂线，把图形补成规则图形，再求几个规则图形面积的和或差．
【典例3】 已知：A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)．
(1)在坐标系中描出各点，画出△ABC．
(2)求△ABC的面积．
[解] (1)如图所示．
(2)过点C向x，y轴作垂线，垂足分别为D，E．
∴S四边形DOEC＝3×4＝12，S△BCD＝×2×3＝3，S△ACE＝×2×4＝4，S△AOB＝×2×1＝1．
∴S△ABC＝S四边形DOEC－S△ACE－S△BCD－S△AOB
＝12－4－3－1＝4．
[跟踪训练]
5．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(5，0)，(2，6)，过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD＝2AD，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点D交线段BC于点E，求四边形ODBE的面积．
[解] 过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图所示．
∵点A(5，0)，B(2，6)，BC∥x轴，∠COM＝90°，
∴四边形OMBC为矩形，
∴BC＝OM＝2，OC＝MB＝6，
∴AM＝OA－OM＝5－2＝3，
∵BD＝2AD，
∴AD∶AB＝1∶3，
∵BM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴BM∥DN，
∴△ADN∽△ABM，
∴DN∶BM＝AN∶AM＝AD∶AB，
即DN∶6＝AN∶3＝1∶3，
∴DN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA－AN＝5－1＝4，
∴点D的坐标为(4，2)，
∵反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点D，
∴k＝8，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：
S△OCE＝×8＝4，
∵S梯形OABC＝(BC＋OA)·OC＝×(2＋5)×6＝21，S△AOD＝OA·DN＝×5×2＝5，
∴S四边形ODBE＝S梯形OABC－S△OCE－S△AOD＝21－4－5＝12．
模型四 根据已知图形的面积利用逆向思维求点的坐标
结论4：已知坐标系中图形的面积，求点的坐标时，可将该点的横(纵)坐标转化为到坐标轴的距离，利用面积来解决线段数量关系，从而求出点的坐标．
【典例4】 如图，已知平面直角坐标系．
(1)描出点A(－3，0)，点B(2，0)；
(2)如果△ABC的面积为10，且点C在y轴上，试确定点C的坐标，并画出△ABC．
[解] (1)点A，点B如图所示．
(2)设点C(0，m)，
∵S△ABC＝10，
∴·|m|·5＝10，
解得m＝4或m＝－4，
∴点C的坐标为(0，4)或(0，－4)，
∴△ABC如图所示．
[跟踪训练]
6．如图，在平面直角坐标系中，点A(a，0)为x轴上一点，点B(0，b)为y轴上一点，其中a，b满足：|a＋3|＋＝0．
(1)求点A，B的坐标；
(2)点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
(3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)∵|a＋3|＋＝0，
∴a＋3＝0，b－4＝0，
∴a＝－3，b＝4，
∴A(－3，0)，B(0，4)．
(2)∵A(－3，0)，
∴OA＝3，
∵△ABC的面积为12，即S△ABC＝BC·OA＝×3×BC＝12，
∴BC＝8，
∵B(0，4)，点C为y轴负半轴上一点，
∴OB＝4，
∴OC＝4，
∴C(0，－4)．
(3)存在．
∵△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，OA＝3，
∴BC边上的高OP为，
∴点P的坐标或．(共32张PPT)
微专题一 平面直角坐标系中的面积
第三章 函数
模型展示
模型一 规则图形有边与坐标轴平行或与坐标轴重合
结论1：将该边作为底，直接将点的坐标转化为底边长及高，进而计算图形面积．
【典例1】 如图，在平面直角坐标系中，O是原点，小虫甲从点A(0，10)处开始，以每秒3个单位长度的速度沿y轴向下爬行，同时小虫乙从点B(8，0)处开始，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左爬行，2 s后，它们分别到达点A′，B′．
(1)求出点A′，B′的坐标；
(2)求四边形AA′B′B的面积．
[跟踪训练]
1．如图，在平面直角坐标系中，BC∥x轴，AD＝BC，且A(0，3)，C(5，－1)，D(7，3)，求四边形ABCD的面积．
[解] ∵A(0，3)，D(7，3)，
∴AD∥x轴，AD＝7，
∵BC∥x轴，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵A(0，3)，C(5，－1)，
∴AD与BC之间的距离为3－(－1)＝4，
∴四边形ABCD的面积为4×7＝28．
2．如图，已知A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)．
(1)求点C到x轴的距离；
(2)求△ABC的面积．
[解] (1)∵C(－1，－3)，
∴|－3|＝3，
∴点C到x轴的距离为3．
(2)∵A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)，
∴AB＝4－(－2)＝6，点C到边AB的距离为3－(－3)＝6，
∴△ABC的面积为6×6÷2＝18．
模型展示
如图，S四边形AOBC＝S梯形OBCD＋S△ACD，
S四边形ABCD＝S△ADE＋S△BCF＋S梯形EFCD．
模型二 用分割法求不规则图形的面积
结论2：一般从图形的某个顶点向坐标轴作垂线，把图形分割成几个规则图形，再求几个规则图形面积的和．
[解] 法一：如图，连接OB，
法二：如图，作BD⊥y轴于D，
[跟踪训练]
3．(2024·内蒙古包头)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(1，2)，B(3，3)，C(5，0)，则四边形OABC的面积为( )
A．14 B．11 C．10 D．9
√
D [过A点作AE⊥x轴于E，过B点作BF⊥x轴于F，如图，
4．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD的顶点A的坐标为(－2，－1)，求四边形ABCD的面积．
[解] ∵四边形ABCD的顶点A的坐标为(－2，－1)，
模型展示
模型三 用补形法求不规则图形的面积
结论3：一般从图形的某个顶点向坐标轴作垂线，把图形补成规则图形，再求几个规则图形面积的和或差．
【典例3】 已知：A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)．
(1)在坐标系中描出各点，画出△ABC．
(2)求△ABC的面积．
[解] (1)如图所示．
[解] 过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图所示．
∵点A(5，0)，B(2，6)，BC∥x轴，∠COM＝90°，
∴四边形OMBC为矩形，
∴BC＝OM＝2，OC＝MB＝6，
∴AM＝OA－OM＝5－2＝3，
∵BD＝2AD，
∴AD∶AB＝1∶3，
结论4：已知坐标系中图形的面积，求点的坐标时，可将该点的横(纵)坐标转化为到坐标轴的距离，利用面积来解决线段数量关系，从而求出点的坐标．
模型四 根据已知图形的面积利用逆向思维求点的坐标
【典例4】 如图，已知平面直角坐标系．
(1)描出点A(－3，0)，点B(2，0)；
(2)如果△ABC的面积为10，且点C在y轴上，试确定点C的坐标，并画出△ABC．
(1)求点A，B的坐标；
(2)点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
(3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
