微专题二 反比例函数中的面积
模型一 一点一垂线
模型展示
特点：三角形的一个顶点在双曲线上，另两个顶点在坐标轴上，且有一边平行于坐标轴．
结论1：①②由k的几何意义得S阴影＝，③④⑤⑥⑦⑧根据同底等高的三角形面积相等得S阴影＝．
【典例1】 (2024·齐齐哈尔)如图，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，S ABCO＝3，则实数k的值为________．
－6 [如图，延长AB交y轴于点D，
∵B(－1，3)，S ABCO＝3，
∴OC·OD＝3OC＝3，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB＝OC＝1，
∴AD＝2，
∴A(－2，3)，
∵点A在反比例函数图象上，
∴k＝－6．]
[跟踪训练]
1．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝(k为常数，k＞0，x＞0)的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为，则k的值( )
A． B． C． D．
A [△AOB的面积为＝＝，
所以k＝．故选A．]
2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数y＝(x>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接OA，OB交AC于点E，若AE＝CE，四边形BECD的面积为3，则k的值为( )
A．6 B．9 C．12 D．15
C [∵点A，B在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴S△AOC＝S△BOD＝k，
又∵S四边形BECD＝S△BOD－S△EOC，S△AOE＝S△AOC－S△EOC，
∴S△AOE＝S四边形BECD＝3，
∵AE＝CE，
∴S△AOC＝2S△AOE＝2×3＝6，
∴k＝2S△AOC＝2×6＝12．故选C．]
模型二 两点一垂线
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特点：三角形的两个顶点在双曲线的两个分支上，一边过原点，一边平行于坐标轴．
结论2：根据双曲线的中心对称性，结合k的几何意义得S阴影＝|k|．
【典例2】 如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM＝4，则k的值为( )
A．－4 B．4
C．－8 D．8
A [∵直线y＝mx与双曲线y＝交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴S△OAM＝S△OBM，
而S△ABM＝4，
∴S△OAM＝2，
∴|k|＝2．
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴k＜0，
∴k＝－4．故选A．]
[跟踪训练]
3．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝相交于A，B两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，连接BC，则△ABC面积为________．
2 [∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A，B两点，
∴A，B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴S△BOC＝S△AOC，
∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，
∴S△AOC＝|k|＝×2＝1，
∴S△BOC＝S△AOC＝1，
∴S△ABC＝S△BOC＋S△AOC＝2，故答案为2．]
模型三 两点两垂线
模型展示
特点：(1)直角三角形的两锐角顶点在双曲线的两个分支上，斜边过原点，两直角边平行于坐标轴．
(2)平行四边形的两个对角顶点在双曲线上，一条对角线在坐标轴上，另一条对角线过原点．
结论3：S阴影＝2|k|．
【典例3】 如图，在 ABCD中，AB∥x轴，点B，D在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，若 ABCD的面积是8，则k的值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
B [连接OB，
∵ ABCD的面积是8，
∴S△ABC＝S ABCD＝×8＝4，AB＝CD，AB∥CD，
∴点B，D横坐标互为相反数，
∴点B，D纵坐标也互为相反数，
又∵AB∥x轴，AB∥CD，
∴OA＝OC，
∴S△AOB＝S△ABC＝2，
∴k＝2S△AOB＝S△ABC＝4．
故选B．]
[跟踪训练]
4．如图，矩形ABCD的中心位于直角坐标系的坐标原点O，其面积为8，反比例函数y＝的图象经过点D，则m的值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
A [∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，
矩形ABCD的面积是8，
设D(x，y)，则4xy＝8，
即xy＝2，
又反比例函数的解析式为y＝，
∴m＝2．
故选A．]
5．如图，过原点O的直线交反比例函数y＝的图象于A，B两点，分别过A，B两点作x轴、y轴的垂线，相交于C点，已知△ABC的面积等于4，则k的值为( )
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
B [由题意可知，A与B关于原点对称，且k＜0，
故可设A(a，b)，B(－a，－b)，
设BC与y轴交于点D，AC与x轴交于点E，如图，
∴△AOE与△BOD的面积都是－，
∵矩形OECD的面积为|ab|＝－k，
△ABC的面积是4，
∴2×－k＝4，
∴k＝－2．
故选B．]
模型四 两点与原点
基本图形 作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，S△OAM＝S直角梯形MEFB，S△AOB＝S直角梯形AEFB
S△ABO＝S△ACO＋S△COD＋S△BDO
图形特征 (1)反比例函数与一次函数图象的两个交点在同支上，三角形的面积转化为对应梯形的面积； (2)反比例函数与一次函数图象的两个交点在异支上，三角形的面积转化为多个小三角形的面积之和
解题方法 符合此特征的图形，利用转换法或和差法解题
【典例4】 (2023·张家界)如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝(k＞0)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
C [∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为(a，b)，
∵矩形OABC的对称中心M，
∴延长OM恰好经过点B，M，
∵点D在AB上，且 AD＝AB，
∴D，∴BD＝a，
∴S△BDM＝BD·h＝a×＝ab，
∵D在反比例函数的图象上，∴ab＝k，
∵S△ODM＝S△AOB－S△AOD－S△BDM＝ab－k－ab＝3，∴ab＝16，
∴k＝ab＝4．故选C．]
[跟踪训练]
6．如图，已知一次函数y＝x＋4的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，若△ABO的面积等于8，则k的值是________．
－6 [如图，直线AB交x轴于点D，交y轴于点C，作BF⊥y轴，垂足为F，作AE⊥CD，垂足为点E，连接EF，
易得四边形BDEF和CAEF都是平行四边形，
∴DE＝BF，AE＝CF，
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB(SAS)，
∴AD＝BC，
在直线y＝x＋4中，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝－8，
∴C(0，4)，D(－8，0)，
∴S△COD＝×4×8＝16，
∴S△ADO＝S△BOC＝4，
∵S△AOC＝·OC·|xA|＝12，
∴×4×|xA|＝12，解得xA＝－6，xA＝6(舍去)，
∵S△ADO＝×OD×yA＝4，即×8×yA＝4，解得yA＝1，
∴A(－6，1)，
∵点A(－6，1)在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝－6．]
模型五 与两个双曲线有关的面积(双k模型)
模型展示
结论4：①S△ABC＝S△OBC＝，
②S△AOB＝．
【典例5】 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝(x<0)和反比例函数y＝(x<0)的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则△AOB的面积为( )
A． B．
C．m－n D．－m＋n
B [根据两个反比例函数图象可知，m＜0，n＞0，
由反比例函数k值几何意义可得，S△AOB＝|m|＋|n|＝．故选B．]
[跟踪训练]
7．如图，点A在反比例函数y＝(x<0)的图象上，点B在反比例函数y＝－(x>0)的图象上，连接AB，AB与y轴交于点C，且AB∥x轴，D是x轴正半轴上一点．连接AD，BD，则△ABD的面积为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
B [如图，过点A作AE⊥x轴交x轴于点E，过点B作BF⊥x轴交x轴于点F，
∵点A在反比例函数y＝(x<0)的图象上，点B在反比例函数y＝－(x>0)的图象上，
∴S矩形ACOE＝2，S矩形OCBF＝4，
则S矩形ABFE＝6，∴AB·AE＝6，
∴S△ABD＝AB·AE＝3．故选B．]
8．如图，点A是函数y＝－(x<0)的图象上一点，AC⊥x轴于点C，与函数y＝－(x<0)的图象交于点B，连接OA，OB，则△OAB的面积为________．
2 [∵点A在反比例函数y＝－(x＜0)的图象上，且AC⊥x轴，
∴S△ACO＝＝3．
同理可得，S△BCO＝＝1，
∴S△OAB＝S△ACO－S△BCO＝3－1＝2．](共35张PPT)
微专题二 反比例函数中的面积
第三章 函数
模型展示
模型一 一点一垂线
－6
－6 [如图，延长AB交y轴于点D，
∵B(－1，3)，S ABCO＝3，
∴OC·OD＝3OC＝3，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB＝OC＝1，
∴AD＝2，
∴A(－2，3)，
∵点A在反比例函数图象上，
∴k＝－6．]
√
A．6 B．9 C．12 D．15
√
模型展示
模型二 两点一垂线
特点：三角形的两个顶点在双曲线的两个分支上，一边过原点，一边平行于坐标轴．
结论2：根据双曲线的中心对称性，结合k的几何意义得S阴影＝|k|．
A．－4 B．4
C．－8 D．8
√
2
模型展示
模型三 两点两垂线
特点：(1)直角三角形的两锐角顶点在双曲线的两个分支上，斜边过原点，两直角边平行于坐标轴．
(2)平行四边形的两个对角顶点在双曲线上，一条对角线在坐标轴上，另一条对角线过原点．
结论3：S阴影＝2|k|．
A．2 B．4
C．6 D．8
√
A．2 B．4
C．6 D．8
√
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
√
基本图形 作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，S△OAM＝S直角梯形MEFB，S△AOB＝S直角梯形AEFB
S△ABO＝S△ACO＋S△COD＋S△BDO
模型四 两点与原点
图形特征 (1)反比例函数与一次函数图象的两个交点在同支上，三角形的面积转化为对应梯形的面积；
(2)反比例函数与一次函数图象的两个交点在异支上，三角形的面积转化为多个小三角形的面积之和
解题方法 符合此特征的图形，利用转换法或和差法解题
A．2 B．3 C．4 D．5
√
－6
模型展示
模型五 与两个双曲线有关的面积(双k模型)
√
A．2 B．3 C．4 D．6
√
2
