微专题三 全等三角形模型的应用
模型一 利用中线构造全等模型
模型展示
类型1：直接倍长中线(图1)．延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接三角形的另外一个顶点．
类型2：间接倍长中线(图2)．从三角形另外两个顶点向中线作垂线段，利用“AAS”构造全等三角形．
结论：“倍长中线(线段)，构造全等”．
【典例1】 佳佳同学遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
(1)请回答：
①为什么△BED≌△CAD？写出推理过程；
②求AD的取值范围．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，点M在AC上，连接BM交AD于点N，且∠MAN＝∠BND．求证：BN＝MN＋MC．
[解] (1)①∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
在△BED和△CAD中，
∴△BED≌△CAD(SAS)．
②∵△BED≌△CAD，
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，
∴6－4＜2AD＜6＋4，
∴1＜AD＜5．
(2)证明：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
由(1)可知，△BED≌△CAD，
∴BE＝AC＝AM＋MC，∠E＝∠DAC，
∵∠MAN＝∠BND，∠MNA＝∠BND，
∴∠MAN＝∠MNA，
∴AM＝MN，∠E＝∠BND，
∴BE＝BN，
∴BN＝MN＋MC．
[跟踪训练]
1．(典例1变式)如图，点D是△ABC的边BC上的中点，AB＝6，AD＝4，则AC的取值范围为( )
A．2＜AC＜14 B．2＜AC＜12
C．1＜AC＜4 D．1＜AC＜8
A [延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
则AE＝2AD＝8，
∵AD是边BC上的中线，
∴CD＝BD，
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE＝AB＝6，
在△ACE中，AE－EC＜AC＜AE＋EC，
即8－6＜AC＜8＋6，
∴2＜AC＜14，
故选A．]
模型二 截长补短模型
模型展示
如图1，若证明线段AB，CD，EF之间满足EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法．
截长法：如图2，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可．
补短法：如图3，延长AB至点H，使AH＝EF，再证明BH＝CD即可．
【典例2】 如图，已知AC∥BD，EA，EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD．
[证明] 法一：如图在AB上截取AF＝AC，连接EF．
在△ACE和△AFE中，
∴△ACE≌△AFE(SAS)，
∴∠5＝∠C．
∵AC∥BD，
∴∠C＋∠D＝180°，
∵∠5＋∠6＝180°，
∴∠6＝∠D，
在△EFB和△BDE中，
∴△EFB≌△EDB(AAS)，
∴FB＝DB，
∴AC＋BD＝AF＋FB＝AB．
法二：如图，延长BE与AC的延长线相交于点F．
∵AC∥BD，
∴∠F＝∠4，
∵∠3＝∠4，
∴∠F＝∠3．
在△AEF和△AEB中，
∴△AEF≌△AEB(AAS)，
∴AB＝AF，BE＝FE．
在△BED和△FEC中，
∴△BED≌△FEC(ASA)，
∴BD＝FC，
∴AB＝AF＝AC＋CF＝AC＋BD．
[跟踪训练]
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠CAB．
(1)如图1，若∠ACB＝90°，求证：AB＝AC＋CD；
(2)如图2，若AB＝AC＋BD，求∠ACB的度数；
(3)如图3，若∠ACB＝100°，求证：AB＝AD＋CD．
[证明] (1)如图1，作DH⊥AB于点H．
在△ADC与△ADH中，
∴△ADC≌△ADH(AAS)，
∴AC＝AH，DC＝DH．
∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠DHB＝90°，
∴∠HDB＝∠B＝45°，
∴HD＝HB，
∴BH＝CD，
∴AB＝AH＋BH＝AC＋CD．
(2)设∠ACB＝α，∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝90°－α，
在AB上截取AK＝AC，连接DK，如图2．
∵AB＝AC＋BD，AB＝AK＋BK，
∴BK＝BD，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴在△CAD和△KAD中，
，
∴△CAD≌△KAD(SAS)，
∴∠ACD＝∠AKD＝α，
∴∠BKD＝180°－α．
∵BK＝BD，
∴∠BDK＝180°－α，
在△BDK中，
180°－α＋180°－α＋90°－α＝180°，
∴α＝108°，
∴∠ACB＝108°．
(3)在AB上截取AH＝AD，连接DH，如图3．
∵∠ACB＝100°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠HAD＝∠CAD＝20°，
∴∠ADH＝∠AHD＝80°，
在AB上截取AK＝AC，连接DK，
由(2)得，△CAD≌△KAD，
∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，
∴∠DKH＝80°＝∠DHK，
∴DK＝DH＝CD，
∵∠CBA＝40°，
∴∠BDH＝40°，
∴DH＝BH，
∴BH＝CD，
∵AB＝AH＋BH，
∴AB＝AD＋CD．
模型三 一线三等角模型
模型展示
“一线三等角”，也叫“K型图”或“M型图”．
(1)锐角型：△APC≌△BDP．
(2)钝角型：△APC≌△BDP．
(3)直角型(一线三垂直)：△ABC≌△CDE．
【典例3】 如图，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F分别是直线CD上的三点，且∠BEC＝∠CFA＝α，请判断EF，BE，AF三条线段之间有怎样的数量关系，并证明．
[解] EF＝BE＋AF，理由如下．
证明：∵∠BEC＝∠CFA＝∠α＝∠BCA，
∠BCA＋∠BCE＋∠ACF＝180°，
∠CFA＋∠CAF＋∠ACF＝180°，
∴∠BCE＝∠CAF，
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF(AAS)．
∴BE＝CF，EC＝FA，
∴EF＝EC＋CF＝BE＋AF．
[跟踪训练]
3．(情境题)某同学用10块高度都是5 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD(∠ABD＝90°，BD＝BA)，点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合．
(1)求证：△ACB≌△BED；
(2)求两堵木墙之间的距离．
[解] (1)证明：由题意得，AB＝BD，∠ABD＝90°，AC⊥CE，DE⊥CE，
∴∠BED＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE＋∠DBE＝90°，∠DBE＋∠ABC＝90°，
∴∠BDE＝∠ABC，
在△ACB和△BED中，
∴△ACB≌△BED(AAS)．
(2)由题意得，AC＝5×3＝15(cm)，DE＝7×5＝35(cm)，
∵△ACB≌△BED，
∴DE＝BC＝35 cm，BE＝AC＝15 cm，
∴CE＝BE＋BC＝50(cm)，
∴两堵木墙之间的距离为50 cm．
模型四 手拉手模型
模型展示
常见的有以下几种类型：
(1)手拉手全等(△ABP≌△A′B′P′)；
(2)手拉手线相等(AB＝A′B′)．
【典例4】 在△ABC中，AB＝AC，P是任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP．
(1)如图1，若点P在△ABC的内部，则BQ与CP相等吗？若相等，请给出证明．
(2)如图2，若点P在△ABC的外部，则BQ与CP相等吗？若相等，请给出证明．
[解] (1)BQ＝CP，证明如下：
∵∠QAP＝∠BAC，
∴∠QAP－∠BAP＝∠BAC－∠BAP，即∠QAB＝∠PAC，
∵将AP绕点A顺时针旋转至AQ，
∴AQ＝AP，
在△AQB和△APC中，
∴△AQB≌△APC(SAS)，
∴BQ＝CP．
(2)BQ＝CP，证明如下：
∵∠QAP＝∠BAC，
∴∠QAP＋∠BAP＝∠BAC＋∠BAP，
即∠QAB＝∠PAC．
∵将AP绕点A顺时针旋转至AQ，
∴AQ＝AP，
在△AQB和△APC中，
∴△AQB≌△APC(SAS)，
∴BQ＝CP．
[跟踪训练]
4．如图，已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
(1)如图1，连接AM，BN，求证：△AOM≌△BON．
(2)若将△MON绕点O顺时针旋转，如图2，当点N恰好在AB边上时．求证：BN2＋AN2＝2ON2．
[证明] (1)∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠MON＋∠AON＝∠AOB＋∠AON，
即∠AOM＝∠BON．
∵△MON和△AOB是等腰直角三角形，
∴OM＝ON，OA＝OB．
∴△AOM≌△BON(SAS)．
(2)如图，连接AM．
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠MON－∠AON＝∠AOB－∠AON，
即∠AOM＝∠BON．
∵△MON和△AOB是等腰直角三角形，
∴OM＝ON，OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°．
∴△AOM≌△BON(SAS)．
∴∠MAO＝∠OBA＝45°，AM＝BN．
∴∠MAN＝90°．∴AM2＋AN2＝MN2．
∵△MON是等腰直角三角形，
∴MN2＝2ON2．∴BN2＋AN2＝2ON2．(共41张PPT)
微专题三 全等三角形模型的应用
第四章 几何初步与三角形
模型展示
类型1：直接倍长中线(图1)．延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接三角形的另外一个顶点．
模型一 利用中线构造全等模型
类型2：间接倍长中线(图2)．从三角形另外两个顶点向中线作垂线段，利用“AAS”构造全等三角形．
结论：“倍长中线(线段)，构造全等”．
【典例1】 佳佳同学遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
(1)请回答：
①为什么△BED≌△CAD？写出推理过程；
②求AD的取值范围．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，点M在AC上，连接BM交AD于点N，且∠MAN＝∠BND．求证：BN＝MN＋MC．
②∵△BED≌△CAD，
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，
∴6－4＜2AD＜6＋4，
∴1＜AD＜5．
(2)证明：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
由(1)可知，△BED≌△CAD，
∴BE＝AC＝AM＋MC，∠E＝∠DAC，
∵∠MAN＝∠BND，∠MNA＝∠BND，
∴∠MAN＝∠MNA，
∴AM＝MN，∠E＝∠BND，
∴BE＝BN，
∴BN＝MN＋MC．
[跟踪训练]
1．(典例1变式)如图，点D是△ABC的边BC上的中点，AB＝6，AD＝4，则AC的取值范围为( )
A．2＜AC＜14 B．2＜AC＜12
C．1＜AC＜4 D．1＜AC＜8
√
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE＝AB＝6，
在△ACE中，AE－EC＜AC＜AE＋EC，
即8－6＜AC＜8＋6，
∴2＜AC＜14，
故选A．]
模型展示
如图1，若证明线段AB，CD，EF之间满足EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法．
模型二 截长补短模型
截长法：如图2，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可．
补短法：如图3，延长AB至点H，使AH＝EF，再证明BH＝CD即可．
【典例2】 如图，已知AC∥BD，EA，EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD．
[跟踪训练]
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠CAB．
(1)如图1，若∠ACB＝90°，求证：AB＝AC＋CD；
(2)如图2，若AB＝AC＋BD，求∠ACB的度数；
(3)如图3，若∠ACB＝100°，求证：AB＝AD＋CD．
∵∠DHB＝90°，
∴∠HDB＝∠B＝45°，
∴HD＝HB，
∴BH＝CD，
∴AB＝AH＋BH＝AC＋CD．
(3)在AB上截取AH＝AD，连接DH，如图3．
∵∠ACB＝100°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠HAD＝∠CAD＝20°，
∴∠ADH＝∠AHD＝80°，
在AB上截取AK＝AC，连接DK，
由(2)得，△CAD≌△KAD，
∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，
∴∠DKH＝80°＝∠DHK，
∴DK＝DH＝CD，
∵∠CBA＝40°，
∴∠BDH＝40°，
∴DH＝BH，
∴BH＝CD，
∵AB＝AH＋BH，
∴AB＝AD＋CD．
模型展示
“一线三等角”，也叫“K型图”或“M型图”．
(1)锐角型：△APC≌△BDP．
模型三 一线三等角模型
(2)钝角型：△APC≌△BDP．
(3)直角型(一线三垂直)：△ABC≌△CDE．
【典例3】 如图，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F分别是直线CD上的三点，且∠BEC＝∠CFA＝α，请判断EF，BE，AF三条线段之间有怎样的数量关系，并证明．
[跟踪训练]
3．(情境题)某同学用10块高度都是5 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD(∠ABD＝90°，BD＝BA)，点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合．
(1)求证：△ACB≌△BED；
(2)求两堵木墙之间的距离．
(2)由题意得，AC＝5×3＝15(cm)，DE＝7×5＝35(cm)，
∵△ACB≌△BED，
∴DE＝BC＝35 cm，BE＝AC＝15 cm，
∴CE＝BE＋BC＝50(cm)，
∴两堵木墙之间的距离为50 cm．
模型展示
常见的有以下几种类型：
(1)手拉手全等(△ABP≌△A′B′P′)；
(2)手拉手线相等(AB＝A′B′)．
模型四 手拉手模型
【典例4】 在△ABC中，AB＝AC，P是任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP．
(1)如图1，若点P在△ABC的内部，则BQ与CP相等吗？若相等，请给出证明．
(2)如图2，若点P在△ABC的外部，则
BQ与CP相等吗？若相等，请给出证
明．
[解] (1)BQ＝CP，证明如下：
∵∠QAP＝∠BAC，
∴∠QAP－∠BAP＝∠BAC－∠BAP，即∠QAB＝∠PAC，
∵将AP绕点A顺时针旋转至AQ，
∴AQ＝AP，
(2)BQ＝CP，证明如下：
∵∠QAP＝∠BAC，
∴∠QAP＋∠BAP＝∠BAC＋∠BAP，
即∠QAB＝∠PAC．
∵将AP绕点A顺时针旋转至AQ，
∴AQ＝AP，
[证明] (1)∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠MON＋∠AON＝∠AOB＋∠AON，
即∠AOM＝∠BON．
∵△MON和△AOB是等腰直角三角形，
∴OM＝ON，OA＝OB．
∴△AOM≌△BON(SAS)．
(2)如图，连接AM．
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠MON－∠AON＝∠AOB－∠AON，
即∠AOM＝∠BON．
∵△MON和△AOB是等腰直角三角形，
∴OM＝ON，OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°．
∴△AOM≌△BON(SAS)．
∴∠MAO＝∠OBA＝45°，AM＝BN．
∴∠MAN＝90°．∴AM2＋AN2＝MN2．
∵△MON是等腰直角三角形，
∴MN2＝2ON2．∴BN2＋AN2＝2ON2．
