微专题八 线段最值模型的应用
模型一 将军饮马问题
模型展示
通过轴对称来确定，即作出其中一点B关于直线l的对称点B1，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．此时PA＋PB最短．
【典例1】 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12．在AB，AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ，再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若点M，N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM＋MN的最小值为( )
A．9.6 B．10 C．12 D．12.8
A [过点C作CE⊥AB于点E，交AD于点F，
由作图过程可知，AD为∠BAC的平分线，
∵AB＝AC，
∴AD垂直平分BC，
∴BD＝CD＝BC＝6，∠ADB＝90°，BF＝CF．
当点M与点F重合，点N与点E重合时，BM＋MN＝CF＋EF＝CE，为最小值．
在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝＝＝8，
∵S△ABC＝BC·AD＝AB·CE，
∴×12×8＝×10×CE，
∴CE＝9.6，
∴BM＋MN的最小值为9.6．
故选A．]
[跟踪训练]
1．(2024·蒙阴二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC的面积为10，则BM＋MD长度的最小值为( )
A． B．3 C．4 D．5
D [连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，
由题意得，直线EF为线段AB的垂直平分线，
∴AG＝BG，EF⊥AB，
∴当点M与点N重合时，BM＋MD长度最小，最小值即为AD的长．
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC＝4，△ABC的面积为10，
∴×4×AD＝10，
解得AD＝5．
故选D．]
2．(2024·四川成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3，0)，B(0，2)，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为________．
5 [取点A关于直线l的对称点A′，连接A′O交直线l于点C，连接AC，
则可知AC＝A′C，A′A⊥l，
∴PO＋PA＝PO＋PA′≥A′O，
即当O，P，A′三点共线时，PO＋PA的最小值为A′O，
∵直线l垂直于y轴，
∴A′A⊥x轴，
∵A(3，0)，B(0，2)，
∴AO＝3，AA′＝4，
∴在Rt△A′AO中，
A′O＝＝＝5，
故答案为5．]
模型二 两动点找三角形周长最小值问题
模型展示
M，N分别为OA和OB上的两动点，作点P关于OA, OB的对称点，然后连接两个对称点，与OA，OB的交点分别为M，N，此时△PMN有最小周长，周长最小值为P′P″的长度．
【典例2】 在草原上有两条交叉且笔直的公路OA，OB，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，∠AOB＝30°，OP＝6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M，N，若存在M，N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是________．
6.5 [作P关于OB的对称点P′，作P关于OA的对称点P″，连接P′P″，
分别交OB，OA于点N，M，
则OP＝OP′＝OP″，
则PM＋PN＋MN＝P″M＋P′N＋MN≥P′P″，
∵∠AOB＝30°，
∴∠P′OP″＝60°，
∴△P′P″O是等边三角形，
∴P′P″＝OP＝6.5，
故答案为6.5．]
[跟踪训练]
3．(典例2变式)(2024·黑龙江绥化)如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝________．
80° [作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1P，P2P，
∵P，P1关于OA对称，
∴∠P1OP＝2∠MOP，OP1＝OP，P1M＝PM，∠OP1M＝∠OPM，
同理，∠P2OP＝2∠NOP，OP＝OP2，∠OP2N＝∠OPN，
∴∠P1OP2＝∠P1OP＋∠P2OP＝2(∠MOP＋∠NOP)＝2∠AOB＝100°，OP1＝OP2＝OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N＝∠OP1M＝40°，
∴∠MPN＝∠MPO＋∠NPO＝∠OP2N＋∠OP1M＝80°，
故答案为80°．]
4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
B [连接AC，易知AC过点O．⊙O的面积为2π，则半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM，CM，则点M，N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长为AM＋AN＋MN＝AA′＋1，为最小值，
又A′A＝＝3，
则△AMN的周长的最小值为3＋1＝4．故选B．]
模型三 两动点找三角形最小值问题
模型展示
M，N分别为OA和OB上两动点，作点P关于OA的对称点P′，过点P′作P′N⊥OB，垂足为点N，交OA于点M，此时PM＋MN的值最小．
【典例3】 如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点F，P分别为BC，AC边上的动点，则PE＋PF的最小值为________．
4.8 [∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，
∴AD＝＝5．
作E关于AC的对称点E′，过E′作AD的垂线交BC于点F′，则E′F′的长度即为PE＋PF的最小值，
∵S菱形ABCD＝AC·BD＝AD·E′F′，
∴AC·BD＝2AD·E′F′，
即E′F′＝＝＝4.8，
故答案为4.8．]
[跟踪训练]
5．(2024·任城区模拟)如图，已知等边△ABC的边长为4，P，Q，R分别为边AB，BC，AC上的动点，则PR＋QR的最小值是( )
A．2 B．2
C．2 D．3
C [如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR＝ER，当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR＋QR的最小值是PE的长，
∵等边△ABC的边长为4，
∴高PE为2，
∴PR＋QR的最小值是2．
故选C．]
6．(2024·巨野二模)如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，点E在AD上，＝，点F为AB的中点，点G，H为BD上的动点，GH＝1，连接FH，EG，则FH＋EG的最小值为( )
A．4 B． C． D．5
B [∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，OB＝OD，OC＝OA，
∵AC＝6，BD＝8，
∴OA＝3，OB＝4．
如图所示，作F关于BD的对称点F′，作EE′⊥OA交OA于E′，连接E′F′交BD于点H，过点E作EG∥E′H，作F′I⊥AC于点I，
∵EE′⊥OA，
∴EE′∥OD，即EE′∥HG，
∵EG∥E′H，
∴四边形EE′HG是平行四边形，
∴△AE′E∽△AOD，
∴＝＝＝，
∴E′E＝1，
∵F是AB的中点，
∴F′是BC的中点，
∵F′I⊥AC，
∴F′I∥BO，
∴△CIF′∽△COB，
∴＝＝＝，
∴OI＝IC＝OC＝，F′I＝2且＝，
∴AE′＝×3＝，
∴E′O＝3－＝，E′I＝＝，
∵F′I＝2，
∴E′F′＝＝，
故FH＋EG的最小值为，
故选B．]
模型四 两定点一定长求最短问题
模型展示
将点A沿着与直线l平行的方向平移一个定长PQ至点A′，作点A′关于直线l的对称点A″，连接A″B交直线l于点Q，此时AP＋PQ＋QB的值最小．
【典例4】 如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝8，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM＋ON的最小值是________．
2 [过点O作OH∥BC，且令OH＝2，连接NH，作点O关于直线BC的对称点K，连接OK，KH，NK．
∵OH∥MN，OH＝MN＝2，
∴四边形OMNH是平行四边形．
∴OM＝NH．
∴OM＋ON＝NH＋ON．
∵点O关于BC的对称点是点K，
∴ON＝NK．
∴OM＋ON＝NH＋ON＝NH＋NK．
∵NH＋NK≥HK，
∴当H，N，K三点共线时，OM＋ON有最小值，最小值为HK的长．
∵OH∥BC，点O关于BC的对称点是点K，
∴∠KOH＝90°．
∵O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，点O关于BC的对称点是点K，
∴OK＝AB＝8．
∵OH＝2，∠KOH＝90°，
∴HK＝＝2．
∴OM＋ON的最小值是2．]
[对点演练]
7．如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是( )
A．8.5 B．9 C．12 D．12.5
B [如图所示，设EF交BC于点D，连接AD，CP，
∵EF垂直平分AC，
∴DA＝DC，PA＝PC，
∵△APB的周长为AB＋AP＋BP＝AB＋BP＋PC≥AB＋BC，
当P点与D点重合时，△APB的周长最小，最小值为AB＋BC＝9．
故选B．]
8．(2024·东昌府三模)如图，四边形ABCD是矩形，点G是AD边上任意一点(不与点A，D重合)，连接GB，GC．点E，F分别是GC，GB的中点，连接EF，AF，DE，过点F作FH∥DE，交AD于点H．若AB∶AD＝2∶3，S△GBC＝12，则AF＋FH＋EF的最小值是( )
A．5 B．8 C．10 D．13
B [∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAH＝∠CDA＝90°，
∵AB∶AD＝2∶3，
∴设AB＝2x，AD＝3x，
∵S△GBC＝12，
∴BC·AB＝12，
∴×2x×3x＝12，
∴x＝2(负值舍去)，
∴AB＝4，BC＝6，
∵点E，F分别是GC，GB的中点，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴EF∥AD，
∵FH∥DE，
∴四边形DEFH是平行四边形，
∴FH＝DE，
∴AF＋FH＋EF＝AF＋DE＋EF，
∵AF＝BG，DE＝CG，
∴AF＋DE＋EF＝(BG＋CG＋BC)，
∴当△BCG的周长取最小值时，AF＋FH＋EF最小，
当点G是AD的中点，即CG＝BG时，CG＋BG最小，
∴AG＝DG＝3，
∴BG＝CG＝＝5，
∴AF＝DE＝BG＝，EF＝BC＝3，
∴AF＋FH＋EF的最小值是＋3＝8．
故选B．]
模型五 “胡不归”模型
模型展示
“胡不归”模型问题解题步骤如下：
1．将所求线段和改写为“BC＋AC”的形式，若>1，提取系数，转化为小于1的形式解决；
2．在AC的一侧，AB的异侧，构造一个角度α，使得sin α＝；
3．最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题．
【典例5】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心，3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP，BP，则AP＋BP的最小值为( )
A．7 B．4＋ C．5 D．2
C [如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM·CA，
∴＝，
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM∽△ACP，
∴＝＝，
∴PM＝PA，
∴AP＋BP＝PM＋PB≥BM，
在Rt△BCM中，∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM＝＝5，
∴AP＋BP≥5，
∴AP＋BP的最小值为5．
故选C．]
[对点演练]
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋3x－4与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，Q(0，2)，连接PQ，则PC＋PQ的最小值是( )
A．6 B．8
C．2 D．4
A [连接BC，过P作PH⊥BC，过Q作QH′⊥BC，
令y＝0，即x2＋3x－4＝0，
解得x＝－4或1，
∴A(1，0)，B(0，－4)，
C(－4，0)，
∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，
∴∠PCH＝45°，
∴PH＝PC sin 45°＝PC．
∴PC＋PQ＝＝(PQ＋PH)．
根据垂线段最短可知，PQ＋PH的最小值为QH′，
∵BQ＝OB＋OQ＝4＋2＝6，∠QBH′＝45°，
∴QH′＝sin 45°·BQ＝3，
∴PQ＋PC的最小值为3．
∴PC＋PQ的最小值是6．故选A．]
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P为线段BD上的一个动点，则MP＋PB的最小值是________．
3 [如图，过点P作PH⊥BC于H，
∵在菱形ABCD中，AB＝AC＝8，
∴AB＝BC＝AC＝8，△ABC为等边三角形，
∴∠PBC＝30°，∠ACB＝60°，
∴在Rt△PBH中，∠PBH＝30°，
∴PH＝PB，
∴MP＋PB＝MP＋PH，
∴当点M，P，H共线且MH⊥BC时，MP＋PH有最小值，为MH．
∵AC＝8，AM＝2，
∴MC＝6，
又∠ACB＝60°且△MHC为直角三角形，
∴HC＝MC＝3，
∴MH＝HC＝3．
故答案为3．]
11．(2024·济宁三模)如图，⊙O与y轴，x轴的正半轴分别相交于点M，点N，⊙O半径为3，点A(0，2)，点B，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．PA＋2PB的最小值是________．
2 [如图所示，在x轴正半轴上取点E，使OE＝6，连接AE，OP，PE，
∵⊙O半径为3，点B，
∴OP＝3，OB＝，
∵＝＝，∠BOP＝∠POE，
∴△BOP∽△POE，
∴＝＝，
∴PE＝2PB，
∴PA＋2PB＝PA＋PE≥AE，
∴当点A，P，E三点在同一条直线上时，PA＋2PB的最小值为AE的长度，
∵A(0，2)，
∴OA＝2，
∴AE＝＝2．
故答案为2．](共53张PPT)
微专题八 线段最值模型的应用
第七章 图形的变换
模型展示
通过轴对称来确定，即作出其中一点B关于直线l的对称点B1，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．此时PA＋PB最短．
模型一 将军饮马问题
【典例1】 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12．在AB，AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ，再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若点M，N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM＋MN的最小值为( )
A．9.6 B．10 C．12 D．12.8
√
√
2．(2024·四川成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3，0)，B(0，2)，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为_____．
5
5 [取点A关于直线l的对称点A′，连接A′O交直线l于点C，连接AC，
则可知AC＝A′C，A′A⊥l，
∴PO＋PA＝PO＋PA′≥A′O，
即当O，P，A′三点共线时，PO＋PA的最小值为A′O，
∵直线l垂直于y轴，
∴A′A⊥x轴，
∵A(3，0)，B(0，2)，
模型展示
模型二 两动点找三角形周长最小值问题
M，N分别为OA和OB上的两动点，作点P关于OA, OB的对称点，然后连接两个对称点，与OA，OB的交点分别为M，N，此时△PMN有最小周长，周长最小值为P′P″的长度．
【典例2】 在草原上有两条交叉且笔直的公路OA，OB，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，∠AOB＝30°，OP＝6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M，N，若存在M，N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是________．
6.5
6.5 [作P关于OB的对称点P′，作P关于OA的对称点P″，连接P′P″，
分别交OB，OA于点N，M，
则OP＝OP′＝OP″，
则PM＋PN＋MN＝P″M＋P′N＋MN≥P′P″，
∵∠AOB＝30°，
∴∠P′OP″＝60°，
∴△P′P″O是等边三角形，
∴P′P″＝OP＝6.5，
故答案为6.5．]
[跟踪训练]
3．(典例2变式)(2024·黑龙江绥化)如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝________．
80°
80° [作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1P，P2P，
∵P，P1关于OA对称，
∴∠P1OP＝2∠MOP，OP1＝OP，P1M＝PM，∠OP1M＝∠OPM，
同理，∠P2OP＝2∠NOP，OP＝OP2，∠OP2N＝∠OPN，
∴∠P1OP2＝∠P1OP＋∠P2OP＝2(∠MOP＋∠NOP)＝2∠AOB＝100°，OP1＝OP2＝OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N＝∠OP1M＝40°，
∴∠MPN＝∠MPO＋∠NPO＝∠OP2N＋∠OP1M＝80°，
故答案为80°．]
4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
√
模型展示
M，N分别为OA和OB上两动点，作点P关于OA的对称点P′，过点P′作P′N⊥OB，垂足为点N，交OA于点M，此时PM＋MN的值最小．
模型三 两动点找三角形最小值问题
【典例3】 如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点F，P分别为BC，AC边上的动点，则PE＋PF的最小值为________．
4.8
√
√
B [∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，OB＝OD，OC＝OA，
∵AC＝6，BD＝8，
∴OA＝3，OB＝4．
如图所示，作F关于BD的对称点F′，作EE′⊥OA交OA于E′，连接E′F′交BD于点H，过点E作EG∥E′H，作F′I⊥AC于点I，
模型展示
将点A沿着与直线l平行的方向平移一个定长PQ至点A′，作点A′关于直线l的对称点A″，连接A″B交直线l于点Q，此时AP＋PQ＋QB的值最小．
模型四 两定点一定长求最短问题
【典例4】 如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝8，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM＋ON的最小值是________．
[对点演练]
7．如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是( )
A．8.5 B．9 C．12 D．12.5
√
B [如图所示，设EF交BC于点D，连接AD，CP，
∵EF垂直平分AC，
∴DA＝DC，PA＝PC，
∵△APB的周长为AB＋AP＋BP＝AB＋BP＋PC≥AB＋BC，
当P点与D点重合时，△APB的周长最小，最小值为AB＋BC＝9．
故选B．]
8．(2024·东昌府三模)如图，四边形ABCD是矩形，点G是AD边上任意一点(不与点A，D重合)，连接GB，GC．点E，F分别是GC，GB的中点，连接EF，AF，DE，过点F作FH∥DE，交AD于点H．若AB∶AD＝2∶3，S△GBC＝12，则AF＋FH＋EF的最小值是( )
A．5 B．8 C．10 D．13
√
模型展示
模型五 “胡不归”模型
√
√
A [连接BC，过P作PH⊥BC，过Q作QH′⊥BC，
令y＝0，即x2＋3x－4＝0，
解得x＝－4或1，
∴A(1，0)，B(0，－4)，
C(－4，0)，
∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，
∴∠PCH＝45°，
