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微专题四 线段中点模型的应用
第四章 几何初步与三角形
模型展示
类型1：与三角形中线有关的长度与面积问题
在△ABC中，D为BC边上的中点．
模型一 三角形的中线模型
【典例1】 如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长(延长一倍)边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2，…，按此规律，倍长2 024次后得到的△A2 024B2 024C2 024的面积为( )
A．42 023 B．52 024 C．62 023 D．72 024
√
[跟踪训练]
1．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点．若△ADE的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
√
D [∵D，E分别是边BC，AB的中点，
∴S△BDE＝S△ADE＝2，
∴S△ABD＝4，
∵BD＝CD，
∴S△ABC＝2S△ABD＝8．
故选D．]
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5 cm，AB与AC的和为13 cm，求AC的长．
[解] ∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长－△ABD的周长＝5 cm．
∴AC－AB＝5 cm．
又∵AB＋AC＝13 cm，
∴AC＝9 cm．
即AC的长度是9 cm．
模型展示
类型2：等腰三角形的中线
【典例2】 如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
(1)若D为BC的中点，过点D作DM⊥DN分别交AB，AC于点M，N，求证：DM＝DN；
(2)若点D为BC的中点，DM⊥DN分别和BA，AC延长线交于点M，N，问DM和DN有何数量关系，并证明．
[跟踪训练]
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE＝AD，∠DEC＝120°，试求∠BAD的度数．
[解] ∵∠DEC＝120°，
∴∠AED＝180°－120°＝60°，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠EAD＝60°．
模型展示
类型3：直角三角形斜边上的中线
【典例3】 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，求OF的长．
[跟踪训练]
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：EC∥AB．
[证明] ∵CD是AB边上的中线，且∠ACB＝90°，
∴CD＝AD．
∴∠CAD＝∠ACD．
又∵△ACE是由△ADC沿AC边所在的直线折叠而成的，
∴∠ECA＝∠ACD．
∴∠ECA＝∠CAD．
∴EC∥AB．
模型展示
模型二 三角形的中位线
【典例4】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．
(1)求证：CE＝DE；
(2)若点F为BC的中点，求EF的长．
[跟踪训练]
5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AC＝5，DE＝1，则AB等于( )
A．7 B．6.5 C．6 D．5.5
√
又∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴BF＝2DE＝2．
∴AB＝AF＋BF＝5＋2＝7．
故选A．]
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，点Q是MN的中点．
(1)求证：PQ⊥MN；
(2)判定△OEF的形状．
又∵AC＝BD，
∴PM＝PN，
∴P在MN的中垂线上，
∵MQ＝NQ，
∴PQ⊥MN．
(2)△OEF的形状是等腰三角形，
理由如下：
∵PM∥AC，
∴∠PMN＝∠EFO，
∵PN∥BD，
∴∠OEF＝∠PNM，
又∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠EFO＝∠OEF，
∴△OEF的形状是等腰三角形．微专题四 线段中点模型的应用
模型一 三角形的中线模型
模型展示
类型1：与三角形中线有关的长度与面积问题
在△ABC中，D为BC边上的中点．
【典例1】 如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长(延长一倍)边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2，…，按此规律，倍长2 024次后得到的△A2 024B2 024C2 024的面积为( )
A．42 023 B．52 024 C．62 023 D．72 024
D [如图所示，连接AB1，BC1，CA1，
根据等底等高的三角形面积相等，
则△A1BC，△A1B1C，△AB1C，△AB1C1，△ABC1，△A1BC1，△ABC的面积都相等，
＝7S△ABC，
同理可得：＝
＝72S△ABC，
以此类推＝72 024S△ABC，
∵S△ABC＝1，
＝72 024．
故选D．]
[跟踪训练]
1．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点．若△ADE的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
D [∵D，E分别是边BC，AB的中点，
∴S△BDE＝S△ADE＝2，
∴S△ABD＝4，
∵BD＝CD，
∴S△ABC＝2S△ABD＝8．
故选D．]
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5 cm，AB与AC的和为13 cm，求AC的长．
[解] ∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长－△ABD的周长＝5 cm．
∴AC－AB＝5 cm．
又∵AB＋AC＝13 cm，
∴AC＝9 cm．
即AC的长度是9 cm．
模型展示
类型2：等腰三角形的中线
【典例2】 如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
(1)若D为BC的中点，过点D作DM⊥DN分别交AB，AC于点M，N，求证：DM＝DN；
(2)若点D为BC的中点，DM⊥DN分别和BA，AC延长线交于点M，N，问DM和DN有何数量关系，并证明．
[解] (1)证明：连接AD，
∵点D为BC中点，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，
∴AD＝BD＝DC，
∵∠ADM＋∠ADN＝90°，∠ADN＋∠CDN＝90°，
∴∠ADM＝∠CDN，
在△AMD和△CND中，
∴△AMD≌△CND(ASA)，
∴DM＝DN．
(2)DM＝DN．证明如下：连接AD，∵点D为BC中点，∠BAC＝90°，
∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C，
∵∠ADM＋∠MDC＝90°，∠MDC＋∠CDN＝90°，
∴∠ADM＝∠CDN，
∵∠MAD＝∠MAC＋∠DAC＝135°，∠NCD＝180°－∠ACD＝135°，
∴∠MAD＝∠NCD，
在△AMD和△CND中，
∴△AMD≌△CND(ASA)，
∴DM＝DN．
[跟踪训练]
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE＝AD，∠DEC＝120°，试求∠BAD的度数．
[解] ∵∠DEC＝120°，
∴∠AED＝180°－120°＝60°，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠EAD＝60°．
模型展示
类型3：直角三角形斜边上的中线
【典例3】 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，求OF的长．
[解] ∵CE＝5，△CEF的周长为18，
∴CF＋EF＝18－5＝13．
∵F为DE的中点，
∴DF＝EF．
∵∠BCD＝90°，
∴CF＝DE．
∴EF＝CF＝DE＝．
∴DE＝2EF＝13．
∴CD＝＝12．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝12，O为BD的中点．
∴OF是△BDE的中位线．
∴OF＝BE＝(BC－CE)＝(12－5)＝．
[跟踪训练]
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：EC∥AB．
[证明] ∵CD是AB边上的中线，且∠ACB＝90°，
∴CD＝AD．
∴∠CAD＝∠ACD．
又∵△ACE是由△ADC沿AC边所在的直线折叠而成的，
∴∠ECA＝∠ACD．
∴∠ECA＝∠CAD．
∴EC∥AB．
模型二 三角形的中位线
模型展示
【典例4】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．
(1)求证：CE＝DE；
(2)若点F为BC的中点，求EF的长．
[解] (1)证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE．
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
在△AEC和△AED中，
∴△AEC≌△AED(ASA)，
∴CE＝DE．
(2)在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵△AEC≌△AED，
∴AD＝AC＝6，
∴BD＝AB－AD＝4，
∵点E为CD中点，点F为BC中点，
∴EF＝BD＝2．
[跟踪训练]
5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AC＝5，DE＝1，则AB等于( )
A．7 B．6.5 C．6 D．5.5
A [延长CE，交AB于点F．
∵AE平分∠BAC，AE⊥CE，
∴∠EAF＝∠EAC，∠AEF＝∠AEC，
在△EAF与△EAC中，
∴△EAF≌△EAC(ASA)，
∴AF＝AC＝5，EF＝EC，
又∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴BF＝2DE＝2．
∴AB＝AF＋BF＝5＋2＝7．
故选A．]
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，点Q是MN的中点．
(1)求证：PQ⊥MN；
(2)判定△OEF的形状．
[解] (1)证明：如图，连接PM，PN，
∵M，P分别是边AB，BC的中点，
∴AM＝BM，BP＝CP，
∴PM＝AC，
∵DN＝CN，BP＝CP，
∴PN＝BD．
又∵AC＝BD，
∴PM＝PN，
∴P在MN的中垂线上，
∵MQ＝NQ，
∴PQ⊥MN．
(2)△OEF的形状是等腰三角形，
理由如下：
∵PM∥AC，
∴∠PMN＝∠EFO，
∵PN∥BD，
∴∠OEF＝∠PNM，
又∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠EFO＝∠OEF，
∴△OEF的形状是等腰三角形．
