(共32张PPT)
微专题五 相似三角形模型的应用
第四章 几何初步与三角形
模型展示
模型一 “A”字型
√
D [∵点D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE．
故A、C选项不符合题意．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
故B选项不符合题意．
2．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，∠BDE＋∠C＝180°．求证：△ADE∽△ACB．
[证明] ∵∠BDE＋∠C＝180°，
∠ADE＋∠BDE＝180°，
∴∠ADE＝∠C，
又∵∠A为公共角，
∴△ADE∽△ACB．
模型展示
模型二 “X”字型
【典例2】 如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在BE的延长线上，且BA·BC＝BD·BE．
(1)求证：△ABD∽△EBC；
(2)若AD＝3，BC＝6，DE＝2，求BE的长．
[跟踪训练]
3．(2024·青海)如图，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件________________________，使得△AOB∽△COD．
∠A＝∠C(答案不唯一)
∠A＝∠C(答案不唯一) [∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
故答案为∠A＝∠C．
注：答案不唯一，如∠B＝∠D、AB∥CD．]
4．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E．
(1)求证：△ABD∽△CED；
(2)若AB＝6，AD＝2CD，求CE的长．
[解] (1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
又∵CE是外角平分线，
∴∠ACE＝∠FCE＝60°，
∴AB∥CE，
∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠ECD，
∴△ABD∽△CED．
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模型三 “手拉手”模型
√
6．如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△ADE．
[证明] ∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
又∵∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE．
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模型四 “一线三等角”模型
已知∠B＝∠ACE＝∠D．
结论：(1)△ ABC∽△ CDE；(2)AB· DE＝BC· CD．
【典例4】 如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．
(1)证明：△ABC∽△DEB；
(2)求线段BD的长．
[跟踪训练]
7．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，D分别是BC，AC上的点，且∠AED＝45°，求证：△ABE∽△ECD．
[证明] ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠AEC＝∠B＋∠BAE，
∴∠AED＋∠CED＝∠B＋∠BAE．
∵∠AED＝45°，
∴∠BAE＝∠CED，
∴△ABE∽△ECD．微专题五 相似三角形模型的应用
模型一 “A”字型
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【典例1】 如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．
(1)求CE的长；
(2)在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为＝，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．
[解] (1)∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，
∴CE＝6．
(2)结论正确，理由如下，
在△ABQ中，由于DP∥BQ，
∴∠ADP＝∠ABQ，∠APD＝∠AQB，
∴△ADP∽△ABQ，
∴＝，
同理可得，＝，
∴＝．
[跟踪训练]
1．(2024·湖南)如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是( )
A．DE∥BC
B．△ADE∽△ABC
C．BC＝2DE
D．S△ADE＝S△ABC
D [∵点D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE．
故A、C选项不符合题意．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
故B选项不符合题意．
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
则S△ADE＝S△ABC．
故D选项符合题意．
故选D．]
2．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，∠BDE＋∠C＝180°．求证：△ADE∽△ACB．
[证明] ∵∠BDE＋∠C＝180°，∠ADE＋∠BDE＝180°，
∴∠ADE＝∠C，
又∵∠A为公共角，
∴△ADE∽△ACB．
模型二 “X”字型
模型展示
【典例2】 如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在BE的延长线上，且BA·BC＝BD·BE．
(1)求证：△ABD∽△EBC；
(2)若AD＝3，BC＝6，DE＝2，求BE的长．
[解] (1)证明：∵BA·BC＝BD·BE，
∴＝，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBC，
∴△ABD∽△EBC．
(2)∵△ABD∽△EBC，
∴∠ADB＝∠ECB，
∴∠EAD＝∠AEB－∠ADB＝∠AEB－∠ECB＝∠EBC，
∴∠EAD＝∠ABD，
∵∠EDA＝∠ADB，
∴△EAD∽△ABD，
∴＝，
∴BD＝＝＝，
∴BE＝BD－DE＝－2＝，
∴BE的长是．
[跟踪训练]
3．(2024·青海)如图，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件________，使得△AOB∽△COD．
∠A＝∠C(答案不唯一) [∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
故答案为∠A＝∠C．
注：答案不唯一，如∠B＝∠D、AB∥CD．]
4．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E．
(1)求证：△ABD∽△CED；
(2)若AB＝6，AD＝2CD，求CE的长．
[解] (1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
又∵CE是外角平分线，
∴∠ACE＝∠FCE＝60°，
∴AB∥CE，
∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠ECD，
∴△ABD∽△CED．
(2)由(1)可知△ABD∽△CED，
∴＝，
又∵AB＝6，AD＝2CD，
∴＝2，
解得CE＝3．
模型三 “手拉手”模型
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【典例3】 (2024·沂源期末)完成下列各题：
(1)问题背景：如图1，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
(2)尝试应用：如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝60°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值．
[解] (1)证明：∵△ABC∽△ADE，
∴＝，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，＝，
∴△ABD∽△ACE．
(2)如图，连接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝60°，
∴△ABC∽△ADE，AE＝AD，
由(1)知△ABD∽△ACE，
∴＝＝，∠ACE＝∠ABC＝∠ADE＝60°，
∴＝，
∵∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴AD＝CE，
∴AE＝AD＝2CE，
∴＝＝2．
[跟踪训练]
5．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE，若AC∶BC＝3∶4，则BD∶CE为( )
A．5∶3 B．4∶3
C．∶2 D．2∶
A [∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，＝，
∵∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
∵＝，
∴△ACE∽△ABD，
∴＝，
∵AC∶BC＝3∶4，∠ACB＝∠AED＝90°，
∴AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，
∴BD∶CE＝5∶3，
故选A．]
6．如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△ADE．
[证明] ∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
又∵∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE．
模型四 “一线三等角”模型
模型展示
已知∠B＝∠ACE＝∠D．
结论：(1)△ ABC∽△ CDE；(2)AB· DE＝BC· CD．
【典例4】 如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．
(1)证明：△ABC∽△DEB；
(2)求线段BD的长．
[解] (1)证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，
∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°，
∴∠C＝∠DBE，
∴△ABC∽△DEB．
(2)∵△ABC∽△DEB，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝3．
[跟踪训练]
7．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，D分别是BC，AC上的点，且∠AED＝45°，求证：△ABE∽△ECD．
[证明] ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠AEC＝∠B＋∠BAE，
∴∠AED＋∠CED＝∠B＋∠BAE．
∵∠AED＝45°，
∴∠BAE＝∠CED，
∴△ABE∽△ECD．
