类型一 方程与不等式的实际应用
【典例1】 (2024·四川成都)推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17 500元从农户处购进A，B两种水果共1 500 kg进行销售，其中A种水果收购单价10元/kg，B种水果收购单价15元/kg．
(1)求A，B两种水果各购进多少千克；
(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．
[解] (1)设A种水果购进x千克，B种水果购进y千克，根据题意，得
解得
答：A种水果购进1 000千克，B种水果购进500千克．
(2)设A种水果的销售单价为m元/千克，
根据题意，得
1 000×(1－4%)m－10×1 000≥10×1 000×20%，
解得m≥12.5，
∴m的最小值为12.5．
答：A种水果的最低销售单价为12.5元/千克．
方程与不等式应用题的解题方法
(1)找出题目中的等量关系列出方程；
(2)根据题意找出题目中的不等关系；
(3)根据不等关系确定最终取值．
[对点演练]
1．(2024·湖南)某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．
(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵，总费用不超过38 000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？
[解] (1)设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为y元，根据题意，得
解得
答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元．
(2)设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗(1 000－m)棵，根据题意，得
50m＋30(1 000－m)≤38 000，
解得m≤400．
答：最多可以购买脐橙树苗400棵．
2．(2024·贵州)为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？
[解] (1)设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生，根据题意，得
解得
答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生．
(2)设种植甲作物m亩，则种植乙作物(10－m)亩，根据题意，得
5m＋6(10－m)≤55，
解得m≥5，
∴m的最小值为5．
答：至少种植甲作物5亩．
3．(2024·黑龙江牡丹江)牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1 560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
(3)在(2)的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a(a为正整数)折售出，最终获利1 577元，请写出商店的进货方案．
[解] (1)设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据题意，得
解得
答：特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元．
(2)设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇(80－m)箱，
根据题意，
得
解得40≤m≤42，
∵m为正整数，
∴m＝40，41，42．
答：该商店有三种进货方案，分别为：
①购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇38箱．
(3)当购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱时，
根据题意，得(40－1)×(50－40)＋(40－1)×(180－150)＋＝1 577，
解得a＝9；
当购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱时，
根据题意，得(41－1)×(50－40)＋(39－1)×(180－150)＋＝1 577，
解得a≈9.9(是小数，不符合要求)；
当购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇38箱时，
根据题意，得(42－1)×(50－40)＋(38－1)×(180－150)＋＝1 577，
解得a≈10.7(不符合要求)．
答：商店的进货方案是特级鲜品猴头菇40箱，特级干品猴头菇40箱．
类型二 方程与一次函数的实际应用
【典例2】 (2024·内蒙古)某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价(元/千克) 售价(元/千克)
甲 a 22
乙 b 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元；购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(千克)之间的函数关系式(写出自变量x的取值范围)，并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
[解] (1)根据题意，得
解得
(2)当50≤x≤80时，根据题意，得y＝(22－14)x＋(25－19)×(150－x)＝2x＋900，
∵2>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝80时，y有最大值，最大值为2×80＋900＝1 060，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1 060元；
当80∵－3<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝80时，y有最大值，最大值为－3×80＋1 300＝1 060，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1 060元．
综上，y＝购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1 060元．
方程与一次函数应用题的解题方法
(1)通过一次函数图象确定相关关系；
(2)根据变量关系列出方程，并进行求解．
[对点演练]
4．(2024·四川广安)某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．
(1)求A，B两种花卉的单价；
(2)该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10 000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．
[解] (1)设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株．根据题意，得
解得
答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株．
(2)设采购A种花卉m株，则采购B种花卉(10 000－m)株，总费用为W元．根据题意，得
W＝3m＋5(10 000－m)＝－2m＋50 000，
∵m≤4(10 000－m)，解得m≤8 000，
在W＝－2m＋50 000中，
∵－2＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当 m＝8 000 时，W的值最小，
W＝－2×8 000＋50 000＝34 000，
此时10 000－m＝2 000．
答：当购进A种花卉8 000株，B种花卉2 000株时，总费用最少，最少费用为34 000元．
5．罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售价如表：
价格 A B
进价(元/件) 94 146
售价(元/件) 120 188
(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
(2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
[解] (1)设每枚糯米咸鹅蛋的进价是x元，每个肉粽的进价是y元，根据题意，得
解得
答：每枚糯米咸鹅蛋的进价是16元，每个肉粽的进价是5元．
(2)设该超市准备m件A种组合，则该超市准备(3m－5)件B种组合，根据题意，得
m＋3m－5≤95，
解得m≤25．
设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为w元，则w＝(120－94)m＋(188－146)(3m－5)，
即w＝152m－210，
∵152＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝25时，w取得最大值，最大值为152×25－210＝3 590．
答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润为3 590元．
6．(2024·河南)为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50 g，营养成分表如下．
(1)若要从这两种食品中摄入4 600 kJ热量和70 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90 g，且热量最低，应如何选用这两种食品？
[解] (1)设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得
解得
答：应选用A种食品4包，B种食品2包．
(2)设选用A种食品m包，则选用B种食品(7－m)包，根据题意，得
10m＋15(7－m)≥90，
解得m≤3．
设每份午餐的总热量为w kJ，则w＝700m＋900(7－m)＝－200m＋6 300，
∵－200＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝3时，w取得最小值，此时7－m＝7－3＝4．
答：应选用A种食品3包，B种食品4包．(共35张PPT)
题型三 实际应用题
【典例1】 (2024·四川成都)推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17 500元从农户处购进A，B两种水果共1 500 kg进行销售，其中A种水果收购单价10元/kg，B种水果收购单价15元/kg．
(1)求A，B两种水果各购进多少千克；
(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．
类型一 方程与不等式的实际应用
(2)设A种水果的销售单价为m元/千克，
根据题意，得
1 000×(1－4%)m－10×1 000≥10×1 000×20%，
解得m≥12.5，
∴m的最小值为12.5．
答：A种水果的最低销售单价为12.5元/千克．
(1)找出题目中的等量关系列出方程；
(2)根据题意找出题目中的不等关系；
(3)根据不等关系确定最终取值．
方程与不等式应用题的解题方法
[对点演练]
1．(2024·湖南)某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．
(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵，总费用不超过38 000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？
(2)设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗(1 000－m)棵，根据题意，得
50m＋30(1 000－m)≤38 000，
解得m≤400．
答：最多可以购买脐橙树苗400棵．
2．(2024·贵州)为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？
(2)设种植甲作物m亩，则种植乙作物(10－m)亩，根据题意，得
5m＋6(10－m)≤55，
解得m≥5，
∴m的最小值为5．
答：至少种植甲作物5亩．
3．(2024·黑龙江牡丹江)牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1 560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
(3)在(2)的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a(a为正整数)折售出，最终获利1 577元，请写出商店的进货方案．
【典例2】 (2024·内蒙古)某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
类型二 方程与一次函数的实际应用
水果种类 进价(元/千克) 售价(元/千克)
甲 a 22
乙 b 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元；购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(千克)之间的函数关系式(写出自变量x的取值范围)，并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
(1)通过一次函数图象确定相关关系；
(2)根据变量关系列出方程，并进行求解．
方程与一次函数应用题的解题方法
[对点演练]
4．(2024·四川广安)某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．
(1)求A，B两种花卉的单价；
(2)该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10 000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．
(2)设采购A种花卉m株，则采购B种花卉(10 000－m)株，总费用为W元．根据题意，得
W＝3m＋5(10 000－m)＝－2m＋50 000，
∵m≤4(10 000－m)，解得m≤8 000，
在W＝－2m＋50 000中，
∵－2＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当 m＝8 000 时，W的值最小，
W＝－2×8 000＋50 000＝34 000，
此时10 000－m＝2 000．
答：当购进A种花卉8 000株，B种花卉2 000株时，总费用最少，最少费用为34 000元．
5．罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售价如表：
(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
(2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
价格 A B
进价(元/件) 94 146
售价(元/件) 120 188
(2)设该超市准备m件A种组合，则该超市准备(3m－5)件B种组合，根据题意，得
m＋3m－5≤95，
解得m≤25．
设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为w元，则w＝(120－94)m＋(188－146)(3m－5)，
即w＝152m－210，
∵152＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝25时，w取得最大值，最大值为152×25－210＝3 590．
答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润为3 590元．
6．(2024·河南)为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50 g，营养成分表如下．
(1)若要从这两种食品中摄入4 600 kJ热量和70 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90 g，且热量最低，应如何选用这两种食品？
(2)设选用A种食品m包，则选用B种食品(7－m)包，根据题意，得
10m＋15(7－m)≥90，
解得m≤3．
设每份午餐的总热量为w kJ，则w＝700m＋900(7－m)＝－200m＋
6 300，
∵－200＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝3时，w取得最小值，此时7－m＝7－3＝4．
答：应选用A种食品3包，B种食品4包．
