类型一 反比例函数与一次函数的综合
【典例1】 (2024·四川乐山)如图，已知点A(1，m)，B(n，1)在反比例函数y＝(x>0)的图象上，过点A的一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点C(0，1)．
(1)求m，n的值和一次函数的表达式；
(2)连接AB，求点C到线段AB的距离．
[解] (1)∵点A(1，m)，B(n，1)在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝3，n＝3，
又∵一次函数y＝kx＋b过点A(1，3)，C(0，1)，
∴
解得
∴一次函数表达式为y＝2x＋1．
(2)如图，连接BC，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，
∵C(0，1)，B(3，1)，
∴BC∥x轴，BC＝3，
∵点A(1，3)，B(3，1)，AD⊥BC，
∴点D(1，1)，AD＝2，DB＝2，
在Rt△ADB中，AB＝＝2，
又∵S△ABC＝BC·AD＝AB·CE，
即×3×2＝×2·CE，
∴CE＝，即点C到线段AB的距离为．
[对点演练]
1．(2024·东昌府模拟)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx＋n所在直线AB与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于A(a，4)和B(4，b)两点，连接OA，把OA沿x轴向右平移3个单位长度得到线段CD，CD恰好过点B且点C(5，c)．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)请结合函数图象，直接写出关于x的不等式≥mx＋n的解集；
(3)求梯形AODB的面积．
[解] (1)根据题意知，AO∥CD，AO＝CD，
∴四边形AODC是平行四边形，
∴点A(a，4)和点C(5，c)的横坐标相差3，纵坐标相同，
即a＝2，c＝4．
∴A(2，4)，C(5，4)．
∵反比例函数y＝的图象过A(2，4)，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数为y＝，
把B(4，b)代入y＝，得b＝＝2，
∴B(4，2)．
把A(2，4)，B(4，2)代入y＝mx＋n，得
解得
∴一次函数为y＝－x＋6．
(2)由函数图象可得≥－x＋6的解集为0＜x≤2或x≥4．
(3)∵OD＝3，点A到OD的距离为4，
∴S AODC＝4×3＝12．
∵AC∥OD，
∴点B到AC的距离为yA－yB＝4－2＝2，
∴S△BAC＝×3×2＝3．
∴S梯形AODB＝S AODC－S△BAC＝12－3＝9．
∴梯形AODB的面积为9．
类型二 反比例函数与几何变换的综合
【典例2】 (2024·四川凉山)如图，正比例函数y1＝x与反比例函数y2＝(x>0)的图象交于点A(m，2)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线y1＝x向上平移3个单位长度与y2＝(x>0)的图象交于点B，连接AB，OB，求△AOB的面积．
[解] (1)∵点A(m，2)在正比例函数y1＝x图象上，
∴2＝m，解得m＝4，∴A(4，2)，
∵点A(4，2)在反比例函数y2＝图象上，
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为y2＝．
(2)把直线y1＝x向上平移3个单位长度，得到的解析式为y＝x＋3，
令x＝0，则y＝3，
∴记直线与y轴交点坐标为D(0，3)，连接AD，
联立方程组
解得或(舍去)，
∴B(2，4)，
则kAO＝kBD，即BD∥AO，
∴△AOB，△AOD同底等高，
∴S△AOB＝S△ADO＝OD·xA＝×3×4＝6．
[对点演练]
2．[探究题](2024·宁夏)在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x＋1的图象可以由函数y＝2x的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
【动手操作】
列表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 …
y＝ … － － － －1 －2 2 1 …
描点连线：在已画出函数y＝的图象的坐标系中画出函数y＝的图象．
【探究发现】
(1)将反比例函数y＝的图象向________平移________个单位长度得到函数y＝的图象．
(2)上述探究方法运用的数学思想是________．
A．整体思想
B．类比思想
C．分类讨论思想
【应用延伸】
(1)将反比例函数y＝－的图象先________，再________得到函数y＝－－1的图象．
(2)函数y＝－－1图象的对称中心的坐标为________．
[解] 【动手操作】
列表：
x … －6 －5 －4 －3 －2 1 2 3 4 5 …
y＝ … － － － －1 －2 1 …
描点、连线画出函数图象如图所示：
【探究发现】
(1)将反比例函数y＝的图象向左平移 1个单位长度得到函数y＝的图象．
故答案为左，1．
(2)上述探究方法运用的数学思想是B．
故答案为B．
【应用延伸】
(1)将反比例函数y＝－的图象先右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数y＝－－1的图象．
故答案为向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度．
(2)函数y＝－－1图象的对称中心的坐标为(2，－1)．
故答案为(2，－1)．
类型三 反比例函数的存在性问题
【典例3】 如图1，直线y＝2x＋1与y轴交于点B，与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(1，a)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，连接AC，BD．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作CF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点N，使得以A，D，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)∵点A(1，a)在直线y＝2x＋1上，
∴a＝2×1＋1＝3，
∴A(1，3)，
∴k＝1×3＝3，
∴y＝．
(2)①由(1)知，y＝，
当y＝1时，x＝3，
∴D(3，1)，
∴BD＝AC＝3，
∴C(4，3)，
当x＝4时，y＝，
∴EF＝，CF＝3，
∴CE＝，
∴＝＝3．
②设点N(m，n)，
若AD为对角线，∵四边形ACDN是平行四边形，A(1，3)，D(3，1)，C(4，3)，
∴1＋3＝4＋m，3＋1＝3＋n，
∴m＝0，n＝1，
∴点N(0，1)；
若AC为对角线，∵四边形ADCN是平行四边形，A(1，3)，D(3，1)，C(4，3)，
∴1＋4＝3＋m，3＋3＝1＋n，
∴m＝2，n＝5，
∴点N(2，5)；
若AN为对角线，∵四边形ADNC是平行四边形，A(1，3)，D(3，1)，C(4，3)，
∴3＋4＝1＋m，1＋3＝3＋n，
∴m＝6，n＝1，
∴点N(6，1)．
综上所述，点N的坐标为(0，1)或(2，5)或(6，1)．
[对点演练]
3．(2024·东昌府模拟)如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，OA＝OC，点D(a，1)在反比例函数的图象上．
(1)连接AD，求AD的长；
(2)在x轴上是否存在点P，使PB＋PD的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)∵直线y＝2x＋2与x轴交于点A，
∴A(－1，0)，
∵OA＝OC，
∴C(1，0)，
把x＝1代入y＝2x＋2，得y＝2＋2＝4，
∴B(1，4)，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝．
∵点D(a，1)在反比例函数的图象上，
∴D(4，1)，
∴AD＝＝．
(2)在x轴上存在点P，使PB＋PD的值最小，理由如下：
如图，作出点D关于x轴的对称点D′，则D′(4，－1)，连接BD′交x轴于点P，此时，PB＋PD最小．
设直线BD′对应的函数表达式为y＝kx＋b，
∵B(1，4)，D′(4，－1)在直线上，
∴
解得
∴直线BD′对应的函数表达式为y＝－x＋，
令y＝0，得x＝，
∴P．(共34张PPT)
题型六 反比例函数综合题
类型一 反比例函数与一次函数的综合
类型二 反比例函数与几何变换的综合
[对点演练]
2．[探究题](2024·宁夏)在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x＋1的图象可以由函数y＝2x的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
【动手操作】
列表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 …
… －1 －2 2 1 …
左
1
B
向右平移2个单位长度
向下平移1个单位长度
(2，－1)
[解] 【动手操作】
列表：
x … －6 －5 －4 －3 －2 1 2 3 4 5 …
… －1 －2 1 …
描点、连线画出函数图象如图所示：
类型三 反比例函数的存在性问题
②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点N，使得以A，D，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
②设点N(m，n)，
若AD为对角线，∵四边形ACDN是平行四边形，A(1，3)，D(3，1)，C(4，3)，
∴1＋3＝4＋m，3＋1＝3＋n，
∴m＝0，n＝1，
∴点N(0，1)；
若AC为对角线，∵四边形ADCN是平行四边形，A(1，3)，D(3，1)，C(4，3)，
∴1＋4＝3＋m，3＋3＝1＋n，
∴m＝2，n＝5，
∴点N(2，5)；
若AN为对角线，∵四边形ADNC是平行四边形，A(1，3)，D(3，1)，C(4，3)，
∴3＋4＝1＋m，1＋3＝3＋n，
∴m＝6，n＝1，
∴点N(6，1)．
综上所述，点N的坐标为(0，1)或(2，5)或(6，1)．
