(共46张PPT)
题型二 二次函数的图像与性质
【典例1】 (2024·东营)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，如图所示，则下列结论正确的是( )
A．abc＜0
B．a－b＝0
C．3a－c＝0
D．am2＋bm≤a－b(m为任意实数)
类型一 二次函数的图象与系数的关系
√
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中， a，b，c，Δ的作用
字母 字母的符号 图象的特征
a a> 0 开口向上
a < 0 开口向下
b b＝0 对称轴为y轴
a，b同号 对称轴在y轴的左侧
a，b异号 对称轴在y轴的右侧
字母 字母的符号 图象的特征
c c＝0 经过原点
c>0 在x轴的上方(与y轴的正半轴相交)
c<0 在x轴的下方(与y轴的负半轴相交)
Δ Δ＝0 与x轴只有一个交点(顶点在x轴上)
Δ>0 与x轴有两个交点
Δ<0 与x轴没有交点
[对点演练]
1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，则a的取值范围是
( )
A．a＞1
B．a＞2
C．0＜a＜1
D．0＜a＜2
√
√
√
∵y＝ax2＋bx＋c＝a(x－1)2＋2，
∴将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y＝a(x－1＋1)2＋2－2＝ax2，故④错误．
故选B．]
√
5．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论：
①abc＜0；
②2a＋b＝0；
③3a＋c＜0；
④方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一个根大于－1且小于0．其中正确的是___________(只填序号)．
①②③④
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是直线x＝1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点(0，0)和点(－1，0)之间，
∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一个根大于－1且小于0，故④正确．
综上，正确的结论是①②③④．]
【典例2】 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m交于A(－3，－1)，B(0，3)两点．下列结论：①bc＜0；②b2－4ac＞0；③关于x的不等式ax2＋bx＋c≥kx＋m的解集是－3≤x≤0；④a2－ab＋ac＜0；⑤关于x的方程ax2＋bx＋c＋4＝0无解．其中正确的有
( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型二 二次函数与方程、不等式的关系
√
由题干图象可知，关于x的不等式ax2＋bx＋c≥kx＋m的解集是x≤
－3或x≥0，
故结论③不正确，不符合题意；
由抛物线可知，当x＝－1时，抛物线y＝ax2＋bx＋c对应的函数值小于0，
即a－b＋c＜0，
∵a＞0，∴a(a－b＋c)＝a2－ab＋ac＜0，
故结论④正确，符合题意；
由抛物线可知，抛物线的最低点的纵坐标介于－3和－2之间，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－4没有交点，
∴关于x的方程ax2＋bx＋c＋4＝0无解，
故结论⑤正确，符合题意．
综上所述，正确的结论有3个．
故选C．]
二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴的交点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ (b2－4ac)
有两个交点 有两个相异的实数根 b2－4ac＞0
有一个交点 有两个相等的实数根 b2－4ac＝0
没有交点 没有实数根 b2－4ac＜0
2．二次函数与一元二次不等式的关系
设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)，则当a＞0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x＜x1或x＞x2，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是x1＜x＜x2；当a<0时，不等式ax2＋bx＋c>0的解集是x1
x2．
[对点演练]
6．若二次函数y＝(k－1)x2＋4x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k≤5 B．k≤5且k≠1
C．k≥5 D．k<5且k≠1
√
7．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－3，9)，B(1，1)，则关于x的方程ax2－bx－c＝0的解为( )
A．x1＝－1，x2＝3
B．x1＝9，x2＝－3
C．x1＝1，x2＝9
D．x1＝1，x2＝－3
√
D [由题意可知，关于x的方程ax2－bx－c＝0的解，就是抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝bx＋c(b≠0)的两个交点坐标的横坐标，即x1＝1，x2＝－3．故选D．]
√
C [①∵抛物线开口向上，－1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，
故①不符合题意；
②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)，
∴函数的最小值y＜－2，
∴ax2＋bx＋c＝－2有两个不相等的实数根，
∴方程ax2＋bx＋c＋2＝0有两个不相等的实数根，
故②符合题意；
9．(2024·邹城一模)如图，二次函数y＝ax2＋c的图象与一次函数y＝mx＋n的图象交于A(－2，p)，B(1，q)两点，则关于x的不等式ax2－mx＋c＞n的解集是__________．
－2＜x＜1
－2＜x＜1 [∵二次函数y＝ax2＋c的图象与一次函数y＝mx＋n的图象交于A(－2，p)，B(1，q)两点，
∴当－2＜x＜1时，ax2＋c＞mx＋n，
∴关于x的不等式ax2－mx＋c＞n的解集是－2＜x＜1．]
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如表：
x －4 －3 －1 1 5
y 0 5 9 5 －27
下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根；
③当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点(m，y1)，(－m－2，y2)均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2＋(b＋1)x＋c＜2的x的取值范围是x＜－2或x＞3．
其中正确结论的序号为________．
①②④
∵a＝－1，b＝－2，c＝8，
∴y＝－x2－2x＋8，
当y＝9时，－x2－2x＋8＝9，
∴x2＋2x＋1＝0，
∵Δ＝22－4×1×1＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根，故②正确；类型一 二次函数的图象与系数的关系
【典例1】 (2024·东营)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，如图所示，则下列结论正确的是( )
A．abc＜0
B．a－b＝0
C．3a－c＝0
D．am2＋bm≤a－b(m为任意实数)
D [由函数图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
所以abc＞0．
故A选项不符合题意．
将点(－3，0)和(1，0)代入函数解析式，得
两式相减得，
8a－4b＝0，
所以2a－b＝0．
故B选项不符合题意．
将b＝2a代入a＋b＋c＝0得，
a＋2a＋c＝0，
所以3a＋c＝0．
故C选项不符合题意．
因为抛物线与x轴的交点坐标为(－3，0)和(1，0)，
所以抛物线的对称轴为直线x＝＝－1．
又因为抛物线开口向下，
所以当x＝－1时，函数取得最大值a－b＋c，
所以对于抛物线上的任意一点(横坐标为m)，总有am2＋bm＋c≤a－b＋c，
即am2＋bm≤a－b．
故D选项符合题意．
故选D．]
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中， a，b，c，Δ的作用
字母 字母的符号 图象的特征
a a> 0 开口向上
a < 0 开口向下
b b＝0 对称轴为y轴
a，b同号 对称轴在y轴的左侧
a，b异号 对称轴在y轴的右侧
c c＝0 经过原点
c>0 在x轴的上方(与y轴的正半轴相交)
c<0 在x轴的下方(与y轴的负半轴相交)
Δ Δ＝0 与x轴只有一个交点(顶点在x轴上)
Δ>0 与x轴有两个交点
Δ<0 与x轴没有交点
[对点演练]
1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，则a的取值范围是( )
A．a＞1
B．a＞2
C．0＜a＜1
D．0＜a＜2
C [由题图可得，抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，则a＞0，
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的右侧，
∴－>0，即b＜0，
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c分别与x轴、y轴交于点(－1，0)，(0，－1)，
∴a－b＋c＝0，c＝－1，
∴b＝a－1，
∴a－1＜0，
解得a＜1，
∴a的取值范围是0＜a＜1．故选C．]
2．(2024·四川眉山)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①bc＜0；②3a＋2c＜0；③ax2＋bx≥a＋b；④若－2＜c＜－1，则－A．1 B．2 C．3 D．4
C [①∵函数图象开口向上，∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，
∴c＜0，∴bc＞0，故①错误；
②∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，
∴－＝1，∴b＝－2a，∴x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，∴3a＋c＝0，
∴3a＋2c＜0，故②正确；
③∵对称轴为直线x＝1，a＞0，
∴y＝a＋b＋c是最小值，ax2＋bx＋c≥a＋b＋c，即ax2＋bx≥a＋b，故③正确；
④∵x1x2＝(－1)×3＝－3＝，
∴c＝－3a，∵－2＜c＜－1，∴－2＜－3a＜－1，
∴综上所述，正确的有②③④．故选C．]
3．(2024·江苏连云港)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＜0)的顶点为(1，2)．小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2＋bx＋c＝0的一个根为3，则a＝－；④抛物线y＝ax2＋2是由抛物线y＝ax2＋bx＋c向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的．其中一定正确的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
B [∵顶点为(1，2)，
∴－＝1，
∴b＝－2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵a＋b＋c＝2，
∴c＝2－a－b＝2－a－(－2a)＝2＋a，
∴c的正负无法判断，故①错误；
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；
∵b＝－2a，c＝2＋a，
∴y＝ax2－2ax＋2＋a，
∵当x＝3时，y＝0，
∴0＝9a－6a＋2＋a，
∴a＝－，故③正确；
∵y＝ax2＋bx＋c＝a(x－1)2＋2，
∴将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y＝a(x－1＋1)2＋2－2＝ax2，故④错误．
故选B．]
4．(2024·四川广安)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的图象与x轴交于点A，对称轴是直线x＝－，有以下结论：①abc＜0；②若点(－1，y1)和点(2，y2)都在抛物线上，则y1＜y2；③am2＋bm≤a－b(m为任意实数)；④3a＋4c＝0．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B [∵二次函数的图象开口方向向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵－<0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵对称轴是直线x＝－，点(－1，y1)和点(2，y2)都在抛物线上，
又∵－－(－1)＝－＋1＝<2－＝，
∴y1＞y2，故②错误；
∵当x＝m时，y＝am2＋bm＋c，当x＝－时，函数取最大值a－b＋c，
∴对于任意实数m有am2＋bm＋c≤a－b＋c，
∴am2＋bm≤a－b，故③正确；
∵－＝－，
∴b＝a，
∵当x＝－时，y＝0，
∴a－b＋c＝0，
∴9a－6b＋4c＝0，即3a＋4c＝0，故④正确．
故选B．]
5．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论：
①abc＜0；
②2a＋b＝0；
③3a＋c＜0；
④方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一个根大于－1且小于0．其中正确的是________(只填序号)．
①②③④ [由题干图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①正确；
∵－＝1，
∴b＝－2a，
∴2a＋b＝0，故②正确；
∵当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，
∴y＝a＋2a＋c＜0，
∴3a＋c＜0，故③正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是直线x＝1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点(0，0)和点(－1，0)之间，
∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一个根大于－1且小于0，故④正确．
综上，正确的结论是①②③④．]
类型二 二次函数与方程、不等式的关系
【典例2】 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m交于A(－3，－1)，B(0，3)两点．下列结论：①bc＜0；②b2－4ac＞0；③关于x的不等式ax2＋bx＋c≥kx＋m的解集是－3≤x≤0；④a2－ab＋ac＜0；⑤关于x的方程ax2＋bx＋c＋4＝0无解．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C [由抛物线可知，a＞0，c＞0，－＜0，
∴b＞0，∴bc＞0，
故结论①不正确，不符合题意；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＞0，
故结论②正确，符合题意；
由题干图象可知，关于x的不等式ax2＋bx＋c≥kx＋m的解集是x≤－3或x≥0，
故结论③不正确，不符合题意；
由抛物线可知，当x＝－1时，抛物线y＝ax2＋bx＋c对应的函数值小于0，
即a－b＋c＜0，
∵a＞0，∴a(a－b＋c)＝a2－ab＋ac＜0，
故结论④正确，符合题意；
由抛物线可知，抛物线的最低点的纵坐标介于－3和－2之间，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－4没有交点，
∴关于x的方程ax2＋bx＋c＋4＝0无解，
故结论⑤正确，符合题意．
综上所述，正确的结论有3个．
故选C．]
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴的交点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ (b2－4ac)
有两个交点 有两个相异的实数根 b2－4ac＞0
有一个交点 有两个相等的实数根 b2－4ac＝0
没有交点 没有实数根 b2－4ac＜0
2．二次函数与一元二次不等式的关系
设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)，则当a＞0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x＜x1或x＞x2，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是x1＜x＜x2；当a<0时，不等式ax2＋bx＋c>0的解集是x1x2．
[对点演练]
6．若二次函数y＝(k－1)x2＋4x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k≤5 B．k≤5且k≠1
C．k≥5 D．k<5且k≠1
B [∵二次函数y＝(k－1)x2＋4x＋1的图象与x轴有交点，
∴一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有解，
∴
解得k≤5且k≠1．
故选B．]
7．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－3，9)，B(1，1)，则关于x的方程ax2－bx－c＝0的解为( )
A．x1＝－1，x2＝3
B．x1＝9，x2＝－3
C．x1＝1，x2＝9
D．x1＝1，x2＝－3
D [由题意可知，关于x的方程ax2－bx－c＝0的解，就是抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝bx＋c(b≠0)的两个交点坐标的横坐标，即x1＝1，x2＝－3．故选D．]
8．(2024·四川广元)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且－1＜x1＜0，2；⑤b2－4ac＞4a2．其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C [①∵抛物线开口向上，－1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，
故①不符合题意；
②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)，
∴函数的最小值y＜－2，
∴ax2＋bx＋c＝－2有两个不相等的实数根，
∴方程ax2＋bx＋c＋2＝0有两个不相等的实数根，
故②符合题意；
③∵－1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－，且<－<，
∴1<－<3，而a＞0，
∴－3a＜b＜－a，
∴a＋b＜0，
故③不符合题意；
④∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)，
∴c＝－2，
∵当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，即3a－3b＋3c＞0，当x＝3时，y＝9a＋3b＋c＞0，
∴12a＋4c＞0，
∴12a＞8，
∴a>，
故④符合题意；
⑤∵－1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴x2－x1＞2，
由根与系数的关系可得：x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴＝－＝(x1＋x2)2－x1x2＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝(x1－x2)2>×4＝1，
∴>1，
∴b2－4ac＞4a2，
故⑤符合题意．
综上，②④⑤正确，符合题意，正确的结论有3个．
故选C．]
9．(2024·邹城一模)如图，二次函数y＝ax2＋c的图象与一次函数y＝mx＋n的图象交于A(－2，p)，B(1，q)两点，则关于x的不等式ax2－mx＋c＞n的解集是________．
－2＜x＜1 [∵二次函数y＝ax2＋c的图象与一次函数y＝mx＋n的图象交于A(－2，p)，B(1，q)两点，
∴当－2＜x＜1时，ax2＋c＞mx＋n，
∴关于x的不等式ax2－mx＋c＞n的解集是－2＜x＜1．]
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如表：
x －4 －3 －1 1 5
y 0 5 9 5 －27
下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根；
③当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点(m，y1)，(－m－2，y2)均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2＋(b＋1)x＋c＜2的x的取值范围是x＜－2或x＞3．
其中正确结论的序号为________．
①②④ [把(－4，0)，(－1，9)，(1，5)代入y＝ax2＋bx＋c，得
解得
∴abc＞0，故①正确；
∵a＝－1，b＝－2，c＝8，
∴y＝－x2－2x＋8，
当y＝9时，－x2－2x＋8＝9，
∴x2＋2x＋1＝0，
∵Δ＝22－4×1×1＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝－1，
∴抛物线的顶点坐标为(－1，9)，
又∵a＜0，
∴当x＜－1时，y随x的增大而增大；当x＞－1时，y随x的增大而减小；当x＝－1时，函数取最大值9，
∵x＝－3与x＝1时函数值相等，等于5，
∴当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误；
∵＝－1，
∴点(m，y1)，(－m－2，y2)关于对称轴x＝－1对称，
∴y1＝y2，故④正确；
由ax2＋(b＋1)x＋c＜2，得ax2＋bx＋c＜－x＋2，即－x2－2x＋8＜－x＋2，画函数y＝－x2－2x＋8和y＝－x＋2图象，如图，
由解得
∴A(2，0)，B(－3，5)，
由图象可得，当x＜－3或x＞2时，－x2－2x＋8＜－x＋2，即ax2＋(b＋1)x＋c＜2，故⑤错误．
综上，正确的结论为①②④．]