(共29张PPT)
题型四 阴影部分的面积计算
类型一 和差法
√
(1)直接和差法
将不规则阴影部分的面积看成是以规则图形为载体的一部分，其他空白部分且为规则图形，此时采用整体作差法求解．如图：
利用和差法求阴影部分的面积分以下两种情况：
(2)构造和差法
先设法将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算．如图．
√
√
3．如图，⊙A的圆心为(4，0)，半径为2，OP切⊙A于P点，则阴影部分的面积为___________．
4．(2024·济宁二模)如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，则图中阴影部分的面积是_________(结果保留π)．
【典例2】 如图，点O是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，若S正六边形ABCDEF＝30，则阴影部分的面积为( )
A．10 B．15
C．20 D．随点O位置而变化
类型二 等积转化法
√
B [∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝FE，BC＝ED，∠ABC＝∠FED，
∴△ABC≌△FED，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B＝∠BAF＝∠AFE＝120°，
∵BC＝ED，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴∠CAF＝90°，
(1)直接等面积转化
利用等积转化法求阴影部分的面积分以下四种情况：
(2)平移转化法
(3)对称转化法
(4)旋转转化法
[对点演练]
5．(2024·巨野县二模)如图，在⊙O内有一个平行四边形OABC，点A，B，C在圆上，点N为边AB上一动点(点N与点B不重合)，⊙O的半径为1，则阴影部分面积为________．
6．(2024·曹县二模)如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为________．
4π
类型一 和差法
【典例1】 (2024·重庆)如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为( )
A．32－8π B．16－4π
C．32－4π D．16－8π
D [如图，连接AC，
根据题意可得AC＝2AD＝8，
∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝4，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝＝4，
∴图中阴影部分的面积为4×4－2×＝16－8π．
故选D．]
利用和差法求阴影部分的面积分以下两种情况：
(1)直接和差法
将不规则阴影部分的面积看成是以规则图形为载体的一部分，其他空白部分且为规则图形，此时采用整体作差法求解．如图：
(2)构造和差法
先设法将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算．如图．
[对点演练]
1．(2024·临沭县二模)如图，将有公共顶点O的两个边长为4的正五边形拼接(不重叠)，以点O为圆心，4为半径作弧，则图中阴影部分的面积为( )
A．π B．π
C．π D．π
C [正五边形的内角为＝108°，
∴阴影部分的扇形圆心角的和为360°－2×108°＝144°，
∴阴影部分面积为＝π．
故选C．]
2．(2024·泰安)两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是( )
A．π－ B．π
C．π－ D．π－
A [如图，连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B，
∵OA＝OO′＝AO′＝2，
∴△AOO′是等边三角形，
∴∠AOO′＝60°，OB＝OO′＝1，
∴AB＝＝，
∴S弓形AO′＝S扇形AOO′－S△AOO′
＝－2×
＝，
∴S阴影＝S弓形AO′＋S扇形AO′O
＝
＝．
故选A．]
3．如图，⊙A的圆心为(4，0)，半径为2，OP切⊙A于P点，则阴影部分的面积为________．
2π [如图，连接AP，设⊙A交OA于点B，
∵⊙A的圆心为(4，0)，半径为2，OP切⊙A于P点，
∴OA＝4，OP⊥AP，AP＝2，
∴∠OPA＝90°，
∴OP＝＝＝2，
∵tan ∠OAP＝＝＝，
∴∠OAP＝60°，
∴S阴影＝S△OAP－S扇形BAP＝×2×2－＝2π．
]
4．(2024·济宁二模)如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，则图中阴影部分的面积是________(结果保留π)．
[如图，连接OD，∵∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB，
∴∠DOB＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∵⊙O的半径为1，
∴OA＝OD＝OB＝1，AB＝2，
∴阴影部分的面积为2×1－＝．
]
类型二 等积转化法
【典例2】 如图，点O是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，若S正六边形ABCDEF＝30，则阴影部分的面积为( )
A．10 B．15
C．20 D．随点O位置而变化
B [∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝FE，BC＝ED，∠ABC＝∠FED，
∴△ABC≌△FED，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B＝∠BAF＝∠AFE＝120°，
∵BC＝ED，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴∠CAF＝90°，
同理∠AFD＝∠FDC＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
连接CF，
∵四边形ACDF是矩形，
∴S△ACF＝S△DCF，
根据三角形面积公式可得：
S△ACO＝S△ACF，
∴S△ABC＋S△ACO＝S△FED＋S△FCD，
即S阴影＝S正六边形ABCDEF＝15．
故选B．
]
利用等积转化法求阴影部分的面积分以下四种情况：
(1)直接等面积转化
(2)平移转化法
(3)对称转化法
(4)旋转转化法
[对点演练]
5．(2024·巨野县二模)如图，在⊙O内有一个平行四边形OABC，点A，B，C在圆上，点N为边AB上一动点(点N与点B不重合)，⊙O的半径为1，则阴影部分面积为________．
[∵四边形OABC是平行四边形，OA＝OC，
∴四边形OABC是菱形，
∴∠AOB＝∠BOC，
∵OC∥AB，
∴∠ABO＝∠BOC，
∴∠ABO＝∠AOB，
∴AB＝OA＝OB，
∴∠AOB＝60°，
∵AB∥OC，
∴S△ONC＝S△OBC，
∴S阴影＝S扇形OAB＝＝．]
6．(2024·曹县二模)如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为________．
4π [∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠DBC＝45°，
∵AB＝4，
∴BC＝4，BD＝4，
∴阴影部分的面积S＝S扇形BDE＝＝4π．]
7．(2024·菏泽二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是________(结果保留π)．
[∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，
∴AB＝AF＝2AC＝2，BC＝CE＝AC＝，
∴S阴影＝S△ACB＋S扇形CBE－S扇形ABF
＝×1×
＝．]
8．(2024·费县二模)如图，扇形AOB中，∠AOB＝140°，点C为OA的中点，OA＝4，CD⊥AO交于点D，以OC为半径画交OB于点E，则图中阴影部分面积为________．
2π＋2 [如图，连接OD．
∵点C为OA中点，OA＝4，
∴OC＝OA＝2，
∵OD＝OA＝4，CD⊥AO，
∴∠CDO＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴S阴影＝S扇形OAB－S扇形OCE－(S扇形OAD－S△OCD)
＝＝2π＋2．]
