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题型一 规律探索题
类型一 数式规律
√
一般通过题中前几项的数字或数式找出每项数字或数式间的关系求解，步骤为：
第一步：标序数；
第二步：对比序数(1，2，3，…，n)与所给数字或数式的关系，把每一部分与序数之间的关系用含序数的式子表示出来；
第三步：根据找出的规律求出第n个式子，并检验；
第四步：若求出的数字或式子前面的符号是正(＋)、负(－)交替出现时，根据正负号的变化规律，则第n个数字(或式子)的符号用(－1)n或(－1)n+1表示．
解答数式规律探索题的方法
[对点演练]
1．以下是一组按规律排列的多项式：a2＋b，a4＋b2，a6＋b3，a8＋b4，a10＋b5，…，其中第n个多项式是( )
A．an－bn B．an＋bn
C．a2n－bn D．a2n＋bn
√
D [式子中第一个单项式为a2，a4，a6，a8，a10，…，a2n，
式子中第二个单项式为b，b2，b3，b4，b5，…，bn，
∴第n个多项式是a2n＋bn．
故选D．]
2．(2024·江苏扬州)1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2 024个数中，奇数的个数为( )
A．676 B．674 C．1 348 D．1 350
√
D [这列数为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数，
∵2 024÷3＝674……2，
即前2 024个数共有674组，且余2个数，∴奇数有674×2＋2＝1 350(个)．
故选D．]
3．(2024·江西)观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为________．
a100 [∵a，a2，a3，a4，…，
∴第n个单项式的系数是1．
∵第1个，第2个，第3个，第4个单项式的次数分别是1，2，3，4，…，
∴第n个式子是an．
∴第100个式子是a100．]
a100
4．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，请你推算22 024的个位数字是________．
6
6 [∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，
∴2的乘方的尾数每4个循环一次，
∵2 024÷4＝506，
∴22 024与24的尾数相同，为6．]
5．将自然数按如图的规律排列，则2 011所在的位置是第________行第________列．
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 …
第一行 1 2 9 10 25 …
第二行 4 3 8 11 24 …
第三行 5 6 7 12 23 …
第四行 16 15 14 13 22 …
第五行 17 18 19 20 21 …
第六行 36 35 34 33 32 …
…
15
45
15 45 [观察发现，第一行的第1，3，5列的数分别为1，9，25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行为止；
第一列的第2，4，6行的数分别为4，16，36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列为止．
∵452＝2 025，2 025－2 011＋1＝15，
∴2 011在第15行第45列．]
7．(2024·沂水县一模)如图，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为________．
199
8．如图数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a30＝________．
465
类型二 点的坐标规律
(1)根据题意可得出点P第一次变换后的点P1的坐标；
(2)通过计算得到点P第二次变换后的坐标，第三次变换后的坐标，第四次变换后的坐标……；
(3)找出点P坐标变换后，又回到初始坐标时，其变换次数n，用总变换次数M÷n＝w……q(0≤q点的坐标变化规律题目的解题步骤
[对点演练]
9．(2024·阳谷期末)如图，在平面直角坐标系中，A(－1，1)，
B(－1，－2)，C(3，－2)，D(3，1)，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，则第2 025秒瓢虫在点
( )
A．(－1，0) B．(－1，－1)
C．(－1，－2) D．(0，－2)
√
D [∵AB＋BC＋CD＋DA＝3＋4＋3＋4＝14，
14÷2＝7，
∴瓢虫7秒爬行一圈，
∵2 025÷7＝289……2，
2×2＝4，
4－3＝1，
∴第2 025秒瓢虫在点(0，－2)．
故选D．]
10．(2024·嘉祥期中)如图，在平面直角坐标系中，A1(1，－2)，A2(2，0)，A3(3，2)，A4(4，0)，…．根据这个规律，点A2 024的坐标是( )
A．(2 023，0)
B．(2 024，2)
C．(2 024，－2)
D．(2 024，0)
√
D [观察图形可知，
点的横坐标依次是1，2，3，4，…，n，纵坐标依次是－2，0，2，0，－2，0，2，…，四个数一循环，
2 024÷4＝506，
所以点A2 024的坐标是(2 024，0)．
故选D．]
11．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，(4，0)，…，根据这个规律探索可得第2 024个点的坐标是( )
A．(63，5)
B．(63，6)
C．(64，7)
D．(64，6)
√
12．(2024·茌平区一模)如图，在平面直角坐标系中，若干个横纵坐标都是整数的点，其顺序为(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，根据这个规律，第2 024个点的坐标为________．
(45，1)
(45，1) [根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，……，右下角的点的横坐标为n时，共有n2个．
∵2 025＝452，
∴第2 025个点的坐标为(45，0)．
又∵2 025－1＝2 024，
∴第2 024个点在第2 025个点的上方1个单位长度处，
∴第2 024个点的坐标为(45，1)．]
13．如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点(1，0)，第2次运动到点(1，1)，第3次运动到点(2，1)，……，按这样的运动规律，经过第2 025次运动后，小蚂蚁的坐标是_____________．
(1 013，1 012)
(1 013，1 012) [由第1次它从原点运动到点(1，0)，第2次运动到点(1，1)，第3次运动到点(2，1)，第4次运动到点(2，2)，……，
得第2n次运动到点(n，n)，第2n＋1次运动到点(n＋1，n)，
故当n＝1 012时，即第2 025次运动后，小蚂蚁的坐标是(1 013，
1 012)．]
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，∠MON＝30°，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，以此类推，若OA1＝1，则OA2 025＝________．
22 024
22 024 [∵等边△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，
∴∠B1A1A2＝∠A1A2B1＝∠A2B1A1＝60°，∠A3A2B2＝∠A2B2A3＝∠A2A3B2＝60°，∠A4A3B3＝∠A3B3A4＝∠A3A4B3＝60°…，A1B1＝A1A2＝A2B1，A2B2＝A2A3＝A3B2，A3B3＝A3A4＝A4B3，…，
∵∠B1OA1＝30°，OA1＝1，
∴∠OB1A1＝30°＝∠B1OA1，
∴A1A2＝A2B1＝A1B1＝OA1＝1，
∴OA2＝OA1＋A1A2＝1＋1＝2，
∵∠A3A2B2＝∠B1OA1＋∠OB2A2＝60°，
∴∠OB2A2＝30°＝∠B2OA2，
∴A2A3＝A2B2＝OA2＝OA1＋A1A2＝1＋1＝2＝21，
∴OA3＝OA2＋A2A3＝2＋2＝4＝22，
同理OA4＝8＝23，
…，
∴OAn＝2n-1，
∴OA2 025＝22 025-1＝22 024．]
【典例3】 (2024·重庆)用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第(1)个图案中有2个菱形，第(2)个图案中有5个菱形，第(3)个图案中有8个菱形，第(4)个图案中有11个菱形，……，按此规律，则第(8)个图案中，菱形的个数是( )
A．20 B．21 C．23 D．26
类型三 图形变化规律
√
C [由所给图形可知，
第(1)个图案中，菱形的个数为：2＝1×3－1；
第(2)个图案中，菱形的个数为：5＝2×3－1；
第(3)个图案中，菱形的个数为：8＝3×3－1；
第(4)个图案中，菱形的个数为：11＝4×3－1；
……，
所以第n个图案中，菱形的个数为(3n－1)个．
当n＝8时，
3n－1＝23(个)，
即第(8)个图案中，菱形的个数为23个．
故选C．]
第一步：写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；
第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形的个数；
第三步：寻找图形数量与序数n的关系：针对寻找第n个图形数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作差来观察是否有恒定量的变化，一般分为两种情况：
①相邻图形个数的差值相同，则第n个图形的个数m是最高次项为一次的整式m＝an＋b，然后代入2组数据即可求出a，b的值；
解答图形规律探索题的具体步骤
②相邻图形个数的差值不同，则第n个图形的个数m是最高次项为二次的整式m＝an2＋bn＋c，然后代入3组数据即可求出a，b，c的值；
第四步：验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．
[对点演练]
15．一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，则第50个图中有多少个“〇”( )
A．2 657 B．2 555 C．2 455 D．1 875
√
C [第1个图形有：5个〇，
第2个图形有：2×1＋5＝7(个)〇，
第3个图形有：3×2＋5＝11(个)〇，
第4个图形有：4×3＋5＝17(个)〇，
……，
由此可得第n个图形有：[n(n－1)＋5]个〇，
则可得第50个图形有50×49＋5＝2 455(个)〇．
故选C．]
16．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是( )
A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025
√
B [第1个图有4个三角形，即4＝3×1＋1，
第2个图有7个三角形，即7＝3×2＋1，
第3个图有10个三角形，即10＝3×3＋1，
……，
按此规律排列下去，第n个图有(3n＋1)个三角形，
则第674个图中三角形的个数为：3×674＋1＝2 023．
故选B．]
17．(2024·泰安)如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第_____个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
12
12 [由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1＝1，图形“●”的个数为：4＝1×2＋2；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：3＝1＋2，图形“●”的个数为：6＝2×2＋2；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：6＝1＋2＋3，图形“●”的个数为：8＝3×2＋2；
18．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多15枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为( )
A．75枚 B．77枚 C．70枚 D．74枚
√
B [由所给图形可知，
第1个图形中正方形的个数为4＝1×3＋1，等边三角形的个数为3＝1×2＋1，正方形比等边三角形多的个数为1×3＋1－(1×2＋1)＝1×(3－2)；
第2个图形中正方形的个数为7＝2×3＋1，等边三角形的个数为5＝2×2＋1，正方形比等边三角形多的个数为2×3＋1－(2×2＋1)＝2×(3－2)；
第3个图形中正方形的个数为10＝3×3＋1，等边三角形的个数为7＝3×2＋1，正方形比等边三角形多的个数为3×3＋1－(3×2＋1)＝3×(3－2)；
……，
所以第n个图形中正方形的个数为3n＋1，等边三角形的个数为2n＋1，正方形比等边三角形多的个数为n．
当n＝15时，
3n＋1＋2n＋1＝5n＋2＝5×15＋2＝77(个)．
故选B．]
19．(2024·青海)如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第(7)个图案中有______根火柴棒．
15
15 [根据题意得：第(1)个图形有3＝1＋2根火柴棒，
第(2)个图形有5＝(1＋2×2)根火柴棒，
第(3)个图形有7＝(1＋2×3)根火柴棒，
……，
第(n)个图形有(1＋2n)根火柴棒，
∴第(7)个图案中有1＋2×7＝15(根)火柴棒．]类型一 数式规律
【典例1】 (2024·四川德阳)将一组数，2，，2，，2，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是( )
第一行
第二行 2
第三行 2 2
……
A．7 B．8 C． D．4
C [由题意可得前七行所有的数的总个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，
则第八行左起第1个数是第29个数，即＝．
故选C．]
解答数式规律探索题的方法
一般通过题中前几项的数字或数式找出每项数字或数式间的关系求解，步骤为：
第一步：标序数；
第二步：对比序数(1，2，3，…，n)与所给数字或数式的关系，把每一部分与序数之间的关系用含序数的式子表示出来；
第三步：根据找出的规律求出第n个式子，并检验；
第四步：若求出的数字或式子前面的符号是正(＋)、负(－)交替出现时，根据正负号的变化规律，则第n个数字(或式子)的符号用(－1)n或(－1)n+1表示．
[对点演练]
1．以下是一组按规律排列的多项式：a2＋b，a4＋b2，a6＋b3，a8＋b4，a10＋b5，…，其中第n个多项式是( )
A．an－bn B．an＋bn
C．a2n－bn D．a2n＋bn
D [式子中第一个单项式为a2，a4，a6，a8，a10，…，a2n，
式子中第二个单项式为b，b2，b3，b4，b5，…，bn，
∴第n个多项式是a2n＋bn．
故选D．]
2．(2024·江苏扬州)1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2 024个数中，奇数的个数为( )
A．676 B．674 C．1 348 D．1 350
D [这列数为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数，
∵2 024÷3＝674……2，
即前2 024个数共有674组，且余2个数，∴奇数有674×2＋2＝1 350(个)．
故选D．]
3．(2024·江西)观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为________．
a100 [∵a，a2，a3，a4，…，
∴第n个单项式的系数是1．
∵第1个，第2个，第3个，第4个单项式的次数分别是1，2，3，4，…，
∴第n个式子是an．
∴第100个式子是a100．]
4．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，请你推算22 024的个位数字是________．
6 [∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，
∴2的乘方的尾数每4个循环一次，
∵2 024÷4＝506，
∴22 024与24的尾数相同，为6．]
5．将自然数按如图的规律排列，则2 011所在的位置是第________行第________列．
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 …
第一行 1 2 9 10 25 …
第二行 4 3 8 11 24 …
第三行 5 6 7 12 23 …
第四行 16 15 14 13 22 …
第五行 17 18 19 20 21 …
第六行 36 35 34 33 32 …
…
15 45 [观察发现，第一行的第1，3，5列的数分别为1，9，25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行为止；
第一列的第2，4，6行的数分别为4，16，36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列为止．
∵452＝2 025，2 025－2 011＋1＝15，
∴2 011在第15行第45列．]
6．一组按规律排列的式子：，－，－，…，第n个式子是________(用含a，n的式子表示，n为正整数)．
(－1)n+1· [∵＝(－1)2·，
－＝(－1)3·，
＝(－1)4·，
…，
∴第n个式子为(－1)n+1·．]
7．(2024·沂水县一模)如图，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为________．
199 [1＋1＝1×2＝2，
2＋7＝3×3＝9，
3＋17＝4×5＝20，
…，
以此类推，可知左上角的数是从1开始的连续的自然数，右上角的数是从1开始的连续的奇数，左下角的数是从2开始的连续的自然数，且左上角的数与右下角的数的和等于右上角的数与左下角的数的乘积，
∴a＝＝10，b＝10＋1＝11，
∴10＋x＝19×11，
解得x＝199．]
8．如图数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a30＝________．
465 [由题知，
a1＝1，
a2＝3＝1＋2，
a3＝6＝1＋2＋3，
a4＝10＝1＋2＋3＋4，
…，
所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝(n为正整数)，
当n＝30时，
a30＝＝465．]
类型二 点的坐标规律
【典例2】 (2024·黑龙江绥化)如图，已知A1(1，－)，A2(3，－)，A3(4，0)，A4(6，0)，A5(7，)，A6(9，)，A7(10，0)，A8(11，－)，…，依此规律，则点A2 024的坐标为________．
(2 891，－) [由题知，
点A1的坐标为(1，－)，
点A2的坐标为(3，－)，
点A3的坐标为(4，0)，
点A4的坐标为(6，0)，
点A5的坐标为(7，)，
点A6的坐标为(9，)，
点A7的坐标为(10，0)，
点A8的坐标为(11，－)，
点A9的坐标为(13，－)，
点A10的坐标为(14，0)，
点A11的坐标为(16，0)，
点A12的坐标为(17，)，
点A13的坐标为(19，)，
点A14的坐标为(20，0)，
…，
由此可见，每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按－，－，0，0，，0循环出现，
又因为2 024÷7＝289……1，
所以1＋289×10＝2 891，
则点A2 024的坐标为(2 891，－)．]
点的坐标变化规律题目的解题步骤
(1)根据题意可得出点P第一次变换后的点P1的坐标；
(2)通过计算得到点P第二次变换后的坐标，第三次变换后的坐标，第四次变换后的坐标……；
(3)找出点P坐标变换后，又回到初始坐标时，其变换次数n，用总变换次数M÷n＝w……q(0≤q[对点演练]
9．(2024·阳谷期末)如图，在平面直角坐标系中，A(－1，1)，B(－1，－2)，C(3，－2)，D(3，1)，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，则第2 025秒瓢虫在点( )
A．(－1，0) B．(－1，－1)
C．(－1，－2) D．(0，－2)
D [∵AB＋BC＋CD＋DA＝3＋4＋3＋4＝14，
14÷2＝7，
∴瓢虫7秒爬行一圈，
∵2 025÷7＝289……2，
2×2＝4，
4－3＝1，
∴第2 025秒瓢虫在点(0，－2)．
故选D．]
10．(2024·嘉祥期中)如图，在平面直角坐标系中，A1(1，－2)，A2(2，0)，A3(3，2)，A4(4，0)，…．根据这个规律，点A2 024的坐标是( )
A．(2 023，0) B．(2 024，2)
C．(2 024，－2) D．(2 024，0)
D [观察图形可知，
点的横坐标依次是1，2，3，4，…，n，纵坐标依次是－2，0，2，0，－2，0，2，…，四个数一循环，
2 024÷4＝506，
所以点A2 024的坐标是(2 024，0)．
故选D．]
11．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，(4，0)，…，根据这个规律探索可得第2 024个点的坐标是( )
A．(63，5) B．(63，6)
C．(64，7) D．(64，6)
C [由题知，
横坐标为1的点有1个，横坐标为2的点有2个，横坐标为3的点有3个，……，
所以横坐标为n的点有n个，
则截止到横坐标为n(包含n)的点共有1＋2＋3＋…＋n＝(个)，
当n＝63时，
＝＝2 016，
即截止到横坐标为63的点共有2 016个．
又因为横坐标为偶数的点是从下往上排列的，且2 024－2 016＝8，
所以第2 024个点的坐标为(64，7)．
故选C．]
12．(2024·茌平区一模)如图，在平面直角坐标系中，若干个横纵坐标都是整数的点，其顺序为(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，根据这个规律，第2 024个点的坐标为________．
(45，1) [根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，……，右下角的点的横坐标为n时，共有n2个．
∵2 025＝452，
∴第2 025个点的坐标为(45，0)．
又∵2 025－1＝2 024，
∴第2 024个点在第2 025个点的上方1个单位长度处，
∴第2 024个点的坐标为(45，1)．]
13．如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点(1，0)，第2次运动到点(1，1)，第3次运动到点(2，1)，……，按这样的运动规律，经过第2 025次运动后，小蚂蚁的坐标是________．
(1 013，1 012) [由第1次它从原点运动到点(1，0)，第2次运动到点(1，1)，第3次运动到点(2，1)，第4次运动到点(2，2)，……，
得第2n次运动到点(n，n)，第2n＋1次运动到点(n＋1，n)，
故当n＝1 012时，即第2 025次运动后，小蚂蚁的坐标是(1 013，1 012)．]
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，∠MON＝30°，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，以此类推，若OA1＝1，则OA2 025＝________．
22 024 [∵等边△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，
∴∠B1A1A2＝∠A1A2B1＝∠A2B1A1＝60°，∠A3A2B2＝∠A2B2A3＝∠A2A3B2＝60°，∠A4A3B3＝∠A3B3A4＝∠A3A4B3＝60°…，A1B1＝A1A2＝A2B1，A2B2＝A2A3＝A3B2，A3B3＝A3A4＝A4B3，…，
∵∠B1OA1＝30°，OA1＝1，
∴∠OB1A1＝30°＝∠B1OA1，
∴A1A2＝A2B1＝A1B1＝OA1＝1，
∴OA2＝OA1＋A1A2＝1＋1＝2，
∵∠A3A2B2＝∠B1OA1＋∠OB2A2＝60°，
∴∠OB2A2＝30°＝∠B2OA2，
∴A2A3＝A2B2＝OA2＝OA1＋A1A2＝1＋1＝2＝21，
∴OA3＝OA2＋A2A3＝2＋2＝4＝22，
同理OA4＝8＝23，
…，
∴OAn＝2n-1，
∴OA2 025＝22 025-1＝22 024．]
类型三 图形变化规律
【典例3】 (2024·重庆)用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第(1)个图案中有2个菱形，第(2)个图案中有5个菱形，第(3)个图案中有8个菱形，第(4)个图案中有11个菱形，……，按此规律，则第(8)个图案中，菱形的个数是( )
A．20 B．21 C．23 D．26
C [由所给图形可知，
第(1)个图案中，菱形的个数为：2＝1×3－1；
第(2)个图案中，菱形的个数为：5＝2×3－1；
第(3)个图案中，菱形的个数为：8＝3×3－1；
第(4)个图案中，菱形的个数为：11＝4×3－1；
……，
所以第n个图案中，菱形的个数为(3n－1)个．
当n＝8时，
3n－1＝23(个)，
即第(8)个图案中，菱形的个数为23个．
故选C．]
解答图形规律探索题的具体步骤
第一步：写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；
第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形的个数；
第三步：寻找图形数量与序数n的关系：针对寻找第n个图形数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作差来观察是否有恒定量的变化，一般分为两种情况：
①相邻图形个数的差值相同，则第n个图形的个数m是最高次项为一次的整式m＝an＋b，然后代入2组数据即可求出a，b的值；
②相邻图形个数的差值不同，则第n个图形的个数m是最高次项为二次的整式m＝an2＋bn＋c，然后代入3组数据即可求出a，b，c的值；
第四步：验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．
[对点演练]
15．一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，则第50个图中有多少个“〇”( )
A．2 657 B．2 555 C．2 455 D．1 875
C [第1个图形有：5个〇，
第2个图形有：2×1＋5＝7(个)〇，
第3个图形有：3×2＋5＝11(个)〇，
第4个图形有：4×3＋5＝17(个)〇，
……，
由此可得第n个图形有：[n(n－1)＋5]个〇，
则可得第50个图形有50×49＋5＝2 455(个)〇．
故选C．]
16．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是( )
A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025
B [第1个图有4个三角形，即4＝3×1＋1，
第2个图有7个三角形，即7＝3×2＋1，
第3个图有10个三角形，即10＝3×3＋1，
……，
按此规律排列下去，第n个图有(3n＋1)个三角形，
则第674个图中三角形的个数为：3×674＋1＝2 023．
故选B．]
17．(2024·泰安)如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第________个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
12 [由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1＝1，图形“●”的个数为：4＝1×2＋2；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：3＝1＋2，图形“●”的个数为：6＝2×2＋2；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：6＝1＋2＋3，图形“●”的个数为：8＝3×2＋2；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：10＝1＋2＋3＋4，图形“●”的个数为：10＝4×2＋2；
……，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1＋2＋3＋…＋n＝，图形“●”的个数为：2n＋2．
由题知，
＝3(2n＋2)，
解得n1＝－1，n2＝12，
又因为n为正整数，
所以n＝12，
即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．]
18．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多15枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为( )
A．75枚 B．77枚 C．70枚 D．74枚
B [由所给图形可知，
第1个图形中正方形的个数为4＝1×3＋1，等边三角形的个数为3＝1×2＋1，正方形比等边三角形多的个数为1×3＋1－(1×2＋1)＝1×(3－2)；
第2个图形中正方形的个数为7＝2×3＋1，等边三角形的个数为5＝2×2＋1，正方形比等边三角形多的个数为2×3＋1－(2×2＋1)＝2×(3－2)；
第3个图形中正方形的个数为10＝3×3＋1，等边三角形的个数为7＝3×2＋1，正方形比等边三角形多的个数为3×3＋1－(3×2＋1)＝3×(3－2)；
……，
所以第n个图形中正方形的个数为3n＋1，等边三角形的个数为2n＋1，正方形比等边三角形多的个数为n．
当n＝15时，
3n＋1＋2n＋1＝5n＋2＝5×15＋2＝77(个)．
故选B．]
19．(2024·青海)如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第(7)个图案中有________根火柴棒．
15 [根据题意得：第(1)个图形有3＝1＋2根火柴棒，
第(2)个图形有5＝(1＋2×2)根火柴棒，
第(3)个图形有7＝(1＋2×3)根火柴棒，
……，
第(n)个图形有(1＋2n)根火柴棒，
∴第(7)个图案中有1＋2×7＝15(根)火柴棒．]
20．如图所示，将形状大小完全相同的“ ”按照一定规律摆成下列图形．图1中“ ”的个数为a1，图2中“ ”的个数为a2，图3中“ ”的个数为a3，以此类推，＋…＋的值为 ________．
[由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，
∴an＝n(n＋1)，
∴原式＝＋…＋
＝2×
＝2×
＝2×
＝．]
