课时分层评价卷(二十) 多边形与平行四边形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
1．(2024·邹城市一模)如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数为( )
[A]6 [B]7 [C]8 [D]9
2．(2024·贵州)如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
[A]AB＝BC [B]AD＝BC
[C]OA＝OB [D]AC⊥BD
3．(2024·四川遂宁)佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
[A]36° [B]40° [C]45° [D]60°
4．(2024·四川德阳)已知，正六边形ABCDEF的面积为6，则正六边形的边长为( )
[A]1 [B] [C]2 [D]4
5．(2024·四川巴中)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若 ABCD的周长为12，则△COE的周长为( )
[A]4 [B]5 [C]6 [D]8
6．(2024·单县一模)如图，在 ABCD中，点E在BC上且EB＝2EC，AE与BD交于点F．若BD＝5，则BF的长为( )
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
7．如图，在 ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF，其中正确结论的个数为( )
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
8．(2024·莒南县模拟)如图1， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案( )
[A]甲、乙、丙都是 [B]只有甲、乙才是
[C]只有甲、丙才是 [D]只有乙、丙才是
9．(2024·郓城县模拟)将正六边形ABCDEF和正五边形BCGHI按如图所示的位置摆放，连接DG，则∠CDG＝________．
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
10．(9分)(2024·茌平区校级模拟)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．
11．(2024·河北)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，
△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3．
∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
∴①________．
又∵∠4＝∠5，MA＝MC，
∴△MAD≌△MCB(②________)．
∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为( )
[A]∠1＝∠3，AAS [B]∠1＝∠3，ASA
[C]∠2＝∠3，AAS [D]∠2＝∠3，ASA
12．(2024·浙江)如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，BD＝2．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是( )
[A]x＋y [B]x－y [C]xy [D]x2＋y2
13．(2024·莒南县一模)如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为________度．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
14．(12分)如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC、AD上．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)连接DE交CF于点G，若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积．
15．[分类讨论](2024·四川自贡)如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝6 cm，BC＝12 cm．点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3 cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段PQ＝CD出现的次数是( )
[A]3 [B]4 [C]5 [D]6课时分层评价卷(二十)
1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 6．B
7．C [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠A＝∠C，故①③正确；
∴S△ABD＝S△CDB＝S平行四边形ABCD，∠ODE＝∠OBF，
∵点O是BD的中点，
∴OD＝OB，
又∵∠DOE＝∠BOF，
∴△ODE≌△OBF(ASA)，
∴S△ODE＝S△OBF，EO＝FO≠ED，故②不正确；
∵S△ABD＝S△CDB，S△ODE＝S△OBF，
∴S△ABD－S△ODE＝S△CDB－S△OBF，
即S四边形ABOE＝S四边形CDOF，故④正确．
综上所述，正确结论的个数为3．故选C．]
8．A [方案甲中：连接AC，如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙中：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，
在△ABN和△CDM中，
∴△ABN≌△CDM(AAS)，∴AN＝CM，
又∵AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙中：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴∠BAN＝∠DCM，
在△ABN和△CDM中，
∴△ABN≌△CDM(ASA)，
∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．故选A．]
9．24° [由题意得，CG＝CD．∴∠CGD＝∠CDG．
∵多边形ABCDEF是正六边形，多边形BCGHI是正五边形，
∴∠BCD＝120°，∠BCG＝108°．
∴∠DCG＝360°－∠BCD－∠BCG＝360°－120°－108°＝132°．
∴∠CGD＋∠CDG＝180°－∠GCD＝48°．
∴2∠CDG＝48°．
∴∠CDG＝24°．]
10．证明：∵ ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE＝CF．
11．D [∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3，
∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵点M是AC的中点，
∴MA＝MC，
在△MAD和△MCB中，
∴△MAD≌△MCB(ASA)，
∴MD＝MB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴①，②分别为∠2＝∠3，ASA．故选D．]
12．C [过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，DH⊥BC，
∴AE＝DH，
∴Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)，
∴CH＝BE＝x，
∵BC＝y，
∴EC＝BC－BE＝y－x，BH＝BC＋CH＝y＋x，
∵AE2＝AC2－EC2，DH2＝BD2－BH2，
∴22－(y－x)2＝2－(y＋x)2，
∴xy＝2．故选C．]
13．45 [∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，
∴∠B＝∠BAE＝108°，
由图形的折叠可知，∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝54°，
∠BAF＝∠FAB′＝∠BAM＝27°，
∠AFB′＝∠AFB＝180°－∠B－∠BAF＝180°－108°－27°＝45°．故答案为45．]
14．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，
∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)如图，过点C作CH⊥AD于点H，
则∠CHD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADC＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°－∠ADC＝180°－60°＝120°，
∵CF是∠BCD的平分线，
∴∠DCF＝∠BCD＝×120°＝60°，
∴∠ADC＝∠DCF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝2，DH＝DF＝1．
在Rt△CHD中，由勾股定理得CH＝，
∴S△CDF＝，
由(1)得四边形AECF是平行四边形，
∴CE＝AF＝×2＝1，
∵AD∥BC，∴△DGF∽△EGC，∴，
∴FG＝CF，∴S△GDF＝S△CDF＝．
15．B [由已知可得，P从A到D需12 s，Q从C到B(或从B到C)需4 s，
设P，Q运动时间为t s，
①当0≤t≤4时，过Q作QH⊥AD于H，过C作CG⊥AD于G，如图，
由题可知，AP＝t cm，CQ＝3t cm＝GH，
∵PD∥CQ，PQ＝CD，
∴四边形CQPD是等腰梯形，
∴∠QPH＝∠D＝∠B＝60°，
∵PQ＝CD＝AB＝6 cm，
∴PH＝PQ＝3 cm，DG＝CD＝3 cm，
∵AP＋PH＋GH＋DG＝AD＝BC＝12，
∴t＋3＋3t＋3＝12，
解得t＝1.5；
当四边形CQPD是平行四边形时，如图，
此时PD＝CQ＝3t cm，
∴t＋3t＝12，
解得t＝3，
∴t为1.5 s或3 s时，PQ＝CD．
②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，如图，
此时BQ＝3(t－4)cm，AP＝t cm，
∵AD＝BC，PD＝CQ，
∴BQ＝AP，
∴3(t－4)＝t，解得t＝6；
由①知，若四边形CQPD是CD，PQ为腰的等腰梯形，则PD＞6 cm，这种情况在4＜t≤8时不存在；
∴t为6 s时，PQ＝CD．
③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，如图，
此时CQ＝3(t－8)，PD＝12－t，
∴3(t－8)＝12－t，解得t＝9，
∴t为9 s时，PQ＝CD．综上所述，t为1.5 s或3 s或6 s或9 s时，PQ＝CD．故选B．]
