课时分层评价卷(二十三)
1．B 2．A 3．B 4．B 5．A 6.40°
7．4 [EO＝AB＋BO＝12＋5＝17，
当AB与⊙O相切时，如图，
则∠ABO＝90°，
∴OA＝
＝13，
∴EA＝EO－OA＝17－13＝4．]
8．解：(1)证明：连接OC，
则∠OAC＝∠OCA，
又∵BC＝CD，
∴，
∴∠DAC＝∠CAB＝∠DAB，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴∠OCE＝∠F．
∵EH平分∠FEG，
∴∠FEG＝2∠HEG，
∴∠F＝∠FEG－∠FAE＝2∠HEG－2∠CAB＝2(∠HEG－∠CAB)＝2∠H＝2×45°＝90°，
∴∠OCE＝∠F＝90°，
又∵OC是半径，
∴EF是⊙O的切线．
(2)设⊙O的半径为r，则OE＝OB＋BE＝r＋2，
∵OC2＋CE2＝OE2，即r2＋42＝(r＋2)2，
解得r＝3，
∴EA＝AB＋BE＝2r＋2＝8，OE＝5，
又∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EFA，
∴，即，解得AF＝．
9．B [如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且⊙B的半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，当D，B，C三点共线，且点C在DB的延长线上时，CD最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2＋1，
∴OM＝，即OM的最大值为．故选B．]
10．D [如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC＝90°，
又∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DOB＝∠ABD＝60°，AB＝2OB＝2OD＝2BD．
∴∠C＝∠BDC＝30°，
∴BD＝BC，②成立；
∴AB＝2BC，③成立；
∵∠A＝∠C，
∴DA＝DC，①成立．
综上所述，①②③均成立．故选D．]
11．29° [∵△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，
∴AD＝AE，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED＝(180°－∠A)，
∴∠BFD＝∠ADE－∠ABF＝(180°－∠A)－＝(180°－∠A－∠ABC)，
∵180°－∠A－∠ABC＝∠ACB＝58°，
∴∠BFD＝×58°＝29°．]
12．2 [记直线y＝x＋4与x，y轴分别交于点A，K，连接QM，PM，KM．
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，即x＋4＝0，
解得x＝－4，
即K(0，4)，A(－4，0)，
而M(4，0)，
∴OA＝OK＝OM＝4，
∴△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，
∴∠AKO＝∠MKO＝45°，
∴∠AKM＝90°．
∵QP与⊙M相切，
∴∠PQM＝90°，
∴PQ＝，
∵QM＝2，
∴当PQ最小时即PM最小，
∴当PM⊥AK时，取得最小值，
即点P与点K重合，此时PM最小值为KM，
在Rt△OKM中，由勾股定理得KM＝，
∴PQ＝，
∴PQ的最小值为2．]
13．解：(1)证明：连接AC交OD于点F，如图，
∵，
∴OD⊥AC且AF＝CF，AD＝DC，
∴OD平分∠ADC．
(2)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
由(1)知，∠CFD＝90°，
∴四边形DECF为矩形，
∴CF＝DE＝4，
∴AC＝2CF＝8．
在Rt△ACB中，∵tan B＝，
∴BC＝×8＝6，
∴AB＝＝10，
∴OD＝5，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF＝BC＝3，
∴DF＝OD－OF＝2，
在Rt△CDF中，CD＝．
14．解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°－25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB＋∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°－∠CAB＝115°．
(2)DI＝AD＝BD，证明如下：
连接AI，如图1．
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI＝∠ACB＝45°，
∴，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，
∵∠DAI＝∠DAB＋∠BAI，∠DIA＝∠ACI＋∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，
∴DI＝AD＝BD．
(3)过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q，F，P，如图2．
∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，
∴Q，F，P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，
∵CI＝2，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，
∴CF＝CI·cos 45°＝2＝CP，
∵DI＝AD＝BD，DI＝，∠ADB＝90°，
∴AB＝＝13，
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC
＝AB＋AF＋CF＋CP＋BP
＝AB＋AQ＋BQ＋2CF
＝2AB＋2CF
＝2×13＋2×2＝30．课时分层评价卷(二十三) 与圆有关的位置关系
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分)
1．(2024·郓城县一模)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r，已知边AB和⊙C有交点，则r的取值范围为( )
[A]r＞3 [B]2.4≤r≤4
[C]r＜4 [D]r≥2.4
第1题图 第2题图 第3题图 第5题图
2．(2024·福建)如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于( )
[A]18° [B]30° [C]36° [D]72°
3．(2024·梁山县二模)如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58.5°，则∠ACE的度数为( )
[A]29.5° [B]31.5° [C]58.5° [D]63°
4．(2024·上海)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在△ABC内，分别以A，B，P为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是( )
[A]内含 [B]相交 [C]外切 [D]相离
5．(2024·阳谷县一模)如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为( )
[A]2 [B]3 [C]4 [D]2
6．(2024·浙江)如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为________．
第6题图 第7题图
7．(情境题)发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图是发动机剖面图的示意图，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若AB＝12，OB＝5，当AB与⊙O相切时，EA的长度是________．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
8．(10分)(2024·山东威海)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD．点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若BE＝2，CE＝4，求AF的长．
9．(2024·济宁二模)如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为( )
[A]＋1 [B] [C]2＋1 [D]2
10．(2024·菏泽一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°．下列结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC．其中正确结论的个数是( )
[A]0 [B]1 [C]2 [D]3
第10题图 第11题图 第12题图
11．(2024·冠县一模)如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，连接DE，BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝________．
12．(2024·四川凉山)如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为________．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
13．(10分)(2024·聊城二模)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且＝，连接BC并延长与过点D的⊙O的切线相交于点E，连接OD．
(1)证明：OD平分∠ADC；
(2)若DE＝4，tan B＝，求CD的长．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
14．(12分)(2024·烟台)如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
(1)若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
(2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
(3)若CI＝2，DI＝，求△ABC的周长．
