课时分层评价卷(二十一)
1．C 2．C 3．C 4．C 5．C 6．D
7．B [如图，AC，BD交于点O，当P不在O点时，
则AP＋PC＞AC，BP＋PD＞BD，
当P在O点时，如图，
则AP＋PC＝AC，BP＋PD＝BD，
则P到4个顶点距离之和的最小值为AC＋BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD＝，
∴P到4个顶点距离之和的最小值为AC＋BD＝2．故选B．]
8．2 [如图，过D作DH⊥AC于H，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，AC＝AB＝6，AH＝CH＝AC＝3，
∵EF⊥AB，∴∠AEF＝30°，∴AE＝2AF，
又CE＝AF，∴AE＝2CE，∴CE＝2，∴HE＝CH－CE＝1，
在Rt△CDH中，DH2＝CD2－CH2＝27，
∴DE＝．]
9．证明：∵O是边AB的中点，
∴OA＝OB，
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC(ASA)，
∴AD＝BC，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
10．D [如图所示，四边形ABCD是黄金矩形，AB设AB＝a，BC＝b，假设存在点P，且AP＝x，则PD＝b－x，
在Rt△ABP中，BP2＝AB2＋AP2＝a2＋x2，
在Rt△PDC中，PC2＝PD2＋CD2＝(b－x)2＋a2，
∵PB⊥PC，
∴BC2＝BP2＋PC2，即b2＝a2＋x2＋(b－x)2＋a2，
整理得x2－bx＋a2＝0，
∵Δ＝b2－4a2，又，即a＝b，
∴Δ＝b2－4a2＝b2－4×b2＝b2，
∵2－5<0，b2>0，
∴Δ＝b2－4a2＝b2<0，
∴方程无解，即点P不存在．故选D．]
11．A [如图所示，连接EF，DG，
∵在正方形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝90°，
又∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴四边形AEFD为矩形，
∴AF＝ED，
∴M为AF，ED的中点，
又∵N为EG的中点，
∴在△EGD中，MN∥DG，MN＝DG．
在Rt△DCG中，利用勾股定理，求得DG＝2，
则MN＝．故选A．]
12．16 [在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE＝2∠BAE，BE＝2，
∴∠BAD＝90°，
∴90°＝∠BAD＝∠BAE＋∠DAE＝∠BAE＋2∠BAE，
∴∠BAE＝30°，
∵AE⊥BD，即∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－30°＝60°，
在Rt△ABE中，AB＝＝4，
在Rt△ABD中，AD＝AB·tan ∠ABE＝4×tan 60°＝，∴S矩形ABCD＝AB·AD＝4×4．]
13．解：(1)正确，理由如下：
作EM⊥BC，垂足为点M．
∵EF⊥BG，∴∠BHF＝90°，
∴∠FBH＋∠BFH＝90°．
∵∠EMF＝90°，
∴∠MEF＋∠BFH＝90°，
∴∠FBH＝∠MEF．
又∵∠EMF＝∠C＝90°，
∴△EMF∽△BCG．
∴．
∵四边形ABCD是矩形，EM⊥BC，
∴四边形ABME是矩形．
∴AB＝EM．∴．
(2)同学们的发现正确，理由如下：
∵CD∥FG，∴，∠CDF＝∠DFG，
由折叠的性质可知∠CDF＝∠BDF，
∴∠DFG＝∠BDF．∴GD＝GF．∴．
由平行四边形及折叠的性质可知AB＝BG，AB＝CD，
∴，∴BG2＝BD·GD．
即点G为BD的一个黄金分割点．课时分层评价卷(二十一) 矩形、菱形、正方形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共55分)
1．(2024·甘肃临夏)如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3，4)，则顶点A的坐标为( )
[A](－4，2) [B](－，4)
[C](－2，4) [D](－4，)
2．(2024·四川成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
[A]AB＝AD [B]AC⊥BD
[C]AC＝BD [D]∠ACB＝∠ACD
3．(2024·湖北武汉)小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是( )
[A]64° [B]66° [C]68° [D]70°
第2题图 第3题图 第4题图
4．(2024·费县模拟)如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一点，AP＝AC，PE⊥AD，PE＝3，则点C到直线AB的距离为( )
[A]7 [B]8 [C]9 [D]10
5．(2024·吉林)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－4，0)，点C的坐标为(0，2)．以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为( )
[A](－4，－2) [B](－4，2) [C](2，4) [D](4，2)
第5题图 第6题图 第8题图
6．(2024·鄄城县二模)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE，则∠ABE＝( )
[A]45° [B]50° [C]35° [D]15°
7．(2024·牡丹区一模)已知P为正方形ABCD内的一点，AB＝1，则P到4个顶点距离之和的最小值为( )
[A] [B]2 [C]1 [D]2
8．(2024·内蒙古包头)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE＝AF，则DE的长为________．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
9．(10分)(2024·吉林长春)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．
10．[新定义](2024·四川德阳)宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形(AB[A]3 [B]2 [C]1 [D]0
11．(2024·兖州区一模)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝6，CG＝2，则线段MN的长度为( )
[A] [B] [C]2 [D]
12．(2024·东昌府区二模)如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE＝2∠BAE，若BE＝2，则矩形ABCD的面积为________．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
13．(12分)[项目式学习试题](2024·泰安)综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
(1)同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连接BG，EF与BG相交于点H．同学们发现图形中四条线段成比例，即＝，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
(2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF．将纸片展平，连接EG，FH，FG．同学们探究后发现，若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即BG2＝BD·GD．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
