课时分层评价卷(六) 一元二次方程及其应用
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共85分)
1．[原创题]如果关于x的一元二次方程ax2＋bx－1＝0的一个解是x＝－1，则代数式2 025－a＋b的值为( )
[A]－2 024 [B]－2 025 [C]2 024 [D]2 025
2．[图表信息题](2024·江苏扬州模拟)根据如表可知，方程x2＋3x－1＝0的一个解的范围为( )
x … 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 …
y＝x2＋3x－1 … －0.081 6 －0.045 9 －0.01 0.026 1 0.026 4 …
[A]0.28＜x＜0.29 [B]0.29＜x＜0.30
[C]0.30＜x＜0.31 [D]0.31＜x＜0.32
3．(2024·汶上二模)用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方正确的是( )
[A](x＋5)2＝16 [B](x＋5)2＝34
[C](x－5)2＝16 [D](x＋5)2＝25
4．(2024·上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是( )
[A]x2－6x＝0 [B]x2－9＝0
[C]x2－6x＋6＝0 [D]x2－6x＋9＝0
5．(2024·河北)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝( )
[A]1 [B]－1 [C]＋1 [D]1或＋1
6．(2024·东昌府区模拟)关于x的一元二次方程x2＋3x－m＝0的两个根为x1，x2，且x1＝2x2，则m－x1＋x2 的值为( )
[A]1 [B]－1 [C]3 [D]－3
7．(2024·泰安)关于x的一元二次方程2x2－3x＋k＝0有实数根，则实数k的取值范围是( )
[A]k< [B]k≤ [C]k≥ [D]k<－
8．(2024·黑龙江绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5．则原来的方程是( )
[A]x2＋6x＋5＝0 [B]x2－7x＋10＝0
[C]x2－5x＋2＝0 [D]x2－6x－10＝0
9．(2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是( )
[A]80(1－x2)＝60 [B]80(1－x)2＝60
[C]80(1－x)＝60 [D]80(1－2x)＝60
10．(2024·广东深圳)一元二次方程x2－3x＋a＝0的一个根为x＝1，则a＝________．
11．(2024·江苏连云港)关于x的一元二次方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为__________________．
12．(2024·四川泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2＝________．
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
13．(9分)(2024·滨州)解方程：x2－4x＝0．
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
14．(9分)(2024·青海)(1)解一元二次方程：x2－4x＋3＝0；
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
15．(10分)某商店进购一商品，第一天每件盈利10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．现要保证每天总利润为6 000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？
16．(2024·内蒙古赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为( )
[A]17或13 [B]13或21
[C]17 [D]13
17．(2024·四川南充)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为________．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
18．(12分)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且－x1x2＝9，求m的值．
19．[新定义](2024·广东广州)定义新运算：a b＝例如：－2 4＝(－2)2－4＝0，2 3＝－2＋3＝1．若x 1＝－，则x的值为________．课时分层评价卷(六)
1．C 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B
7．B [因为关于x的一元二次方程2x2－3x＋k＝0有实数根，
所以Δ＝(－3)2－4×2×k≥0，
解得k≤．故选B．]
8．B [∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1，
∴x1＋x2＝6＋1＝7，
∵小冬在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是－2和－5，
∴x1x2＝10．
A．x2＋6x＋5＝0中，x1＋x2＝－6，x1x2＝5，故该选项不符合题意；
B．x2－7x＋10＝0中，x1＋x2＝7，x1x2＝10，故该选项符合题意；
C．x2－5x＋2＝0中，x1＋x2＝5，x1x2＝2，故该选项不符合题意；
D．x2－6x－10＝0中，x1＋x2＝6，x1x2＝－10，故该选项不符合题意．故选B．]
9．B [根据题意，一年前生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)元，现在生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)2元，
所以80(1－x)2＝60．故选B．]
10．2 [由题意，
将x＝1代入一元二次方程得，
1－3＋a＝0，
解得a＝2．]
11． [∵一元二次方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即1－4c＝0，
解得c＝．]
12．14 [∵x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝3，x1x2＝－5．
∴(x1－x2)2＋3x1x2＝＝(x1＋x2)2－x1x2＝32－(－5)＝9＋5＝14．]
13．解：∵x2－4x＝0，
∴x(x－4)＝0，
∴x＝0或x－4＝0，
∴x1＝0，x2＝4．
14．解：(1)x2－4x＋3＝0，∴(x－1)(x－3)＝0，
∴x－1＝0或x－3＝0，∴x1＝1，x2＝3．
(2)当3是直角三角形的斜边长时，第三边为，当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边为，
∴第三边的长为2或．
15．解：(1)设第二、三天的日平均增长率为x，
根据题意得，500(1＋x)2＝605，
解得，x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不符合题意，舍去)．
答：第二、三天的日平均增长率为10%．
(2)设每件应涨价y元，则每件盈利(10＋y)元，日销量为(500－20y)，
根据题意得，(10＋y)(500－20y)＝6 000，
整理得，y2－15y＋50＝0，
解得，y1＝10，y2＝5，
又∵要使顾客得到实惠，
∴y＝5．
答：每件应涨价5元．
16．C [由方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7，
∵3＋3<7，
∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，
∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17．故选C．]
17．－4 [把x＝m代入x2＋4x－1＝0，得m2＋4m－1＝0，
m2＋4m＝1，
∴(m＋5)(m－1)＝m2－m＋5m－5＝m2＋4m－5＝1－5＝－4．]
18．解：(1)证明：∵x2－(m＋2)x＋m－1＝0，
∴a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1，
Δ＝b2－4ac
＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)
＝m2＋4m＋4－4m＋4
＝m2＋8．
∵m2≥0，
∴Δ＞0．
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
(2)设方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根为x1，x2，
则x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1．
∵－x1x2＝9，即(x1＋x2)2－3x1x2＝9，
∴(m＋2)2－3(m－1)＝9．
整理得m2＋m－2＝0．
∴(m＋2)(m－1)＝0．
解得m1＝－2，m2＝1．
∴m的值为－2或1．
19．－或 [∵x 1＝－，
∴当x≤0时，x2－1＝－，
解得x＝－或x＝(不合题意，舍去)；
当x＞0时，－x＋1＝－，
解得x＝，
由上可得，x的值为－或．]
