课时分层评价卷(十二) 二次函数的图象与性质
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是( )
[A]y＝ax2＋bx＋c [B]y＝x(x－1)
[C]y＝ [D]y＝(x＋1)2－x2
2．[易错题]抛物线y＝(x－1)2＋c经过(－2，y1)，(0，y2)，三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是( )
[A]y1＞y2＞y3 [B]y2＞y3＞y1
[C]y3＞y1＞y2 [D]y1＞y3＞y2
3．(2024·四川泸州)已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为( )
[A]1≤a< [B]0＜a< [C]0＜a< [D]1≤a<
4．函数y1＝ax2＋bx＋c与y2＝的图象如图所示，当y1，y2均随着x的增大而减小时，x的取值范围是( )
[A]x＜－1 [B]－1＜x＜0
[C]0＜x＜2 [D]x＞1
5．[新定义](2024·四川眉山)定义运算：a b＝(a＋2b)(a－b)，例如4 3＝(4＋2×3)(4－3)，则函数y＝(x＋1) 2的最小值为( )
[A]－21 [B]－9 [C]－7 [D]－5
6．(2024·四川达州)抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是( )
[A]b＋c＞1 [B]b＝2 [C]b2＋4c＜0 [D]c＜0
7．(2024·湖北)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是( )
[A]a＜0 [B]c＜0
[C]a－b＋c＝－2 [D]b2－4ac＝0
8．[图表信息题](2024·陕西)已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
[A]图象的开口向上
[B]当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
[C]图象经过第二、三、四象限
[D]图象的对称轴为直线x＝1
9．(2024·滨州)将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为________．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
10．(10分)(2024·江苏扬州)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点．
(1)求b，c的值；
(2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．
11．(2024·福建)已知二次函数y＝x2－2ax＋a(a≠0)的图象经过A，B(3a，y2)两点，则下列判断正确的是( )
[A]可以找到一个实数a，使得y1＞a
[B]无论实数a取什么值，都有y1＞a
[C]可以找到一个实数a，使得y2＜0
[D]无论实数a取什么值，都有y2＜0
12．(2024·四川南充)已知抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与x轴交于两点A，B(A在B的左侧)，抛物线C2：y＝x2＋nx＋n(m≠n)与x轴交于两点C，D(C在D的左侧)，且AB＝CD．下列四个结论：
①C1与C2交点为(－1，1)；②m＋n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于(－1，0)对称．其中正确的结论是________．(填写序号)
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
13．(14分)(2024·威海)已知抛物线y＝x2＋bx＋c(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2．
(1)若抛物线y1＝x2＋bx＋c＋1(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x3，0)，(x4，0)，且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小(填写＜、＝或＞)：
①x1＋x2________x3＋x4；②x1－x3________x2－x4；③x2＋x3________x1＋x4．
(2)若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围；
(3)当0≤x≤1时，y＝x2＋bx＋c(b＜0)最大值与最小值的差为，求b的值．
14．[新定义](2024·上海)对于一个二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)中存在一点P(x′，y′)，使得x′－m＝y′－k≠0，则称2|x′－m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y＝－x2＋x＋3“开口大小”为________．课时分层评价卷(十二)
1．B 2．D 3．A 4．D 5．B 6．A
7．C [由题意，∵抛物线顶点为(－1，－2)，
∴可设抛物线为y＝a(x＋1)2－2．
∴y＝a(x2＋2x＋1)－2＝ax2＋2ax＋a－2．
又抛物线为y＝ax2＋bx＋c，
∴b＝2a，c＝a－2．
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＝a－2＞0．
∴a＞2＞0，故A、B均不正确．
又抛物线的顶点为(－1，－2)，
∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＝－2，故C正确．
由b＝2a，c＝a－2，
∴b2－4ac＝4a2－4a(a－2)＝8a＞0，故D错误．故选C．]
8．D [由题知解得
所以二次函数的解析式为y＝－x2＋2x．
因为a＝－1＜0，
所以抛物线的开口向下，
故A选项不符合题意．
因为y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，
所以当x＞1时，y随x的增大而减小，
故B选项不符合题意．
令y＝0，得－x2＋2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
所以抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)和(2，0)．
又因为抛物线的顶点坐标为(1，1)，
所以抛物线经过第一、三、四象限，
故C选项不符合题意．
因为二次函数解析式为y＝－(x－1)2＋1，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，
故D选项符合题意．故选D．]
9．(1，2) [将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋2，∴顶点坐标为(1，2)．]
10．解：(1)把A(－2，0)，B(1，0)代入y＝－x2＋bx＋c，得解得
(2)由(1)知，二次函数解析式为y＝－x2－x＋2，
设点P坐标为(m，－m2－m＋2)，
∵△PAB的面积为6，AB＝1－(－2)＝3，
∴S△PAB＝＝＝6，
∴|m2＋m－2|＝4，
即m2＋m－2＝4或m2＋m－2＝－4，
解得m＝－3或m＝2，
∴P的坐标为(－3，－4)或(2，－4)．
11．C [∵二次函数解析式为y＝x2－2ax＋a(a≠0)，
∴二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线x＝－＝a，顶点坐标为(a，a－a2)，
当a＞0时，0<
当a＜0时，a<<0，∴a－a2＜y1＜a，
故A、B错误，不符合题意．
当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，由二次函数图象的对称性可知点(0，a)和点(2a，a)关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当x＝3a时，y2＞a＞0；
当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，由二次函数图象的对称性可知点(0，a)和点(2a，a)关于对称轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以当x＝3a时，y2＞a不一定大于0，
故C正确，符合题意；D错误，不符合题意．故选C．]
12．①②④ [令x2＋mx＋m＝x2＋nx＋n，解得x＝－1，
把x＝－1代入y＝x2＋mx＋m，得y＝1，
∴C1与C2交点为(－1，1)，故①正确；
∵抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与抛物线C2：y＝x2＋nx＋n的开口方向和大小相同，且AB＝CD，
∴两抛物线关于直线x＝－1对称，
∴A，D两点关于(－1，0)对称，故④正确；
－＝－2，∴m＋n＝4，故②正确；
∵点A，B是抛物线C1与x轴的两个交点，∴令y＝0，得x2＋mx＋m＝0有两个不等实根，∴Δ＝m2－4m>0，解得m<0或m>4，同理n2－4n>0，解得n<0或n>4，由②知m＋n＝4，而m＝4－n，当n<0时，m>4，mn<0；当n>4时，m<0，mn<0，故③错误．]
13．解：(1)∵y＝x2＋bx＋c(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2，
∴x1＋x2＝－b，且抛物线开口向上，
∵y1＝x2＋bx＋c＋1(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x3，0)，(x4，0)，且x3＜x4，
即y＝x2＋bx＋c(b＜0)向上平移1个单位长度，
∴x1＜x3＜x4＜x2，且x3＋x4＝－b，
∴①x1＋x2＝x3＋x4；
∵x2－x1＞x4－x3
∴x2－x4＞x1－x3，即②x1－x3＜x2－x4；
即③x2＋x3＞x1＋x4．故答案为＝；＜；＞．
(2)∵x1＝1，2＜x2＜3，
∴3＜x2＋x1＜4，
∴3＜－b＜4，
∴－4＜b＜－3．
(3)抛物线y＝x2＋bx＋c(b＜0)顶点坐标为，对称轴为直线x＝－>0，
当x＝0时，y＝c；
当x＝1时，y＝1＋b＋c．
①当在x＝0取得最大值，在顶点取得最小值时，
有c－，
解得b＝(舍去)或b＝－；
②当在x＝1取得最大值，在顶点取得最小值时，
有1＋b＋c－，
解得b＝－(舍去)或b＝－；
③当x＝0时取最大值，x＝1时取得得最小值，则有
c－(1＋b＋c)＝，
b＝－(舍去)．
综上所述，b的值为－或－．
14．4 [∵抛物线y＝－，∴x′－，
解得x′－＝－2，
∴抛物线y＝－x＋3“开口大小”为2＝2×|－2|＝4．]