课时分层评价卷(十八) 锐角三角函数及其应用
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共90分)
1．(2024·云南)如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tan A＝( )
[A] [B] [C] [D]
2．(2024·天津)cos 45°－1的值等于( )
[A]0 [B]1
[C]－1 [D]－1
3．(2024·济宁二模)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则cos ∠AOC的值等于( )
[A] [B] [C] [D]2－
4．(2024·四川雅安)在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)( )
[A]25米 [B]25米 [C]25米 [D]50米
5．已知sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，请利用特殊角三角函数值求sin 75°的值为________．
6．如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50 m，则这栋楼的高度为________m(结果保留根号)．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
7．(每题5分，共10分)计算：
(1)(2024·江苏盐城)|－2|－(1＋π)0＋4sin 30°．
(2)(2024·青海)－tan 45°＋π0－|－|．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
8．(10分)(2024·浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan ∠ACB＝1．
(1)求BC的长；
(2)求sin ∠DAE的值．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
9．(10分)[跨学科](2024·安徽)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角α＝36.9°，点B到水面的距离BC＝1.20 m，点A处水深为1.20 m，到池壁的水平距离AD＝2.50 m．点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求的值．(精确到0.1)
参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75．
10．(2024·四川眉山)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos ∠CEF的值为( )
[A] [B] [C] [D]
11．[数学文化](2024·江西)将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan ∠CAB＝________．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
12．(12分)为了防洪需要，某地溢流坝决定新建一座拦水坝．如图，拦水坝的横截面为四边形ABCD，其中，AD∥BC，斜面AB的坡度i＝3∶4(指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比)，已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
13．(12分)[数学文化]“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体．在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图所示的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E，F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41)
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
14．(12分)[项目式学习试题]【教材呈现】
人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
如图，在锐角△ABC中，探究之间的关系．(提示：分别作AB和BC边上的高．)
【得出结论】＝＝．
【基础应用】在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，利用以上结论求AB的长．
【推广证明】进一步研究发现，＝＝不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
请利用图1证明：＝＝＝2R．
【拓展应用】如图2，四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，CD＝4，∠B＝∠C＝90°．求过A，B，D三点的圆的半径．课时分层评价卷(十八)
1．C 2．A 3．B 4．A 5．
6．50＋50 [由题意，得AD⊥BC，
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝50 m，
∴CD＝AD·tan 60°＝50(m)，
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD·tan 45°＝50(m)，
∴BC＝BD＋CD＝m，
∴这栋楼的高度为m．]
7．解：(1)原式＝2－1＋4×＝2－1＋2＝3．
(2)原式＝3．
8．解：(1)∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝8．
∵tan ∠ACB＝1，
∴CD＝AD＝6，
∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14．
(2)∵AE是BC边上的中线，∴CE＝BC＝7，
∴DE＝CE－CD＝7－6＝1，
∵AD⊥BC，
∴AE＝，
∴sin ∠DAE＝．
9．解：过点E作EH⊥AD于点H，
由题意可知，∠CEB＝α＝36.9°，EH＝1.20 m，
∴CE＝＝1.60(m)，AH＝AD－CE＝2.50－1.60＝0.90(m)，
∴AE＝＝1.50(m)，
∴sin γ＝＝0.60，
∵sin β＝sin ∠CBE＝＝cos ∠CEB＝cos α＝0.80，
∴≈1.3．
10．A [∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，DC＝AB＝6，∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AF＝AD＝8，EF＝DE，∴BF＝，∴CF＝BC－BF＝8－2，
在Rt△EFC中，CE＝DC－DE＝6－EF，由勾股定理，得EF2＝CE2＋CF2，
∴EF2＝(6－EF)2＋2，∴EF＝，∴CE＝6－，
∴cos ∠CEF＝ ，故选A．]
11． [令AC与BD的交点为O，
∵∠ABD＝∠CDB＝90°，
∴CD∥AB，
又∵∠DAB＋∠ABC＝45°＋45°×3＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，∴OB＝BD．
∵AB＝BD，∴OB＝AB．
在Rt△AOB中，tan ∠CAB＝．]
12．解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
则四边形AFED为矩形，
∴DE＝AF，
在Rt△DEC中，CD＝20米，∠C＝18°，
∵sin C＝，∴DE＝DC·sin C≈20×0.31＝6.20(米)，
∵斜面AB的坡度i＝3∶4，AF＝6.20米，
∴BF≈8.27(米)，
∴AB＝≈10.3(米)，
答：斜坡AB的长度约为10.3米．
13．解：过点M作MN⊥AB，垂足为点N．
由题意知，四边形CMNB是矩形．
∴CM＝BN＝1.5米，
MN＝CB＝6米，
AN＝AB－BN＝6.3－1.5＝4.8(米)．
在Rt△DMN中，
∵tan ∠DMN＝，
∴DN＝tan ∠DMN·MN＝tan 30°×MN＝(米)．
在Rt△AEF中，
∵sin ∠AEF＝，
∴AF＝sin ∠AEF·EF＝sin 45°×EF＝(米)．
∵AF＋DN＝AN＋DF，
∴DF＝2－4.8≈2×1.73＋2×1.41－4.8
＝3.46＋2.82－4.8＝1.48≈1.5(米)．
∴中轴上DF的长度为1.5米．
14．解：【基础应用】
∵∠B＝75°，∠C＝45°，
∴∠A＝180°－∠B－∠C＝60°，
∵∠C＝45°，BC＝2，，
∴，解得AB＝．
【推广证明】
作AD⊥BC于点D，作CE⊥AB于点E，连接AO并延长交⊙O于点F，连接CF，如图所示，
∵，
∴a·c sin B＝c·b sin A，
∴，
同理可证，，
∴，
∵AF是直径，∴∠ACF＝90°，
∵∠B＝∠AFC，∴sin B＝sin ∠AFC＝，
∴＝2R，∴＝2R．
【拓展应用】
连接DB，如图所示，
∵BC＝3，CD＝4，∠C＝90°，
∴BD＝＝5，
∴sin ∠BDC＝．
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠ABC＋∠C＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，∴sin ∠ABD＝，
作AE⊥CD交CD于点E，
则四边形ABCE是矩形，
∴CE＝AB＝2，AE＝BC＝3，∴DE＝2，
∴AD＝，
∴，
∴过A，B，D三点的圆的半径为．
