课时分层评价卷(十九) 图形的相似
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共75分)
1．(2024·四川内江)已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是( )
[A]1∶1 [B]1∶3 [C]1∶6 [D]1∶9
2．(2024·江苏连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为( )
[A]甲和乙 [B]乙和丁
[C]甲和丙 [D]甲和丁
3．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是( )
[A] [B] [C] [D]
4．(2024·黑龙江绥化)如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(3，2)，C(0，2)，以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是( )
[A](9，4) [B](4，9)
[C] [D]
5．若＝2，则＝________．
6．(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是________．(写出一种情况即可)
7．[跨学科](2024·江苏扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′，设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为________cm．
8．[数学文化](2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且＝，若NP＝2 cm，则BC的长为________cm(结果保留根号)．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
9．(10分)[跨学科]书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m，b m，c m，d m．若装裱后AB与AD的比是16∶10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
10．(10分)(2024·广东广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．
11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为( )
[A] [B]
[C] [D]
12．(2024·四川乐山)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若＝，则＝________．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
13．(12分)[项目式学习试题](2024·四川广元)数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图 1)产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．
(1)【初步探究】
如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD·AB；
(2)【尝试应用】
如图3，在(1)的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长；
(3)【创新提升】
如图4，点E为CD的中点，连接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的长．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
14．(13分)[项目式学习试题](2024·贵州)综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．
(1)【操作判断】
如图1，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图1中画出PC，图中∠APC的度数为________度；
(2)【问题探究】
如图2，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM＋ON＝2PA；
(3)【拓展延伸】
点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝3OM，求的值．课时分层评价卷(十九)
1．B 2．D 3．A 4．D 5．1
6．∠ADE＝∠C(答案不唯一) [∵∠DAE＝∠BAC，
∴添加条件：∠ADE＝∠C(答案不唯一)，判定△ADE∽△ACB．]
7．20 [设小孔O到A′B′的距离为x cm，由题意，得△ABO∽△A′B′O，则，解得x＝20．]
8．－1 [∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠N＝∠P＝90°，
又∵AB∥NP，∴∠BAN＋∠N＝180°，∴∠BAN＝90°，
∴四边形ABPN是矩形，∴AB＝NP＝2 cm．
又∵，∴BC＝cm．]
9．解：由题意，得AB＝(1.2＋c＋d)m，AD＝(0.8＋a＋b)m，
∵a＝b，c＝d，c＝2a，
∴AB＝(1.2＋c＋d)m＝(1.2＋4a)m，AD＝(0.8＋a＋b)m＝(0.8＋2a)m，
∵AB与AD的比是16∶10，
∴(1.2＋4a)∶(0.8＋2a)＝16∶10，
∴a＝0.1，
∴b＝0.1，c＝d＝0.2．
∴上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1 m，0.1 m，0.2 m，0.2 m．
10．证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，
∴BC＝3＋6＝9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°，
∵，∴，
又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF．
11．B [∵正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，令AC与BD交于点O，
∴OD＝OC，∠ODC＝∠OCD＝45°，DE＝CF，∴OE＝OF，
∵∠EOF＝∠DOC，，
∴△EOF∽△DOC，
∴∠OFE＝∠OCD＝45°，
∵点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，
∴，
∵正方形ABCD，∴AB∥CD，
∴△ABE∽△GDE，∴，
∴DG＝CD＝CG，
∴△DEG≌△CFG(SAS)，
∴GE＝GF，
∴∠GEF＝(180°－∠AGF)＝90°－α，
∴∠FAG＝∠GEF－∠AFE＝90°－α－45°＝45°－，故选B．]
12． [∵AD∥BC，
∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离，
∴，∴△AOD∽△COB，
∴．]
13．解：(1)证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB．
(2)∵点D为AB的中点，
∴设AD＝BD＝m，
由(1)知△ACD∽△ABC，
∴AC2＝AD·AB＝m·2m＝2m2，
∴AC＝m，
∴△ACD与△ABC的相似比为，
∴，∵BC＝4，∴CD＝2．
(3)过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H，使得BH＝DB，过点C作CY⊥AB，如图所示．
∵点E为CD的中点，
∴设CE＝DE＝a，
∵∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴CB＝CD＝2a，∠DCB＝120°，
在Rt△BCY中，CY＝CD＝a，则由勾股定理可得BD＝
过点B作BF⊥EC于点F．
∴∠FCB＝60°，∴∠CBF＝30°，∴CF＝BC，
∴CF＝a，BF＝a，∴EF＝2a，∴BE＝a，
又∵CH∥BE，点E，点B分别为CD，DH中点，
∴CH＝2BE＝2a，∠EBD＝∠H，
又∵∠ACD＝∠EBD，
∴∠ACD＝∠H，△ACD∽△AHC，
∴，
又∵AC＝2，∴AD＝2，AH＝14，
∴DH＝12，即4a＝12，∴a＝，∴BE＝．
14．解：(1)如图，PC即为所求．
∵∠AOB＝90°，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴四边形OAPC是矩形，
∴∠APC＝90°．
(2)证明：如图，过点P作PC⊥OB于点C．
由(1)知四边形OAPC是矩形，
∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴PA＝PC，
∴矩形OAPC是正方形，
∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，
∵PN⊥PM，
∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC，
又∠MAP＝∠PCN＝90°，AP＝CP，
∴△APM≌△CPN(ASA)，
∴AM＝CN，
∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋AM＋OC＝OA＋OC＝2AP，
∴OM＋ON＝2PA．
(3)①当点M在线段AO上时，如图，延长NM，PA相交于点G．
由(2)知OM＋ON＝2AP，
设OM＝x，则ON＝3x，OA＝AP＝2x．
∴AM＝AO－OM＝x＝OM，
∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG，
∴△MON≌△MAG(ASA)，
∴AG＝ON＝3x．
∵AP∥OB，
∴△ONF∽△PGF，
∴，
∴，
∴．
②当点M在AO的延长线上时，如图，过点P作PC⊥OB于点C，并延长交MN于点G．
由(2)知，四边形OAPC是正方形，
∴△APM≌△CPN，
∴AM＝CN，
∴ON－OM＝OC＋CN－OM＝AO＋AM－OM＝2AO，
设OM＝x，
则ON＝3OM＝3x，
∴AO＝x，CN＝AM＝2x，
∵PC∥AO，
∴△CGN∽△OMN，
∴，即，
∴CG＝，
∵PC∥AO，∴△OMF∽△PGF，
∴，
∴，∴．
综上，的值为或．
