课时分层评价卷(十七) 特殊三角形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共80分)
1．若直角三角形的一个锐角等于40°，则它的另一个锐角等于( )
[A]50° [B]60° [C]70° [D]140°
2．(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有( )
[A]2个 [B]3个 [C]4个 [D]5个
3．(2024·临沂一模)如图，△ABC是等边三角形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AC于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD交AC于点G，∠ABG度数为( )
[A]15° [B]20° [C]25° [D]30°
第2题图 第3题图 第5题图
4．(2024·云南)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( )
[A] [B]2 [C]3 [D]
5．(2024·青海)如图，在Rt△ABC中， D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是( )
[A]3 [B]6 [C] [D]3
6．(2024·甘肃兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( )
[A]100° [B]115° [C]130° [D]145°
7．(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为________．
8．[新定义](2024·济宁二模)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边BC的长为________．
9．如图1，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图2是1次操作后的图形．图3是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图1中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为________．
10．(2024·陕西)如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF．若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为________．
11．[跨学科](2024·吉林)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为________．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
12．(10分)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C．
(1)求证：∠BDF＝∠A；
(2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请写出△ABC的形状．
13．[数学文化](2024·四川眉山)如图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为( )
[A]24 [B]36 [C]40 [D]44
14．(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是( )
[A] [B]
[C]2－2 [D]2
15．(2024·四川自贡)如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长为12 m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢( )
[A](24－12)m [B](24－8)m
[C](24－6)m [D](24－4)m
16．[易错题](2024·新疆)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8．若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为________．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
17．(12分)[追本溯源题](2024·江西)(1)来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2)．
(1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由．
【方法应用】
(2)如图2，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G．
①图中一定是等腰三角形的有________．
[A]3个 [B]4个 [C]5个 [D]6个
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
18．(13分)[项目式学习试题](2024·滨州)
【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD＝CD，则有∠B＝∠C；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB＝AC，即知AB＋BD＝AC＋CD．若把①中的BD＝CD替换为AB＋BD＝AC＋CD，还能推出∠B＝∠C吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B＝∠C，并分别提供了不同的证明方法．
小军 小民
证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得…… 证明：∵AD⊥BC， ∴△ADB 与△ADC均为直角三角形 根据勾股定理，得……
【问题解决】
(1)完成①的证明；
(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整．课时分层评价卷(十七)
1．A 2．C 3．D 4．C 5．A 6．B
7．100° [由题知，
∵等腰三角形的一个底角的度数为40°，
∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为40°，
∴等腰三角形的顶角的度数为180°－2×40°＝100°．]
8．2 [分两种情况：
当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，
∵腰长AB＝AC＝4，
∴底边BC的长为8，
∵4＋4＝8，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，
∵腰长AB＝AC＝4，
∴底边BC的长为2，能组成三角形．
综上所述，底边BC的长为2，故答案为2．]
9．48 [把题图2中各个小正方形标上字母，设正方形a的边长为x，正方形b的边长为y．
∴正方形a的面积为x2，正方形b的面积为y2．
由题意得，正方形c的边长为2，并且是直角三角形的斜边．
∴正方形c的面积为4．
根据勾股定理可得，x2＋y2＝22＝4．
∴正方形a的面积＋正方形b的面积＝4；
∴题图1中所有正方形的面积和＝4＋4＝8．
同理可得，正方形e的面积＋正方形f的面积＝正方形a的面积，正方形g的面积＋正方形h的面积＝正方形b的面积，
∴正方形e的面积＋正方形f的面积＋正方形g的面积＋正方形h的面积＝正方形a的面积＋正方形b的面积＝4．
∴题图2中所有正方形的面积和＝题图1中所有正方形的面积和＋4＝12．
即一次操作后所有正方形的面积和＝题图1中所有正方形的面积和＋4＝12．
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4．
∴2次操作后所有正方形的面积和＝题图1中所有正方形的面积和＋2×4＝8＋8＝16．
∴10次操作后所有正方形的面积和＝题图1中所有正方形的面积和＋10×4＝8＋40＝48．]
10．60 [∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵BF∥AC，∴∠ACB＝∠CBF，∴∠ABC＝∠CBF，
∴BC平分∠ABF，
过点C作CM⊥AB，CN⊥BF，
则CM＝CN，
∵S△ACE＝AE·CM，S△CBF＝BF·CN，且BF＝AE，
∴S△CBF＝S△ACE，
∴四边形EBFC的面积＝S△CBF＋S△CBE＝S△ACE＋S△CBE＝S△CBA，
∵AC＝13，∴AB＝13，设AM＝x，则BM＝13－x，
由勾股定理，得CM2＝AC2－AM2＝BC2－BM2，
∴132－x2＝102－(13－x)2，解得，x＝，
∴CM＝，
∴S△CBA＝AB·CM＝60，
∴四边形EBFC的面积为60．故答案为60．]
11．x2＋22＝(x＋0.5)2 [根据题意得AB＝AB′＝x＋0.5，
∵AB⊥B′C，
由勾股定理得，AC2＋B′C2＝AB′2，
∴x2＋22＝(x＋0.5)2． ]
12．解：(1)证明：∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED，
∵∠EDF＝∠C，∴∠AED＝∠EDF，∴DF∥AC，
∴∠BDF＝∠A．
(2)∵∠A＝45°，∴∠BDF＝45°，
∵DF平分∠BDE，
∴∠BDE＝2∠BDF＝90°，
∵DE∥BC，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
13．D [如图，设直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，
∵图1中大正方形的面积是24，∴a2＋b2＝c2＝24，
∵小正方形的面积是4，∴(b－a)2＝a2＋b2－2ab＝4，
∴ab＝10，
∴图2中最大的正方形的面积为c2＋4×ab＝24＋2×10＝44．故选D．]
14．B [如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，CH⊥AB，
∴AB＝2，
∵CD＝AB＝2，
∴DH＝，
∴BD＝．故选B．]
15．D [∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC＝12，BD＝6，
∴CD＝6，
∵∠BED＝60°，
∴DE＝2，
∴减少用钢为(AB＋AC＋BC＋CD)－(AE＋BE＋AB＋DE)＝AC＋BC＋CD－AE－BE－DE＝m．故选D．]
16．6或12 [在Rt△ABC中，
sin A＝，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝×8＝4，
∴AC＝．
当点D在点B左上方时，如图1所示，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°．
又∵∠BCD＝30°，
∴∠BDC＝60°－30°＝30°，
∴BD＝BC＝4，
∴AD＝8＋4＝12．
当点D在点B的右下方时，如图2所示，
∵∠ABC＝60°，∠BCD＝30°，
∴∠CDA＝90°．
在Rt△ACD中，
cos A＝，∴AD＝＝6．
综上所述，AD的长为6或12．]
17．解：(1)△BDE 的形状是等腰三角形，
理由如下：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵BC∥ED，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED，
∴△BDE是等腰三角形．
(2)①B．
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形且AB＝AE．
∵AF⊥BE，
∴∠BAF＝∠EAF．
∵BC∥AD，
∴∠EAG＝∠AGB，
∴∠BAF＝∠AGB，
∴AB＝BG＝3，
∵AB∥FD，
∴∠BAF＝∠CFG，
∵∠AGB＝∠CGF，
∴∠CGF＝∠CFG，
∴CG＝CF，
∵CG＝BC－BG＝5－3＝2，
∴CF＝2．
18．解：(1)证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC(SAS)，
∴∠B＝∠C．
(2)小军的证明过程：
分别延长DB，DC至E，F两点，使得BE＝BA，CF＝CA，连接AE，AF，如图所示，
∵AB＋BD＝AC＋CD，
∴BE＋BD＝CF＋CD，
∴DE＝DF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝∠ADF＝90°，
在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF(SAS)，
∴∠E＝∠F．
∵BE＝BA，CF＝CA，
∴∠E＝∠BAE，∠F＝∠CAF，
∵∠ABC＝∠E＋∠BAE，∠ACB＝∠F＋∠CAF，
∴∠ABC＝∠ACB．
小民的证明过程：
∵AD⊥BC，
∴△ADB 与△ADC均为直角三角形，
根据勾股定理，得AD2＋BD2＝AB2，AD2＋CD2＝AC2，
∴AB2－BD2＝AC2－CD2，
∴AB2＋CD2＝AC2＋BD2．
∵AB＋BD＝AC＋CD，
∴AB－CD＝AC－BD，
∴(AB－CD)2＝(AC－BD)2，
∴AB2－2AB·CD＋CD2＝AC2－2AC·BD＋BD2，
∴AB·CD＝AC·BD，
∴．
又∵∠ADB＝∠ADC，
∴△ADB∽△ADC，
∴∠B＝∠C．
