课时分层评价卷(十三) 二次函数的应用
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
1．[跨学科](2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6 s；
②小球运动中的高度可以是30 m；
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．
其中，正确结论的个数是( )
[A]0 [B]1 [C]2 [D]3
2．(2024·甘肃)如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车______完全停到车棚内(填“能”或“不能”)．
3．(2024·广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5 m，高度是4 m．若实心球落地点为M，则OM＝________m．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
4．(10分)(2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
5．(10分)(2024·福建)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．
6．(2024·内蒙古赤峰)如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝－x2＋4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n(m>n>0)，下列结论正确的是( )
[A]m＋n＝1 [B]m－n＝1
[C]mn＝1 [D]＝1
7．[新情境]九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝3 m，班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是________m2．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
8．(12分)(2024·湖南)已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1＋3，求证：的值为定值；
(3)如图2，点P在第二象限，x2＝－2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1－1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
9．(13分)[项目式学习试题](2024·山西)综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F(不与C，P重合)，过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．课时分层评价卷(十三)
1．C 2．能 3．
4．解：(1)y＝(200－x)
＝－0.4x2＋20x＋12 000
＝－0.4(x2－50x＋625)＋12 250
＝－0.4(x－25)2＋12 250．
∵200－x≥180，
∴x≤20．
∴当x＝20时，利润最大，最大利润为－0.4(20－25)2＋12 250＝12 240(元)．
答：y与x的函数关系式为y＝－0.4x2＋20x＋12 000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元．
(2)由题意得，12 160＝－0.4(x－25)2＋12 250，
0．4(x－25)2＝12 250－12 160，
∴0.4(x－25)2＝90，
∴(x－25)2＝225．
解得x1＝40(不合题意，舍去)，x2＝10．
∴售出轮椅的辆数为60＋4×＝64(辆)．
答：这天售出64辆轮椅．
5．解：(1)由题意，将A(－2，0)，C(0，－2)代入 y＝x2＋bx＋c，得
∴
∴二次函数的表达式为y＝x2＋x－2．
(2)由题意，设P(m，n)(m＜0，n＞0)，
又△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，
∴＝2．∴＝2．
又CO＝2，∴n＝2CO＝4．由m2＋m－2＝4，
∴m1＝－3，m2＝2(舍去)．
∴点P坐标为 (－3，4)．
6．B [如图，连接AC，BD交于点E，过点A作MN⊥y轴于点M，过点B作BN⊥MN于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC，BD互相平分，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAN＋∠DAM＝90°，∠DAM＋∠ADM＝90°，
∴∠BAN＝∠ADM．
∵∠BNA＝∠AMD＝90°，BA＝AD，
∴△ANB≌△DMA(AAS)．
∴AM＝NB，DM＝AN．
∵点A，C的横坐标分别为m，n，
∴A(m，－m2＋4)，C(n，－n2＋4)，
∴E，M(0，－m2＋4)，
设D(0，b)，则B(m＋n，－m2－n2＋8－b)，
N(m＋n，－m2＋4)，
∴BN＝－n2＋4－b，AM＝m，AN＝n，
DM＝m2－4＋b．
又AM＝NB，DM＝AN，
∴－n2＋4－b＝m，n＝m2－4＋b．
∴b＝－n2－m＋4．
∴n＝m2－4－n2－m＋4．
∴(m＋n)(m－n)＝m＋n．
∵点A、C在y轴的同侧，且点A在点C的右侧，
∴m＋n≠0．
∴m－n＝1．故选B．]
7．46.4 [设矩形在射线OA上的一段长为x m．
(1)当x≤8时，S＝x·x2＋9.8x＝－(x－9.8)2＋48.02，
当x＝8时，S＝46.4．
(2)当x＞8时，S＝x·＝－x2＋13.8x＝－(x－6.9)2＋47.61 ，
由于在x＞8的范围内，S均小于46.4．
所以由(1)(2)得最大面积为 46.4 m2．]
8．解：(1)将点A的坐标代入抛物线表达式得5＝－4＋c，
则c＝9，
即抛物线的表达式为y＝－x2＋9．
(2)证明：令y＝－x2＋9＝0，则x＝±3，则点B(3，0)，
由点A，B的坐标得，直线AB的表达式为y＝－x＋3．
设点P，Q，D的坐标分别为，(x1，－x1＋3)，
则S△PDQ＝×PD×(xQ－xP)＝·(x2－x1)＝，
同理可得，S△ADC＝×CD×(xD－xA)＝(－x1＋3)(x1＋2)＝，
则＝3为定值．
(3)点P，Q的坐标分别为，
由点P，Q的坐标得，直线PQ的表达式为y＝xx1－＋9，
则MN＝yM＝(x1－1)x1－，故MN的最大值为．
9．解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系，
∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝6，
∴OA＝OB＝×6＝3．
∴点B的坐标为(3，0)，
∵OP＝9，
∴点P的坐标为(0，9)，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋9，
∵点B(3，0)在抛物线y＝ax2＋9 上，
∴9a＋9＝0，
解得a＝－1．
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋9(－3≤x≤3)．
(2)点D，E在抛物线y＝－x2＋9 上，
∴设点E的坐标为(m，－m2＋9)，
∵DE∥AB，交y轴于点F，
∴DF＝EF＝m，OF＝－m2＋9，
∴DE＝2m．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴OC＝×6＝3．
∴CF＝OF－OC＝－m2＋9－3＝－m2＋6，
根据题意，得DE＋CF＝6，
∴－m2＋6＋2m＝6，
解得m1＝2，m＝0(不符合题意，舍去)，
∴m＝2．
∴DE＝2m＝4，CF＝－m2＋6＝2．
答：DE的长为4米，CF的长为2米．
(3)如图矩形灯带为GHML，
由点A，B，C的坐标得，直线AC和BC的表达式分别为y＝x＋3，y＝－x＋3，
设点G(m，－m2＋9)，H(－m，－m2＋9)，L(m，m＋3)，M(－m，－m＋3)，
则矩形周长为2(GH＋GL)＝2(－2m－m2＋9－m－3)＝－2(m＋1.5)2＋，故矩形周长的最大值为米．
