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2025年山东省初中学业水平考试数学模拟试题(一)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．下列式子中，运算结果为－6的是( )
A．(－2)×3 B．－1＋5
C．－23 D．＋|－6|
√
A [A．(－2)×3＝－6，故符合题意；
B．－1＋5＝4，故不符合题意；
C．－23＝－8，故不符合题意；
D．＋|－6|＝6，故不符合题意．
故选A．]
2．(2024·济宁二模)第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是
( )
A B C D
√
B [A．图形不是轴对称图形，不符合题意；
B．图形是轴对称图形，符合题意；
C．图形不是轴对称图形，不符合题意；
D．图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选B．]
3．(2024·东昌府区三模)2024年元旦假期3天，全国国内旅游出游约1.35亿人次，较2019年同期增长9.4%．其中的“1.35亿”用科学记数法表示为( )
A．1.35×108 B．1.35×109
C．135×106 D．135×107
A [1.35亿＝135 000 000＝1.35×108．
故选A．]
√
4．(2024·泰安)下列运算正确的是( )
A．2x2y－3xy2＝－x2y
B．4x8y2÷2x2y2＝2x4
C．(x－y)(－x－y)＝x2－y2
D．(x2y3)2＝x4y6
√
D [A．2x2y与－3xy2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B．4x8y2÷2x2y2＝2x6，故B不符合题意；
C．(x－y)(－x－y)＝y2－x2，故C不符合题意；
D．(x2y3)2＝x4y6，故D符合题意．
故选D．]
5．如图，直线BD分别交AE，CF于点B，D，连接AD，BC，若DA平分∠BDF，∠3＝∠4，若∠1＝50°，∠2＝130°，则∠CBD的度数为( )
A．45° B．50° C．60° D．65°
√
√
√
B [画树状图如下：
√
√
C [连接BD，
由题意可知：∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝130°，
∴∠BDC＝130°－90°＝40°，
∵∠BEC＝∠BDC(等弧对等角)，
∴∠BEC＝40°．
故选C．]
10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点(点E不与点A，点B重合)，点F在线段DA的延长线上，且AF＝AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG．设AE＝x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是( )
A B
C D
√
B [如图，当点E在AB上时，作GH⊥AB于H，
∵∠DEG＝90°，
∴∠DEA＋∠GEH＝90°，
∵∠DEA＋∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝∠GEH，
∵EG＝ED，∠DAE＝∠GHE＝90°，
∴△DAE≌△GEH(AAS)，
∴GH＝AE＝AF＝x，
∴BE＝1－x，
∴四边形EFBG的面积为y＝x(1－x)＝－x2＋x；
如图，当点E在AB延长线上时，作GH⊥AB于H，
同理可证：△DAE≌△GEH，GH＝AE＝AF＝x，
∴BE＝x－1，
∴四边形EFBG的面积为y＝x(x－1)＝x2－x．
故选B．]
x≥5
x≥5 [由题意得：x－5≥0，
解得x≥5．]
12．(2024·四川广元)分解因式：(a＋1)2－4a＝________．
(a－1)2
(a－1)2 [(a＋1)2－4a＝a2＋2a＋1－4a＝a2－2a＋1＝(a－1)2．]
14．(2024·湖南)若关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．
2 [∵关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝16－8k＝0，
解得k＝2．]
2
18．(9分)(2024·内蒙古呼伦贝尔)某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角的度数；
(3)该校共有2 000名学生，若有60%的学生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数．
200
[解] (1)本次调查的学生共有40÷20%＝200(人)，
“文明宣传”的人数有200－40－80－20＝60(人)，
补图如图所示：
故答案为200．
∴∠BEC＝∠EBC，
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＋∠BEC＝∠OBE＋∠EBC＝∠ABN＝90°，
∴OE⊥EC，
∴DC是⊙O的切线．
22．(12分)综合与实践
【问题情境】
数学兴趣小组课外活动时间开展了问题探究活动，如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD，PB．
(1)小组成员发现无论点P在什么位置，
总有PD＝PB，请你证明他们的结论．
【问题探究】
(2)将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，小亮说：线段AQ与OP的数量关系保持不变，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【迁移探究】
(3)如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且AB＝AC，其他条件不变，试探究AQ与CP的数量关系，
并说明理由．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°，
又∵CP＝CP，
∴△DCP≌△BCP(SAS)，
∴PD＝PB．
(2)小亮的说法正确．
理由：如图，作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠AEP＝45°，四边形OPEF是矩形，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°，EF＝OP，
∴PA＝PE．
(3)AQ＝CP．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO．
又∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，PD＝PB．
∵PD＝PQ，
∴PQ＝PB．
如图，过点P作PE∥BC交AB于点E，过点E作EG∥AC交BC于点G，
则四边形PEGC为平行四边形，∠GEB＝∠BAC＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，
∴EG＝PC，△APE，
△BEG都是等边三角形，
BE＝EG＝PC．
如图，过点P作PM⊥AB于点M，则QM＝MB，AM＝EM，QA＝BE，
∴AQ＝CP．
23．(12分)(2024·四川达州)如图1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，
且S△PMC＝2S△DMC，求点P的
坐标；
(3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由题意得y＝a(x＋3)(x－1)＝a(x2＋2x－3)＝ax2＋bx－3，则－3a＝－3，
解得a＝1，
则抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．
(2)由抛物线的表达式知，点C(0，－3)，D(－1，－4)，抛物线的对称轴为直线x＝－1，
过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线LP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，
由点A，C的坐标得，直线AC的表达式为y＝－x－3，
∵DG∥AC，
则直线DG的表达式为y＝－x－5，
则点G(0，－5)，则CG＝－3－(－5)＝2，则CL＝4，
则点L(0，1)，
则直线LP的表达式为y＝－x＋1，
联立上式和抛物线的表达式得x2＋2x－3＝－x＋1，
解得x1＝1，x2＝－4，
即点P(1，0)或(－4，5)．数学模拟试题(一)
1．A 2．B 3．A 4．D 5．D 6．C
7．B [画树状图如下：
所有等可能的情况有12种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有4种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为．故选B．]
8．B [＝0，方程两边同时乘以x(x＋1)得，
mx－2(x＋1)＝0，
去括号得，mx－2x－2＝0，
解得x＝，
∵关于x的方程＝0的解为负数，
∴＜0，∴m＜2，
∵x≠0，x≠－1，
∴m≠0，∴m的取值范围为m＜2且m≠0，故选B．]
9．C [连接BD，
由题意可知：∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝130°，
∴∠BDC＝130°－90°＝40°，
∵∠BEC＝∠BDC(等弧对等角)，
∴∠BEC＝40°．故选C．]
10．B [如图，当点E在AB上时，作GH⊥AB于H，
∵∠DEG＝90°，
∴∠DEA＋∠GEH＝90°，
∵∠DEA＋∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝∠GEH，
∵EG＝ED，∠DAE＝∠GHE＝90°，
∴△DAE≌△GEH(AAS)，
∴GH＝AE＝AF＝x，
∴BE＝1－x，
∴四边形EFBG的面积为y＝x(1－x)＝－x2＋x；
如图，当点E在AB延长线上时，作GH⊥AB于H，
同理可证：△DAE≌△GEH，GH＝AE＝AF＝x，
∴BE＝x－1，
∴四边形EFBG的面积为y＝x(x－1)＝x2－x．故选B．]
11．x≥5 [由题意得：x－5≥0，
解得x≥5．]
12．(a－1)2 [(a＋1)2－4a＝a2＋2a＋1－4a＝a2－2a＋1＝(a－1)2．]
13．＋1 [过点D作DE⊥BC于E，如图所示，
∵点D到BC的距离为1，BD平分∠ABC，
∴AD＝DE＝1，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°＝∠EDC，
∴CE＝DE＝1，
∴CD＝，
∴AC＝CD＋AD＝＋1．]
14．2 [∵关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝16－8k＝0，
解得k＝2．]
15． [如图，过点A作AM⊥BF，垂足为M，则BM＝FM，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠E＝＝120°，AB＝AF＝EF＝DE＝6，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFE＝
＝30°，
∴∠BFD＝120°－30°－30°＝60°，
在Rt△ABM中，AB＝6，∠ABM＝30°，
∴BM＝，
∴BF＝2BM＝6，
设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得，
2πr＝，解得r＝．]
16． [∵直线l：y＝与x轴交于点A1，
∴点A1坐标为(1，0)，
∴OA1＝1．
过B1，B2，作B1M⊥x轴交x轴于点M，B2N⊥x轴交A2B1于点D，交x轴于点N，
∵△A1B1O为等边三角形，
∴∠OB1M＝30°，
∴MO＝，
∴B1M＝＝
，
∴B1，
当y＝时，，解得x＝，
∴A2C1＝，∴C1D＝，
∴B2D＝，
∴B2N＝，
∴当y＝时，，解得x＝，
∴A3．
而，同理可得：A4的横坐标为，
∴点A2 025的横坐标为．]
17．解：(1)原式＝
＝．
(2)原式＝
＝．
18．解：(1)本次调查的学生共有40÷20%＝200(人)，
“文明宣传”的人数有200－40－80－20＝60(人)，
补图如图所示：故答案为200．
(2)360°×＝144°，
∴“敬老服务”对应的圆心角的度数是144°．
(3)2 000×60%×＝360，
∴估计参加“文明宣传”项目的学生人数为360人．
19．解：延长AB交DC于点E，则AE⊥DC．
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝6米，
∴BE＝BC＝3米，CE＝(米)，
∵DC＝4米，
∴DE＝DC＋CE＝米，
在Rt△AED中，∠ADE＝45°，
∴AE＝DE＝米，
∴AB＝AE－BE＝4＋3－3＝米，
∵≈1.73，
∴AB≈1＋3×1.73＝6.19≈6.2(米)．
答：杨树AB的高度约6.2米．
20．解：(1)∵将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax＋b的图象，
∴y＝ax＋b＝ax＋3，
把A(2，4)代入y＝ax＋3，得2a＋3＝4，解得a＝，
∴一次函数y＝ax＋b的解析式为y＝x＋3．
把A(2，4)代入y＝(x>0)，得4＝(x>0)，解得k＝8，
∴反比例函数y＝(x>0)的解析式为y＝(x>0)．
(2)∵BC∥x轴，B(0，2)，
∴点C和点D的纵坐标都为2，
在y＝x＋3中，当y＝x＋3＝2时，x＝－2，即C(－2，2)，
在y＝(x>0)中，当y＝＝2时，x＝4，即D(4，2)，
∴CD＝4－(－2)＝6，
∵A(2，4)，
∴S△ACD＝CD·(yA－yC)＝×6×(4－2)＝6．
21．解：(1)证明：连接BE，OE，
∵BN是⊙O的切线，
∴∠ABN＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠BEP＝90°，
∵BC＝CP，
∴EC＝BC＝BP，
∴∠BEC＝∠EBC，
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＋∠BEC＝∠OBE＋∠EBC＝∠ABN＝90°，
∴OE⊥EC，
∴DC是⊙O的切线．
(2)过点D作DQ⊥BC于Q，
∵AM，BN，DC都是⊙O的切线，
∴∠BAM＝∠ABN＝90°，AD＝DE，BC＝CE，
∴四边形ABQD是矩形，
∴AD＝BQ，DQ＝AB＝8，．
设AD＝x，则BC＝3x，CD＝4x，CQ＝2x，
∵在Rt△CDQ中，CQ2＋DQ2＝DC2，
∴(2x)2＋82＝(4x)2，
解得x＝，即AD＝．
22．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°，
又∵CP＝CP，
∴△DCP≌△BCP(SAS)，
∴PD＝PB．
(2)小亮的说法正确．
理由：如图，作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠AEP＝45°，四边形OPEF是矩形，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°，EF＝OP，
∴PA＝PE．
∵PD＝PB，PD＝PQ，
∴PQ＝PB．
如图，作PM⊥AE于点M，则QM＝BM，AM＝EM，
∴AQ＝BE．
∵∠EFB＝90°，∠EBF＝45°，
∴BE＝EF，∴AQ＝OP．
(3)AQ＝CP．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO．
又∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，PD＝PB．
∵PD＝PQ，
∴PQ＝PB．
如图，过点P作PE∥BC交AB于点E，过点E作EG∥AC交BC于点G，
则四边形PEGC为平行四边形，∠GEB＝∠BAC＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，
∴EG＝PC，△APE，△BEG都是等边三角形，
BE＝EG＝PC．
如图，过点P作PM⊥AB于点M，则QM＝MB，AM＝EM，QA＝BE，
∴AQ＝CP．
23．解：(1)由题意得y＝a(x＋3)(x－1)＝a(x2＋2x－3)＝ax2＋bx－3，则－3a＝－3，
解得a＝1，
则抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．
(2)由抛物线的表达式知，点C(0，－3)，D(－1，－4)，抛物线的对称轴为直线x＝－1，
过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线LP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，
由点A，C的坐标得，直线AC的表达式为y＝－x－3，
∵DG∥AC，
则直线DG的表达式为y＝－x－5，
则点G(0，－5)，则CG＝－3－(－5)＝2，则CL＝4，
则点L(0，1)，
则直线LP的表达式为y＝－x＋1，
联立上式和抛物线的表达式得x2＋2x－3＝－x＋1，
解得x1＝1，x2＝－4，
即点P(1，0)或(－4，5)．
(3)存在，理由：
设点N(－1，m)，
由点A，C，N的坐标得，AC2＝18，AN2＝4＋m2，
CN2＝1＋(m＋3)2，
当AC＝AN时，则18＝4＋m2，解得m＝±，
则点N；
当AC＝CN或AN＝CN时，
则18＝1＋(m＋3)2或4＋m2＝1＋(m＋3)2，
解得m＝－3＋或－1(不合题意的值已舍去)，
则点N(－1，－1)或．
综上，N或(－1，－1)或．2025年山东省初中学业水平考试数学模拟试题(一)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．下列式子中，运算结果为－6的是( )
A．(－2)×3 B．－1＋5
C．－23 D．＋|－6|
A [A．(－2)×3＝－6，故符合题意；
B．－1＋5＝4，故不符合题意；
C．－23＝－8，故不符合题意；
D．＋|－6|＝6，故不符合题意．
故选A．]
2．(2024·济宁二模)第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是( )
A B C D
B [A．图形不是轴对称图形，不符合题意；
B．图形是轴对称图形，符合题意；
C．图形不是轴对称图形，不符合题意；
D．图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选B．]
3．(2024·东昌府区三模)2024年元旦假期3天，全国国内旅游出游约1.35亿人次，较2019年同期增长9.4%．其中的“1.35亿”用科学记数法表示为( )
A．1.35×108 B．1.35×109
C．135×106 D．135×107
A [1.35亿＝135 000 000＝1.35×108．
故选A．]
4．(2024·泰安)下列运算正确的是( )
A．2x2y－3xy2＝－x2y
B．4x8y2÷2x2y2＝2x4
C．(x－y)(－x－y)＝x2－y2
D．(x2y3)2＝x4y6
D [A．2x2y与－3xy2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B．4x8y2÷2x2y2＝2x6，故B不符合题意；
C．(x－y)(－x－y)＝y2－x2，故C不符合题意；
D．(x2y3)2＝x4y6，故D符合题意．
故选D．]
5．如图，直线BD分别交AE，CF于点B，D，连接AD，BC，若DA平分∠BDF，∠3＝∠4，若∠1＝50°，∠2＝130°，则∠CBD的度数为( )
A．45° B．50° C．60° D．65°
D [由题意知，∠BDF＝∠2＝130°，
∵DA平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠ADB＝∠BDF＝65°，
∵∠BDC＝180°－∠2＝50°＝∠1，
∴AE∥CF，
∴∠3＝∠4＝∠ADF＝65°，
∴∠EBC＝∠3＝65°，
∴∠CBD＝180°－∠1－∠EBC＝65°．
故选D．]
6．寒假期间，小明和爸爸从家出发去某地旅游，已知两地相距约500 km，乘高铁比开小轿车少用3.8 h(假设两种出行方式的总路程相同)，高铁的平均速度是小轿车的3倍，设小轿车的平均速度是x km/h，则下列方程中正确的是( )
A．－3＝3.8 B．＝3.8
C．＝3.8 D．＝3.8－
C [∵高铁的平均速度是小轿车的3倍，且小轿车的平均速度x km/h，
∴高铁的平均速度是3x km/h．
根据题意得：＝3.8．
故选C．]
7．(2024·临沂一模)不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从剩下的三个球中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )
A． B． C． D．
B [画树状图如下：
所有等可能的情况有12种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有4种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为＝．
故选B．]
8．若关于x的方程＝0的解为负数，则m的取值范围是( )
A．m＜2 B．m＜2且m≠0
C．m＞2 D．m＞2且m≠4
B [＝0，方程两边同时乘以x(x＋1)得，
mx－2(x＋1)＝0，
去括号得，mx－2x－2＝0，
解得x＝，
∵关于x的方程＝0的解为负数，
∴＜0，
∴m＜2，
∵x≠0，x≠－1，
∴m≠0，∴m的取值范围为m＜2且m≠0，
故选B．]
9．如图，点C、D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC＝130°，点E是上任意一点，连接BE，CE，则∠BEC的度数为( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
C [连接BD，
由题意可知：∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝130°，
∴∠BDC＝130°－90°＝40°，
∵∠BEC＝∠BDC(等弧对等角)，
∴∠BEC＝40°．
故选C．]
10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点(点E不与点A，点B重合)，点F在线段DA的延长线上，且AF＝AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG．设AE＝x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是( )
A B
C D
B [如图，当点E在AB上时，作GH⊥AB于H，
∵∠DEG＝90°，
∴∠DEA＋∠GEH＝90°，
∵∠DEA＋∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝∠GEH，
∵EG＝ED，∠DAE＝∠GHE＝90°，
∴△DAE≌△GEH(AAS)，
∴GH＝AE＝AF＝x，
∴BE＝1－x，
∴四边形EFBG的面积为y＝x(1－x)＝－x2＋x；
如图，当点E在AB延长线上时，作GH⊥AB于H，
同理可证：△DAE≌△GEH，GH＝AE＝AF＝x，
∴BE＝x－1，
∴四边形EFBG的面积为y＝x(x－1)＝x2－x．
故选B．]
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ________．
x≥5 [由题意得：x－5≥0，
解得x≥5．]
12．(2024·四川广元)分解因式：(a＋1)2－4a＝________．
(a－1)2 [(a＋1)2－4a＝a2＋2a＋1－4a＝a2－2a＋1＝(a－1)2．]
13．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交AC于点D，若点D到BC的距离为1，则AC＝________．
＋1 [过点D作DE⊥BC于E，如图所示，
∵点D到BC的距离为1，BD平分∠ABC，
∴AD＝DE＝1，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°＝∠EDC，
∴CE＝DE＝1，
∴CD＝＝，
∴AC＝CD＋AD＝＋1．]
14．(2024·湖南)若关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．
2 [∵关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝16－8k＝0，
解得k＝2．]
15．(2024·烟台)如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．
[如图，过点A作AM⊥BF，垂足为M，则BM＝FM，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠E＝＝120°，AB＝AF＝EF＝DE＝6，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFE＝＝30°，
∴∠BFD＝120°－30°－30°＝60°，
在Rt△ABM中，AB＝6，∠ABM＝30°，
∴BM＝AB＝3，
∴BF＝2BM＝6，
设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得，
2πr＝，
解得r＝．]
16．已知，直线l：y＝x－与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2(点B2在点B1的上方)，以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4…，则点A2 025的横坐标为________．
[∵直线l：y＝x－与x轴交于点A1，
∴点A1坐标为(1，0)，
∴OA1＝1．
过B1，B2，作B1M⊥x轴交x轴于点M，B2N⊥x轴交A2B1于点D，交x轴于点N，
∵△A1B1O为等边三角形，
∴∠OB1M＝30°，
∴MO＝A1O＝，
∴B1M＝＝＝，
∴B1，
当y＝时，＝x－，解得x＝，
∴A2C1＝，A2，
∴C1D＝A2C1＝，
∴B2D＝＝，
∴B2N＝＝，
∴当y＝时，＝x－，解得x＝，
∴A3．
而＝，
同理可得：A4的横坐标为＝，
∴点A2 025的横坐标为．]
三、解答题(本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(每题5分，共10分)(1)计算：(tan 30°)-1＋＋cos 60°；
(2)化简：÷．
[解] (1)原式＝＋－3
＝－3
＝－．
(2)原式＝÷
＝
＝．
18．(9分)(2024·内蒙古呼伦贝尔)某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有________人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角的度数；
(3)该校共有2 000名学生，若有60%的学生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数．
[解] (1)本次调查的学生共有40÷20%＝200(人)，
“文明宣传”的人数有200－40－80－20＝60(人)，
补图如图所示：
故答案为200．
(2)360°×＝144°，
∴“敬老服务”对应的圆心角的度数是144°．
(3)2 000×60%×＝360，
∴估计参加“文明宣传”项目的学生人数为360人．
19．(9分)(2024·内蒙古通辽)在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度(精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：≈1.73)．
[解] 延长AB交DC于点E，则AE⊥DC．
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝6米，
∴BE＝BC＝3米，CE＝＝＝3(米)，
∵DC＝4米，
∴DE＝DC＋CE＝(4＋3)米，
在Rt△AED中，∠ADE＝45°，
∴AE＝DE＝(4＋3)米，
∴AB＝AE－BE＝4＋3－3＝(1＋3)米，
∵≈1.73，
∴AB≈1＋3×1.73＝6.19≈6.2(米)．
答：杨树AB的高度约6.2米．
20．(10分)(2024·甘肃)如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax＋b的图象，与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A(2，4)．过点B(0，2)作x轴的平行线分别交y＝ax＋b与y＝(x>0)的图象于C，D两点．
(1)求一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝的表达式；
(2)连接AD，求△ACD的面积．
[解] (1)∵将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax＋b的图象，
∴y＝ax＋b＝ax＋3，
把A(2，4)代入y＝ax＋3，得2a＋3＝4，解得a＝，
∴一次函数y＝ax＋b的解析式为y＝x＋3；
把A(2，4)代入y＝(x>0)，得4＝(x>0)，解得k＝8，
∴反比例函数y＝(x>0)的解析式为y＝(x>0)．
(2)∵BC∥x轴，B(0，2)，
∴点C和点D的纵坐标都为2，
在y＝x＋3中，当y＝x＋3＝2时，x＝－2，即C(－2，2)，
在y＝(x>0)中，当y＝＝2时，x＝4，即D(4，2)，
∴CD＝4－(－2)＝6，
∵A(2，4)，
∴S△ACD＝CD·(yA－yC)＝×6×(4－2)＝6．
21．(10分)如图，⊙O的直径AB＝8，AM和BN是它的两条切线，点E是圆上一点，过点E的直线与AM，BN分别相交于点D，C两点，连接AE并延长，交BN点P，BC＝CP．
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若＝，求AD长．
[解] (1)证明：连接BE，OE，
∵BN是⊙O的切线，
∴∠ABN＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠BEP＝90°，
∵BC＝CP，
∴EC＝BC＝BP，
∴∠BEC＝∠EBC，
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＋∠BEC＝∠OBE＋∠EBC＝∠ABN＝90°，
∴OE⊥EC，
∴DC是⊙O的切线．
(2)过点D作DQ⊥BC于Q，
∵AM，BN，DC都是⊙O的切线，
∴∠BAM＝∠ABN＝90°，AD＝DE，BC＝CE，
∴四边形ABQD是矩形，
∴AD＝BQ，DQ＝AB＝8，＝＝．
设AD＝x，则BC＝3x，CD＝4x，CQ＝2x，
∵在Rt△CDQ中，CQ2＋DQ2＝DC2，
∴(2x)2＋82＝(4x)2，
解得x＝，
即AD＝．
22．(12分)综合与实践
【问题情境】
数学兴趣小组课外活动时间开展了问题探究活动，如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD，PB．
(1)小组成员发现无论点P在什么位置，总有PD＝PB，请你证明他们的结论．
【问题探究】
(2)将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，小亮说：线段AQ与OP的数量关系保持不变，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【迁移探究】
(3)如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且AB＝AC，其他条件不变，试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°，
又∵CP＝CP，
∴△DCP≌△BCP(SAS)，
∴PD＝PB．
(2)小亮的说法正确．
理由：如图，作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠AEP＝45°，四边形OPEF是矩形，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°，EF＝OP，
∴PA＝PE．
∵PD＝PB，PD＝PQ，
∴PQ＝PB．
如图，作PM⊥AE于点M，则QM＝BM，AM＝EM，
∴AQ＝BE．
∵∠EFB＝90°，∠EBF＝45°，
∴BE＝＝EF，
∴AQ＝OP．
(3)AQ＝CP．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO．
又∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，PD＝PB．
∵PD＝PQ，
∴PQ＝PB．
如图，过点P作PE∥BC交AB于点E，过点E作EG∥AC交BC于点G，
则四边形PEGC为平行四边形，∠GEB＝∠BAC＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，
∴EG＝PC，△APE，
△BEG都是等边三角形，
BE＝EG＝PC．
如图，过点P作PM⊥AB于点M，则QM＝MB，AM＝EM，QA＝BE，
∴AQ＝CP．
23．(12分)(2024·四川达州)如图1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；
(3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由题意得y＝a(x＋3)(x－1)＝a(x2＋2x－3)＝ax2＋bx－3，则－3a＝－3，
解得a＝1，
则抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．
(2)由抛物线的表达式知，点C(0，－3)，D(－1，－4)，抛物线的对称轴为直线x＝－1，
过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线LP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，
由点A，C的坐标得，直线AC的表达式为y＝－x－3，
∵DG∥AC，
则直线DG的表达式为y＝－x－5，
则点G(0，－5)，则CG＝－3－(－5)＝2，则CL＝4，
则点L(0，1)，
则直线LP的表达式为y＝－x＋1，
联立上式和抛物线的表达式得x2＋2x－3＝－x＋1，
解得x1＝1，x2＝－4，
即点P(1，0)或(－4，5)．
(3)存在，理由：
设点N(－1，m)，
由点A，C，N的坐标得，AC2＝18，AN2＝4＋m2，CN2＝1＋(m＋3)2，
当AC＝AN时，
则18＝4＋m2，
解得m＝±，
则点N(－1，±)；
当AC＝CN或AN＝CN时，
则18＝1＋(m＋3)2或4＋m2＝1＋(m＋3)2，
解得m＝－3＋或－1(不合题意的值已舍去)，
则点N(－1，－1)或(－1，－3＋)．
综上，N(－1，±)或(－1，－1)或(－1，－3＋)．2025年山东省初中学业水平考试
数学模拟试题(一)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．下列式子中，运算结果为－6的是( )
[A](－2)×3 [B]－1＋5 [C]－23 [D]＋|－6|
2．(2024·济宁二模)第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是( )
[A] [B] [C] [D]
3．(2024·东昌府区三模)2024年元旦假期3天，全国国内旅游出游约1.35亿人次，较2019年同期增长9.4%．其中的“1.35亿”用科学记数法表示为( )
[A]1.35×108 [B]1.35×109 [C]135×106 [D]135×107
4．(2024·泰安)下列运算正确的是( )
[A]2x2y－3xy2＝－x2y [B]4x8y2÷2x2y2＝2x4
[C](x－y)(－x－y)＝x2－y2 [D](x2y3)2＝x4y6
5．如图，直线BD分别交AE，CF于点B，D，连接AD，BC，若DA平分∠BDF，∠3＝∠4，若∠1＝50°，∠2＝130°，则∠CBD的度数为( )
[A]45° [B]50° [C]60° [D]65°
6．寒假期间，小明和爸爸从家出发去某地旅游，已知两地相距约500 km，乘高铁比开小轿车少用3.8 h(假设两种出行方式的总路程相同)，高铁的平均速度是小轿车的3倍，设小轿车的平均速度是x km/h，则下列方程中正确的是( )
[A]－3＝3.8 [B]＝3.8
[C]＝3.8 [D]＝3.8－
7．(2024·临沂一模)不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从剩下的三个球中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )
[A] [B] [C] [D]
8．若关于x的方程＝0的解为负数，则m的取值范围是( )
[A]m＜2 [B]m＜2且m≠0 [C]m＞2 [D]m＞2且m≠4
9．如图，点C、D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC＝130°，点E是上任意一点，连接BE，CE，则∠BEC的度数为( )
[A]20° [B]30° [C]40° [D]50°
10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点(点E不与点A，点B重合)，点F在线段DA的延长线上，且AF＝AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG．设AE＝x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是( )
[A] [B] [C] [D]
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ________．
12．(2024·四川广元)分解因式：(a＋1)2－4a＝________．
13．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交AC于点D，若点D到BC的距离为1，则AC＝________．
14．(2024·湖南)若关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．
第13题图 第15题图 第16题图
15．(2024·烟台)如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．
16．已知，直线l：y＝x－与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2(点B2在点B1的上方)，以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4…，则点A2 025的横坐标为________．
三、解答题(本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
17．(每题5分，共10分)(1)计算：(tan 30°)-1＋＋cos 60°；
(2)化简：÷．
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
18．(9分)(2024·内蒙古呼伦贝尔)某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有________人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角的度数；
(3)该校共有2 000名学生，若有60%的学生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数．
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
19．(9分)(2024·内蒙古通辽)在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度(精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：≈1.73)．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
20．(10分)(2024·甘肃)如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax＋b的图象，与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A(2，4)．过点B(0，2)作x轴的平行线分别交y＝ax＋b与y＝(x>0)的图象于C，D两点．
(1)求一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝的表达式；
(2)连接AD，求△ACD的面积．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
21．(10分)如图，⊙O的直径AB＝8，AM和BN是它的两条切线，点E是圆上一点，过点E的直线与AM，BN分别相交于点D，C两点，连接AE并延长，交BN点P，BC＝CP．
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若＝，求AD长．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
22．(12分)综合与实践
【问题情境】
数学兴趣小组课外活动时间开展了问题探究活动，如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD，PB．
(1)小组成员发现无论点P在什么位置，总有PD＝PB，请你证明他们的结论．
【问题探究】
(2)将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，小亮说：线段AQ与OP的数量关系保持不变，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【迁移探究】
(3)如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且AB＝AC，其他条件不变，试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
23．(12分)(2024·四川达州)如图1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；
(3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
