数学模拟试题(二)
1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．A
7．D [∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∴∠C＝2∠A，故①正确；
由题意得：BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，
∵∠CDB＝180°－∠C－∠DBC＝72°，∴∠CDB＝∠C，
∴BC＝BD，∴AD＝BD＝BC，故②正确；
∵∠C＝∠C，∠DBC＝∠A，
∴△CBD∽△CAB，
∴，∴BC2＝CD·AB，故③正确．
综上所述，正确的有①②③．故选D．]
8．A [如图所示，连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝α，
∴∠AOB＝180°－∠P＝180°－α，
∵，
∴∠C＝∠AOB＝90°－α，
∵AC∥PB，
∴∠PBC＝180°－∠C＝90°＋α．故选A．]
9．A [如图，过点A作AM⊥y轴，
垂足为M，连接OB，则S△AOM＝S△OBD＝＝×12＝6，
∵E是OA的中点，即OE＝AE，而DE∥AM，
∴DE＝OM，
∵S△AOM＝S△OBD＝6，
即OD·BD＝6，
∴AM·OD＝BD·OD，∴BD＝2AM，
∴DE＝BD，
∴DE＝BE，∵S△ODE＝S△AOM＝，
∴S△AEB＝3S△ODE＝3×＝4.5．故选A．]
10．C [由所给图形可知，
从下往上看，
第一行有1个点，第二行有3个点，第三行有5个点，……，
第n行有(2n－1)个点．
所以前n行点的总个数为：1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2(n为正整数)，
当n＝45时，n2＝2 025，2×45－1＝89，
所以前45行一共有2 025个点，且第45行有89个点．
又因为第n行的纵坐标为n，且n为奇数时，点是从右向左依次排列的，
所以(89－1)÷2＝44，
则第2 025个点的坐标为(－44，45)，
所以第2 024个点的坐标为(－43，45)．故选C．]
11．x(x＋3y)(x－3y) [利用提公因式法、公式法因式分解得：x3－9xy2＝x(x2－9y2)＝x(x＋3y)(x－3y)．]
12．x＝－3 [原方程去分母得：x2－x＝x2－2x－3，
解得：x＝－3，
检验：当x＝－3时，(x－1)(x－3)≠0，
故原方程的解为x＝－3．]
13．4π [∵BC＝AB，AB＝4，∴BC＝4，
∵O为BC中点，∴OB＝OC＝，
∵OE＝4，在Rt△OBE中，cos ∠BOE＝，
∴∠BOE＝45°，
同理∠COF＝45°，∴∠EOF＝180°－45°－45°＝90°，
∴扇形EOF的面积为＝4π．]
14．3 [当x>－1时，
x (－1)＝11变形得x2＋x－1＝11，
整理，得x2＋x－12＝0，
解得x＝3，x＝－4(舍去)．
当x≤－1时，
x (－1)＝11变形得(－1)2＋x－1＝11，
解得x＝11(舍去)．
综上，实数x的值为3．]
15．①④ [当m＝0时，抛物线为y＝x2－4，
∴抛物线的对称轴是y轴，故①正确．
若此抛物线与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝4m2－4(m2＋m－4)＝－4m＋16＝0，
∴m＝4，故②错误．
由题意，抛物线为y＝x2－2mx＋m2＋m－4，
∴对称轴是直线x＝－＝m．
又抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵A(m－2，y1)，B(m＋1，y2)，
∴m－(m－2)＝2＞m＋1－m＝1．
∴y1＞y2，故③错误．
由题意，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m－4的对称轴是直线x＝m，
∴顶点为(m，m－4)，
∴顶点在直线y＝x－4上，
又直线y＝x与y＝x－4平行，
∴顶点到直线y＝x的距离等于两条平行线间的距离，
又直线y＝x－4与y轴的夹角为45°，
且y＝x－4是y＝x向下平移4个单位得到的，
∴两平行线间的距离为4sin 45°＝4×，
∴顶点到直线y＝x的距离为2，故④正确．
故结论正确的是①④．]
16．19 [由所给分子结构图及结构简式可知，
图(1)的分子中含C原子的个数为：10＝1×6＋4；
图(2)的分子中含C原子的个数为：16＝2×6＋4；
图(3)的分子中含C原子的个数为：22＝3×6＋4；
……，
所以图(n)的分子中含C原子的个数为(6n＋4)个．
由图(m)和图(m＋1)的分子中共含有242个C原子，
可得6m＋4＋6(m＋1)＋4＝242，
解得m＝19，
所以m的值为19．]
17．解：(1)2sin 60°＋－(－5)＋
＝2×．
(2)
由①得x＞－2，由②得x＜3，
以上解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为－2＜x＜3．
18．解：(1)在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是360°×(1－5%－5%－20%－45%－10%)＝54°．故答案为54°．
(2)n＝9÷45%＝20．故答案为20．
展演成绩中B：75≤x＜80的人数为20－2－6－4－3－1＝4，
补全图2中的频数分布直方图如下．
(3)将抽取的20名学生的笔试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝85.5．故答案为85.5．
(4)乙同学能获得“环保之星”称号，理由如下：
甲同学的总成绩为＝90.2(分)，
乙同学的总成绩为＝93(分)，
93＞90.2，
∴乙同学能获得“环保之星”称号．
19．解：分别过点C和点D作AB的垂线，垂足分别为M，N，
在Rt△CBM中，
tan ∠CBM＝，
所以CM＝BM，
在Rt△ACM中，
tan A＝，
所以，
则BM＝750，
所以CM＝750(米)，
所以DN＝CM＝750(米)．
在Rt△DBN中，
tan ∠DBN＝＝1，
所以BN＝DN＝750，
所以MN＝BN－BM＝米，
则CD＝MN＝750－750≈548(米)，
故大桥CD的长为548米．
20．解：(1)将x＝0代入y＝kx＋4得，
y＝4，
所以点D的坐标为(0，4)．故答案为(0，4)．
(2)因为S△OCD＝2，且OD＝4，
所以OC＝1，
则点C的坐标为(－1，0)．
将点C坐标代入一次函数解析式得，
－k＋4＝0，
解得k＝4，
所以一次函数的解析式为y＝4x＋4．
又因为OA＝2OC，
所以OA＝2．
因为∠DOA＝90°，PA⊥x轴，
所以△CDO∽△CPA，
所以，
所以PA＝3OD＝12，
则点P的坐标为(2，12)．
将点P坐标代入反比例函数解析式得，
m＝2×12＝24．
(3)由函数图象可知，
当x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即kx＋4>，
所以不等式kx＋4>的解集为x＞2．
21．解：(1)证明：连接OB，
∵BF与⊙O相切，
∴∠OBA＋∠ABF＝90°，
∵PD⊥AC，
∴∠A＋∠AEP＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠ABF＝∠AEP，
又∵∠AEP＝∠BEF，
∴∠ABF＝∠BEF，
∵∠D＋∠BEF＝90°，∠ABF＋∠DBF＝90°，
∴∠D＝∠DBF，∴DF＝BF＝EF，∴F是DE的中点．
(2)由(1)得，∠A＋∠AEP＝∠D＋∠BED，∠AEP＝∠BED，∴∠A＝∠D，
又∵∠D＝∠DBF，∴∠DBF＝∠A，
在Rt△AEP中，cos A＝，AP＝4，
∴AE＝＝5，
∴PE＝＝3，
∵AP＝OP＝4，
∴OA＝OC＝2AP＝8，
∴PC＝OP＋OC＝12，
∵∠A＋∠AEP＝90°，∠A＋∠C＝90°，
∴∠AEP＝∠C，
∵∠APE＝∠DPC＝90°，∴△APE∽△DPC，
∴，∴，∴DP＝16，
∴DE＝DP－PE＝16－3＝13，∴BF＝，
∴BF的长为．
22．解：(1)把A(－1，0)，C(0，－4)代入y＝x2＋bx＋c，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－4．
∵y＝x2－3x－4＝，
∴抛物线顶点D的坐标为．
(2)在y轴上存在一点M，使得△BDM的周长最小，理由如下：
作D关于y轴的对称点，连接BD′交y轴于M，如图，
在y＝x2－3x－4中，令y＝0得0＝x2－3x－4，
解得x＝4或x＝－1，
∴B(4，0)，
∴BD＝，
∴△BDM的周长最小，只需DM＋BM最小，
∵DM＝D′M，
∴DM＋BM＝D′M＋BM，
∴B，M，D′共线时，DM＋BM最小，最小值为BD′的长，此时△BDM的周长也最小．
由B(4，0)，D′得直线BD′解析式为y＝，令x＝0得y＝－，∴M的坐标为．
(3)以AP为边，
在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，如图，
由A(－1，0)，P(3，0)，△APQ是等边三角形，可得Q的坐标为，
∵△AEF，△APQ是等边三角形，
∴AE＝AF，AP＝AQ，∠EAF＝∠PAQ＝60°，
∴∠EAP＝∠FAQ，
∴△EAP≌△FAQ(SAS)，
∴PE＝QF＝1，
∴F的轨迹是以Q为圆心，1为半径的圆，
∵B(4，0)，∴BQ＝，
当F在线段QB上时，BF最小，此时BF＝BQ－QF＝－1；
当Q在线段BF上时，BF最大，此时BF＝BQ＋QF＝＋1，
∴BF的取值范围是＋1．
23．解：(1)由对折可得：AF＝FG，BA＝BG，AG⊥BF，
∴∠ABH＋∠BAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，
∴∠BAH＋∠DAE＝90°，
∴∠ABH＝∠DAE，
∴△ABF≌△DAE，
∴DE＝AF＝5，
∴BF＝＝13，
∴AH＝．
(2)如图，过D作DK∥GF，而四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴四边形DKFG为平行四边形，
∴DK＝GF，
由对折可得：GF⊥AE，
∴DK⊥AE，
同理可得：∠DAB＝∠B＝90°，∠ADK＝∠EAB，∴△DAK∽△ABE，
∴，
∵，AD＝BC，∴，∴．
(3)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠A＝∠C＝90°，
∵DF＝DC，
∴DF＝2，CF＝4，
由折叠可设BN＝FN＝x，则CN＝8－x，
∴x2＝42＋(8－x)2，
解得：x＝5，
∴BN＝FN＝5，CN＝3，
由折叠可得：MN⊥BF，MH⊥BC，
由(2)的结论同理可得：△NMH∽△FBC，MH＝AB＝6，
∴，
∴NH＝3，
MN＝，
如图，连接MF，记EF，MD的交点为Q，
∵CF＝4，BC＝8，∠C＝90°，
∴BF＝，
结合折叠可得：OF＝OB＝2，
∴S△MNF＝＝15，
同理可得：∠DFQ＝∠FNC，
∴tan ∠FNC＝＝tan ∠QFD＝，
∴QD＝，
∵NH＝CN＝3，
∴AM＝BH＝8－(3＋3)＝2，
∴QM＝8－2－，
∴S△QMF＝，
∴折叠后重叠部分的面积为．2025年山东省初中学业水平考试
数学模拟试题(二)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．(2024·甘肃临夏)下列各数中，是无理数的是( )
[A] [B]
[C] [D]0.131 33
2．2024年1月8日，以“家家挂红灯，户户贴春联，村村有好戏——回村过大年”为主题的2024春节山东乡村文化旅游节启动．小明通过观看纪录片对剪纸产生了浓厚的兴趣，下列剪纸图片既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
[A] [B] [C] [D]
3．2024年1月12日，中国海油发布消息，2023年，国内最大原油生产基地渤海油田累产油气产量超3 680万吨，其中原油产量超3 400万吨，天然气产量超35亿立方米，创历史最高水平．数据“3 400万”用科学记数法表示为( )
[A]3.4×107 [B]3.4×108
[C]0.34×107 [D]0.34×108
4．如图所示的几何体，它的俯视图是( )
[A] [B] [C] [D]
5．(2024·四川达州)下列计算正确的是( )
[A]a2＋a3＝a5 [B](a＋2)2＝a2＋2a＋4
[C](－2a2b3)3＝－8a6b9 [D]a12÷a6＝a2
6．(2024·四川广安)若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
[A]m＜0且m≠－1 [B]m≥0
[C]m≤0且m≠－1 [D]m＜0
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，按如下作图：
(1)以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；
(2)分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点P；
(3)作射线BP交AC于点D．
根据以上作图，判断下列结论正确的有( )
①∠C＝2∠A ②AD＝BC ③BC2＝CD·AB
[A]①② [B]①③ [C]②③ [D]①②③
8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，过点A作AC∥PB交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝α，则∠PBC的度数为( )
[A]90°＋α [B]90°－α [C]180°－α [D]180°－α
第8题图 第9题图 第10题图
9．(2024·黑龙江)如图，双曲线y＝(x＞0)经过A，B两点，连接OA，AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是( )
[A]4.5 [B]3.5 [C]3 [D]2.5
10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(0，1)，(－1，2)，(0，2)，(1，2)，(2，3)，(1，3)，(0，3)，…，根据这个规律探索可得第2 024个点的坐标是( )
[A](43，45) [B](44，45) [C](－43，45) [D](－42，45)
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．(2024·茌平区一模)因式分解：x3－9xy2＝________．
12．(2024·湖北武汉)分式方程＝的解是________．
13．(2024·广东深圳)如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为________．
14．对于实数m，n，先定义一种新运算“ ”如下：m n＝若x (－1)＝11，则实数x的值为________．
15．(2024·内蒙古通辽)关于抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m－4(m是常数)，下列结论正确的是______(填写所有正确结论的序号)．
①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴；
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝－4；
③若点A(m－2，y1)，B(m＋1，y2)在抛物线上，则y1＜y2；
④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于2．
16．[跨学科](2024·东昌府区模拟)聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下：
若图(m)和图(m＋1)的分子中共含有242个C原子，则m的值________．
三、解答题(本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
17．(5分，共10分)(1)计算：2sin 60°＋－(－5)＋；
(2)利用数轴确定不等式组的解集．
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
18．(9分)(2024·菏泽三模)为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组(满分100分，实际得分用x表示)：
A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x＜100．
随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：
已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是________；
(2)n＝________，并补全图2中的频数分布直方图；
(3)在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是________分；
(4)已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2∶3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．
笔试成绩 展演成绩
甲 92 89
乙 90 95
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
19．(9分)(2024·黑龙江大庆)如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1 500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度．(结果精确到1米，参考数据：≈1.73)
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
20．(10分)(2024·聊城二模)如图，反比例函数y＝(x>0)的图象与一次函数y＝kx＋4的图象在第一象限交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为A，一次函数y＝kx＋4的图象分别交x轴、y轴于点C，D，且S△OCD＝2，OA＝2OC．
(1)点D的坐标为________；
(2)求一次函数的解析式及m的值；
(3)直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx＋4>的解集．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
21．(10分)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，过点B作⊙O的切线交DE于点F．
(1)求证：F是DE的中点；
(2)若AP＝OP，cos ∠FBD＝，AP＝4，求BF的长．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
22．(12分)(2024·四川宜宾)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，－4)，其顶点为D．
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点E在以点P(3，0)为圆心，1为半径的⊙P上，连接AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连接BF．求BF的取值范围．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
23．(12分)在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE，通过证明△DAQ≌△ABE，再证四边形DQFG为平行四边形，从而证出AE＝FG．
(1)【学以致用】：如图2，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上，若DE＝5，求AH的长．
(2)【类比探究】：如图3，在矩形ABCD中，＝，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O，试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M，N分别在边AD，BC上．沿着直线MN折叠矩形ABCD，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段CD上(不与两端点重合)，过点M作MH⊥BC于点H，连接BF交MN于点O．若DF＝DC，求折叠后重叠部分的面积．2025年山东省初中学业水平考试数学模拟试题(二)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．(2024·甘肃临夏)下列各数中，是无理数的是( )
A． B． C． D．0.131 33
A [A．是无理数，符合题意；
B．是有理数，不符合题意；
C．＝3是有理数，不符合题意；
D．0.131 33是有理数，不符合题意．
故选A．]
2．2024年1月8日，以“家家挂红灯，户户贴春联，村村有好戏——回村过大年”为主题的2024春节山东乡村文化旅游节启动．小明通过观看纪录片对剪纸产生了浓厚的兴趣，下列剪纸图片既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A B C D
D [A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选D．]
3．2024年1月12日，中国海油发布消息，2023年，国内最大原油生产基地渤海油田累产油气产量超3 680万吨，其中原油产量超3 400万吨，天然气产量超35亿立方米，创历史最高水平．数据“3 400万”用科学记数法表示为( )
A．3.4×107 B．3.4×108
C．0.34×107 D．0.34×108
A [3 400万用科学记数法表示为3.4×107．
故选A．]
4．如图所示的几何体，它的俯视图是( )
A B C D
B [根据立体几何三视图的特点可知，题设中的俯视图是 故选B．]
5．(2024·四川达州)下列计算正确的是( )
A．a2＋a3＝a5
B．(a＋2)2＝a2＋2a＋4
C．(－2a2b3)3＝－8a6b9
D．a12÷a6＝a2
C [a2＋a3不能化简，故A选项错误；
(a＋2)2＝a2＋4a＋4，故B选项错误；
(－2a2b3)3＝－8a6b9，故C选项正确；
a12÷a6＝a6，故D选项错误．
故选C．]
6．(2024·四川广安)若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A．m＜0且m≠－1 B．m≥0
C．m≤0且m≠－1 D．m＜0
A [∵关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴
解得m＜0且m≠－1．
故选A．]
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，按如下作图：
(1)以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；
(2)分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点P；
(3)作射线BP交AC于点D．
根据以上作图，判断下列结论正确的有( )
①∠C＝2∠A ②AD＝BC ③BC2＝CD·AB
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
D [∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∴∠C＝2∠A，
故①正确；
由题意得：BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵∠CDB＝180°－∠C－∠DBC＝72°，
∴∠CDB＝∠C，
∴BC＝BD，
∴AD＝BD＝BC，
故②正确；
∵∠C＝∠C，∠DBC＝∠A，
∴△CBD∽△CAB，
∴＝，
∴BC2＝CD·AB，
故③正确．
综上所述，正确的有①②③．
故选D．]
8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，过点A作AC∥PB交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝α，则∠PBC的度数为( )
A．90°＋α B．90°－α
C．180°－α D．180°－α
A [如图所示，连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝α，
∴∠AOB＝180°－∠P＝180°－α，
∵＝，
∴∠C＝∠AOB＝90°－α，
∵AC∥PB，
∴∠PBC＝180°－∠C＝90°＋α．
故选A．]
9．(2024·黑龙江)如图，双曲线y＝(x＞0)经过A，B两点，连接OA，AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是( )
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
A [如图，过点A作AM⊥y轴，
垂足为M，连接OB，则S△AOM＝S△OBD＝|k|＝×12＝6，
∵E是OA的中点，即OE＝AE，而DE∥AM，
∴DE＝AM，OD＝OM，
∵S△AOM＝S△OBD＝6，
即AM·OM＝OD·BD＝6，
∴AM·OD＝BD·OD，
∴BD＝2AM，
∴DE＝AM＝BD，
∴DE＝BE，
∵S△ODE＝S△AOM＝×6＝，
∴S△AEB＝3S△ODE＝3×＝4.5．
故选A．]
10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(0，1)，(－1，2)，(0，2)，(1，2)，(2，3)，(1，3)，(0，3)，…，根据这个规律探索可得第2 024个点的坐标是( )
A．(43，45) B．(44，45)
C．(－43，45) D．(－42，45)
C [由所给图形可知，
从下往上看，
第一行有1个点，
第二行有3个点，
第三行有5个点，
……，
第n行有(2n－1)个点．
所以前n行点的总个数为：1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2(n为正整数)，
当n＝45时，
n2＝2 025，2×45－1＝89，
所以前45行一共有2 025个点，且第45行有89个点．
又因为第n行的纵坐标为n，且n为奇数时，点是从右向左依次排列的，
所以(89－1)÷2＝44，
则第2 025个点的坐标为(－44，45)，
所以第2 024个点的坐标为(－43，45)．
故选C．]
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．(2024·茌平区一模)因式分解：x3－9xy2＝________．
x(x＋3y)(x－3y) [利用提公因式法、公式法因式分解得：
x3－9xy2＝x(x2－9y2)＝x(x＋3y)(x－3y)．]
12．(2024·湖北武汉)分式方程＝的解是________．
x＝－3 [原方程去分母得：x2－x＝x2－2x－3，
解得：x＝－3，
检验：当x＝－3时，(x－1)(x－3)≠0，
故原方程的解为x＝－3．]
13．(2024·广东深圳)如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为________．
4π [∵BC＝AB，AB＝4，
∴BC＝4，
∵O为BC中点，
∴OB＝OC＝BC＝2，
∵OE＝4，
在Rt△OBE中，cos ∠BOE＝＝＝，
∴∠BOE＝45°，
同理∠COF＝45°，
∴∠EOF＝180°－45°－45°＝90°，
∴扇形EOF的面积为＝4π．]
14．对于实数m，n，先定义一种新运算“ ”如下：m n＝若x (－1)＝11，则实数x的值为________．
3 [当x>－1时，
x (－1)＝11变形得x2＋x－1＝11，
整理，得x2＋x－12＝0，
解得x＝3，x＝－4(舍去)．
当x≤－1时，
x (－1)＝11变形得(－1)2＋x－1＝11，
解得x＝11(舍去)．
综上，实数x的值为3．]
15．(2024·内蒙古通辽)关于抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m－4(m是常数)，下列结论正确的是______(填写所有正确结论的序号)．
①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴；
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝－4；
③若点A(m－2，y1)，B(m＋1，y2)在抛物线上，则y1＜y2；
④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于2．
①④ [当m＝0时，抛物线为y＝x2－4，
∴抛物线的对称轴是y轴，故①正确．
若此抛物线与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝4m2－4(m2＋m－4)＝－4m＋16＝0，
∴m＝4，故②错误．
由题意，抛物线为y＝x2－2mx＋m2＋m－4，
∴对称轴是直线x＝－＝m．
又抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵A(m－2，y1)，B(m＋1，y2)，
∴m－(m－2)＝2＞m＋1－m＝1．
∴y1＞y2，故③错误．
由题意，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m－4的对称轴是直线x＝m，
∴顶点为(m，m－4)，
∴顶点在直线y＝x－4上，
又直线y＝x与y＝x－4平行，
∴顶点到直线y＝x的距离等于两条平行线间的距离，
又直线y＝x－4与y轴的夹角为45°，
且y＝x－4是y＝x向下平移4个单位得到的，
∴两平行线间的距离为4sin 45°＝4×＝2，
∴顶点到直线y＝x的距离为2，故④正确．
故结论正确的是①④．]
16．[跨学科](2024·东昌府区模拟)聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下：
若图(m)和图(m＋1)的分子中共含有242个C原子，则m的值________．
19 [由所给分子结构图及结构简式可知，
图(1)的分子中含C原子的个数为：10＝1×6＋4；
图(2)的分子中含C原子的个数为：16＝2×6＋4；
图(3)的分子中含C原子的个数为：22＝3×6＋4；
……，
所以图(n)的分子中含C原子的个数为(6n＋4)个．
由图(m)和图(m＋1)的分子中共含有242个C原子，
可得6m＋4＋6(m＋1)＋4＝242，
解得m＝19，
所以m的值为19．]
三、解答题(本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(每题5分，共10分)(1)计算：2sin 60°＋－(－5)＋；
(2)利用数轴确定不等式组的解集．
[解] (1)2sin 60°＋－(－5)＋
＝2×＋2＋5＋2
＝＋2＋7
＝7＋3．
(2)
由①得x＞－2，
由②得x＜3，
以上解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为－2＜x＜3．
18．(9分)(2024·菏泽三模)为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组(满分100分，实际得分用x表示)：
A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x＜100．
随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：
已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是________；
(2)n＝________，并补全图2中的频数分布直方图；
(3)在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是________分；
(4)已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2∶3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．
笔试成绩 展演成绩
甲 92 89
乙 90 95
[解] (1)在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是360°×(1－5%－5%－20%－45%－10%)＝54°．
故答案为54°．
(2)n＝9÷45%＝20．
故答案为20．
展演成绩中B：75≤x＜80的人数为20－2－6－4－3－1＝4，
补全图2中的频数分布直方图如下．
(3)将抽取的20名学生的笔试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝85.5．
故答案为85.5．
(4)乙同学能获得“环保之星”称号，理由如下：
甲同学的总成绩为＝90.2(分)，
乙同学的总成绩为＝93(分)，
93＞90.2，
∴乙同学能获得“环保之星”称号．
19．(9分)(2024·黑龙江大庆)如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1 500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度．(结果精确到1米，参考数据：≈1.73)
[解] 分别过点C和点D作AB的垂线，垂足分别为M，N，
在Rt△CBM中，
tan ∠CBM＝＝，
所以CM＝BM，
在Rt△ACM中，
tan A＝＝，
所以＝，
则BM＝750，
所以CM＝750(米)，
所以DN＝CM＝750(米)．
在Rt△DBN中，
tan ∠DBN＝＝1，
所以BN＝DN＝750，
所以MN＝BN－BM＝(750－750)米，
则CD＝MN＝750－750≈548(米)，
故大桥CD的长为548米．
20．(10分)(2024·聊城二模)如图，反比例函数y＝(x>0)的图象与一次函数y＝kx＋4的图象在第一象限交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为A，一次函数y＝kx＋4的图象分别交x轴、y轴于点C，D，且S△OCD＝2，OA＝2OC．
(1)点D的坐标为________；
(2)求一次函数的解析式及m的值；
(3)直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx＋4>的解集．
[解] (1)将x＝0代入y＝kx＋4得，
y＝4，
所以点D的坐标为(0，4)．
故答案为(0，4)．
(2)因为S△OCD＝2，且OD＝4，
所以OC＝1，
则点C的坐标为(－1，0)．
将点C坐标代入一次函数解析式得，
－k＋4＝0，
解得k＝4，
所以一次函数的解析式为y＝4x＋4．
又因为OA＝2OC，
所以OA＝2．
因为∠DOA＝90°，PA⊥x轴，
所以△CDO∽△CPA，
所以＝＝，
所以PA＝3OD＝12，
则点P的坐标为(2，12)．
将点P坐标代入反比例函数解析式得，
m＝2×12＝24．
(3)由函数图象可知，
当x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即kx＋4>，
所以不等式kx＋4>的解集为x＞2．
21．(10分)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，过点B作⊙O的切线交DE于点F．
(1)求证：F是DE的中点；
(2)若AP＝OP，cos ∠FBD＝，AP＝4，求BF的长．
[解] (1)证明：连接OB，
∵BF与⊙O相切，
∴∠OBA＋∠ABF＝90°，
∵PD⊥AC，
∴∠A＋∠AEP＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠ABF＝∠AEP，
又∵∠AEP＝∠BEF，
∴∠ABF＝∠BEF，
∵∠D＋∠BEF＝90°，∠ABF＋∠DBF＝90°，
∴∠D＝∠DBF，
∴DF＝BF＝EF，
∴F是DE的中点．
(2)由(1)得，∠A＋∠AEP＝∠D＋∠BED，∠AEP＝∠BED，
∴∠A＝∠D，
又∵∠D＝∠DBF，
∴∠DBF＝∠A，
在Rt△AEP中，cos A＝，AP＝4，
∴AE＝＝＝5，
∴PE＝＝＝3，
∵AP＝OP＝4，
∴OA＝OC＝2AP＝8，
∴PC＝OP＋OC＝12，
∵∠A＋∠AEP＝90°，∠A＋∠C＝90°，
∴∠AEP＝∠C，
∵∠APE＝∠DPC＝90°，
∴△APE∽△DPC，
∴＝，
∴＝，
∴DP＝16，
∴DE＝DP－PE＝16－3＝13，
∴BF＝DE＝，
∴BF的长为．
22．(12分)(2024·四川宜宾)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，－4)，其顶点为D．
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点E在以点P(3，0)为圆心，1为半径的⊙P上，连接AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连接BF．求BF的取值范围．
[解] (1)把A(－1，0)，C(0，－4)代入y＝x2＋bx＋c，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－4；
∵y＝x2－3x－4＝－，
∴抛物线顶点D的坐标为．
(2)在y轴上存在一点M，使得△BDM的周长最小，理由如下：
作D关于y轴的对称点D′，连接BD′交y轴于M，如图，
在y＝x2－3x－4中，令y＝0得0＝x2－3x－4，
解得x＝4或x＝－1，
∴B(4，0)，
∴BD＝＝，
∴△BDM的周长最小，只需DM＋BM最小，
∵DM＝D′M，
∴DM＋BM＝D′M＋BM，
∴B，M，D′共线时，DM＋BM最小，最小值为BD′的长，此时△BDM的周长也最小．
由B(4，0)，D′得直线BD′解析式为y＝x－，
令x＝0得y＝－，
∴M的坐标为．
(3)以AP为边，
在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，如图，
由A(－1，0)，P(3，0)，△APQ是等边三角形，可得Q的坐标为(1，－2)，
∵△AEF，△APQ是等边三角形，
∴AE＝AF，AP＝AQ，∠EAF＝∠PAQ＝60°，
∴∠EAP＝∠FAQ，
∴△EAP≌△FAQ(SAS)，
∴PE＝QF＝1，
∴F的轨迹是以Q(1，－2)为圆心，1为半径的圆，
∵B(4，0)，
∴BQ＝，
当F在线段QB上时，BF最小，此时BF＝BQ－QF＝－1；
当Q在线段BF上时，BF最大，此时BF＝BQ＋QF＝＋1，
∴BF的取值范围是－1≤BF≤＋1．
23．(12分)在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE，通过证明△DAQ≌△ABE，再证四边形DQFG为平行四边形，从而证出AE＝FG．
(1)【学以致用】：如图2，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上，若DE＝5，求AH的长．
(2)【类比探究】：如图3，在矩形ABCD中，＝，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O，试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M，N分别在边AD，BC上．沿着直线MN折叠矩形ABCD，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段CD上(不与两端点重合)，过点M作MH⊥BC于点H，连接BF交MN于点O．若DF＝DC，求折叠后重叠部分的面积．
[解] (1)由对折可得：AF＝FG，BA＝BG，AG⊥BF，
∴∠ABH＋∠BAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，
∴∠BAH＋∠DAE＝90°，
∴∠ABH＝∠DAE，
∴△ABF≌△DAE，
∴DE＝AF＝5，
∴BF＝＝13，
∴AH＝＝．
(2)如图，过D作DK∥GF，而四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴四边形DKFG为平行四边形，
∴DK＝GF，
由对折可得：GF⊥AE，
∴DK⊥AE，
同理可得：∠DAB＝∠B＝90°，∠ADK＝∠EAB，
∴△DAK∽△ABE，
∴＝，
∵＝，AD＝BC，
∴＝＝＝，
∴＝．
(3)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠A＝∠C＝90°，
∵DF＝DC，
∴DF＝2，CF＝4，
由折叠可设BN＝FN＝x，则CN＝8－x，
∴x2＝42＋(8－x)2，
解得：x＝5，
∴BN＝FN＝5，CN＝3，
由折叠可得：MN⊥BF，MH⊥BC，
由(2)的结论同理可得：△NMH∽△FBC，MH＝AB＝6，
∴＝＝＝＝，
∴NH＝3，
MN＝＝3，
如图，连接MF，记EF，MD的交点为Q，
∵CF＝4，BC＝8，∠C＝90°，
∴BF＝＝4，
结合折叠可得：OF＝OB＝2，
∴S△MNF＝×2×3＝15，
同理可得：∠DFQ＝∠FNC，
∴tan ∠FNC＝＝tan ∠QFD＝＝，
∴QD＝，
∵NH＝CN＝3，
∴AM＝BH＝8－(3＋3)＝2，
∴QM＝8－2－＝，
∴S△QMF＝×2×＝，
∴折叠后重叠部分的面积为＋15＝．(共77张PPT)
2025年山东省初中学业水平考试数学模拟试题(二)
√
2．2024年1月8日，以“家家挂红灯，户户贴春联，村村有好戏——回村过大年”为主题的2024春节山东乡村文化旅游节启动．小明通过观看纪录片对剪纸产生了浓厚的兴趣，下列剪纸图片既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A B C D
√
D [A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选D．]
3．2024年1月12日，中国海油发布消息，2023年，国内最大原油生产基地渤海油田累产油气产量超3 680万吨，其中原油产量超3 400万吨，天然气产量超35亿立方米，创历史最高水平．数据“3 400万”用科学记数法表示为( )
A．3.4×107 B．3.4×108
C．0.34×107 D．0.34×108
A [3 400万用科学记数法表示为3.4×107．
故选A．]
√
B [根据立体几何三视图的特点可知，题设中的俯视图是 故选B．]
4．如图所示的几何体，它的俯视图是( )
A B C D
√
5．(2024·四川达州)下列计算正确的是( )
A．a2＋a3＝a5
B．(a＋2)2＝a2＋2a＋4
C．(－2a2b3)3＝－8a6b9
D．a12÷a6＝a2
√
C [a2＋a3不能化简，故A选项错误；
(a＋2)2＝a2＋4a＋4，故B选项错误；
(－2a2b3)3＝－8a6b9，故C选项正确；
a12÷a6＝a6，故D选项错误．
故选C．]
6．(2024·四川广安)若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A．m＜0且m≠－1 B．m≥0
C．m≤0且m≠－1 D．m＜0
√
(3)作射线BP交AC于点D．
根据以上作图，判断下列结论正确的有( )
①∠C＝2∠A ②AD＝BC ③BC2＝CD·AB
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
√
由题意得：BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵∠CDB＝180°－∠C－∠DBC＝72°，
∴∠CDB＝∠C，
∴BC＝BD，
∴AD＝BD＝BC，
故②正确；
√
√
10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(0，1)，(－1，2)，(0，2)，(1，2)，(2，3)，(1，3)，(0，3)，…，根据这个规律探索可得第2 024个点的坐标是( )
A．(43，45) B．(44，45)
C．(－43，45) D．(－42，45)
√
C [由所给图形可知，
从下往上看，
第一行有1个点，
第二行有3个点，
第三行有5个点，
……，
第n行有(2n－1)个点．
所以前n行点的总个数为：1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2(n为正整数)，
当n＝45时，
n2＝2 025，2×45－1＝89，
所以前45行一共有2 025个点，且第45行有89个点．
又因为第n行的纵坐标为n，且n为奇数时，点是从右向左依次排列的，
所以(89－1)÷2＝44，
则第2 025个点的坐标为(－44，45)，
所以第2 024个点的坐标为(－43，45)．
故选C．]
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．(2024·茌平区一模)因式分解：x3－9xy2＝_______________．
x(x＋3y)(x－3y)
x(x＋3y)(x－3y) [利用提公因式法、公式法因式分解得：
x3－9xy2＝x(x2－9y2)＝x(x＋3y)(x－3y)．]
x＝－3 [原方程去分母得：x2－x＝x2－2x－3，
解得：x＝－3，
检验：当x＝－3时，(x－1)(x－3)≠0，
故原方程的解为x＝－3．]
x＝－3
4π
3
3 [当x>－1时，
x (－1)＝11变形得x2＋x－1＝11，
整理，得x2＋x－12＝0，
解得x＝3，x＝－4(舍去)．
当x≤－1时，
x (－1)＝11变形得(－1)2＋x－1＝11，
解得x＝11(舍去)．
综上，实数x的值为3．]
①④
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵A(m－2，y1)，B(m＋1，y2)，
∴m－(m－2)＝2＞m＋1－m＝1．
∴y1＞y2，故③错误．
由题意，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m－4的对称轴是直线x＝m，
∴顶点为(m，m－4)，
∴顶点在直线y＝x－4上，
又直线y＝x与y＝x－4平行，
16．[跨学科](2024·东昌府区模拟)聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下：
若图(m)和图(m＋1)的分子中共含有242个C原子，则m的值_____．
19
19 [由所给分子结构图及结构简式可知，
图(1)的分子中含C原子的个数为：10＝1×6＋4；
图(2)的分子中含C原子的个数为：16＝2×6＋4；
图(3)的分子中含C原子的个数为：22＝3×6＋4；
……，
所以图(n)的分子中含C原子的个数为(6n＋4)个．
由图(m)和图(m＋1)的分子中共含有242个C原子，
可得6m＋4＋6(m＋1)＋4＝242，
解得m＝19，
所以m的值为19．]
18．(9分)(2024·菏泽三模)为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组(满分100分，实际得分用x表示)：
A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x＜100．
随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：
已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是_____；
(2)n＝____，并补全图2中的频数分布直方图；
(3)在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是_____分；
(4)已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2∶3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．
54°
20
85.5
[解] (1)在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是360°×(1－5%－5%－20%－45%－10%)＝54°．
故答案为54°．
笔试成绩 展演成绩
甲 92 89
乙 90 95
(2)n＝9÷45%＝20．
故答案为20．
展演成绩中B：75≤x＜80的人数为20－2－6－4－3－1＝4，
补全图2中的频数分布直方图如右．
[解] (1)将x＝0代入y＝kx＋4得，
y＝4，
所以点D的坐标为(0，4)．
故答案为(0，4)．
(0，4)
(2)因为S△OCD＝2，且OD＝4，
所以OC＝1，
则点C的坐标为(－1，0)．
将点C坐标代入一次函数解析式得，
－k＋4＝0，
解得k＝4，
所以一次函数的解析式为y＝4x＋4．
又因为OA＝2OC，
所以OA＝2．
[解] (1)证明：连接OB，
∵BF与⊙O相切，
∴∠OBA＋∠ABF＝90°，
∵PD⊥AC，
∴∠A＋∠AEP＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠ABF＝∠AEP，
又∵∠AEP＝∠BEF，
∴∠ABF＝∠BEF，
∵∠D＋∠BEF＝90°，∠ABF＋∠DBF＝90°，
∴∠D＝∠DBF，
∴DF＝BF＝EF，
∴F是DE的中点．
∵AP＝OP＝4，
∴OA＝OC＝2AP＝8，
∴PC＝OP＋OC＝12，
∵∠A＋∠AEP＝90°，∠A＋∠C＝90°，
∴∠AEP＝∠C，
∵∠APE＝∠DPC＝90°，
∴△APE∽△DPC，
22．(12分)(2024·四川宜宾)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，－4)，其顶点为D．
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点E在以点P(3，0)为圆心，1为半径的⊙P上，连接AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连接BF．求BF的取值范围．
23．(12分)在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE，通过证明△DAQ≌△ABE，再证四边形DQFG为平行四边形，从而证出AE＝FG．
(1)【学以致用】：如图2，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上，若DE＝5，求AH的长．
(2)如图，过D作DK∥GF，而四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴四边形DKFG为平行四边形，
∴DK＝GF，
由对折可得：GF⊥AE，
∴DK⊥AE，
同理可得：∠DAB＝∠B＝90°，∠ADK＝∠EAB，
