2025年山东省初中学业水平考试
数学模拟试题(三)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．(2024·广东深圳)如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为( )
[A]a [B]b [C]c [D]d
2．生活中有许多对称美的图形，如图所示是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
[A] [B] [C] [D]
3．(2024·北京)为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops(Flops是计算机系统算力的一种度量单位)，整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops，则m的值为( )
[A]8×1016 [B]2×1017 [C]5×1017 [D]2×1018
4．在《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵．如图是一堑堵，其俯视图为( )
[A] [B] [C] [D]
5．下列等式一定成立的是( )
[A]＝ [B]＝ [C]＝ [D]＝
6．(2024·内蒙古赤峰)如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是( )
[A]5 [B]6 [C]8 [D]10
7．山东博物馆在2024年5月份举办“走近考古”展览，为公众揭开考古学神秘面纱．现小张同学参观博物馆，由于参观人数较多，准备从3楼展厅的“走进考古”展览、“山东龙——穿越白垩纪”展览、“考古成果”展览、“非洲野生动物大迁徙”展览4个中随机选择2个进行参观，则正好选择“走近考古”展览和“山东龙——穿越白垩纪”展览的概率是( )
[A] [B] [C] [D]
8．如图，在⊙O中，点C为上的点，＝2．若∠ACB＝120°，且AC是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为( )
[A]8 [B]9 [C]10 [D]12
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图1，在△ABC中，CA＝CB，直线l经过点A且垂直于AB．现将直线l以1 cm/s的速度向右匀速平移，直至到达点B时停止运动，直线l与边AB交于点M，与边AC(或CB)交于点N．设直线l移动的时间是x(s)，△AMN的面积为y(cm2)，若y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的周长为( )
[A]16 cm [B]17 cm [C]18 cm [D]20 cm
10．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，BC＝6，点P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为( )
[A]3 [B] [C] [D]
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．(2024·东昌府区二模)因式分解：3am2－6amn＋3an2＝________．
12．(2024·广西)不等式7x＋5＜5x＋1的解集为________．
13．(2024·黑龙江牡丹江)若分式方程＝3－的解为正整数，则整数m的值为________．
14．在测量某物体的质量时，得到如下数据：a1，a2，…，a8．当关于x的函数y＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a8)2取得最小值时，相应的x值表示该物体质量的估计值．若a1，a2，…，a8的和为24，则该物体质量的估计值为________．
15．(2024·四川眉山)如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为________．
16．(2024·黑龙江大兴安岭)如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为(3，0)，△OAB是等边三角形，点B坐标是(1，0)，△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边(方向为O→M→N→P→O→M→…)做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是(2，0)；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是(2，0)；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是；如此下去，……，则A2 024的坐标是________．
三、解答题(本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
17．(每题5分，共10分)(2024·山西)(1)计算：(－6)×＋[(－3)＋(－1)]；
(2)化简÷．
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
18．(9分)(2024·聊城模拟)为增进学生对数学文化的了解，某校开展了两次数学文化知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．如图是将这20名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成．
(1)学生甲第一次活动成绩是70分，则该生第二次活动成绩是________分，两次活动的平均成绩为________分；两次活动成绩均达到或高于90分的学生有________个；这20名学生的第一次活动成绩的中位数为________分．
(2)请在图中画一条直线，使得该直线上方的点表示两次活动的平均成绩高于80分．
(3)假设全校有1 200名学生参加活动，估计两次活动平均成绩不低于80分的学生人数．
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
19．(9分)(2024·江西)如图，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝90°，双曲线y＝(k>0，x>0)经过点B，过点A(4，0)作x轴的垂线交双曲线于点C，连接BC．
(1)点B的坐标为________；
(2)求BC所在直线的解析式．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
20．(10分)[实践活动](2024·威海)某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表(尚不完整)．
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 竹竿，米尺
测量示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角
测量数据
…… ……
(1)设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
(2)根据(1)中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程．
(3)假设sin α≈0.86，cos α≈0.52，tan α≈1.66，根据(2)中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为________．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
21．(10分)(2024·四川内江)如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．
(1)求证：△ACE∽△ABC；
(2)求证：CE是⊙O的切线；
(3)若AD＝2CE，OA＝，求阴影部分的面积．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
22．(12分)(2024·上海)在平面直角坐标系中，已知平移抛物线y＝x2后得到的新抛物线经过A和B(5，0)．
(1)求平移后新抛物线的表达式．
(2)直线x＝m(m＞0)与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q；
①如果PQ小于3，求m的取值范围．
②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
23．(12分)【实践探究】
(1)如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，DE⊥AC交AB于点E，则的值是________；
【变式探究】
(2)如图2，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝90°，BD＝8，BC＝6，DE⊥AC交于AB于点E，求的值；
【灵活应用】
(3)如图3，在矩形ABCD中，AD＝8，点E，F分别在AD，BC上，以EF为折痕，将四边形ABFE翻折，使得AB的对应边A′B′恰好经过点D，B′F交CD于点I，过点D作DP⊥EF交AB于点P．若A′D＝4，且△ADP与△BPF的面积比为16∶24，求的值．数学模拟试题(三)
1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．B
7．A [记3楼展厅的“走进考古”展览、“山东龙——穿越白垩纪”展览、“考古成果”展览、“非洲野生动物大迁徙”展览分别为A，B，C，D，则随机选择2个进行参观，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种情况，其中正好选择“走近考古”展览和“山东龙——穿越白垩纪”展览的概率是．故选A．]
8．B [连接OC，在优弧ADB上取点D，连接AD，BD，
∵∠ACB＝120°，∠ACB＋∠D＝180°，
∴∠D＝60°，
∴∠AOB＝2∠D＝120°，
∵，
∴∠BOC＝2∠AOC，∴∠AOB＝3∠AOC，∴∠AOC＝40°，
∴n＝＝9．故选B．]
9．C [依题意得：直线l运动到点B停止，且当直线l运动到点C时，△AMN的面积最大，
∴AB＝8 cm，且当AM＝4 cm时，S△AMN＝6 cm2，
∵l⊥AB，∴S△AMN＝AM·MN，
∴AM＝4 cm时，MN＝MC＝3 cm，
在Rt△AMC中，CA＝＝5(cm)，
∵CA＝CB，
∴C△ABC＝CA＋CB＋AB＝5＋5＋8＝18(cm)．故选C．]
10．C [连接BP，取BP的中点G，连接EG，FG，如图，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠BEP＝∠BFP＝90°，
∴EG＝GF＝BG＝BP，
∴∠BEG＝∠EBG，∠BFG＝∠FBG，
∴∠EGF＝∠BEG＋∠EBG＋∠BFG＋∠FBG＝2(∠EBG＋∠FBG)F]∴EF＝BP，
∴当BP⊥AC时，BP取最小值，此时，EF的值也最小，
∵∠C＝60°，
∴＝sin C＝sin 60°，
∴BP＝BC·sin 60°＝6×，
∴BP的最小值为3，
此时，EF的最小值为．故选C．]
11．3a(m－n)2 [3am2－6amn＋3an2
＝3a(m2－2mn＋n2)＝3a(m－n)2．]
12．x＜－2 [7x＋5＜5x＋1，7x－5x＜1－5，2x＜－4，x＜－2．]
13．－1 [，
化简得：，
去分母得：x＝3(x－1)＋mx，
移项合并得：(2＋m)x＝3，解得：x＝，
由方程的解是正整数，得到x为正整数，即2＋m＝1或2＋m＝3，
解得：m＝－1或m＝1(舍去，会使得分式无意义)．
所以整数m的值为－1．]
14．3 [y＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a8)2
＝8x2－2(a1＋a2＋…＋a8)x＋
＝8x2－48x＋
＝8(x－3)2－72＋，
当且仅当x＝3时，函数取得最小值，
∴该物体质量的估计值为3．]
15． [∵菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，
∴AD＝BC＝CD＝6，AD∥BC，∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DCE中，∵∠CDE＝90°－∠DCE＝30°，
∴CE＝CD＝3，
∴DE＝，
∴BE＝BC＋CE＝9，
∵AD∥BE，
∴∠ADE＝180°－∠DEC＝90°，
在Rt△ADE中，AE＝，
∵AD∥BE，
∴△AFD∽△EFB，
∴，
∴AF＝，
∵AD∥CE，∴△AGD∽△EGC，∴＝2，
∴AG＝，
∴FG＝AG－AF＝2．]
16．(1，3) [∵正方形OMNP顶点M的坐标为(3，0)，
∴OM＝MN＝NP＝OP＝3，
∵△OAB是等边三角形，点B坐标是(1，0)，
∴等边三角形高为，
由题知，
A1的坐标是(2，0)；
A2的坐标是(2，0)；
A3的坐标是；
继续滚动有，A4的坐标是(3，2)；
A5的坐标是(3，2)；
A6的坐标是；
A7的坐标是(1，3)；
A8的坐标是(1，3)；
A9的坐标是；
A10的坐标是(0，1)；
A11的坐标是(0，1)；
A12的坐标是；
A13的坐标是(2，0)；……不断循环，循环规律为以A1，A2，…，A12，12个为一组，
∵2 024÷12＝168……8，
∴A2 024的坐标与A8的坐标一样为(1，3)．]
17．解：(1)(－6)×＋[(－3)＋(－1)]
＝(－6)×＋(－3－1)
＝(－6)×－4
＝－2－4－4
＝－10．
(2)
＝
＝
＝．
18．解：(1)由题图可知，
学生甲第一次活动成绩是70分，则该生第二次活动成绩是75分；
两次活动的平均成绩为＝72.5(分)；
两次活动成绩均达到或高于90分的学生有5个；
这20名学生的第一次活动成绩从低到高排列第10，11位同学都为80分，故中位数为80分．故答案为75；72.5；5；80．
(2)直线如图．
(3)由(2)可知两次活动成绩的平均成绩不低于80分的有11人，
故×1 200＝660(人)，
∴估计两次活动平均成绩不低于80分的学生人数为660人．
19．解：(1)过点B作x轴的垂线，垂足为M，
∵点A坐标为(4，0)，
∴OA＝4．
又∵△OAB是等腰直角三角形，
∴BM＝OM＝AM＝OA＝2，
∴点B的坐标为(2，2)．故答案为(2，2)．
(2)将点B坐标代入反比例函数解析式得，
k＝2×2＝4，
∴反比例函数解析式为y＝．
∵AC⊥x轴，
∴xC＝xA＝4．
将x＝4代入反比例函数解析式得，
y＝1，
∴点C的坐标为(4，1)．
设直线BC的函数解析式为y＝mx＋n，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
解得
所以直线BC的函数解析式为y＝－x＋3．
20．解：(1)需要的数据为：AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f．
(2)过点A作AM⊥CB于点M，则∠AMB＝90°，
∵DE⊥CB，∴DE∥AM，∴△CDE∽△CAM，
∴，即，∴AM＝，
∴sin α＝．
(3)∵sin α＝，
∴按键顺序为2ndF，sin ，0，·，8，6，＝．故答案为①．
21．解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
又∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠ACB＝∠AEC，
∵C是的中点，∴，∴∠BAC＝∠EAC，
∴△ACE∽△ABC．
(2)证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵∠BAC＝∠EAC，
∴∠EAC＝∠ACO，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
(3)如图，连接DB，OD，且DB交OC于点F．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠AEC＝∠ECO＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF＝EC，
∵OC是半径，C是的中点，
∴DF＝FB，OC⊥DB，
即DB＝2DF＝2EC，
∵AD＝2CE，
∴AD＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∴∠DOA＝2∠DBA＝90°，
∴S阴影部分＝S扇形AOD－S△AOD＝π－1．
22．解：(1)设平移抛物线y＝x2后得到的新抛物线为y＝x2＋bx＋c，把A和B(5，0)代入，
可得解得
∴新抛物线的表达式为y＝．
(2)①如图，设Q，则
P，
∴PQ＝，
∵PQ小于3，
∴<3，
∴x＜1，
∵x＝m(m＞0)，
∴0＜m＜1．
∴m的取值范围是0②y＝(x－2)2－3，
∴平移方式为：向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，
由题意可得，P在B的右边，当BP′∥PQ时，
BP′⊥x轴，
∴xP′＝xB＝5，
∴P′，
由平移的性质可得：
P，即P；
如图，当P′Q∥BP时，则∠P′QT＝∠BPT，过P′作P′S⊥QP于S，
∴∠P′SQ＝∠BTP＝90°，
∴△P′SQ∽△BTP，
∴，
设P′，
则P，
S，
Q，
∴，
解得x＝1或3(不符合题意均舍去)．
综上，点P的坐标为．
23．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE＋∠AED＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠CAB＋∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠CAB，
∴△ADE∽△BAC，
∴．故答案为．
(2)如图，作DM⊥AB于M，CN⊥AB交AB的延长线于N，
∴∠EDM＋∠DEM＝90°．
∵AC⊥DE，
∴∠CAN＋∠DEM＝90°．
∴∠EDM＝∠CAN．
∴cos ∠EDM＝cos ∠CAN．
∴，即．
由题意得，CD＝AB＝＝10，
cos ∠CBN＝cos ∠BCD＝，sin ∠CBN＝sin ∠BCD＝．∴DM＝CN＝6×．∴．
(3)法一：过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，连接EP，如图．
∵翻折，
∴A′D＝AP＝4，A′E＝AE，DE＝EP，BP＝B′D，B′F＝BF，
∴AE2＋42＝(8－AE)2，解得AE＝3．
∴△ADP的面积为×4×8＝16，
∴△BPF的面积为24．
∵∠A＝∠A′＝∠ADC＝90°，
∴∠AEP＋∠APE＝90°，∠A′ED＋∠A′DE＝90°，
∠A′DE＋∠B′DC＝90°，
∵∠AEP＝∠A′ED，∠A′ED＝∠B′DC，
∴∠AEP＝∠B′DC，
∴△AEP∽△B′DI，同理可证△AEP∽△CFI．
∴设B′D＝3k＝BP，B′I＝4k，DI＝5k．
∴CI＝4＋3k－5k＝4－2k．
∴CF＝(4－2k)×k．
∴BF＝8－CF＝5＋k．
∴＝24，解得k1＝2，k2＝－(舍)．
∴EQ＝AB＝4＋3k＝10．
由△ADP∽△QEF，得．
法二：如图，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，连接EP，延长FE，BA交于点M，则∠ADP＝∠EMP，
则tan ∠ADP＝tan ∠EMP，即．
∵翻折，
∴A′D＝AP＝4，A′E＝AE，DE＝EP，BP＝B′D，B′F＝BF，
∴AE2＋42＝(8－AE)2，解得AE＝3．
∴△ADP的面积为×4×8＝16，
∴△BPF的面积为24．
∵，
∴，∴AM＝6，BM＝2BF．
设BP＝x，则BF＝，
∴＝24，解得x1＝6，x2＝－16(舍)，
∴EQ＝AB＝4＋6＝10．
由△ADP∽△QEF，得．(共76张PPT)
2025年山东省初中学业水平考试数学模拟试题(三)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．(2024·广东深圳)如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为( )
A．a B．b C．c D．d
√
A [由数轴知，a则最小的实数为a．
故选A．]
2．生活中有许多对称美的图形，如图所示是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A B C D
√
B [A．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选B．]
3．(2024·北京)为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops(Flops是计算机系统算力的一种度量单位)，整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops，则m的值为( )
A．8×1016 B．2×1017
C．5×1017 D．2×1018
D [m＝4×1017×5＝2×1018，故选D．]
√
4．在《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵．如图是一堑堵，其俯视图为( )
A B C D
√
C [由题图可知，其俯视图为直角三角形．
故选C．]
√
6．(2024·内蒙古赤峰)如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是( )
A．5 B．6 C．8 D．10
√
√
√
9．如图1，在△ABC中，CA＝CB，直线l经过点A且垂直于AB．现将直线l以1 cm/s的速度向右匀速平移，直至到达点B时停止运动，直线l与边AB交于点M，与边AC(或CB)交于点N．设直线l移动的时间是x(s)，△AMN的面积为y(cm2)，若y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的周长为( )
A．16 cm B．17 cm
C．18 cm D．20 cm
√
√
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．(2024·东昌府区二模)因式分解：3am2－6amn＋3an2＝_________．
3a(m－n)2
3a(m－n)2 [3am2－6amn＋3an2
＝3a(m2－2mn＋n2)
＝3a(m－n)2．]
12．(2024·广西)不等式7x＋5＜5x＋1的解集为________．
x＜－2 [7x＋5＜5x＋1，
7x－5x＜1－5，
2x＜－4，
x＜－2．]
x＜－2
－1
14．在测量某物体的质量时，得到如下数据：a1，a2，…，a8．当关于x的函数y＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a8)2取得最小值时，相应的x值表示该物体质量的估计值．若a1，a2，…，a8的和为24，则该物体质量的估计值为________．
3
15．(2024·四川眉山)如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为________．
(1，3)
18．(9分)(2024·聊城模拟)为增进学生对数学文化的了解，某校开展了两次数学文化知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．如图是将这20名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成．
(1)学生甲第一次活动成绩是70分，则该生第二次活动成绩是____分，两次活动的平均成绩为____分；两次活动成绩均达到或高于90分的学生有____个；这20名学生的第一次活动成绩的中位数为_____分．
(2)请在图中画一条直线，使得该直线上方的点表示两次活动的平均成绩高于80分．
(3)假设全校有1 200名学生参加活动，估计两次活动平均成绩不低于80分的学生人数．
75
72.5
5
80
(2)直线如图：
(1)点B的坐标为________；
(2)求BC所在直线的解析式．
(2，2)
20．(10分)[实践活动](2024·威海)某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表(尚不完整)．
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：×××
组员：×××，×××，×××
测量工具 竹竿，米尺
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
测量示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角
测量数据
…… ……
(1)设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
(2)根据(1)中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程．
(3)假设sin α≈0.86，cos α≈0.52，tan α≈1.66，根据(2)中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为________．
①
(2)证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵∠BAC＝∠EAC，
∴∠EAC＝∠ACO，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
(2)直线x＝m(m＞0)与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q；
①如果PQ小于3，求m的取值范围．
②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．
2025年山东省初中学业水平考试数学模拟试题(三)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．(2024·广东深圳)如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为( )
A．a B．b C．c D．d
A [由数轴知，a则最小的实数为a．
故选A．]
2．生活中有许多对称美的图形，如图所示是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A B C D
B [A．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选B．]
3．(2024·北京)为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops(Flops是计算机系统算力的一种度量单位)，整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops，则m的值为( )
A．8×1016 B．2×1017
C．5×1017 D．2×1018
D [m＝4×1017×5＝2×1018，故选D．]
4．在《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵．如图是一堑堵，其俯视图为( )
A B
C D
C [由题图可知，其俯视图为直角三角形．
故选C．]
5．下列等式一定成立的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
B [A．≠，故不符合题意；
B．＝，符合题意；
C．≠，故不符合题意；
D．≠，故不符合题意．
故选B．]
6．(2024·内蒙古赤峰)如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是( )
A．5 B．6 C．8 D．10
B [如图，直线l，m相交于点A，则∠A＝60°，
∵正多边形的每个内角相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
∴∠1＝∠2＝＝60°，
∴n＝＝6．
故选B．]
7．山东博物馆在2024年5月份举办“走近考古”展览，为公众揭开考古学神秘面纱．现小张同学参观博物馆，由于参观人数较多，准备从3楼展厅的“走进考古”展览、“山东龙——穿越白垩纪”展览、“考古成果”展览、“非洲野生动物大迁徙”展览4个中随机选择2个进行参观，则正好选择“走近考古”展览和“山东龙——穿越白垩纪”展览的概率是( )
A． B． C． D．
A [记3楼展厅的“走进考古”展览、“山东龙——穿越白垩纪”展览、“考古成果”展览、“非洲野生动物大迁徙”展览分别为A，B，C，D，则随机选择2个进行参观，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种情况，其中正好选择“走近考古”展览和“山东龙——穿越白垩纪”展览的概率是．
故选A．]
8．如图，在⊙O中，点C为上的点，＝2．若∠ACB＝120°，且AC是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．12
B [连接OC，在优弧ADB上取点D，连接AD，BD，
∵∠ACB＝120°，∠ACB＋∠D＝180°，
∴∠D＝60°，
∴∠AOB＝2∠D＝120°，
∵＝2，
∴∠BOC＝2∠AOC，
∴∠AOB＝3∠AOC，
∴∠AOC＝40°，
∴n＝＝9．
故选B．]
9．如图1，在△ABC中，CA＝CB，直线l经过点A且垂直于AB．现将直线l以1 cm/s的速度向右匀速平移，直至到达点B时停止运动，直线l与边AB交于点M，与边AC(或CB)交于点N．设直线l移动的时间是x(s)，△AMN的面积为y(cm2)，若y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的周长为( )
A．16 cm B．17 cm
C．18 cm D．20 cm
C [依题意得：直线l运动到点B停止，且当直线l运动到点C时，△AMN的面积最大，
∴AB＝8 cm，且当AM＝4 cm时，S△AMN＝6 cm2，
∵l⊥AB，
∴S△AMN＝AM·MN，
∴AM＝4 cm时，MN＝MC＝3 cm，
在Rt△AMC中，CA＝＝＝5(cm)，
∵CA＝CB，
∴C△ABC＝CA＋CB＋AB＝5＋5＋8＝18(cm)．
故选C．]
10．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，BC＝6，点P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为( )
A．3 B．
C． D．
C [连接BP，取BP的中点G，连接EG，FG，如图，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠BEP＝∠BFP＝90°，
∴EG＝GF＝BG＝BP，
∴∠BEG＝∠EBG，∠BFG＝∠FBG，
∴∠EGF＝∠BEG＋∠EBG＋∠BFG＋∠FBG＝2(∠EBG＋∠FBG)＝2∠B＝2×45°＝90°,
∴△EGF为等腰直角三角形．
∴EF＝＝＝BP，
∴当BP⊥AC时，BP取最小值，此时，EF的值也最小，
∵∠C＝60°，
∴＝sin C＝sin 60°，
∴BP＝BC·sin 60°＝6×＝3，
∴BP的最小值为3，
此时，EF的最小值为×3＝．
故选C．]
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．(2024·东昌府区二模)因式分解：3am2－6amn＋3an2＝________．
3a(m－n)2 [3am2－6amn＋3an2
＝3a(m2－2mn＋n2)
＝3a(m－n)2．]
12．(2024·广西)不等式7x＋5＜5x＋1的解集为________．
x＜－2 [7x＋5＜5x＋1，
7x－5x＜1－5，
2x＜－4，
x＜－2．]
13．(2024·黑龙江牡丹江)若分式方程＝3－的解为正整数，则整数m的值为________．
－1 [＝3－，
化简得：＝3＋，
去分母得：x＝3(x－1)＋mx，
移项合并得：(2＋m)x＝3，
解得：x＝，
由方程的解是正整数，得到x为正整数，即2＋m＝1或2＋m＝3，
解得：m＝－1或m＝1(舍去，会使得分式无意义)．
所以整数m的值为－1．]
14．在测量某物体的质量时，得到如下数据：a1，a2，…，a8．当关于x的函数y＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a8)2取得最小值时，相应的x值表示该物体质量的估计值．若a1，a2，…，a8的和为24，则该物体质量的估计值为________．
3 [y＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a8)2
＝
＝
＝，
当且仅当x＝3时，函数取得最小值，
∴该物体质量的估计值为3．]
15．(2024·四川眉山)如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为________．
[∵菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，
∴AD＝BC＝CD＝6，AD∥BC，∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DCE中，∵∠CDE＝90°－∠DCE＝30°，
∴CE＝CD＝3，
∴DE＝＝3，
∴BE＝BC＋CE＝9，
∵AD∥BE，
∴∠ADE＝180°－∠DEC＝90°，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝3，
∵AD∥BE，
∴△AFD∽△EFB，
∴＝＝＝，
∴AF＝AE＝×3＝，
∵AD∥CE，
∴△AGD∽△EGC，
∴＝＝＝2，
∴AG＝AE＝×3＝2，
∴FG＝AG－AF＝2＝．]
16．(2024·黑龙江大兴安岭)如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为(3，0)，△OAB是等边三角形，点B坐标是(1，0)，△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边(方向为O→M→N→P→O→M→…)做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是(2，0)；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是(2，0)；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是；如此下去，……，则A2 024的坐标是________．
(1，3) [∵正方形OMNP顶点M的坐标为(3，0)，
∴OM＝MN＝NP＝OP＝3，
∵△OAB是等边三角形，点B坐标是(1，0)，
∴等边三角形高为，
由题知，
A1的坐标是(2，0)；
A2的坐标是(2，0)；
A3的坐标是；
继续滚动有，A4的坐标是(3，2)；
A5的坐标是(3，2)；
A6的坐标是；
A7的坐标是(1，3)；
A8的坐标是(1，3)；
A9的坐标是；
A10的坐标是(0，1)；
A11的坐标是(0，1)；
A12的坐标是；
A13的坐标是(2，0)；……不断循环，循环规律为以A1，A2，…，A12，12个为一组，
∵2 024÷12＝168……8，
∴A2 024的坐标与A8的坐标一样为(1，3)．]
三、解答题(本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(每题5分，共10分)(2024·山西)(1)计算：(－6)×＋[(－3)＋(－1)]；
(2)化简÷．
[解] (1)(－6)×＋[(－3)＋(－1)]
＝(－6)×＋(－3－1)
＝(－6)×－4
＝－2－4－4
＝－10．
(2)÷
＝
＝
＝．
18．(9分)(2024·聊城模拟)为增进学生对数学文化的了解，某校开展了两次数学文化知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．如图是将这20名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成．
(1)学生甲第一次活动成绩是70分，则该生第二次活动成绩是________分，两次活动的平均成绩为________分；两次活动成绩均达到或高于90分的学生有________个；这20名学生的第一次活动成绩的中位数为________分．
(2)请在图中画一条直线，使得该直线上方的点表示两次活动的平均成绩高于80分．
(3)假设全校有1 200名学生参加活动，估计两次活动平均成绩不低于80分的学生人数．
[解] (1)由题图可知，
学生甲第一次活动成绩是70分，则该生第二次活动成绩是75分；
两次活动的平均成绩为＝72.5(分)；
两次活动成绩均达到或高于90分的学生有5个；
这20名学生的第一次活动成绩从低到高排列第10，11位同学都为80分，故中位数为80分．
故答案为75；72.5；5；80．
(2)直线如图：
(3)由(2)可知两次活动成绩的平均成绩不低于80分的有11人，
故×1 200＝660(人)，
∴估计两次活动平均成绩不低于80分的学生人数为660人．
19．(9分)(2024·江西)如图，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝90°，双曲线y＝(k>0，x>0)经过点B，过点A(4，0)作x轴的垂线交双曲线于点C，连接BC．
(1)点B的坐标为________；
(2)求BC所在直线的解析式．
[解] (1)过点B作x轴的垂线，垂足为M，
∵点A坐标为(4，0)，
∴OA＝4．
又∵△OAB是等腰直角三角形，
∴BM＝OM＝AM＝OA＝2，
∴点B的坐标为(2，2)．
故答案为(2，2)．
(2)将点B坐标代入反比例函数解析式得，
k＝2×2＝4，
∴反比例函数解析式为y＝．
∵AC⊥x轴，
∴xC＝xA＝4．
将x＝4代入反比例函数解析式得，
y＝1，
∴点C的坐标为(4，1)．
设直线BC的函数解析式为y＝mx＋n，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
解得
所以直线BC的函数解析式为y＝－x＋3．
20．(10分)[实践活动](2024·威海)某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表(尚不完整)．
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 竹竿，米尺
测量示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角
测量数据
…… ……
(1)设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
(2)根据(1)中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程．
(3)假设sin α≈0.86，cos α≈0.52，tan α≈1.66，根据(2)中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为________．
[解] (1)需要的数据为：AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f．
(2)过点A作AM⊥CB于点M，则∠AMB＝90°，
∵DE⊥CB，
∴DE∥AM，
∴△CDE∽△CAM，
∴＝，即＝，
∴AM＝，
∴sin α＝＝＝．
(3)∵sin α＝，
∴按键顺序为2ndF，sin ，0，·，8，6，＝．
故答案为①．
21．(10分)(2024·四川内江)如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．
(1)求证：△ACE∽△ABC；
(2)求证：CE是⊙O的切线；
(3)若AD＝2CE，OA＝，求阴影部分的面积．
[解] (1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACB＝∠AEC，
∵C是的中点，
∴＝，
∴∠BAC＝∠EAC，
∴△ACE∽△ABC．
(2)证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵∠BAC＝∠EAC，
∴∠EAC＝∠ACO，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
(3)如图，连接DB，OD，且DB交OC于点F．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠AEC＝∠ECO＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF＝EC，
∵OC是半径，C是的中点，
∴DF＝FB，OC⊥DB，
即DB＝2DF＝2EC，
∵AD＝2CE，
∴AD＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∴∠DOA＝2∠DBA＝90°，
∴S阴影部分＝S扇形AOD－S△AOD＝＝π－1．
22．(12分)(2024·上海)在平面直角坐标系中，已知平移抛物线y＝x2后得到的新抛物线经过A和B(5，0)．
(1)求平移后新抛物线的表达式．
(2)直线x＝m(m＞0)与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q；
①如果PQ小于3，求m的取值范围．
②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．
[解] (1)设平移抛物线y＝x2后得到的新抛物线为y＝x2＋bx＋c，把A和B(5，0)代入，
可得解得
∴新抛物线的表达式为y＝x2－x－．
(2)①如图，设Q，则P，
∴PQ＝x2－x2＋x＋＝x＋，
∵PQ小于3，
∴x＋<3，
∴x＜1，
∵x＝m(m＞0)，
∴0＜m＜1．
∴m的取值范围是0②y＝x2－x－＝(x－2)2－3，
∴平移方式为：向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，
由题意可得，P在B的右边，当BP′∥PQ时，
BP′⊥x轴，
∴xP′＝xB＝5，
∴P′，
由平移的性质可得：P，即P；
如图，当P′Q∥BP时，则∠P′QT＝∠BPT，过P′作P′S⊥QP于S，
∴∠P′SQ＝∠BTP＝90°，
∴△P′SQ∽△BTP，
∴＝，
设P′，则P，
S，Q，
∴＝，
解得x＝1或3(不符合题意均舍去)．
综上，点P的坐标为．
23．(12分)【实践探究】
(1)如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，DE⊥AC交AB于点E，则的值是________；
【变式探究】
(2)如图2，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝90°，BD＝8，BC＝6，DE⊥AC交于AB于点E，求的值；
【灵活应用】
(3)如图3，在矩形ABCD中，AD＝8，点E，F分别在AD，BC上，以EF为折痕，将四边形ABFE翻折，使得AB的对应边A′B′恰好经过点D，B′F交CD于点I，过点D作DP⊥EF交AB于点P．若A′D＝4，且△ADP与△BPF的面积比为16∶24，求的值．
[解] (1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE＋∠AED＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠CAB＋∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠CAB，
∴△ADE∽△BAC，
∴＝＝＝．
故答案为．
(2)如图，作DM⊥AB于M，CN⊥AB交AB的延长线于N，
∴∠EDM＋∠DEM＝90°．
∵AC⊥DE，
∴∠CAN＋∠DEM＝90°．
∴∠EDM＝∠CAN．
∴cos ∠EDM＝cos ∠CAN．
∴＝，即＝．
由题意得，CD＝AB＝＝10，
cos ∠CBN＝cos ∠BCD＝＝，
sin ∠CBN＝sin ∠BCD＝＝．
∴DM＝CN＝6×＝，AN＝AB＋BN＝10＋6×＝．
∴＝＝．
(3)法一：过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，连接EP，如图．
∵翻折，
∴A′D＝AP＝4，A′E＝AE，DE＝EP，BP＝B′D，B′F＝BF，
∴AE2＋42＝(8－AE)2，解得AE＝3．
∴△ADP的面积为×4×8＝16，
∴△BPF的面积为24．
∵∠A＝∠A′＝∠ADC＝90°，
∴∠AEP＋∠APE＝90°，∠A′ED＋∠A′DE＝90°，∠A′DE＋∠B′DC＝90°，
∵∠AEP＝∠A′ED，∠A′ED＝∠B′DC，
∴∠AEP＝∠B′DC，
∴△AEP∽△B′DI，同理可证△AEP∽△CFI．
∴设B′D＝3k＝BP，B′I＝4k，DI＝5k．
∴CI＝4＋3k－5k＝4－2k．
∴CF＝(4－2k)×＝3－k．
∴BF＝8－CF＝5＋k．
∴×3k×＝24，
解得k1＝2，k2＝－(舍)．
∴EQ＝AB＝4＋3k＝10．
由△ADP∽△QEF，得＝＝＝．
法二：如图，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，连接EP，延长FE，BA交于点M，则∠ADP＝∠EMP，
则tan ∠ADP＝tan ∠EMP，即＝＝．
∵翻折，
∴A′D＝AP＝4，A′E＝AE，DE＝EP，BP＝B′D，B′F＝BF，
∴AE2＋42＝(8－AE)2，解得AE＝3．
∴△ADP的面积为×4×8＝16，
∴△BPF的面积为24．
∵＝＝，
∴＝＝，
∴AM＝6，BM＝2BF．
设BP＝x，则BF＝＝＝，
∴x×＝24，
解得x1＝6，x2＝－16(舍)，
∴EQ＝AB＝4＋6＝10．
由△ADP∽△QEF，得＝＝＝．
