广东省广州市广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·越秀期中）在等差数列中，，则的值是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
【答案】D
【知识点】等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合的关系式和等差数列的性质，从而计算得出的值.
2．（2024高二下·越秀期中）已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．在 上单调递增 B．在 上单调递减
C．在 处取得最大值 D．在 处取得极大值
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由导函数图象可知，
当或时，；
当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故选项A、选项B错误；
在处函数取得极大值，且，故选项C错误、选项D正确；
故答案为：D.
【分析】根据已知的函数图象，从而判断导数的正负时的的取值范围，利用导数判断函数单调性的方法，从而得出函数的极值，再结合比较法得出函数的最值，进而逐项判断找出说法正确的选项.
3．（2024高二下·越秀期中）已知离散型随机变量X的分布列 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得a=，
则 .
故选：C
【分析】根据概率和为1，可求得a， 再代入计算即可．
4．（2024高二下·越秀期中）已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】因为等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，
设公比为q，，所以，，所以，，
则，所以则。
故答案为：D.
【分析】因为等比数列的各项互不相等，所以，又因为，，成等差数列结合等差中项公式等差q的值，再结合等比数列的性质得出的值。
5．（2024高二下·越秀期中）老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）
A．248种 B．168种 C．360种 D．210种
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先将6本不同的课外书分成3组，其中一组2本，型或型，
当分组为型时，不同的分法有：种，
当分组为型，其中2本分给甲，则不同的分法有：种，
则不同的分法为：种．
故答案为：D.
【分析】根据分组、分配，结合组合、排列求解即可.
6．（2024高二下·越秀期中）的展开式中常数项为（ ）
A．120 B． C．180 D．
【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为展开式中通项为
，，1，2，…，6，
当且仅当时，的展开式可取到常数项，
则常数项为．
故答案为：D．
【分析】利用二项式定理求出展开式中通项，再结合常数项的定义得出的展开式中常数项.
7．（2024高二下·越秀期中） 若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，得到，令，则，
由得到，由，得到，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，当时，，当时，，且时，，
所以，当函数恰有2个零点时，，
故答案为：A.
【分析】本题考查函数的零点问题.令，求出，再令，求出导函数，进而求出的单调区间，进而得出函数值的变化，根据函数值变化可求出实数a的取值范围.
8．（2024高二下·越秀期中）已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】解：由数列的前n项和为且，
得，
则，
两式相减得：，
因此，，显然数列是递增数列，
当为奇数时，，由恒成立，得，则；
当为偶数时，，由恒成立，得，则，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和错位相减求和法求出，再按奇数、偶数讨论结合数列求最值的方法以及不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数a的取值范围.
9．（2024高二下·越秀期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为82种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【答案】A,B,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、如果甲，乙必须相邻，将 甲，乙 捆绑，则不同的排法有种，故A正确；
B、若最左端排甲，则有种排法；
若最左端排乙，有种排法，则不同的排法共有42种，故B正确；
C、甲乙不相邻，则甲、乙插空，则不同的排法种数有种，故C错误；
D、甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解即可判断A；分最左端排甲，和最左端排乙两类求解即可判断B；根据甲乙不相邻，利用插空法求解即可判断C；根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解即可判断D.
10．（2024高二下·越秀期中）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则（ ）
A．数列的前60项和
B．数列的前60项和
C．数列的通项公式是
D．数列的通项公式是
【答案】B,C
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：根据题意，因为是方公差为2的等方差数列，，
所以是公差为2的等差数列，
所以，解得，
又因为，所以，所以，故选项C正确、选项D错误；
由上可知，所以，
所以，
所以，故选项A错误、选项B正确.
故答案为：BC．
【分析】先由等方差数列的定义得到数列是方公差为2的等方差数列，并求出，则判断出选项C和选项D；再由求出，则利用裂项相消法求和，从而判断出选项A和选项B，进而找出正确的选项.
11．（2024高二下·越秀期中）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ）
A．年产量为9000件 B．年产量为10000件
C．年利润最大值为38万元 D．年利润最大值为38.6万元
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设年利润为W，
当时，，
所以，令，得（舍负），
当时，，函数递增；
当时，，函数递减，
所以当时，年利润W取得最大值38.6；
当时，，，
令，得（舍负），
时，，函数递增；
时，，函数递减，
所以当时，年利润W取得最大值38，
因为，
所以当年产量为9000件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，
且年利润最大值为38.6万元.
故答案为：AD.
【分析】根据题意，分与两种情况分别得到年利润的函数关系，再结合导数的计算，分别求得函数的最大值，则比较得出当年产量为9000件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元，从而找出正确的选项.
12．（2024高二下·越秀期中）已知数列满足，且对任意，有，则 .
【答案】
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：依题意，
，
，
，
，
……
，
，
上述个式子相加得.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和累加法求出的值.
13．（2024高二下·越秀期中）设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X，则 ．
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：易知X的所有可能取值为1、2、3、4、5、6，且每种取值的概率都为，
所以，
，
所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件写出X可能的取值，再结合古典概率公式得出随机变量X的分布列，从而求出随机变量X的数学期望和方差，进而得出的值.
14．（2024高二下·越秀期中）已知定义在上的函数满足，且，则的解集是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 函数满足，构造函数定义域为，
求导可得，易知在上恒成立，
则函数在上单调递减，
又因为，所以当时，，当时，，
令，则，即的解集为，
所以，解得，综上，即的解集为.
故答案为：.
【分析】由题意，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，再利用换元求解即可.
15．（2024高二下·越秀期中） 已知函数在点处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）求的单调区间和极值.
【答案】（1）解：因为，所以，
则，因为函数在点处的切线与直线垂直，
故，解得；
（2）解：因为，所以，
令，解得或，令得或，令得，
列表如下：
3
0 + 0
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
故的单调递减区间为和，单调递增区间为，
的极大值为，极小值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求函数的导函数，由导数的几何意义求出斜率，利用直线垂直列式求解即可；
（2）求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表求解即可.
16．（2024高二下·越秀期中）（1）若，求的值；
（2）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，
①求的值；
②若第项是有理项，求的取值集合；
③求系数最大的项．
【答案】解：（1）令，得，
令得，
所以.
（2）①因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，
所以，展开式共有9项，所以.
②第项为，
若第项为有理项，则为整数，则，
所以，第项为有理项，所以的取值集合为.
③因为第项的系数为，
所以第项的系数绝对值为，
设第项的系数的绝对值最大，则，
整理得，解得，
又因为第6项的系数，第7项的系数，
所以，第7项的系数最大，.
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）分别令，结合已知条件和代入法，从而作差得出的值.
（2）①由已知条件结合二项式系数的性质和二项式定理求展开式中通项的方法，从而可得的值.
②利用第项是有理项得出展开式中通项中x的指数为整数，从而求解得出的取值集合.
③先求出系数绝对值的最大项，再结合展开式中的通项，从而验证得出系数最大的项．
17．（2024高二下·越秀期中）已知数列的前项和为，满足．
（1）求的通项公式；
（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和．
【答案】（1）解：当时，则，解得；
当时，则，
联立已知条件，得，
则，即，
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，
因此，．
（2）解：删去数列的第项（其中），
将剩余的项按从小到大排列依次为：，，，，，，…
数列前6项为2，，，，，，
，
因为，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列，
又因为，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列，
．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用与的关系式和等比数列的定义，从而判断出数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由题意写出数列的前6项，从而求和得出的值，再分成两个子数列结合等比数列前n项和公式分别求和，即可求出．
（1）当时，有，解得；
当时，有，联立条件，
得，
即，即；
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，
因此，．
（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大排列依次为：
，，，，，，…
数列前6项为2，，，，．
．
注意到，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列，
，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列，
．
18．（2024高二下·越秀期中）为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.
（1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望；
（2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.
【答案】（1）解：设表示第次借阅“期刊杂志”，
表示第次借阅“文献书籍”，，
则.
依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，
，
，
，
随机变量的分布列为：
0 1 2
所以.
（2）解：若小明第二次借阅“文献书籍”，
则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由如下：
若第一次借阅“期刊杂志”，
则；
若第一次借阅“文献书籍”，
则，
因为，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出随机变量X的取值，结合条件概率求出对应的概率，即可求出随机变量X的分布列，再根据分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望.
（2）利用已知条件先求出的值，根据条件概率公式分别求出借阅两类图书的概率，比较大小，即可分析出他第一次借阅平面的图书的可能性更大.
（1）设表示第次借阅“期刊杂志”，表示第次借阅“文献书籍”，，
则.
依题意，随机变量的可能取值为0，1，2.
，
，
.
随机变量的分布列为
0 1 2
所以.
（2）若小明第二次借阅“文献书籍”，则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大．理由如下：
．
若第一次借阅“期刊杂志”，则．
若第一次借阅“文献书籍”，则．
因为，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大.
19．（2024高二下·越秀期中）已知函数在处取得极值．
（1）求的值；
（2）设（其中），讨论函数的单调性；
（3）若对，都有，求n的取值范围．
【答案】（1）解：，
，
函数在处取得极值，
，得，
经检验符合题意，
.
（2）解：根据题意得：
.
①当时，当时，；当时，所以在上单调递增，在单调递减；
②当时，当时，；
当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，，
所以在上单调递增，无单调减区间；
④当时，当时，；
当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减.
（3）解：由题意，原不等式
，
，
即，
当时，对任意，不等式恒成立，
当时，原不等式等价于，
设，则，
设，因为，
所以存在唯一，使得，即，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
故，
，
，
，
，
，即，
综上所述，的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出，再由在处取得极值列出方程，从而解方程得出a的值，则得出函数的解析式，进而代入得出函数的值.
（2）根据题意，求导可得，再分，，和几种情况讨论，则根据导数判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性.
（3）根据题意，将原不等式化为，当时，原不等式等价于，再构造函数，求导得出函数的最值，则根据不等式恒成立问题得出实数n的取值范围.
（1），
，
又函数在处取得极值，，得，
经检验符合题意，
；
（2）根据题意得
，
①当时，当时，，当时，，所以在上单调递增，在单调递减；
②当时，当时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，，所以在上单调递增，无单调减区间；
④当时，当时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减；
（3）由题意，原不等式
，
，
即，
当时，对任意，不等式恒成立，
当时，原不等式等价于，
设，则，
设，因为，
所以存在唯一，使得，即，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
故．
，
，
，
，
，即，
综上所述，的取值范围为．
1 / 1广东省广州市广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·越秀期中）在等差数列中，，则的值是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
2．（2024高二下·越秀期中）已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．在 上单调递增 B．在 上单调递减
C．在 处取得最大值 D．在 处取得极大值
3．（2024高二下·越秀期中）已知离散型随机变量X的分布列 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
4．（2024高二下·越秀期中）已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024高二下·越秀期中）老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）
A．248种 B．168种 C．360种 D．210种
6．（2024高二下·越秀期中）的展开式中常数项为（ ）
A．120 B． C．180 D．
7．（2024高二下·越秀期中） 若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·越秀期中）已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二下·越秀期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为82种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
10．（2024高二下·越秀期中）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则（ ）
A．数列的前60项和
B．数列的前60项和
C．数列的通项公式是
D．数列的通项公式是
11．（2024高二下·越秀期中）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ）
A．年产量为9000件 B．年产量为10000件
C．年利润最大值为38万元 D．年利润最大值为38.6万元
12．（2024高二下·越秀期中）已知数列满足，且对任意，有，则 .
13．（2024高二下·越秀期中）设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X，则 ．
14．（2024高二下·越秀期中）已知定义在上的函数满足，且，则的解集是 ．
15．（2024高二下·越秀期中） 已知函数在点处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）求的单调区间和极值.
16．（2024高二下·越秀期中）（1）若，求的值；
（2）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，
①求的值；
②若第项是有理项，求的取值集合；
③求系数最大的项．
17．（2024高二下·越秀期中）已知数列的前项和为，满足．
（1）求的通项公式；
（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和．
18．（2024高二下·越秀期中）为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.
（1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望；
（2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.
19．（2024高二下·越秀期中）已知函数在处取得极值．
（1）求的值；
（2）设（其中），讨论函数的单调性；
（3）若对，都有，求n的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合的关系式和等差数列的性质，从而计算得出的值.
2．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由导函数图象可知，
当或时，；
当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故选项A、选项B错误；
在处函数取得极大值，且，故选项C错误、选项D正确；
故答案为：D.
【分析】根据已知的函数图象，从而判断导数的正负时的的取值范围，利用导数判断函数单调性的方法，从而得出函数的极值，再结合比较法得出函数的最值，进而逐项判断找出说法正确的选项.
3．【答案】C
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得a=，
则 .
故选：C
【分析】根据概率和为1，可求得a， 再代入计算即可．
4．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】因为等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，
设公比为q，，所以，，所以，，
则，所以则。
故答案为：D.
【分析】因为等比数列的各项互不相等，所以，又因为，，成等差数列结合等差中项公式等差q的值，再结合等比数列的性质得出的值。
5．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先将6本不同的课外书分成3组，其中一组2本，型或型，
当分组为型时，不同的分法有：种，
当分组为型，其中2本分给甲，则不同的分法有：种，
则不同的分法为：种．
故答案为：D.
【分析】根据分组、分配，结合组合、排列求解即可.
6．【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为展开式中通项为
，，1，2，…，6，
当且仅当时，的展开式可取到常数项，
则常数项为．
故答案为：D．
【分析】利用二项式定理求出展开式中通项，再结合常数项的定义得出的展开式中常数项.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，得到，令，则，
由得到，由，得到，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，当时，，当时，，且时，，
所以，当函数恰有2个零点时，，
故答案为：A.
【分析】本题考查函数的零点问题.令，求出，再令，求出导函数，进而求出的单调区间，进而得出函数值的变化，根据函数值变化可求出实数a的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】解：由数列的前n项和为且，
得，
则，
两式相减得：，
因此，，显然数列是递增数列，
当为奇数时，，由恒成立，得，则；
当为偶数时，，由恒成立，得，则，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和错位相减求和法求出，再按奇数、偶数讨论结合数列求最值的方法以及不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数a的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、如果甲，乙必须相邻，将 甲，乙 捆绑，则不同的排法有种，故A正确；
B、若最左端排甲，则有种排法；
若最左端排乙，有种排法，则不同的排法共有42种，故B正确；
C、甲乙不相邻，则甲、乙插空，则不同的排法种数有种，故C错误；
D、甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解即可判断A；分最左端排甲，和最左端排乙两类求解即可判断B；根据甲乙不相邻，利用插空法求解即可判断C；根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：根据题意，因为是方公差为2的等方差数列，，
所以是公差为2的等差数列，
所以，解得，
又因为，所以，所以，故选项C正确、选项D错误；
由上可知，所以，
所以，
所以，故选项A错误、选项B正确.
故答案为：BC．
【分析】先由等方差数列的定义得到数列是方公差为2的等方差数列，并求出，则判断出选项C和选项D；再由求出，则利用裂项相消法求和，从而判断出选项A和选项B，进而找出正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设年利润为W，
当时，，
所以，令，得（舍负），
当时，，函数递增；
当时，，函数递减，
所以当时，年利润W取得最大值38.6；
当时，，，
令，得（舍负），
时，，函数递增；
时，，函数递减，
所以当时，年利润W取得最大值38，
因为，
所以当年产量为9000件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，
且年利润最大值为38.6万元.
故答案为：AD.
【分析】根据题意，分与两种情况分别得到年利润的函数关系，再结合导数的计算，分别求得函数的最大值，则比较得出当年产量为9000件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：依题意，
，
，
，
，
……
，
，
上述个式子相加得.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和累加法求出的值.
13．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：易知X的所有可能取值为1、2、3、4、5、6，且每种取值的概率都为，
所以，
，
所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件写出X可能的取值，再结合古典概率公式得出随机变量X的分布列，从而求出随机变量X的数学期望和方差，进而得出的值.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 函数满足，构造函数定义域为，
求导可得，易知在上恒成立，
则函数在上单调递减，
又因为，所以当时，，当时，，
令，则，即的解集为，
所以，解得，综上，即的解集为.
故答案为：.
【分析】由题意，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，再利用换元求解即可.
15．【答案】（1）解：因为，所以，
则，因为函数在点处的切线与直线垂直，
故，解得；
（2）解：因为，所以，
令，解得或，令得或，令得，
列表如下：
3
0 + 0
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
故的单调递减区间为和，单调递增区间为，
的极大值为，极小值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求函数的导函数，由导数的几何意义求出斜率，利用直线垂直列式求解即可；
（2）求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表求解即可.
16．【答案】解：（1）令，得，
令得，
所以.
（2）①因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，
所以，展开式共有9项，所以.
②第项为，
若第项为有理项，则为整数，则，
所以，第项为有理项，所以的取值集合为.
③因为第项的系数为，
所以第项的系数绝对值为，
设第项的系数的绝对值最大，则，
整理得，解得，
又因为第6项的系数，第7项的系数，
所以，第7项的系数最大，.
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）分别令，结合已知条件和代入法，从而作差得出的值.
（2）①由已知条件结合二项式系数的性质和二项式定理求展开式中通项的方法，从而可得的值.
②利用第项是有理项得出展开式中通项中x的指数为整数，从而求解得出的取值集合.
③先求出系数绝对值的最大项，再结合展开式中的通项，从而验证得出系数最大的项．
17．【答案】（1）解：当时，则，解得；
当时，则，
联立已知条件，得，
则，即，
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，
因此，．
（2）解：删去数列的第项（其中），
将剩余的项按从小到大排列依次为：，，，，，，…
数列前6项为2，，，，，，
，
因为，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列，
又因为，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列，
．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用与的关系式和等比数列的定义，从而判断出数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由题意写出数列的前6项，从而求和得出的值，再分成两个子数列结合等比数列前n项和公式分别求和，即可求出．
（1）当时，有，解得；
当时，有，联立条件，
得，
即，即；
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，
因此，．
（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大排列依次为：
，，，，，，…
数列前6项为2，，，，．
．
注意到，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列，
，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列，
．
18．【答案】（1）解：设表示第次借阅“期刊杂志”，
表示第次借阅“文献书籍”，，
则.
依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，
，
，
，
随机变量的分布列为：
0 1 2
所以.
（2）解：若小明第二次借阅“文献书籍”，
则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由如下：
若第一次借阅“期刊杂志”，
则；
若第一次借阅“文献书籍”，
则，
因为，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出随机变量X的取值，结合条件概率求出对应的概率，即可求出随机变量X的分布列，再根据分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望.
（2）利用已知条件先求出的值，根据条件概率公式分别求出借阅两类图书的概率，比较大小，即可分析出他第一次借阅平面的图书的可能性更大.
（1）设表示第次借阅“期刊杂志”，表示第次借阅“文献书籍”，，
则.
依题意，随机变量的可能取值为0，1，2.
，
，
.
随机变量的分布列为
0 1 2
所以.
（2）若小明第二次借阅“文献书籍”，则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大．理由如下：
．
若第一次借阅“期刊杂志”，则．
若第一次借阅“文献书籍”，则．
因为，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大.
19．【答案】（1）解：，
，
函数在处取得极值，
，得，
经检验符合题意，
.
（2）解：根据题意得：
.
①当时，当时，；当时，所以在上单调递增，在单调递减；
②当时，当时，；
当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，，
所以在上单调递增，无单调减区间；
④当时，当时，；
当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减.
（3）解：由题意，原不等式
，
，
即，
当时，对任意，不等式恒成立，
当时，原不等式等价于，
设，则，
设，因为，
所以存在唯一，使得，即，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
故，
，
，
，
，
，即，
综上所述，的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出，再由在处取得极值列出方程，从而解方程得出a的值，则得出函数的解析式，进而代入得出函数的值.
（2）根据题意，求导可得，再分，，和几种情况讨论，则根据导数判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性.
（3）根据题意，将原不等式化为，当时，原不等式等价于，再构造函数，求导得出函数的最值，则根据不等式恒成立问题得出实数n的取值范围.
（1），
，
又函数在处取得极值，，得，
经检验符合题意，
；
（2）根据题意得
，
①当时，当时，，当时，，所以在上单调递增，在单调递减；
②当时，当时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，，所以在上单调递增，无单调减区间；
④当时，当时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减；
（3）由题意，原不等式
，
，
即，
当时，对任意，不等式恒成立，
当时，原不等式等价于，
设，则，
设，因为，
所以存在唯一，使得，即，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
故．
，
，
，
，
，即，
综上所述，的取值范围为．
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