湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
1．（2024高二下·衡阳期中）已知复数满足，则（ ）
A． B． C．4 D．12
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由复数满足，
可得，
则.
故答案为：B.
【分析】根据复数的四则运算法则得出复数，再由复数的模的计算公式，从而得出的值.
2．（2024高二下·衡阳期中）已知函数的图象与直线相切于点，则（ ）
A．4 B．8 C．0 D．-8
【答案】B
【知识点】函数的值；导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为直线的斜率为4，直线与函数的图象相切于点，
根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以，
又因为点在函数的图象上，同时也在切线上，所以，
，则．
故答案为：B．
【分析】根据导数的几何意义求出的值，再根据点在直线上求出的值，即可计算出的值.
3．（2024高二下·衡阳期中）设数列的前项之积为，满足（），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，即，所以，
所以，显然，
所以，
所以数列是首项为，公差为2的等差数列，
所以，
即，所以．
故答案为：C．
【分析】由递推式和等差数列的定义判断出数列是等差数列，再根据等差数列的通项公式得出，则由可得的值．
4．（2024高二下·衡阳期中）若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：令，得①；
令，得②，
得：.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和赋值法，则当分别取和时，得到和，再联立得出的值.
5．（2024高二下·衡阳期中）已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.2
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，则，
∴.
故答案为：D.
【分析】由正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性和概率之和等于1，从而得出的值.
6．（2024高二下·衡阳期中）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：由题意可得：的可能取值为1，3，5，且，
则.
故答案为：D．
【分析】由题意可得：的可能取值为1，3，5，且，根据二项分布的概率公式计算即可.
7．（2024高二下·衡阳期中）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆
C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆
【答案】C
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设动圆的圆心的坐标为，半径为，
因为动圆与圆：内切，且与圆：外切，
可得，所以，
根据椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
可得，则，
所以动点的轨迹方程为，所以其轨迹为焦点在轴上的椭圆.
故答案为：C.
【分析】设动圆的圆心的坐标为，半径为，根据题意得到，从而得到，再结合椭圆的定义得出动圆圆心M的轨迹.
8．（2024高二下·衡阳期中）已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：，，直线，，且，
，即，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为8.
故答案为：B．
【分析】由题意结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出，再利用“1”代换法和基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值．
9．（2024高二下·衡阳期中）已知圆和圆的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A．两圆的圆心距
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和，使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
【答案】A,D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：对于，因为圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标，
又因为两个圆相交，所以两圆的圆心距，故A正确；
对于，将两圆方程作差可得，
即得公共弦的方程为，故B错误；
对于，由选项B可知，直线的方程为，
由于满足上，
故直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径，
故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于，因为圆的圆心坐标为，半径为2，
又因为圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的最大距离为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求出两圆的圆心，从而得出圆心距，则判断出选项A；利用两圆相减得到直线的方程，则判断出选项B；根据线段是圆的直径，得出圆中不存在比长的弦，则判断出选项C；先求出圆心到直线的距离，再结合几何法得到圆上的点到直线的最大距离，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2024高二下·衡阳期中）如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、因为底面为等边三角形，且为的重心，
所以，
又因为，所以
，故A正确；
B、，
则
，
即，故B正确；
C、，，若，则存在实数，使得，即，无解，即与不平行，故C错误；
D、由，
可得
，则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由三角形的重心性质得到，则即可判断A；，利用向量数量积公式得到，即可判断B；，若，则存在实数，使得，求解即可判断C；利用向量数量积公式得到，得到即可判断D.
11．（2024高二下·衡阳期中）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2，5，7，70四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件A，“数字是5的倍数”为事件B，“数字是7的倍数”为事件C，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件A、B、C两两互斥 B．事件与事件对立
C． D．事件A、B、C两两独立
【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：由题意可知：抛掷一次可能出现的结果有、、、，
则，则，则；
对于A：显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，
故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；
对于B：事件包含的基本事件有、、，事件包含的基本事件有，
可知事件与事件可以同时发生，
所以事件与事件不互斥，显然也不对立，故B错误；
对于C：又事件包含的基本事件有，所以，
所以，故C错误；
对于D：因为事件、、均只包含的基本事件有，
则，
可得，，，
所以与、与、与相互独立；即事件、、两两独立，故D正确.
故答案为：ABC
【分析】对于AB：根据互斥、对立事件的概率分析判断；对于C：求，即可判断；对于D：根据题意可得，结合独立事件的定义分析判断.
12．（2024高二下·衡阳期中）已知函数，，若存在实数使得且，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意得出，相减得，
又因为，所以，
则表示点与点连线的斜率，
则的取值范围为两点连线斜率范围，
设过点与的切线为（过原点切线为割线斜率的上界），切点为，
由，则，
所以，则切线方程为，
又因为切线过点，所以，解得，
所以切线方程为，即，
如图所示：
由图可知，，所以，即实数的取值范围为.
【分析】根据题意得出，利用两点的斜率公式，从而把问题转化为的取值范围，即为两点连线斜率的取值范围，再利用导数的几何意义求出切线斜率，即可得出实数的取值范围.
13．（2024高二下·衡阳期中）设数列满足，，若且数列的前项和为，则 ．
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】解：因为，设①，
展开整理得：，
对照，可得：，解得，
故①式为：，
当时，， 则数列为常数列，故，
因为，
数列的前项和为：，
．
故答案为：．
【分析】将化为，由可得，从而可得，再将的通项公式展开裂项，则由裂项相消求和的方法得出.
14．（2024高二下·衡阳期中）已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则 ．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意得，解得，
故椭圆的方程为，
设，线段的中点为，连接，如图，
点在椭圆上，，两式相减得，
则，
设直线的方程为，则，
点也为的中点，，
，解得，
，，
故直线的方程为，
联立，消去整理得，
则，
则，
故答案为：.
【分析】结合题意可得椭圆的标准方程，再利用点差法可得的值，设出直线的方程，再结合的值可得直线的斜率，则借助韦达定理和弦长公式得出的值.
15．（2024高二下·衡阳期中）在中，分别是角的对边，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若为的中点且，求的面积．
【答案】（1）解：，
由正弦定理可得．
又因为在中，有，
所以，
化简得．
因为，所以，
所以，于是．
因为，所以．
（2）解：
由为的中点，可得．
又，所以，
在和中，
根据余弦定理从而可得．
又，所以，
可得．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，三角形的面积公式.
（1）先利用边化角公式化简可得：，再利用三角函数的诱导公式和两角和的正弦公式进行展开化简可得：，进而反推出角C的值.
（2）根据三角函数诱导公式可得：，利用余弦定理可列出方程，化简后可求出：，再结合（1）应用余弦定理化简可求出ab的值，代入三角形的面积公式可求出面积.
16．（2024高二下·衡阳期中）如图，在正方体中，分别为的中点，点在的延长线上，且.
（1）证明：平面.
（2）求平面与平面的夹角余弦值.
【答案】（1）证明：（1）在正方体中，以为原点，
直线分别为轴建立空间直角坐标系，
令，则
则，
显然，
则，
又因为平面，
所以平面.
（2）解：由（1）知平面的一个法向量为，，
设平面的一个法向量，则，
取，得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值是.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，即证出平面.
（2）由（1）中的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面的夹角余弦值.
（1）在正方体中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
令，则，
于是，显然，
则，而平面；
所以平面.
（2）由（1）知平面的一个法向量为，，
设平面的一个法向量，则，取，得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值是.
17．（2024高二下·衡阳期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的上顶点为P，直线l与该椭圆交于A，B两点（异于上、下顶点），记直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）解：根据题意，将代入，得，则，
所以
所以，
解得或（舍）．
由，得，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）证明：如图所示：
①当直线斜率不存在时，设直线：，，，
则，，此时直线为
②当直线斜率存在时，设直线：，，，
则直线与椭圆联立，
，
则，，
，
所以，
结合可知，
即应满足或，
所以直线，
此直线过定点，
综上所述，直线过定点．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合代入法、椭圆中a，b，c三者的关系式、正切函数的定义，从而求出，，的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）分直线无斜率和有斜率两种情况讨论，把直线方程和椭圆方程联立，消去得出关于x的方程，利用一元二次方程根与系数的关系写出和的值，再由韦达定理把表示出来，从而得出，再结合可知，从而得出k的取值范围，则由点斜式证出直线l过定点，并求出该定点的坐标．
（1）根据题意将代入，得，则，
所以，解得或（舍）．
由，得，
所以椭圆的标准方程为：
（2）如图：
①当直线斜率不存在时，设直线：，，.
则，，此时直线为；
②当直线斜率存在时，设直线：，，.
则直线与椭圆联立，
，
，，
，
所以，结合可知，
即应满足或，
所以直线，此直线过定点，
综上所述，直线过定点．
18．（2024高二下·衡阳期中）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分的频率分布直方图如图所示：
减排器等级及利润率如下表，其中．
综合得分的范围 减排器等级 减排器利润率
一级品
二级品
三级品
（1）若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率；
（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记为其中二级品的个数，求的分布列及数学期望；
②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？
【答案】（1）解：由已知及频率分布直方图中的信息知，
甲型号减排器中的一级品的频率为，
按等级用分层抽样的方法抽取10件，
则抽取一级品为（件），
记“抽取的5件中至少有3件一级品”为事件，
则.
（2）解：①由已知及频率分布直方图中的信息知，
乙型号减排器中的一级品的概率为，
二级品的概率为，三级品的概率为，
由题意，的所有可能的取值为，
所以，
，
，
，
分布列如下表：
0 1 2 3 4
所以.
②由题意知，甲型号减排器的利润率的平均值：
；
乙型号减排器的利润率的平均值：
，
则，
又因为，则，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由已知条件和频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.6，根据分层抽样计算10件减排器中一级品的个数，再利用互斥事件概率加法公式求出至少3件一级品的概率.
（2）①由已知条件和频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为，二级品的概率为，三级品的概率为，由题可得二级品数所有可能的取值为，且，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望.
②由题意分别求出甲型号减排器的利润的平均值和乙型号减排器的利润的平均值，再结合作差比较法求出投资乙型号减排器的平均利润率较大.
（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的频率为，
按等级用分层抽样的方法抽取10件，
则抽取一级品为（件），
记“抽取的5件中至少有3件一级品”为事件，则．
（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为，
二级品的概率为，三级品的概率为，
由题意，的所有可能的取值为，
所以，
，
，
，
分布列如下表：
0 1 2 3 4
所以；
②由题意知，甲型号减排器的利润率的平均值：
；
乙型号减排器的利润率的平均值：
；
，又，
则，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大．
19．（2024高二下·衡阳期中）已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，，
令可得，故当时，单调递减；
当时，单调递增；
故递减区间为，递增区间为.
（2）解：由可得：函数定义域为，.
当时，，此时函数在定义域上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（3）解：因为函数在处取得极值，
所以，即，解得.
此时，
令，解得；令，解得，
所以函数在处取得极值，故.
所以.
因为对，恒成立，
所以对，恒成立.
令，则.
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，解得：.
所以实数b的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的恒成立问题.
（1）当时，先求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间；
（2）先求出导函数；再分和两种情况，讨论导函数的正负，据此可求出函数的单调区间；
（3）先根据函数在处取得极值，据此可列出方程，解方程可求出；再将问题“对，恒成立”转化为“对，恒成立”；再构造函数，求出导函数，令和可求出函数的单调区间，进而可求出，据此可求出实数b的取值范围.
1 / 1湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
1．（2024高二下·衡阳期中）已知复数满足，则（ ）
A． B． C．4 D．12
2．（2024高二下·衡阳期中）已知函数的图象与直线相切于点，则（ ）
A．4 B．8 C．0 D．-8
3．（2024高二下·衡阳期中）设数列的前项之积为，满足（），则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·衡阳期中）若则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·衡阳期中）已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.2
6．（2024高二下·衡阳期中）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·衡阳期中）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆
C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆
8．（2024高二下·衡阳期中）已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·衡阳期中）已知圆和圆的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A．两圆的圆心距
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和，使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
10．（2024高二下·衡阳期中）如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024高二下·衡阳期中）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2，5，7，70四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件A，“数字是5的倍数”为事件B，“数字是7的倍数”为事件C，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件A、B、C两两互斥 B．事件与事件对立
C． D．事件A、B、C两两独立
12．（2024高二下·衡阳期中）已知函数，，若存在实数使得且，则实数的取值范围为 .
13．（2024高二下·衡阳期中）设数列满足，，若且数列的前项和为，则 ．
14．（2024高二下·衡阳期中）已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则 ．
15．（2024高二下·衡阳期中）在中，分别是角的对边，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若为的中点且，求的面积．
16．（2024高二下·衡阳期中）如图，在正方体中，分别为的中点，点在的延长线上，且.
（1）证明：平面.
（2）求平面与平面的夹角余弦值.
17．（2024高二下·衡阳期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的上顶点为P，直线l与该椭圆交于A，B两点（异于上、下顶点），记直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
18．（2024高二下·衡阳期中）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分的频率分布直方图如图所示：
减排器等级及利润率如下表，其中．
综合得分的范围 减排器等级 减排器利润率
一级品
二级品
三级品
（1）若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率；
（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记为其中二级品的个数，求的分布列及数学期望；
②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？
19．（2024高二下·衡阳期中）已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由复数满足，
可得，
则.
故答案为：B.
【分析】根据复数的四则运算法则得出复数，再由复数的模的计算公式，从而得出的值.
2．【答案】B
【知识点】函数的值；导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为直线的斜率为4，直线与函数的图象相切于点，
根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以，
又因为点在函数的图象上，同时也在切线上，所以，
，则．
故答案为：B．
【分析】根据导数的几何意义求出的值，再根据点在直线上求出的值，即可计算出的值.
3．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，即，所以，
所以，显然，
所以，
所以数列是首项为，公差为2的等差数列，
所以，
即，所以．
故答案为：C．
【分析】由递推式和等差数列的定义判断出数列是等差数列，再根据等差数列的通项公式得出，则由可得的值．
4．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：令，得①；
令，得②，
得：.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和赋值法，则当分别取和时，得到和，再联立得出的值.
5．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，则，
∴.
故答案为：D.
【分析】由正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性和概率之和等于1，从而得出的值.
6．【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：由题意可得：的可能取值为1，3，5，且，
则.
故答案为：D．
【分析】由题意可得：的可能取值为1，3，5，且，根据二项分布的概率公式计算即可.
7．【答案】C
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设动圆的圆心的坐标为，半径为，
因为动圆与圆：内切，且与圆：外切，
可得，所以，
根据椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
可得，则，
所以动点的轨迹方程为，所以其轨迹为焦点在轴上的椭圆.
故答案为：C.
【分析】设动圆的圆心的坐标为，半径为，根据题意得到，从而得到，再结合椭圆的定义得出动圆圆心M的轨迹.
8．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：，，直线，，且，
，即，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为8.
故答案为：B．
【分析】由题意结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出，再利用“1”代换法和基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值．
9．【答案】A,D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：对于，因为圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标，
又因为两个圆相交，所以两圆的圆心距，故A正确；
对于，将两圆方程作差可得，
即得公共弦的方程为，故B错误；
对于，由选项B可知，直线的方程为，
由于满足上，
故直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径，
故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于，因为圆的圆心坐标为，半径为2，
又因为圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的最大距离为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求出两圆的圆心，从而得出圆心距，则判断出选项A；利用两圆相减得到直线的方程，则判断出选项B；根据线段是圆的直径，得出圆中不存在比长的弦，则判断出选项C；先求出圆心到直线的距离，再结合几何法得到圆上的点到直线的最大距离，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、因为底面为等边三角形，且为的重心，
所以，
又因为，所以
，故A正确；
B、，
则
，
即，故B正确；
C、，，若，则存在实数，使得，即，无解，即与不平行，故C错误；
D、由，
可得
，则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由三角形的重心性质得到，则即可判断A；，利用向量数量积公式得到，即可判断B；，若，则存在实数，使得，求解即可判断C；利用向量数量积公式得到，得到即可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：由题意可知：抛掷一次可能出现的结果有、、、，
则，则，则；
对于A：显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，
故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；
对于B：事件包含的基本事件有、、，事件包含的基本事件有，
可知事件与事件可以同时发生，
所以事件与事件不互斥，显然也不对立，故B错误；
对于C：又事件包含的基本事件有，所以，
所以，故C错误；
对于D：因为事件、、均只包含的基本事件有，
则，
可得，，，
所以与、与、与相互独立；即事件、、两两独立，故D正确.
故答案为：ABC
【分析】对于AB：根据互斥、对立事件的概率分析判断；对于C：求，即可判断；对于D：根据题意可得，结合独立事件的定义分析判断.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意得出，相减得，
又因为，所以，
则表示点与点连线的斜率，
则的取值范围为两点连线斜率范围，
设过点与的切线为（过原点切线为割线斜率的上界），切点为，
由，则，
所以，则切线方程为，
又因为切线过点，所以，解得，
所以切线方程为，即，
如图所示：
由图可知，，所以，即实数的取值范围为.
【分析】根据题意得出，利用两点的斜率公式，从而把问题转化为的取值范围，即为两点连线斜率的取值范围，再利用导数的几何意义求出切线斜率，即可得出实数的取值范围.
13．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】解：因为，设①，
展开整理得：，
对照，可得：，解得，
故①式为：，
当时，， 则数列为常数列，故，
因为，
数列的前项和为：，
．
故答案为：．
【分析】将化为，由可得，从而可得，再将的通项公式展开裂项，则由裂项相消求和的方法得出.
14．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意得，解得，
故椭圆的方程为，
设，线段的中点为，连接，如图，
点在椭圆上，，两式相减得，
则，
设直线的方程为，则，
点也为的中点，，
，解得，
，，
故直线的方程为，
联立，消去整理得，
则，
则，
故答案为：.
【分析】结合题意可得椭圆的标准方程，再利用点差法可得的值，设出直线的方程，再结合的值可得直线的斜率，则借助韦达定理和弦长公式得出的值.
15．【答案】（1）解：，
由正弦定理可得．
又因为在中，有，
所以，
化简得．
因为，所以，
所以，于是．
因为，所以．
（2）解：
由为的中点，可得．
又，所以，
在和中，
根据余弦定理从而可得．
又，所以，
可得．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，三角形的面积公式.
（1）先利用边化角公式化简可得：，再利用三角函数的诱导公式和两角和的正弦公式进行展开化简可得：，进而反推出角C的值.
（2）根据三角函数诱导公式可得：，利用余弦定理可列出方程，化简后可求出：，再结合（1）应用余弦定理化简可求出ab的值，代入三角形的面积公式可求出面积.
16．【答案】（1）证明：（1）在正方体中，以为原点，
直线分别为轴建立空间直角坐标系，
令，则
则，
显然，
则，
又因为平面，
所以平面.
（2）解：由（1）知平面的一个法向量为，，
设平面的一个法向量，则，
取，得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值是.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，即证出平面.
（2）由（1）中的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面的夹角余弦值.
（1）在正方体中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
令，则，
于是，显然，
则，而平面；
所以平面.
（2）由（1）知平面的一个法向量为，，
设平面的一个法向量，则，取，得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值是.
17．【答案】（1）解：根据题意，将代入，得，则，
所以
所以，
解得或（舍）．
由，得，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）证明：如图所示：
①当直线斜率不存在时，设直线：，，，
则，，此时直线为
②当直线斜率存在时，设直线：，，，
则直线与椭圆联立，
，
则，，
，
所以，
结合可知，
即应满足或，
所以直线，
此直线过定点，
综上所述，直线过定点．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合代入法、椭圆中a，b，c三者的关系式、正切函数的定义，从而求出，，的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）分直线无斜率和有斜率两种情况讨论，把直线方程和椭圆方程联立，消去得出关于x的方程，利用一元二次方程根与系数的关系写出和的值，再由韦达定理把表示出来，从而得出，再结合可知，从而得出k的取值范围，则由点斜式证出直线l过定点，并求出该定点的坐标．
（1）根据题意将代入，得，则，
所以，解得或（舍）．
由，得，
所以椭圆的标准方程为：
（2）如图：
①当直线斜率不存在时，设直线：，，.
则，，此时直线为；
②当直线斜率存在时，设直线：，，.
则直线与椭圆联立，
，
，，
，
所以，结合可知，
即应满足或，
所以直线，此直线过定点，
综上所述，直线过定点．
18．【答案】（1）解：由已知及频率分布直方图中的信息知，
甲型号减排器中的一级品的频率为，
按等级用分层抽样的方法抽取10件，
则抽取一级品为（件），
记“抽取的5件中至少有3件一级品”为事件，
则.
（2）解：①由已知及频率分布直方图中的信息知，
乙型号减排器中的一级品的概率为，
二级品的概率为，三级品的概率为，
由题意，的所有可能的取值为，
所以，
，
，
，
分布列如下表：
0 1 2 3 4
所以.
②由题意知，甲型号减排器的利润率的平均值：
；
乙型号减排器的利润率的平均值：
，
则，
又因为，则，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由已知条件和频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.6，根据分层抽样计算10件减排器中一级品的个数，再利用互斥事件概率加法公式求出至少3件一级品的概率.
（2）①由已知条件和频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为，二级品的概率为，三级品的概率为，由题可得二级品数所有可能的取值为，且，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望.
②由题意分别求出甲型号减排器的利润的平均值和乙型号减排器的利润的平均值，再结合作差比较法求出投资乙型号减排器的平均利润率较大.
（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的频率为，
按等级用分层抽样的方法抽取10件，
则抽取一级品为（件），
记“抽取的5件中至少有3件一级品”为事件，则．
（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为，
二级品的概率为，三级品的概率为，
由题意，的所有可能的取值为，
所以，
，
，
，
分布列如下表：
0 1 2 3 4
所以；
②由题意知，甲型号减排器的利润率的平均值：
；
乙型号减排器的利润率的平均值：
；
，又，
则，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大．
19．【答案】（1）解：当时，，，
令可得，故当时，单调递减；
当时，单调递增；
故递减区间为，递增区间为.
（2）解：由可得：函数定义域为，.
当时，，此时函数在定义域上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（3）解：因为函数在处取得极值，
所以，即，解得.
此时，
令，解得；令，解得，
所以函数在处取得极值，故.
所以.
因为对，恒成立，
所以对，恒成立.
令，则.
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，解得：.
所以实数b的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的恒成立问题.
（1）当时，先求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间；
（2）先求出导函数；再分和两种情况，讨论导函数的正负，据此可求出函数的单调区间；
（3）先根据函数在处取得极值，据此可列出方程，解方程可求出；再将问题“对，恒成立”转化为“对，恒成立”；再构造函数，求出导函数，令和可求出函数的单调区间，进而可求出，据此可求出实数b的取值范围.
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