广东省佛山市顺德区第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·顺德期中）函数 的导数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】 ， 。
故答案为：C.
【分析】 利用已知条件结合导数的运算法则和复合函数的求导方法，进而求出函数 的导数 。
2．（2024高二下·顺德期中） 若数列满足，则称为“梦想数列”，已知数列为“梦想数列”，且，则（ ）
A．18 B．16 C．32 D．36
【答案】A
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为梦想数列满足，所以，即，
即数列是以为公比的等比数列，
若数列为“梦想数列”，则，即，即数列是公比为3的等比数列，
当时，.
故答案为：A.
【分析】根据“梦想数列”的定义，求得数列是以为公比的等比数列，得到数列为公比为3的等比数列，结合等比数列的性质求解即可.
3．（2024高二下·顺德期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且满足
，即函数为偶函数，图像关于y轴对称，排除BD；当时，，求导可得，当时，，
函数单调递增，排除C.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，再判断其奇偶性，再由时函数的单调性确定答案即可．
4．（2024高二下·顺德期中）已知数列的前n项和，若，则数列的前n项和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】当时，，
当时，，满足上式，
所以，
所以 ，
所以数列的前n项和是
故答案为：C
【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可，然后由对数的运算性质以及等差数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
5．（2024高二下·顺德期中）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，，，
令函数，且，
则函数在上单调递增，即，，
故.
故答案为：C.
【分析】由题意，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，利用单调性判断大小即可.
6．（2024高二下·顺德期中）用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．60个 B．40个 C．30个 D．24个
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可分为两类：
第一类 末位数字为时，百位数字有种排法，十位数字有种，根据分步计数原理，共有种排法；
第二类 ①末位数字为或中一个时，有种排法；
②再从除以外的个数中，选一个放在百位有种排法，再从剩余的个数中，选一个放在十位数字有种排法，
根据分步计数原理，共有种排法；
根据分类计数原理，共有种排法.
故答案为：C
【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理.本题需要分两类完成：第一类排在末位；第二类、排在末位；再将每一类分步完成，利用分布计数原理可求出每一类的排法，再利用分类加法计数原理可求出答案.
7．（2024高二下·顺德期中）已知函数 在 内不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 函数 ，定义域 ，
，
当 时， ， 在 上是增函数，不符合题意，
当 时，在 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，
函数 在 内不是单调函数，
，
，
故答案为：D ．
【分析】根据题意首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合已知条件即可得出a的取值范围即可。
8．（2024高二下·顺德期中）已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由已知条件易知，，且，
所以直线，它与两坐标轴的交点坐标分别为和，
可得，
又因为，解得.
故答案为：C.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，根据点斜式得出函数在点处的切线方程，从而得到切线与坐标轴交点坐标，再由三角形的面积公式得出实数的值.
9．（2024高二下·顺德期中）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A．
B．函数在上递增，在上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题中图可知，当时，；
当时，；
当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增.
对于A，因为，故A错误；
对于B，因为函数)在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减，
故B错误；
对于C，因为函数的极值点为，，故C正确；
对于D，因为函数的极大值为，故D错误.
故答案为：ABD.
【分析】利用题中图结合求导判断函数单调性的方法，则判断出选项A和选项B；利用导数求极值点和极值的方法，则判断出选项C和选项D，从而找出叙述不正确的选项.
10．（2024高二下·顺德期中）已知数列满足，，，为数列的前n项和，则下列说法正确的有（ ）
A．n为偶数时， B．
C． D．的最大值为20
【答案】A,C
【知识点】函数的最大（小）值；数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】根据递推关系可知，n为奇数时，
n为偶数时，，A对；
根据奇数项构成等差数列
可得：
而又：
则有：，B不符合题意；
，C对；
根据中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据特点可知：
的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，，，，，，，的最大值为，D不符合题意
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合数列的递推公式，从而得出n为偶数时的数列的通项公式，再结合数列前n项和公式和数列的和的最值求解方法，进而找出说法正确的选项。
11．（2024高二下·顺德期中）关于函数，下列判断正确的是（ ）．
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且，若，则．
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于选项A，因为函数的定义域为，函数的导数，
所以在内，，函数单调递减；
在上，，函数单调递增，
所以是的极小值点，故A错误；
对于选项B，由，得，
由于分子判别式小于零，所以恒成立，
所以函数在上单调递减，
且，
所以函数有且只有1个零点，故B正确；
对于选项C，若，可得，
令，则，
令，则，
所以在内，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，
所以，所以，
所以函数在上单调递减．
又因为当时，，
所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确；
对于选项D，设，即，，即，
化为，
故，所以，
则，
设（），可得，
令，则在上恒成立，
可得，所以，故单调递增，
可得，故成立，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合导数判断函数单调性的方法，从而得出函数的极值点，则可判断选项A；求导后讨论函数的单调性，再利用零点存在定理判断出选项B；利用常数分离法，构造函数，则根据导数判断出函数的单调性，从而判断选项C；利用极值点偏移问题的求解方法，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高二下·顺德期中）有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有 种不同的招聘方案．(用数字作答)
【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，
所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60(种)．
【分析】利用已知条件和排列数公式得出满足要求的不同的招聘方案种数.
13．（2024高二下·顺德期中）已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则 .
【答案】23
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设数列的奇数项依次成公差为的等差数列，偶数项依次成公比为的等比数列，
由，，，，
故，，解方程得，
故，则.
故答案为：23.
【分析】利用已知条件和等差数列的通项公式和等比数列的性质，从而得出的值.
14．（2024高二下·顺德期中）如图，某广场内有一半径为米的圆形区域，圆心为，其内接矩形的内部区域为居民的健身活动场所，已知米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心作直径，使得，在劣弧上取一点，过点作圆的内接矩形，使，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设．
（1）记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为（单位：平方米），求的表达式（不需要注明的范围） ．
（2）当取最大值时，求的值为 ．
【答案】；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，如图所示：
设与相交于点，与相交于点，
依题意得，，，
则，
由得，
所以，
即，
因为，
所以，
令，解得或（不合题意，舍去），
由得，
设，则，则，
①当时，，单调递增；
②当时，，单调递减，
所以，当时，取得最大值．
故答案为：；.
【分析】设与相交于点，与相交于点，从而求出，，进而得出的表达式；再利用导数判断出函数的单调性，从而得出函数取最大值时的值.
15．（2024高二下·顺德期中）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为d，
因为 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ,
所以 ；
当 或者 时， 取到最小值-30.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得 的通项公式；(Ⅱ)首先求得 的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.
16．（2024高二下·顺德期中）已知正项数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：因为，
所以当时，，
所以，
整理得，
因为，所以，
所以数列是公差为2的等差数列，
当时，，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）得，
记，，
则，
因为，，
所以，
所以，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据题意得，因式分解为，即可得到，再根据等差数列的定义可知数列为等差数列，则由等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由题意结合数列的通项公式得出数列的通项公式，再根据分组求和法和错位相减法，从而得出数列的前n项和.
（1）因为，
所以当时，，
所以，
整理，得，
因为，
所以，
所以数列是公差为2的等差数列.
当时，，
解得，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）得，
记，，则
，
因为，，
所以，
所以，
所以.
17．（2024高二下·顺德期中）某林场去年底森林木材储存量为100万，若树木以每年20%的增长率生长，计划从今年起，每年底要砍伐x万木材，记为第n年年底的木材储存量.
（1）写出；写出数列的递推公式；
（2）为了实现经过10年木材储存量翻两番（原来的4倍）的目标，每年砍伐的木材量x的最大值是多少 （精确到0.1万）
参考数据：.
【答案】（1）解：依题意，，，
，
所以数列的递推公式是.
（2）解：由（1）知，，，则，
若，则，所以，即，
若，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
当时，上式也成立，
因此，，
因为10年木材量翻两番，即，
则，又因为，
则，解得，
所以每年砍伐的木材量x的最大值是万.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的应用；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出的值，结合归纳推理的方法得出数列的递推公式.
（2）由（1）中的递推公式和等比数列的定义得出数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求出数列的通项公式，再根据题意列出不等式得出每年砍伐的木材量x的最大值.
（1）依题意，，，
，所以数列的递推公式是.
（2）由（1）知，，，则，
若，则，有，即，
若，则，于是数列是以为首项，为公比的等比数列，
则有，即，当时，上式也成立，
因此，，
因为10年木材量翻两番，即，则，而，
从而，解得，
所以每年砍伐的木材量x的最大值是万.
18．（2024高二下·顺德期中）已知函数．
（1）当时，以点为切点作曲线的切线，求切线方程；
（2）证明：函数有3个零点；
（3）若在区间上有最小值，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，
则，，所以，
所以切线方程为，即.
（2）证明：因为定义域为，
又因为，
因为，所以，
由，解得或；由，解得，
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
所以，，
又因为，，
且当时，；
当时，，
即，所以在上存在唯一零点；
由，所以在上存在唯一零点；
由，所以在上存在唯一零点；
所以在和上均不存在零点，
所以函数有且仅有个零点．
（3）解：由（2）可知的极小值点为，极大值点为，
且，
当时，则，
所以，
解得或，
因为在区间上有最小值，
所以最小值为函数的极小值，
即，解得，
所以的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求出导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，则由点斜式求出切线方程.
（2）利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再结合零点存在性定理证出函数有3个零点.
（3）结合（2）中函数的极小值点和极小值， 令求出所对应的的值，再利用在区间上有最小值，则最小值为函数的极小值，从而得到，解不等式组得出实数a的取值范围.
（1）当时，则，，
所以，
所以切线方程为，即；
（2）因为定义域为，
又，因为，所以，
由，解得或，由，解得；
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
所以，，
又，，
且当时，当时，
即，所以在上存在唯一零点，
由，所以在上存在唯一零点，
由，所以在上存在唯一零点，
所以在和上均不存在零点，
所以函数有且仅有个零点．
（3）由（2）可知的极小值点为，极大值点为，且，
当时，即，则，
解得或，
因为在区间上有最小值，
所以最小值为函数的极小值，即，解得，
所以的取值范围为．
19．（2024高二下·顺德期中）已知 ，函数，.
（1）当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数的值；
（2）若，求证：.
【答案】（1）解：，定义域均为，
，
当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；
当时，令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在取极小值，且；
又，
当时：，在单调递减，无极值，与题不符；
当时：令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在取极小值，且；
由题：，解得：.
（2）解：令，因为，所以，
由可得：，
（3）-（2）得：，所以，
要证： ，只要证： ，只要证：
不妨设，所以只要证：，
即证：，令，只要证：，
令， ，
所以在上单调递增，
， 即有成立，所以成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）分别对与 求导，讨论和，得出与 的单调性，即可求出与 的极小值，即可得出答案；
（2） 令 ，由可得，要证 ， 不妨设，所以只要证：， 令，，对求导，得出的单调性，即可证明.
1 / 1广东省佛山市顺德区第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·顺德期中）函数 的导数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·顺德期中） 若数列满足，则称为“梦想数列”，已知数列为“梦想数列”，且，则（ ）
A．18 B．16 C．32 D．36
3．（2024高二下·顺德期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·顺德期中）已知数列的前n项和，若，则数列的前n项和是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·顺德期中）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·顺德期中）用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．60个 B．40个 C．30个 D．24个
7．（2024高二下·顺德期中）已知函数 在 内不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024高二下·顺德期中）已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ）
A． B．1 C．2 D．
9．（2024高二下·顺德期中）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A．
B．函数在上递增，在上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为
10．（2024高二下·顺德期中）已知数列满足，，，为数列的前n项和，则下列说法正确的有（ ）
A．n为偶数时， B．
C． D．的最大值为20
11．（2024高二下·顺德期中）关于函数，下列判断正确的是（ ）．
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且，若，则．
12．（2024高二下·顺德期中）有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有 种不同的招聘方案．(用数字作答)
13．（2024高二下·顺德期中）已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则 .
14．（2024高二下·顺德期中）如图，某广场内有一半径为米的圆形区域，圆心为，其内接矩形的内部区域为居民的健身活动场所，已知米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心作直径，使得，在劣弧上取一点，过点作圆的内接矩形，使，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设．
（1）记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为（单位：平方米），求的表达式（不需要注明的范围） ．
（2）当取最大值时，求的值为 ．
15．（2024高二下·顺德期中）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
16．（2024高二下·顺德期中）已知正项数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
17．（2024高二下·顺德期中）某林场去年底森林木材储存量为100万，若树木以每年20%的增长率生长，计划从今年起，每年底要砍伐x万木材，记为第n年年底的木材储存量.
（1）写出；写出数列的递推公式；
（2）为了实现经过10年木材储存量翻两番（原来的4倍）的目标，每年砍伐的木材量x的最大值是多少 （精确到0.1万）
参考数据：.
18．（2024高二下·顺德期中）已知函数．
（1）当时，以点为切点作曲线的切线，求切线方程；
（2）证明：函数有3个零点；
（3）若在区间上有最小值，求的取值范围．
19．（2024高二下·顺德期中）已知 ，函数，.
（1）当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数的值；
（2）若，求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】 ， 。
故答案为：C.
【分析】 利用已知条件结合导数的运算法则和复合函数的求导方法，进而求出函数 的导数 。
2．【答案】A
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为梦想数列满足，所以，即，
即数列是以为公比的等比数列，
若数列为“梦想数列”，则，即，即数列是公比为3的等比数列，
当时，.
故答案为：A.
【分析】根据“梦想数列”的定义，求得数列是以为公比的等比数列，得到数列为公比为3的等比数列，结合等比数列的性质求解即可.
3．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且满足
，即函数为偶函数，图像关于y轴对称，排除BD；当时，，求导可得，当时，，
函数单调递增，排除C.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，再判断其奇偶性，再由时函数的单调性确定答案即可．
4．【答案】C
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】当时，，
当时，，满足上式，
所以，
所以 ，
所以数列的前n项和是
故答案为：C
【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可，然后由对数的运算性质以及等差数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，，，
令函数，且，
则函数在上单调递增，即，，
故.
故答案为：C.
【分析】由题意，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，利用单调性判断大小即可.
6．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可分为两类：
第一类 末位数字为时，百位数字有种排法，十位数字有种，根据分步计数原理，共有种排法；
第二类 ①末位数字为或中一个时，有种排法；
②再从除以外的个数中，选一个放在百位有种排法，再从剩余的个数中，选一个放在十位数字有种排法，
根据分步计数原理，共有种排法；
根据分类计数原理，共有种排法.
故答案为：C
【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理.本题需要分两类完成：第一类排在末位；第二类、排在末位；再将每一类分步完成，利用分布计数原理可求出每一类的排法，再利用分类加法计数原理可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 函数 ，定义域 ，
，
当 时， ， 在 上是增函数，不符合题意，
当 时，在 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，
函数 在 内不是单调函数，
，
，
故答案为：D ．
【分析】根据题意首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合已知条件即可得出a的取值范围即可。
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由已知条件易知，，且，
所以直线，它与两坐标轴的交点坐标分别为和，
可得，
又因为，解得.
故答案为：C.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，根据点斜式得出函数在点处的切线方程，从而得到切线与坐标轴交点坐标，再由三角形的面积公式得出实数的值.
9．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题中图可知，当时，；
当时，；
当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增.
对于A，因为，故A错误；
对于B，因为函数)在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减，
故B错误；
对于C，因为函数的极值点为，，故C正确；
对于D，因为函数的极大值为，故D错误.
故答案为：ABD.
【分析】利用题中图结合求导判断函数单调性的方法，则判断出选项A和选项B；利用导数求极值点和极值的方法，则判断出选项C和选项D，从而找出叙述不正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的最大（小）值；数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】根据递推关系可知，n为奇数时，
n为偶数时，，A对；
根据奇数项构成等差数列
可得：
而又：
则有：，B不符合题意；
，C对；
根据中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据特点可知：
的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，，，，，，，的最大值为，D不符合题意
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合数列的递推公式，从而得出n为偶数时的数列的通项公式，再结合数列前n项和公式和数列的和的最值求解方法，进而找出说法正确的选项。
11．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于选项A，因为函数的定义域为，函数的导数，
所以在内，，函数单调递减；
在上，，函数单调递增，
所以是的极小值点，故A错误；
对于选项B，由，得，
由于分子判别式小于零，所以恒成立，
所以函数在上单调递减，
且，
所以函数有且只有1个零点，故B正确；
对于选项C，若，可得，
令，则，
令，则，
所以在内，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，
所以，所以，
所以函数在上单调递减．
又因为当时，，
所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确；
对于选项D，设，即，，即，
化为，
故，所以，
则，
设（），可得，
令，则在上恒成立，
可得，所以，故单调递增，
可得，故成立，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合导数判断函数单调性的方法，从而得出函数的极值点，则可判断选项A；求导后讨论函数的单调性，再利用零点存在定理判断出选项B；利用常数分离法，构造函数，则根据导数判断出函数的单调性，从而判断选项C；利用极值点偏移问题的求解方法，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，
所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60(种)．
【分析】利用已知条件和排列数公式得出满足要求的不同的招聘方案种数.
13．【答案】23
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设数列的奇数项依次成公差为的等差数列，偶数项依次成公比为的等比数列，
由，，，，
故，，解方程得，
故，则.
故答案为：23.
【分析】利用已知条件和等差数列的通项公式和等比数列的性质，从而得出的值.
14．【答案】；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，如图所示：
设与相交于点，与相交于点，
依题意得，，，
则，
由得，
所以，
即，
因为，
所以，
令，解得或（不合题意，舍去），
由得，
设，则，则，
①当时，，单调递增；
②当时，，单调递减，
所以，当时，取得最大值．
故答案为：；.
【分析】设与相交于点，与相交于点，从而求出，，进而得出的表达式；再利用导数判断出函数的单调性，从而得出函数取最大值时的值.
15．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为d，
因为 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ,
所以 ；
当 或者 时， 取到最小值-30.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得 的通项公式；(Ⅱ)首先求得 的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.
16．【答案】（1）解：因为，
所以当时，，
所以，
整理得，
因为，所以，
所以数列是公差为2的等差数列，
当时，，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）得，
记，，
则，
因为，，
所以，
所以，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据题意得，因式分解为，即可得到，再根据等差数列的定义可知数列为等差数列，则由等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由题意结合数列的通项公式得出数列的通项公式，再根据分组求和法和错位相减法，从而得出数列的前n项和.
（1）因为，
所以当时，，
所以，
整理，得，
因为，
所以，
所以数列是公差为2的等差数列.
当时，，
解得，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）得，
记，，则
，
因为，，
所以，
所以，
所以.
17．【答案】（1）解：依题意，，，
，
所以数列的递推公式是.
（2）解：由（1）知，，，则，
若，则，所以，即，
若，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
当时，上式也成立，
因此，，
因为10年木材量翻两番，即，
则，又因为，
则，解得，
所以每年砍伐的木材量x的最大值是万.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的应用；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出的值，结合归纳推理的方法得出数列的递推公式.
（2）由（1）中的递推公式和等比数列的定义得出数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求出数列的通项公式，再根据题意列出不等式得出每年砍伐的木材量x的最大值.
（1）依题意，，，
，所以数列的递推公式是.
（2）由（1）知，，，则，
若，则，有，即，
若，则，于是数列是以为首项，为公比的等比数列，
则有，即，当时，上式也成立，
因此，，
因为10年木材量翻两番，即，则，而，
从而，解得，
所以每年砍伐的木材量x的最大值是万.
18．【答案】（1）解：当时，
则，，所以，
所以切线方程为，即.
（2）证明：因为定义域为，
又因为，
因为，所以，
由，解得或；由，解得，
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
所以，，
又因为，，
且当时，；
当时，，
即，所以在上存在唯一零点；
由，所以在上存在唯一零点；
由，所以在上存在唯一零点；
所以在和上均不存在零点，
所以函数有且仅有个零点．
（3）解：由（2）可知的极小值点为，极大值点为，
且，
当时，则，
所以，
解得或，
因为在区间上有最小值，
所以最小值为函数的极小值，
即，解得，
所以的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求出导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，则由点斜式求出切线方程.
（2）利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再结合零点存在性定理证出函数有3个零点.
（3）结合（2）中函数的极小值点和极小值， 令求出所对应的的值，再利用在区间上有最小值，则最小值为函数的极小值，从而得到，解不等式组得出实数a的取值范围.
（1）当时，则，，
所以，
所以切线方程为，即；
（2）因为定义域为，
又，因为，所以，
由，解得或，由，解得；
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
所以，，
又，，
且当时，当时，
即，所以在上存在唯一零点，
由，所以在上存在唯一零点，
由，所以在上存在唯一零点，
所以在和上均不存在零点，
所以函数有且仅有个零点．
（3）由（2）可知的极小值点为，极大值点为，且，
当时，即，则，
解得或，
因为在区间上有最小值，
所以最小值为函数的极小值，即，解得，
所以的取值范围为．
19．【答案】（1）解：，定义域均为，
，
当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；
当时，令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在取极小值，且；
又，
当时：，在单调递减，无极值，与题不符；
当时：令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在取极小值，且；
由题：，解得：.
（2）解：令，因为，所以，
由可得：，
（3）-（2）得：，所以，
要证： ，只要证： ，只要证：
不妨设，所以只要证：，
即证：，令，只要证：，
令， ，
所以在上单调递增，
， 即有成立，所以成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）分别对与 求导，讨论和，得出与 的单调性，即可求出与 的极小值，即可得出答案；
（2） 令 ，由可得，要证 ， 不妨设，所以只要证：， 令，，对求导，得出的单调性，即可证明.
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