广东省广州市第十七中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·广州期中）下列函数求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据基本初等函数的求导公式，从而逐项判断找出函数求导正确的选项.
2．（2024高二下·广州期中）函数在上的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为 ，
令，得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以.
故答案为：A.
【分析】先求导函数，再求与的解集，从而判断出函数的单调性，进而求出函数在上的最大值.
3．（2024高二下·广州期中）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，，.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和递推公式，从而得出数列第五项的值.
4．（2024高二下·广州期中）如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（ ）
A．30 B．40 C．44 D．70
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9，
若选则3个数的和为奇数，则3个数都为奇数，共有种方法，
或是两偶一奇，共有，共有种方法.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9，由已知条件可知3个数都为奇数，或是两偶一奇，再结合组合数公式和分类加法计数原理得出选取的3个数之和为奇数的方法数.
5．（2024高二下·广州期中）函数 在区间 上有最大值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由于 ，故函数在 和 上递增，在 上递减， ，画出函数图象如下图所示，由于函数在区间 上有最大值，根据图像可知 ，即 ，故选D.
【分析】利用导数求得函数的单调区间和极大值，根据区间 上的图像包括且不能高过极大值列不等式组，解不等式组求得 的取值范围.
6．（2024高二下·广州期中）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）.
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：曲线，求导可得，
设点，则，解得，，
则点到直线的最小距离为．
故答案为：A.
【分析】求导求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可.
7．（2024高二下·广州期中）若函数在是增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】由条件知
在
上恒成立，即
在
上恒成立．
∵函数
在
上为减函数，
∴，
∴a≥3．
故答案为：D．
【分析】根据题意知
在
，分类参数问题转化为求
在
上的最值，从而求出a的范围.
8．（2024高二下·广州期中）函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为的定义域为，且，
令，可得，
由题意可知与有2个变号交点，则，
令，解得；令，解得，
可知在内单调递增，在内单调递减，
可得，且当x趋近于0，趋近于，当x趋近于，趋近于0，
可得的图象，如图所示：
由图象可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】先求导，根据函数的极值分析可得与有2个变号交点，再对求导，利用导数判断其单调性，从而得出其最值，结合的图象分析得出实数k的取值范围.
9．（2024高二下·广州期中）下列函数中，存在极值点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】导数的四则运算；函数在某点取得极值的条件；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，，易知，则函数在和上单调递增，没有极值点，故A错误；
B、易知函数在定义域上单调递减，没有极值点，故B错误；
C、函数的定义域为，，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，即当时，函数取得极小值，故C正确；
D、函数的定义域为，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，即当时，函数取得极小值，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值逐项判断即可.
10．（2024高二下·广州期中）丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】对于A，由，得，
则，
因为，所以，
所以此函数是凸函数，故A对；
对于B，由，得，则，
因为，所以，所以此函数是凸函数，故B对；
对于C，由，得，则，
因为，所以，所以此函数是凸函数，故C对；
对于D，由，得，则，
因为，所以，所以此函数不是凸函数，故D错.
故答案为：ABC.
【分析】根据凸函数的定义，再对函数求导，即可根据二阶导数的正负判断各选项，进而找出在上是凸函数的函数.
11．（2024高二下·广州期中）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时；
第2次得到数列1，4，3，5，2，此时；
第3次得到数列1， 5，4，7，3，8，5，7，2，此时；
第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时；
第次得到数列1，，2 此时，
所以，故A正确；
结合选项A中列出的数列可得：
，
用等比数列求和可得，
则，
又因为，
所以，故B正确；
由选项B分析可知，即，故C错误；
因为
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据数列的构造法，先写出前面几次数列的结果，再寻找规律，进行推理运算，即可判断选项A；结合数列递推关系判断出选项B；利用已知条件和数列的通项公式求解方法，则判断出选项C；利用已知条件和数列求和公式，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高二下·广州期中）若数列中，，且，则其前项和 .
【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：依题意，，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则.
故答案为：.
【分析】由题意可知数列是等比数列，从而确定该数列的首项和公比的值，再利用等比数列的求和公式，从而数列的前项和.
13．（2024高二下·广州期中）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种(用数字作答).
【答案】64
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】当学生选修2门时，有种；
当学生选修3门时，选修2门体育1门艺术有种，选修2门艺术1门体育有种。
则共有种。
故答案为：64
【分析】 根据题意分情况讨论，由分类加法原理结合分步乘法原理，即可得出答案。
14．（2024高二下·广州期中）已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为 ．
【答案】3
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵点不在曲线上，设切点坐标为，
又∵，所以，
∴在处的切线方程为，
∵切线过点，
∴，解得，
∴切线斜率为.
故答案为：3．
【分析】设出切点坐标，先求出函数的导数，再利用导数的几何意义和代入法可得切线方程为，根据切线过点，则代入求出的值，则根据导数的几何意义得出该直线斜率．
15．（2024高二下·广州期中）已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，，，．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，，可得，，
即，，，
则，；
（2）解：，可得，
则．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式及等差数列的前项和公式建立方程组求解即可；
（2）由（1）可得，推出，再利用裂项相消求和即可.
16．（2024高二下·广州期中）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在上的最值.
【答案】（1）解：因为，
所以，
由，可得或，
，的变化情况如下：
2
+ 0 0 +
递增 递减 递增
所以函数的单调递增区间为，.
（2）解：由（1）知，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，
又因为，，，，
所以在上的最大值为：，最小值为：-6.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件和导数判断函数的单调性的方法，从而得出函数的单调递增区间.
（2）利用导数先求出函数的极值，再结合与区间端点值比较，即可得出函数在上的最值.
（1）因为．
所以，
由，可得或，
，的变化情况如下：
2
+ 0 0 +
递增 递减 递增
所以函数的单调递增区间为，；
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
所以为极大值点，为极小值点，
又，，，，
所以在上的最大值为：，最小值为：-6.
17．（2024高二下·广州期中）设函数.
（1）若曲线在点处的切线方程是，求a，b的值：
（2）求函数的单调区间及极值
【答案】（1）解：由题意可知：，则，
因为曲线在点处的切线方程是，
则，即，解得.
（2）解：因为，，
当时，；
当时，，
可知函数的单调递增区间为和；
函数的单调递减区间为，
所以，的极大值为，
的极小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，列方程得出a，b的值.
（2）先求导，再利用导数判断原函数的单调性，从而得出函数的单调区间，进而得出函数的极值.
（1）由题意可知：，则
因为曲线在点处的切线方程是，
则，即，解得.
（2）因为，，
当时，；当时，；
可知函数的单调递增区间为和；函数的单调递减区间为，
的极大值为，的极小值为.
18．（2024高二下·广州期中）已知数列的首项，，、、．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，若，求最大正整数；
（3）是否存在互不相等的正整数、、，使、、成等差数列且、、成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
【答案】证明：（1），，
，，数列为等比数列.
解： (2)，
由（1）可求得，，则
因为，所以，数列单调递增，
，，且，
因此，.
解：（3）假设存在，则，，
，，
化简得：，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
又因为、、互不相等，因此，不存在、、满足题意.
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等比数列的定义证出数列为等比数列.
（2）先由（1）得出的表达式，再利用分组求和法可得，再解不等式，即可得出最大正整数的值.
（3）假设存在、、，使、、成等差数列且、、成等比数列，由等比数列的定义化简得出，再。利用基本不等式求最值的方法得出不存在、、满足题意.
19．（2024高二下·广州期中）已知函数．
（1）当时，证明：；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）证明：令，
则，故单调递增，
当时，，故.
（2）解：，
∵，
故原命题等价于，
设，则单调递增，
故，即，
设，为减函数，，
故在单调递增，单调递减，
则，
所以，即，
故的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）构造，利用导数判断出函数的单调性，再由函数的单调性得出函数的最值，从而证出不等式成立.
（2）由变形得，再构造，则根据函数的单调性可得，再变形得出，然后构造，利用导数得出，即可得，则由对数函数的单调性得出实数的取值范围.
（1）令，则，故单调递增，
当时，，故，得证；
（2），
∵，故原命题等价于，
设，则单调递增，故，即，
设，为减函数，，故在单调递增，单调递减，
故，
故，即.
故的取值范围为
1 / 1广东省广州市第十七中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·广州期中）下列函数求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·广州期中）函数在上的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2024高二下·广州期中）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·广州期中）如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（ ）
A．30 B．40 C．44 D．70
5．（2024高二下·广州期中）函数 在区间 上有最大值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·广州期中）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）.
A． B． C．2 D．
7．（2024高二下·广州期中）若函数在是增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·广州期中）函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·广州期中）下列函数中，存在极值点的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·广州期中）丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·广州期中）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高二下·广州期中）若数列中，，且，则其前项和 .
13．（2024高二下·广州期中）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种(用数字作答).
14．（2024高二下·广州期中）已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为 ．
15．（2024高二下·广州期中）已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，，，．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
16．（2024高二下·广州期中）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在上的最值.
17．（2024高二下·广州期中）设函数.
（1）若曲线在点处的切线方程是，求a，b的值：
（2）求函数的单调区间及极值
18．（2024高二下·广州期中）已知数列的首项，，、、．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，若，求最大正整数；
（3）是否存在互不相等的正整数、、，使、、成等差数列且、、成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
19．（2024高二下·广州期中）已知函数．
（1）当时，证明：；
（2）若，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据基本初等函数的求导公式，从而逐项判断找出函数求导正确的选项.
2．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为 ，
令，得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以.
故答案为：A.
【分析】先求导函数，再求与的解集，从而判断出函数的单调性，进而求出函数在上的最大值.
3．【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，，.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和递推公式，从而得出数列第五项的值.
4．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9，
若选则3个数的和为奇数，则3个数都为奇数，共有种方法，
或是两偶一奇，共有，共有种方法.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9，由已知条件可知3个数都为奇数，或是两偶一奇，再结合组合数公式和分类加法计数原理得出选取的3个数之和为奇数的方法数.
5．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由于 ，故函数在 和 上递增，在 上递减， ，画出函数图象如下图所示，由于函数在区间 上有最大值，根据图像可知 ，即 ，故选D.
【分析】利用导数求得函数的单调区间和极大值，根据区间 上的图像包括且不能高过极大值列不等式组，解不等式组求得 的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：曲线，求导可得，
设点，则，解得，，
则点到直线的最小距离为．
故答案为：A.
【分析】求导求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】由条件知
在
上恒成立，即
在
上恒成立．
∵函数
在
上为减函数，
∴，
∴a≥3．
故答案为：D．
【分析】根据题意知
在
，分类参数问题转化为求
在
上的最值，从而求出a的范围.
8．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为的定义域为，且，
令，可得，
由题意可知与有2个变号交点，则，
令，解得；令，解得，
可知在内单调递增，在内单调递减，
可得，且当x趋近于0，趋近于，当x趋近于，趋近于0，
可得的图象，如图所示：
由图象可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】先求导，根据函数的极值分析可得与有2个变号交点，再对求导，利用导数判断其单调性，从而得出其最值，结合的图象分析得出实数k的取值范围.
9．【答案】C,D
【知识点】导数的四则运算；函数在某点取得极值的条件；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，，易知，则函数在和上单调递增，没有极值点，故A错误；
B、易知函数在定义域上单调递减，没有极值点，故B错误；
C、函数的定义域为，，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，即当时，函数取得极小值，故C正确；
D、函数的定义域为，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，即当时，函数取得极小值，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值逐项判断即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】对于A，由，得，
则，
因为，所以，
所以此函数是凸函数，故A对；
对于B，由，得，则，
因为，所以，所以此函数是凸函数，故B对；
对于C，由，得，则，
因为，所以，所以此函数是凸函数，故C对；
对于D，由，得，则，
因为，所以，所以此函数不是凸函数，故D错.
故答案为：ABC.
【分析】根据凸函数的定义，再对函数求导，即可根据二阶导数的正负判断各选项，进而找出在上是凸函数的函数.
11．【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时；
第2次得到数列1，4，3，5，2，此时；
第3次得到数列1， 5，4，7，3，8，5，7，2，此时；
第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时；
第次得到数列1，，2 此时，
所以，故A正确；
结合选项A中列出的数列可得：
，
用等比数列求和可得，
则，
又因为，
所以，故B正确；
由选项B分析可知，即，故C错误；
因为
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据数列的构造法，先写出前面几次数列的结果，再寻找规律，进行推理运算，即可判断选项A；结合数列递推关系判断出选项B；利用已知条件和数列的通项公式求解方法，则判断出选项C；利用已知条件和数列求和公式，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：依题意，，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则.
故答案为：.
【分析】由题意可知数列是等比数列，从而确定该数列的首项和公比的值，再利用等比数列的求和公式，从而数列的前项和.
13．【答案】64
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】当学生选修2门时，有种；
当学生选修3门时，选修2门体育1门艺术有种，选修2门艺术1门体育有种。
则共有种。
故答案为：64
【分析】 根据题意分情况讨论，由分类加法原理结合分步乘法原理，即可得出答案。
14．【答案】3
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵点不在曲线上，设切点坐标为，
又∵，所以，
∴在处的切线方程为，
∵切线过点，
∴，解得，
∴切线斜率为.
故答案为：3．
【分析】设出切点坐标，先求出函数的导数，再利用导数的几何意义和代入法可得切线方程为，根据切线过点，则代入求出的值，则根据导数的几何意义得出该直线斜率．
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，，可得，，
即，，，
则，；
（2）解：，可得，
则．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式及等差数列的前项和公式建立方程组求解即可；
（2）由（1）可得，推出，再利用裂项相消求和即可.
16．【答案】（1）解：因为，
所以，
由，可得或，
，的变化情况如下：
2
+ 0 0 +
递增 递减 递增
所以函数的单调递增区间为，.
（2）解：由（1）知，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，
又因为，，，，
所以在上的最大值为：，最小值为：-6.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件和导数判断函数的单调性的方法，从而得出函数的单调递增区间.
（2）利用导数先求出函数的极值，再结合与区间端点值比较，即可得出函数在上的最值.
（1）因为．
所以，
由，可得或，
，的变化情况如下：
2
+ 0 0 +
递增 递减 递增
所以函数的单调递增区间为，；
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
所以为极大值点，为极小值点，
又，，，，
所以在上的最大值为：，最小值为：-6.
17．【答案】（1）解：由题意可知：，则，
因为曲线在点处的切线方程是，
则，即，解得.
（2）解：因为，，
当时，；
当时，，
可知函数的单调递增区间为和；
函数的单调递减区间为，
所以，的极大值为，
的极小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，列方程得出a，b的值.
（2）先求导，再利用导数判断原函数的单调性，从而得出函数的单调区间，进而得出函数的极值.
（1）由题意可知：，则
因为曲线在点处的切线方程是，
则，即，解得.
（2）因为，，
当时，；当时，；
可知函数的单调递增区间为和；函数的单调递减区间为，
的极大值为，的极小值为.
18．【答案】证明：（1），，
，，数列为等比数列.
解： (2)，
由（1）可求得，，则
因为，所以，数列单调递增，
，，且，
因此，.
解：（3）假设存在，则，，
，，
化简得：，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
又因为、、互不相等，因此，不存在、、满足题意.
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等比数列的定义证出数列为等比数列.
（2）先由（1）得出的表达式，再利用分组求和法可得，再解不等式，即可得出最大正整数的值.
（3）假设存在、、，使、、成等差数列且、、成等比数列，由等比数列的定义化简得出，再。利用基本不等式求最值的方法得出不存在、、满足题意.
19．【答案】（1）证明：令，
则，故单调递增，
当时，，故.
（2）解：，
∵，
故原命题等价于，
设，则单调递增，
故，即，
设，为减函数，，
故在单调递增，单调递减，
则，
所以，即，
故的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）构造，利用导数判断出函数的单调性，再由函数的单调性得出函数的最值，从而证出不等式成立.
（2）由变形得，再构造，则根据函数的单调性可得，再变形得出，然后构造，利用导数得出，即可得，则由对数函数的单调性得出实数的取值范围.
（1）令，则，故单调递增，
当时，，故，得证；
（2），
∵，故原命题等价于，
设，则单调递增，故，即，
设，为减函数，，故在单调递增，单调递减，
故，
故，即.
故的取值范围为
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