广东省六校联考2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高二下·广东期中）已知函数，则函数的导函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：因为，，
所以，由复合函数的求导法则，得.
故选答案为：D.
【分析】利用复合函数的求导法则，即可得出函数的导函数.
2．（2024高二下·广东期中）已知随机变量.若，设事件“”，事件“”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：根据题意，，，
所以，则，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性和概率之和等于1，从而得出的值，再由条件概率公式得出的值.
3．（2024高二下·广东期中）已知数列的前n项和，将依原顺序按照第n组有项的要求分组，则2024所在的组数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，当时，，
当时，符合，
所以，则由得，
将依原顺序按照第n组有项的要求分组，
故第一组项，第二组项，第三组项，，第组有项，
故前组共有，
又因为，
故2024所在的组数为.
故答案为：B.
【分析】先求出数列的通项公式，从而得到2024在数列中的项数，根据第n组有项和等比数列前n项和公式求出前组所含项数，再结合得出即2024所在的组数.
4．（2024高二下·广东期中）现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（ ）
A．216 B．432 C．864 D．1296
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有种方法，
再把4名语文教师按分成3组，并分配到三所学校，有种方法，
最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有种方法，
由分步乘法计数原理得不同的安排种数为.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件结合分步乘法计数原理，再结合分组分配的方法和组合数公式、排列数公式，从而列式计算得出不同的安排种数.
5．（2024高二下·广东期中）过点作曲线的两条切线，.设，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；两角和与差的正切公式；直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为两条切线，的倾斜角分别为，，
根据题意，，
若点是切点时，切线斜率为，
若点是切点（点不重合），则，
由，解得（舍去），
所以直线斜率为，
则．
故答案为：C．
【分析】先求出两条切线的斜率，再由两直线的夹角公式得出夹角的正切值．
6．（2024高二下·广东期中）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；二项分布
【解析】【解答】解：设该质点向右移动的次数为，
则，，
又因为，
所以的可能取值为，
所以
.
故答案为：D．
【分析】由题意，设该质点向右移动的次数为，则，所以，再根据二项分布的概率公式，从而计算得出的值.
7．（2024高二下·广东期中）已知数列的前项和为，，且（且），若，则（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
【答案】A
【知识点】数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：当时，，
则，
所以，即，
因此数列是常数列，，即，
由，得，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知的递推关系结合变形，再构造常数列求出，从而由和代入计算得出k的值.
8．（2024高二下·广东期中）已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由得，即 ，
令，，则，
所以在上单调递增，
又因为等价于，
∴，即，
令，，则，
所以在时，，单调递增；
在时，，单调递减，
所以最大值为，∴．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件将不等式变形为，根据的单调性得出，再结合常数分离法求出的取值范围.
9．（2024高二下·广东期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台车床加工的零件数的比为5：6：9，加工出来的零件混放在一起，第1、2、3台车床加工的次品率分别为6%，5%，4%.现从三台车床加工的零件中任取一个，则（ ）
A．该零件由第1台车床加工的概率为0.25
B．该零件为次品的概率为0.048
C．若该零件为次品，则其由第2台车床加工的概率为
D．若该零件为次品，则其由第3台车床加工的概率最大
【答案】A,B,D
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设事件B为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，
则，且两两互斥，根据题意得，
，
由全概率公式，
得
，
所以选项A正确、选项B正确；
“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，
就是计算在件B发生的条件下，事件发生的概率，
所以，
同理可得，，
所以若该零件为次品，则其由第3台车床加工的概率最大，
所以选项C错误、选项D正确．
故答案为：ABD．
【分析】设事件B为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，则，且两两互斥，从而求出和的值，再由全概率公式得出的值，则可判断选项A和选项B；“求次品为第1台车床所加工的概率”就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率，则由条件概率公式计算出的值，则可判断选项C和选项D，从而找出正确的选项.
10．（2024高二下·广东期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．使得成立的最大正整数
C．
D．中最小项为
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列与不等式的综合；等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：A、 等差数列 的前项和，满足，则，即，即，由，，则，故A正确；
B、，，则使得成立的最大正整数，故B错误；
C、由A选项可知：，则，
即，
即，故C正确；
D、由于，
则当时，，当时，，当时，，当时，，
故当时，，当时，，当时，，
由，，可得，
由不等式的同向可乘性可得，，故，
故中最小项为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意可得，，从而推出，即可判断A；由等差数列的求和公式得，即可判断B；，从而得到即可判断C ；由，得当时，，当时，，当时，，并得到即可判断D.
11．（2024高二下·广东期中）已知函数及其导函数的定义域都为，对于任意的，都有成立，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．若，则
C．为偶函数
D．若，则
【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：令，则，解得或，故A错误；
令，，所以，
令，，则，解得，故B正确；
当时，令，则，
所以，，
当，令，则，
所以，所以，所以为奇函数，
综上所述，为奇函数，故C错误；
令，则，
所以，故D正确．
故答案为：BD．
【分析】根据题意结合特殊值检验方法和奇函数的定义，则根据排除法逐项判断找出说法正确的选项.
12．（2024高二下·广东期中）在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 .（用数字作答）
【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：由于的展开式只有第项的二项式系数最大，
则展开式中共有项，故，解得，
所以，的展开式通项为，
令，解得，所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件求出的值，再写出二项展开式的通项，从而得出展开式中的系数.
13．（2024高二下·广东期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数，求导得，
由函数在上单调递增，得，，
又因为函数在上的最小值为，因此，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先求出导导数，结合已知条件可得，再由函数在上的最小值和函数不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
14．（2024高二下·广东期中）在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数的个数记为.表示不超过x的最大整数，令，则 .
【答案】500
【知识点】数列的求和；二项式定理的应用；反证法与放缩法
【解析】【解答】解：因为在不大于的所有正整数中，能被2整除的数有个，
能被3整除的数有个，能被6整除的数有个，
所以，
当时，，则；
当时，，
则当时，，
因为，所以，
则，所以，
所以.
故答案为：500.
【分析】先求出在不大于的所有正整数中，能被2，3，6整除的数的个数，从而得到，进而得到，当时，结合数列求和的方法以及，从而得出，进而求和得出的值.
15．（2024高二下·广东期中）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图判断，与（其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型 （给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程；
附：回归方程中，.
参考数据
5215 2347.3 33.6 27 81.3 3.6
（2）现在有10根棉花纤维，其中有6根为长纤维，4根为短纤维，从中随机抽取3根棉花纤维，设抽到的长纤维棉花的根数为X，求X的分布列.
【答案】（1）解：根据散点图的形状，判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型，
将，两边取对数可得：，
由题意可得：，则，
即关于的线性回归方程为，
故关于的回归方程为；
（2）解：X的可能值为，
，
，
则X的分布列为：
0 1 2 3
【知识点】回归分析的初步应用；离散型随机变量及其分布列；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据散点图的形状，判断回归方程类型；将两边取对数，转化为线性回归方程，结合已知条件求解即可.
（2）先求X的可能值，以及各个值对应的概率，再列分布列即可.
（1）根据散点图的形状，判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型，
将两边同时取自然对数，得，
依题意，，，
因此，则，
于是z关于x的线性回归方程为，
所以y关于x的回归方程为.
（2）依题意，X的可能值为，
，
，
所以X的分布列为：
0 1 2 3
16．（2024高二下·广东期中）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
令，得，
，和的关系，如下表所示，
0
单调递减 极小值 单调递增
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）解：因为不等式恒成立，即恒成立，
即，恒成立，所以，，
设，，
，其中，
设，，
所以在单调递增，
因为，，
所以存在，使得，则，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，函数取得最小值，
由，可得，
所以，所以.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的极值.
（2）先将不等式化简为恒成立，利用参变分离转化为函数最值的问题，再根据不等式恒成立问题求解方法得出实数m的取值范围.
（1），令，得，
，和的关系，如下表所示，
0
单调递减 极小值 单调递增
所以函数的极小值为，无极大值；
（2）不等式恒成立，即恒成立，
即，，恒成立，所以，，
设，，
，其中，
设，，所以在单调递增，
因为，，所以存在，使，即，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
由，可得，所以，
所以.
17．（2024高二下·广东期中）英国物理学家牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，具体做法如下：先在x轴找初始点，然后作在点处的切线，切线与x轴交于点，再作在点处的切线，切线与x轴交于点，再作在点处的切线，以此类推，直到求得满足精度的近似解为止.
已知，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值.
（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：因为函数，求导得，
则图象在点处的切线方程为：，
令，得，
又因为，因此，数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以.
（2）解：令，
，
则，
两式相减得：
，
整理得，
由，得，
化简得，
令，则，
当时，，即；
当时，，即，
所以 ，
则整数.
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）先根据导数的几何意义得出切线的斜率，结合点斜式得出切线方程，再令得到数列的递推公式，则根据等比数列的定义判断出数列是首项为1，公比为的等比数列，最后由等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）可知，，利用错位相减法求出数列的前项和，再代入不等式进行参变分离得出，则转化为作差法判断出数列的单调性，从而求出数列的最大值，进而得出整数的最小值.
（1）函数，求导得，
则图象在点处的切线方程为：，
令，得，而，因此是首项为1，公比为的等比数列，
所以.
（2）令，
，
于是，
两式相减得：，
整理得，由，得，
化简得，令，则，
当时，，即，
当时，，即，
所以
从而整数；
18．（2024高二下·广东期中）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.
（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.
①求的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
【答案】解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；
②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，
故；
若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，
故；
（2）①由题可知：，
当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，即；
②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，即购买甲系列的人数的期望为，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【知识点】二项分布；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）计算一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，利用排列与组合计算当集齐，，玩偶的所有情况总数，然后得到；利用正难则反思想，再利用计算即可；
（2）①由题意可得，当时，，利用构造法求出数列的通项公式；②假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则根据题意可知，利用二项分布数学期望的计算公式得出购买甲的人数，根据一天中购买甲、乙的人数确定每天应准备甲、乙两种盲盒的个数.
19．（2024高二下·广东期中）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数有两个不同的零点，
（i）求实数的取值范围：
（ⅱ）若满足，求实数的最大值.
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，解得，由，解得，
则数在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）解：（ⅰ）令，则，令定义域为，，
当时，解得，当时，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，且，
当时，恒成立，且，
因为函数有两个零点，所以方程有两个不等的正根，即直线与的图象有两个公共点，
则，即，故实数的取值范围是；
（ⅱ）由，得，且，
不妨设，将代入，
得，即，
令，求导得，令，
求导得，则函数在上单调递减，
有，即，函数在上单调递减，
由，得，则，
因此函数在上单调递减，即，
于是，有，则，
又，令，，
由（ⅰ）知，在上递增，而，因此在上递增，
则，即，解得，
所以a的最大值是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，分和判断函数的单调性即可；
（2）（ⅰ）分离参数可得，令，求导，利用导数研究函数的单调性，求极值，数形结合求解即可；
（ⅱ）由已知，设，可得，设，利用导数研究函数的单调性，可求得，再利用的单调性可求得，进而求得结果.
（1）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的递增区间是，无递减区间；
当时，的递增区间是，递减区间是.
（2）（ⅰ）由，得，令，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，恒成立，且，
由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点，
因此，即，
所以实数的取值范围是.
（ⅱ）由，得，且，
不妨设，将代入，
得，即，
令，求导得，令，
求导得，则函数在上单调递减，
有，即，函数在上单调递减，
由，得，则，
因此函数在上单调递减，即，
于是，有，则，
又，令，，
由（ⅰ）知，在上递增，而，因此在上递增，
则，即，解得，
所以a的最大值是.
1 / 1广东省六校联考2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高二下·广东期中）已知函数，则函数的导函数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·广东期中）已知随机变量.若，设事件“”，事件“”，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·广东期中）已知数列的前n项和，将依原顺序按照第n组有项的要求分组，则2024所在的组数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2024高二下·广东期中）现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（ ）
A．216 B．432 C．864 D．1296
5．（2024高二下·广东期中）过点作曲线的两条切线，.设，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·广东期中）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·广东期中）已知数列的前项和为，，且（且），若，则（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
8．（2024高二下·广东期中）已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·广东期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台车床加工的零件数的比为5：6：9，加工出来的零件混放在一起，第1、2、3台车床加工的次品率分别为6%，5%，4%.现从三台车床加工的零件中任取一个，则（ ）
A．该零件由第1台车床加工的概率为0.25
B．该零件为次品的概率为0.048
C．若该零件为次品，则其由第2台车床加工的概率为
D．若该零件为次品，则其由第3台车床加工的概率最大
10．（2024高二下·广东期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．使得成立的最大正整数
C．
D．中最小项为
11．（2024高二下·广东期中）已知函数及其导函数的定义域都为，对于任意的，都有成立，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．若，则
C．为偶函数
D．若，则
12．（2024高二下·广东期中）在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 .（用数字作答）
13．（2024高二下·广东期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 .
14．（2024高二下·广东期中）在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数的个数记为.表示不超过x的最大整数，令，则 .
15．（2024高二下·广东期中）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图判断，与（其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型 （给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程；
附：回归方程中，.
参考数据
5215 2347.3 33.6 27 81.3 3.6
（2）现在有10根棉花纤维，其中有6根为长纤维，4根为短纤维，从中随机抽取3根棉花纤维，设抽到的长纤维棉花的根数为X，求X的分布列.
16．（2024高二下·广东期中）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
17．（2024高二下·广东期中）英国物理学家牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，具体做法如下：先在x轴找初始点，然后作在点处的切线，切线与x轴交于点，再作在点处的切线，切线与x轴交于点，再作在点处的切线，以此类推，直到求得满足精度的近似解为止.
已知，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值.
（参考数据：，，，）
18．（2024高二下·广东期中）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.
（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.
①求的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
19．（2024高二下·广东期中）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数有两个不同的零点，
（i）求实数的取值范围：
（ⅱ）若满足，求实数的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：因为，，
所以，由复合函数的求导法则，得.
故选答案为：D.
【分析】利用复合函数的求导法则，即可得出函数的导函数.
2．【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：根据题意，，，
所以，则，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性和概率之和等于1，从而得出的值，再由条件概率公式得出的值.
3．【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，当时，，
当时，符合，
所以，则由得，
将依原顺序按照第n组有项的要求分组，
故第一组项，第二组项，第三组项，，第组有项，
故前组共有，
又因为，
故2024所在的组数为.
故答案为：B.
【分析】先求出数列的通项公式，从而得到2024在数列中的项数，根据第n组有项和等比数列前n项和公式求出前组所含项数，再结合得出即2024所在的组数.
4．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有种方法，
再把4名语文教师按分成3组，并分配到三所学校，有种方法，
最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有种方法，
由分步乘法计数原理得不同的安排种数为.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件结合分步乘法计数原理，再结合分组分配的方法和组合数公式、排列数公式，从而列式计算得出不同的安排种数.
5．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；两角和与差的正切公式；直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为两条切线，的倾斜角分别为，，
根据题意，，
若点是切点时，切线斜率为，
若点是切点（点不重合），则，
由，解得（舍去），
所以直线斜率为，
则．
故答案为：C．
【分析】先求出两条切线的斜率，再由两直线的夹角公式得出夹角的正切值．
6．【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；二项分布
【解析】【解答】解：设该质点向右移动的次数为，
则，，
又因为，
所以的可能取值为，
所以
.
故答案为：D．
【分析】由题意，设该质点向右移动的次数为，则，所以，再根据二项分布的概率公式，从而计算得出的值.
7．【答案】A
【知识点】数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：当时，，
则，
所以，即，
因此数列是常数列，，即，
由，得，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知的递推关系结合变形，再构造常数列求出，从而由和代入计算得出k的值.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由得，即 ，
令，，则，
所以在上单调递增，
又因为等价于，
∴，即，
令，，则，
所以在时，，单调递增；
在时，，单调递减，
所以最大值为，∴．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件将不等式变形为，根据的单调性得出，再结合常数分离法求出的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设事件B为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，
则，且两两互斥，根据题意得，
，
由全概率公式，
得
，
所以选项A正确、选项B正确；
“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，
就是计算在件B发生的条件下，事件发生的概率，
所以，
同理可得，，
所以若该零件为次品，则其由第3台车床加工的概率最大，
所以选项C错误、选项D正确．
故答案为：ABD．
【分析】设事件B为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，则，且两两互斥，从而求出和的值，再由全概率公式得出的值，则可判断选项A和选项B；“求次品为第1台车床所加工的概率”就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率，则由条件概率公式计算出的值，则可判断选项C和选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列与不等式的综合；等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：A、 等差数列 的前项和，满足，则，即，即，由，，则，故A正确；
B、，，则使得成立的最大正整数，故B错误；
C、由A选项可知：，则，
即，
即，故C正确；
D、由于，
则当时，，当时，，当时，，当时，，
故当时，，当时，，当时，，
由，，可得，
由不等式的同向可乘性可得，，故，
故中最小项为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意可得，，从而推出，即可判断A；由等差数列的求和公式得，即可判断B；，从而得到即可判断C ；由，得当时，，当时，，当时，，并得到即可判断D.
11．【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：令，则，解得或，故A错误；
令，，所以，
令，，则，解得，故B正确；
当时，令，则，
所以，，
当，令，则，
所以，所以，所以为奇函数，
综上所述，为奇函数，故C错误；
令，则，
所以，故D正确．
故答案为：BD．
【分析】根据题意结合特殊值检验方法和奇函数的定义，则根据排除法逐项判断找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：由于的展开式只有第项的二项式系数最大，
则展开式中共有项，故，解得，
所以，的展开式通项为，
令，解得，所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件求出的值，再写出二项展开式的通项，从而得出展开式中的系数.
13．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数，求导得，
由函数在上单调递增，得，，
又因为函数在上的最小值为，因此，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先求出导导数，结合已知条件可得，再由函数在上的最小值和函数不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
14．【答案】500
【知识点】数列的求和；二项式定理的应用；反证法与放缩法
【解析】【解答】解：因为在不大于的所有正整数中，能被2整除的数有个，
能被3整除的数有个，能被6整除的数有个，
所以，
当时，，则；
当时，，
则当时，，
因为，所以，
则，所以，
所以.
故答案为：500.
【分析】先求出在不大于的所有正整数中，能被2，3，6整除的数的个数，从而得到，进而得到，当时，结合数列求和的方法以及，从而得出，进而求和得出的值.
15．【答案】（1）解：根据散点图的形状，判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型，
将，两边取对数可得：，
由题意可得：，则，
即关于的线性回归方程为，
故关于的回归方程为；
（2）解：X的可能值为，
，
，
则X的分布列为：
0 1 2 3
【知识点】回归分析的初步应用；离散型随机变量及其分布列；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据散点图的形状，判断回归方程类型；将两边取对数，转化为线性回归方程，结合已知条件求解即可.
（2）先求X的可能值，以及各个值对应的概率，再列分布列即可.
（1）根据散点图的形状，判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型，
将两边同时取自然对数，得，
依题意，，，
因此，则，
于是z关于x的线性回归方程为，
所以y关于x的回归方程为.
（2）依题意，X的可能值为，
，
，
所以X的分布列为：
0 1 2 3
16．【答案】（1）解：因为，
令，得，
，和的关系，如下表所示，
0
单调递减 极小值 单调递增
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）解：因为不等式恒成立，即恒成立，
即，恒成立，所以，，
设，，
，其中，
设，，
所以在单调递增，
因为，，
所以存在，使得，则，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，函数取得最小值，
由，可得，
所以，所以.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的极值.
（2）先将不等式化简为恒成立，利用参变分离转化为函数最值的问题，再根据不等式恒成立问题求解方法得出实数m的取值范围.
（1），令，得，
，和的关系，如下表所示，
0
单调递减 极小值 单调递增
所以函数的极小值为，无极大值；
（2）不等式恒成立，即恒成立，
即，，恒成立，所以，，
设，，
，其中，
设，，所以在单调递增，
因为，，所以存在，使，即，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
由，可得，所以，
所以.
17．【答案】（1）解：因为函数，求导得，
则图象在点处的切线方程为：，
令，得，
又因为，因此，数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以.
（2）解：令，
，
则，
两式相减得：
，
整理得，
由，得，
化简得，
令，则，
当时，，即；
当时，，即，
所以 ，
则整数.
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）先根据导数的几何意义得出切线的斜率，结合点斜式得出切线方程，再令得到数列的递推公式，则根据等比数列的定义判断出数列是首项为1，公比为的等比数列，最后由等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）可知，，利用错位相减法求出数列的前项和，再代入不等式进行参变分离得出，则转化为作差法判断出数列的单调性，从而求出数列的最大值，进而得出整数的最小值.
（1）函数，求导得，
则图象在点处的切线方程为：，
令，得，而，因此是首项为1，公比为的等比数列，
所以.
（2）令，
，
于是，
两式相减得：，
整理得，由，得，
化简得，令，则，
当时，，即，
当时，，即，
所以
从而整数；
18．【答案】解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；
②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，
故；
若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，
故；
（2）①由题可知：，
当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，即；
②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，即购买甲系列的人数的期望为，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【知识点】二项分布；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）计算一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，利用排列与组合计算当集齐，，玩偶的所有情况总数，然后得到；利用正难则反思想，再利用计算即可；
（2）①由题意可得，当时，，利用构造法求出数列的通项公式；②假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则根据题意可知，利用二项分布数学期望的计算公式得出购买甲的人数，根据一天中购买甲、乙的人数确定每天应准备甲、乙两种盲盒的个数.
19．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，解得，由，解得，
则数在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）解：（ⅰ）令，则，令定义域为，，
当时，解得，当时，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，且，
当时，恒成立，且，
因为函数有两个零点，所以方程有两个不等的正根，即直线与的图象有两个公共点，
则，即，故实数的取值范围是；
（ⅱ）由，得，且，
不妨设，将代入，
得，即，
令，求导得，令，
求导得，则函数在上单调递减，
有，即，函数在上单调递减，
由，得，则，
因此函数在上单调递减，即，
于是，有，则，
又，令，，
由（ⅰ）知，在上递增，而，因此在上递增，
则，即，解得，
所以a的最大值是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，分和判断函数的单调性即可；
（2）（ⅰ）分离参数可得，令，求导，利用导数研究函数的单调性，求极值，数形结合求解即可；
（ⅱ）由已知，设，可得，设，利用导数研究函数的单调性，可求得，再利用的单调性可求得，进而求得结果.
（1）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的递增区间是，无递减区间；
当时，的递增区间是，递减区间是.
（2）（ⅰ）由，得，令，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，恒成立，且，
由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点，
因此，即，
所以实数的取值范围是.
（ⅱ）由，得，且，
不妨设，将代入，
得，即，
令，求导得，令，
求导得，则函数在上单调递减，
有，即，函数在上单调递减，
由，得，则，
因此函数在上单调递减，即，
于是，有，则，
又，令，，
由（ⅰ）知，在上递增，而，因此在上递增，
则，即，解得，
所以a的最大值是.
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