云南省曲靖市会泽县东陆高级中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·会泽期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式，即，解得，
即集合，因为集合，所以.
故答案为：B.
【分析】先解不等式求得集合，根据集合的交集运算求即可.
2．（2024高二下·会泽期中）现南京有4个家庭准备在2023年五一小长假期间选择吉林 白山 四平三个城市中的一个城市旅游，则这4个家庭共有多少种不同的安排方法（ ）
A．24种 B．6种 C．64种 D．81种
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】利用乘法原理，第一个家庭有三种选择方式 第二个家庭有三种选择方式 第三个家庭有三种选择方式 第四个家庭有三种选择方式，共计有种.
故选：D.
【分析】运用分步乘法原理可解．第一步求出每个家庭共有几种选择方式，第二步利用乘法原理，将四个家庭的选择方式数目相乘，即可求得不同安排方法数目
3．（2024高二下·会泽期中）智力竞赛决赛由A，B两队进行比赛，A队有甲、乙两名队员，某一道题由甲、乙两名队员共同解答，甲答对的概率为，乙答对的概率为，则此题A队答对的概率是（至少一人答对即可）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】该题甲答对的概率为，乙答对的概率为，甲、乙答不出的概率分别为，，A队答不出的概率为，故A队答出的概率为.
故选：A.
【分析】先根据独立事件的概率是概率的乘积，求出A队答不出的概率，然后根据对立事件求得Ａ队答出的概率
4．（2024高二下·会泽期中）双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：双曲线：的渐近线为，取渐近线为，则圆心到渐近线的距离为，故弦长为.
故答案为：D.
【分析】由题意，先求双曲线的渐近线，再根据点到直线的距离求圆心到直线的距离，再根据勾股定理求弦长即可.
5．（2024高二下·会泽期中）对任意实数，有，则的值为（ ）
A． B． C．22 D．30
【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：易知，
因为，
所以，，则.
故答案为：B.
【分析】易知，利用二项式定理求解即可.
6．（2024高二下·会泽期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为，
所以，即，
则．
故选：A.
【分析】根据和角差角公式展开原题中的已知条件，得到，代入所求式子计算即可．
7．（2024高二下·会泽期中）如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的概念；空间向量的加减法
【解析】【解答】根据题意，得；
故选：A
【分析】根据空间向量的线性运算对已知向量进行多个向量的加和，再根据向量的平行可替换性将已知向量替换为题目中所求向量，最后统一向量前的系数即为所求．
8．（2024高二下·会泽期中）已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，则，所以在R上单调递增，
由，得，即，
又在R上单调递增，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：A.
【分析】由函数满足，构造函数，得出在定义域内的单调性，将所求不等式化为求得的构造函数，根据构造函数的单调性，解不等式即可.
9．（2024高二下·会泽期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
【答案】A,B,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；分步乘法计数原理；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】A：6门中选2门共有种选法，故A正确；
B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确；
C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；
D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误.
故选：ABC.
【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法与分步乘法计数计算，将＂乐＂与＂射＂进行捆绑为一个整体，然后放入整体中进行全排列；C选项，利用插空法与分步乘法计数计算，将不相邻的三门课程进行插空排序，然后分别进行全排列后相乘；D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算并进行相加.
10．（2024高二下·会泽期中）设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）．
A．数列是递增数列 B．
C． D．，，…，中最大的是
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的性质；等差数列的实际应用
【解析】【解答】对于A、C：因为，
且，
所以，，又因为，
所以，解得；
所以等差数列是递减数列，
即选项A错误，选项C正确；
对于B：因为，所以，
即选项C正确；
对于选项D：因为等差数列是递减数列，
且，，则，
所以，
即选项D正确.
故选：BCD.
【分析】由，，，进行等差数列求和，并结合等差数列的性质可求得，，再利用等差数列的通项公式得到关于的不等式组进行求解，可得出公差ｄ的取值范围，即可判定选项A错误、选项C正确；利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到判定选项B正确；利用及等差数列求和性质判定选项D正确.
11．（2024高二下·会泽期中）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的解析式
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．不等式的解集为，
【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；五点法画三角函数的图象
【解析】【解答】对于A，由图知函数的最小正周期，所以，
所以，将点代入，得，
所以，解得，
又，所以，所以，故A正确；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，当时，，
当时，取得最小值，所以在区间上不单调递增，故C错误；
对于D，由，得，所以，，
解得，，故D正确．
故选：ABD．
【分析】由图象结合五点法及题目中的已知范围求得函数解析式，，，可得，代入，可得然后结合图像根据正弦函数的性质，，B正确，在区间不单调递增，C错误；由，得，解得，，故D正确．
12．（2024高二下·会泽期中）已知复数满足（为虚数单位），则 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】因为，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】利用复数的除法运算化简 ，进而求得 .
13．（2024高二下·会泽期中）某游泳队共有20名队员，其中一级队员有10名，二级队员有5名，三级队员有5名，若一 二 三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】设表示选到级队员的事件，表示任选一名队员通过选拔进入比赛的事件，
则，
，
所以
．
故答案为：.
【分析】先分别求出各级队员被选到的概率，再结合题意中所给出的条件概率，根据全概率公式结合题意，即可求解.
14．（2024高二下·会泽期中）已知抛物线：，为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且直线，斜率之积为，则点到直线的最大距离为 .
【答案】1
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线：，，，
则，
所以，，，，
所以，，所以，，
则直线：，直线恒过点，则点到直线的最大距离为1.
故填：1.
【分析】利用已知条件，设出直线的方程和点A和点B的坐标，再联立直线与抛物线方程结合韦达定理和两点求斜率公式，从而表示出，解方程得出n的值，进而得出直线：，再运用直线恒过定点的性质和几何法，从而得出点到直线的最大距离.
15．（2024高二下·会泽期中）已知有9本不同的书.
（1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）
【答案】（1）解：6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.
（2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）根据平均分堆，结合排列组合求解即可；
（2）根据不平均分堆，结合排列组合求解即可.
16．（2024高二下·会泽期中）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，证明：数列的前n项和.
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
由，，成等差数列知，，
即，
所以，有，即或.
①当时，，不合题意；
②当时，，得，
所以等比数列的通项公式；
（2）证明：由（1）知，
所以，
所以数列的前n项和，
由，可得.
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合；等比数列的实际应用
【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，由，，成等差数列和，列方程组求出和，并进行取舍验证，可得数列的通项公式；
（2）由（1）中所求的的通项公式对进行化简可求得，裂项相消求得，由，可得得证.
17．（2024高二下·会泽期中）为迎接年美国数学竞赛，选手们正在刻苦磨练，积极备战，假设模拟考试成绩从低到高分为、、三个等级，某选手一次模拟考试所得成绩等级的分布列如下：
现进行两次模拟考试，且两次互不影响，该选手两次模拟考试中成绩的最高等级记为．
（1）求此选手两次成绩的等级不相同的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：此选手连续两次成绩的等级相同的概率为，
此选手两次成绩的等级不相同的概率为.
（2）解：由题意可知，的所有可能取值为、、，
，
，
．
的分布列为
则数学期望．
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【分析】（1）计算出该选手连续两次成绩的等级相同的概率，利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量的可能取值及概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
18．（2024高二下·会泽期中）已知函数，.
（1）若函数在上单调递增，求的最小值；
（2）若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1）解：由已知可得，则，
因函数在上单调递增，
所以对任意的恒成立，
又因为函数在上为增函数，
则，解得，故实数的最小值为.
（2）解：，令，可得，
因为函数的图象与有且只有一个交点，
令，则函数的图象与直线只有一个公共点，
则，令，解得或，令，解得，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为，极小值为，
的图象如下所示：
由图可知，当或时，函数的图象与直线只有一个公共点，
因此，实数的取值范围是.
【知识点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）分析可知，对任意的恒成立，分析函数在上的单调性，根据可求得实数的取值范围，即可得解；
（2）令可得，设，分析可知，函数的图象与直线只有一个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合求与可的图像得出实数的取值范围.
19．（2024高二下·会泽期中）已知椭圆的离心率为，且过点．圆的圆心为是椭圆上的动点，过原点作圆两条斜率存在的切线，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线，的斜率分别为，，求的值．
【答案】（1）解：
依题意，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设过原点的圆的切线方程为，即，
则，两边平方并化简得，
其两根满足，
是椭圆上的点，所以.
.
即的值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式和代入法，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出椭圆 的标准方程。
（2） 设过原点的圆的切线斜截式方程为，再转化为切线的一般式方程，再结合点到直线的距离公式和韦达定理得出， 再利用点是椭圆上的点结合代入法，所以，从而代入得出的值。
1 / 1云南省曲靖市会泽县东陆高级中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·会泽期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·会泽期中）现南京有4个家庭准备在2023年五一小长假期间选择吉林 白山 四平三个城市中的一个城市旅游，则这4个家庭共有多少种不同的安排方法（ ）
A．24种 B．6种 C．64种 D．81种
3．（2024高二下·会泽期中）智力竞赛决赛由A，B两队进行比赛，A队有甲、乙两名队员，某一道题由甲、乙两名队员共同解答，甲答对的概率为，乙答对的概率为，则此题A队答对的概率是（至少一人答对即可）（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·会泽期中）双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．（2024高二下·会泽期中）对任意实数，有，则的值为（ ）
A． B． C．22 D．30
6．（2024高二下·会泽期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·会泽期中）如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·会泽期中）已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·会泽期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
10．（2024高二下·会泽期中）设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）．
A．数列是递增数列 B．
C． D．，，…，中最大的是
11．（2024高二下·会泽期中）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的解析式
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．不等式的解集为，
12．（2024高二下·会泽期中）已知复数满足（为虚数单位），则 .
13．（2024高二下·会泽期中）某游泳队共有20名队员，其中一级队员有10名，二级队员有5名，三级队员有5名，若一 二 三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为 ．
14．（2024高二下·会泽期中）已知抛物线：，为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且直线，斜率之积为，则点到直线的最大距离为 .
15．（2024高二下·会泽期中）已知有9本不同的书.
（1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）
16．（2024高二下·会泽期中）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，证明：数列的前n项和.
17．（2024高二下·会泽期中）为迎接年美国数学竞赛，选手们正在刻苦磨练，积极备战，假设模拟考试成绩从低到高分为、、三个等级，某选手一次模拟考试所得成绩等级的分布列如下：
现进行两次模拟考试，且两次互不影响，该选手两次模拟考试中成绩的最高等级记为．
（1）求此选手两次成绩的等级不相同的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
18．（2024高二下·会泽期中）已知函数，.
（1）若函数在上单调递增，求的最小值；
（2）若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
19．（2024高二下·会泽期中）已知椭圆的离心率为，且过点．圆的圆心为是椭圆上的动点，过原点作圆两条斜率存在的切线，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线，的斜率分别为，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式，即，解得，
即集合，因为集合，所以.
故答案为：B.
【分析】先解不等式求得集合，根据集合的交集运算求即可.
2．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】利用乘法原理，第一个家庭有三种选择方式 第二个家庭有三种选择方式 第三个家庭有三种选择方式 第四个家庭有三种选择方式，共计有种.
故选：D.
【分析】运用分步乘法原理可解．第一步求出每个家庭共有几种选择方式，第二步利用乘法原理，将四个家庭的选择方式数目相乘，即可求得不同安排方法数目
3．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】该题甲答对的概率为，乙答对的概率为，甲、乙答不出的概率分别为，，A队答不出的概率为，故A队答出的概率为.
故选：A.
【分析】先根据独立事件的概率是概率的乘积，求出A队答不出的概率，然后根据对立事件求得Ａ队答出的概率
4．【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：双曲线：的渐近线为，取渐近线为，则圆心到渐近线的距离为，故弦长为.
故答案为：D.
【分析】由题意，先求双曲线的渐近线，再根据点到直线的距离求圆心到直线的距离，再根据勾股定理求弦长即可.
5．【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：易知，
因为，
所以，，则.
故答案为：B.
【分析】易知，利用二项式定理求解即可.
6．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为，
所以，即，
则．
故选：A.
【分析】根据和角差角公式展开原题中的已知条件，得到，代入所求式子计算即可．
7．【答案】A
【知识点】空间向量的概念；空间向量的加减法
【解析】【解答】根据题意，得；
故选：A
【分析】根据空间向量的线性运算对已知向量进行多个向量的加和，再根据向量的平行可替换性将已知向量替换为题目中所求向量，最后统一向量前的系数即为所求．
8．【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，则，所以在R上单调递增，
由，得，即，
又在R上单调递增，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：A.
【分析】由函数满足，构造函数，得出在定义域内的单调性，将所求不等式化为求得的构造函数，根据构造函数的单调性，解不等式即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；分步乘法计数原理；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】A：6门中选2门共有种选法，故A正确；
B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确；
C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；
D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误.
故选：ABC.
【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法与分步乘法计数计算，将＂乐＂与＂射＂进行捆绑为一个整体，然后放入整体中进行全排列；C选项，利用插空法与分步乘法计数计算，将不相邻的三门课程进行插空排序，然后分别进行全排列后相乘；D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算并进行相加.
10．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的性质；等差数列的实际应用
【解析】【解答】对于A、C：因为，
且，
所以，，又因为，
所以，解得；
所以等差数列是递减数列，
即选项A错误，选项C正确；
对于B：因为，所以，
即选项C正确；
对于选项D：因为等差数列是递减数列，
且，，则，
所以，
即选项D正确.
故选：BCD.
【分析】由，，，进行等差数列求和，并结合等差数列的性质可求得，，再利用等差数列的通项公式得到关于的不等式组进行求解，可得出公差ｄ的取值范围，即可判定选项A错误、选项C正确；利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到判定选项B正确；利用及等差数列求和性质判定选项D正确.
11．【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；五点法画三角函数的图象
【解析】【解答】对于A，由图知函数的最小正周期，所以，
所以，将点代入，得，
所以，解得，
又，所以，所以，故A正确；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，当时，，
当时，取得最小值，所以在区间上不单调递增，故C错误；
对于D，由，得，所以，，
解得，，故D正确．
故选：ABD．
【分析】由图象结合五点法及题目中的已知范围求得函数解析式，，，可得，代入，可得然后结合图像根据正弦函数的性质，，B正确，在区间不单调递增，C错误；由，得，解得，，故D正确．
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】因为，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】利用复数的除法运算化简 ，进而求得 .
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】设表示选到级队员的事件，表示任选一名队员通过选拔进入比赛的事件，
则，
，
所以
．
故答案为：.
【分析】先分别求出各级队员被选到的概率，再结合题意中所给出的条件概率，根据全概率公式结合题意，即可求解.
14．【答案】1
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线：，，，
则，
所以，，，，
所以，，所以，，
则直线：，直线恒过点，则点到直线的最大距离为1.
故填：1.
【分析】利用已知条件，设出直线的方程和点A和点B的坐标，再联立直线与抛物线方程结合韦达定理和两点求斜率公式，从而表示出，解方程得出n的值，进而得出直线：，再运用直线恒过定点的性质和几何法，从而得出点到直线的最大距离.
15．【答案】（1）解：6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.
（2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）根据平均分堆，结合排列组合求解即可；
（2）根据不平均分堆，结合排列组合求解即可.
16．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
由，，成等差数列知，，
即，
所以，有，即或.
①当时，，不合题意；
②当时，，得，
所以等比数列的通项公式；
（2）证明：由（1）知，
所以，
所以数列的前n项和，
由，可得.
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合；等比数列的实际应用
【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，由，，成等差数列和，列方程组求出和，并进行取舍验证，可得数列的通项公式；
（2）由（1）中所求的的通项公式对进行化简可求得，裂项相消求得，由，可得得证.
17．【答案】（1）解：此选手连续两次成绩的等级相同的概率为，
此选手两次成绩的等级不相同的概率为.
（2）解：由题意可知，的所有可能取值为、、，
，
，
．
的分布列为
则数学期望．
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【分析】（1）计算出该选手连续两次成绩的等级相同的概率，利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量的可能取值及概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
18．【答案】（1）解：由已知可得，则，
因函数在上单调递增，
所以对任意的恒成立，
又因为函数在上为增函数，
则，解得，故实数的最小值为.
（2）解：，令，可得，
因为函数的图象与有且只有一个交点，
令，则函数的图象与直线只有一个公共点，
则，令，解得或，令，解得，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为，极小值为，
的图象如下所示：
由图可知，当或时，函数的图象与直线只有一个公共点，
因此，实数的取值范围是.
【知识点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）分析可知，对任意的恒成立，分析函数在上的单调性，根据可求得实数的取值范围，即可得解；
（2）令可得，设，分析可知，函数的图象与直线只有一个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合求与可的图像得出实数的取值范围.
19．【答案】（1）解：
依题意，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设过原点的圆的切线方程为，即，
则，两边平方并化简得，
其两根满足，
是椭圆上的点，所以.
.
即的值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式和代入法，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出椭圆 的标准方程。
（2） 设过原点的圆的切线斜截式方程为，再转化为切线的一般式方程，再结合点到直线的距离公式和韦达定理得出， 再利用点是椭圆上的点结合代入法，所以，从而代入得出的值。
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