浙江省春晖中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·浙江期中）已知，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据函数的解析式先化简，再由导数定义和函数极限的关系，从而可得.
2．（2024高二下·浙江期中） 的展开式的第6项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由题得 ，
令r=5,所以 ，
所以 的展开式的第6项的系数是 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 的展开式的第6项的系数 。
3．（2024高二下·浙江期中），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由，得.
故答案为：C.
【分析】利用复合函数的求导方法，从而计算得出导函数.
4．（2024高二下·浙江期中）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点的个数是（ ）
A．36 B．30 C．25 D．20
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：第一步：从中任取一个数记为横坐标有6种取法；
第二步：从中任取一个数记为纵坐标有6种取法，
所以，不同的点共有个.
故答案为：A.
【分析】根据取横坐标、纵坐标分步，再由分步乘法计数原理得出在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点的个数.
5．（2024高二下·浙江期中）已知数列的前项和为，设，，则（ ）
A． B． C． D．1012
【答案】C
【知识点】函数的周期性；数列的求和
【解析】【解答】解：依题意，易知，由得，
又因为，所以，，，
故数列是以3为最小正周期的周期数列，
所以.
故答案为：C.
【分析】由已知条件得出，从而得出数列的前几项，观察规律可得数列的周期，再根据数列的周期性求和得出的值.
6．（2024高二下·浙江期中）假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品：第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件表示从第箱中取一个零件，事件B表示取出的零件是次品，
则
，
即取出的零件是次品的概率为.
故答案为：C.
【分析】由题意知本题属于全概率问题，利用全概率公式得出取出的零件是次品的概率.
7．（2024高二下·浙江期中）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（ ）
A．90 B．135 C．150 D．180
【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意，在等比数列中，，
由等比数列前n项和的性质可得，，，成等比数列，
∴有，即，
整理可得，解得（舍）或，
∵，
∴，解得，
故答案为：C.
【分析】利用等比数列的性质得出，，，之间的关系，从而求出，进而得出的值.
8．（2024高二下·浙江期中）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题可得，故令，即，
令，则，
由，
所以在单调递增；在d单调递减，
又因为，，
在与分别有一个零点，
所以有两个零点，故有两个零点.
故答案为：B.
【分析】先确定函数的定义域，再令分解因式得，由求导判断函数的单调性，从而确定最小值符号，即可得出函数的零点个数.
9．（2024高二下·浙江期中）20是（ ）
A．通项为的数列的第3项
B．通项为的数列的第3项
C．前项和为的数列的第9项
D．前项和为的数列的第9项
【答案】B,C,D
【知识点】数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用数列的通项公式和的关系式，从而分别计算出对应项，即可逐项判断找出正确的选项.
10．（2024高二下·浙江期中）已知为离散型随机变量，为随机事件，为的对立事件，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若互斥事件，则
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A正确；
对于B：因为，故B错误；
对于C：因为，又因为，所以，
所以独立，所以，故C正确；
对于D：若互斥，则，得，
又因为，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据离散型随机变量的均值与方差的性质，即可判断选项A和选项B；根据独立事件的判断方法与条件概率的应用、互斥事件的定义，即可判断选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2024高二下·浙江期中）已知的展开式共有13项，则下列说法正确的有（ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为
B．二项式系数最大的项为第7项
C．所有项的系数和为
D．有理项共有5项
【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式共有13项，则；
A、所有奇数项的二项式系数和为，故A正确；
B、二项式展开式有13项，则二项式系数最大的项为第7项，故B正确；
C、令，则所有项的系数和为，故C错误；
D、展开式的通项为，
当为整数时，即，共有5项，即有理项共有5项，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】由题意先求，再根据二项式系数的性质结合二项式展开式的通项公式逐项判断即可.
12．（2024高二下·浙江期中） （用数字表示）．
【答案】20
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由题意可知：.
故答案为：20.
【分析】根据组合数公式计算得出答案.
13．（2024高二下·浙江期中）若，则 ．
【答案】-592
【知识点】组合及组合数公式；二项展开式
【解析】【解答】解：表示个因式的乘积，而为展开式中的系数，则这个因式中分别取、、三项：只有一个因式取，则从其余得4个因式中选3个因式取，剩余的一个因式取2；有2个因式取，则从剩余得3个因式中选择一个因式取，剩余得2多个因式都取2；5个因式都取，
故.
故答案为：-592.
【分析】根据题意，由组合数公式以及乘方的几何意义求值即可.
14．（2024高二下·浙江期中）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为 ．
【答案】100
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，每组人数分别为2、2、1或3、1、1，
此时分组方法有：，然后将这三组同学分配给三门劳动教育校本课程，
由于甲不能参加课程，此时分配方法有：，
由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为，
故答案为：.
【分析】先分组后排列，分组时有均分组则需要消序，排列时有特殊元素则需要优先排，再根据分步乘法计数原理得出不同的报名方法数.
15．（2024高二下·浙江期中）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）解不等式：．
【答案】（1）解：由题意得：，，
令得，；
令得，或，
所以在单调递减，在单调递增，
故的极大值为，的极小值为.
（2）解：由(1)可知：在单调递减，在单调递增，
，，
又因为，
所以只有一解即，
故当时，，
故不等式解集为：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求导判断函数的单调性，从而得到函数的单调区间，进而确定函数的极大值和极小值.
（2）根据(1)判断出函数的单调性，从而判断出极值的符号，再利用得出只有一解，从而得出不等式的解集.
（1）由题得：，
，
令得，，
令得，或，
所以在单调递减，在单调递增，
故的极大值为，的极小值为.
（2）由(1)可知：在单调递减，在单调递增，
，，又，
所以只有一解即，
故时：，
故不等式解集为：.
16．（2024高二下·浙江期中）班级迎接元旦晚会有个唱歌节目、个相声节目和个魔术节目，要求排出一个节目单．
（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
（3）现在临时增加个魔术节目，要求重新编排节目单，要求个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，有多少种排法？
【答案】（1）解：将个相声节目捆绑在一起，看成个节目，与其余个节目一起排，
则共有种不同排法.
（2）解：若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法；
若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法；
若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，
可以用个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，
再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，
所以共有种不同排法.
（3）解：若个相声节目相邻，则有种不同排法；
若个魔术节目相邻，也有种不同排法；
若个相声节目相邻，并且个魔术节目也相邻，则有种不同排法，
则个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，可由个节目的全排列减去个相声节目相邻的排列数和个魔术节目相邻的排列数，
再加上个相声节目相邻并且个魔术节目也相邻的排列数，
所以共有种不同排法．
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和捆绑法以及排列数公式，从而得出2个相声节目要排在一起的排法.
（2）利用全排列公式减去不符合题意的情况，从而得出相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目的排法.
（3）利用全排列公式减去不符合题意的情况，从而得出要求个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻的排法.
（1）将个相声节目捆绑在一起，看成个节目，与其余个节目一起排，
则共有种不同排法；
（2）若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法，
若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，
可以用个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，
再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，
所以共有种不同排法；
（3）若个相声节目相邻，则有种不同排法，
若个魔术节目相邻，也有种不同排法，
若个相声节目相邻，并且个魔术节目也相邻，则有种不同排法，
则个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，可由个节目的全排列减去个相声节目相邻的排列数和个魔术节目相邻的排列数，
再加上个相声节目相邻并且个魔术节目也相邻的排列数，
所以共有种不同排法．
17．（2024高二下·浙江期中）抽屉中装有4双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
（1）取了2次后，取出的一次性筷子的双数的分布列；
（2）取了2次后，取出的一次性筷子的双数的均值和方差；
（3）在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率．
【答案】（1）解：记取出的一次性筷子的双数为，则的可能取值为0，1，2，
则的分布列为
0 1 2
（2）解：由（1）知，
.
（3）解：记第2次取出的是非一次性筷子为事件，
第1次取出的是一次性筷子为事件，
则，，
则==.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）因为取出的一次性筷子的双数为1时是有序的，取了2次后注意到第一双一次性筷子已扔掉，从而得出随机变量X的可能的取值，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出随机变量X的分布列.
（2）由（1）中的分布列和数学期望公式和方差公式得出取了2次后，取出的一次性筷子的双数的均值和方差.
（3）根据已知条件和条件概率公式得出在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率.
（1）记取出的一次性筷子的双数为，则的可能取值为0，1，2.
则的分布列为
0 1 2
（2）由（1）知
（3）记第2次取出的是非一次性筷子为事件，第1次取出的是一次性筷子为事件，
则，，
则==.
18．（2024高二下·浙江期中）已知数列、满足，.
（1）若数列为等差数列，求数列的通项公式；
（2）若数列是公比2的等比数列，求数列的前项和．
【答案】（1）解：由题可知：若数列为等差数列，，
令，则，
故：，
由，故.
（2）解：由数列是公比2的等比数列可得：，
又因为，可得，
故猜测是以公比为2的等比数列，
故，下用数学归纳法证明.
当时，成立；
假设时，成立，
下证时，，
由可得：，
故时，仍成立，所以，
又因为，根据等比数列求和可得：.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；数学归纳法的应用；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由数列为等差数列，和已知条件求出的值，结合等差数列的通项公式得出公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，代入求出数列的通项公式.
（2）由等比数列的通项公式求出数列的通项公式，则由已知条件计算出的值，先猜测为等比数列，再由数学归纳法证明，即可得到数列的通项公式，则由等比数列求和公式得出数列的前项和.
（1）由题可知：若数列为等差数列，，令，则，
故：，由，
故.
（2）由数列是公比2的等比数列可得：，
又，可得，
故猜测是以公比为2的等比数列，
故，下用数学归纳法证明，
当时，成立；
假设时，成立，
下证时，，
由可得：，
故时，仍成立，
所以，
又，根据等比数列求和可得：.
19．（2024高二下·浙江期中）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）判断函数的单调性；
（3）若，其中且，求实数的值．
【答案】（1）解：由题意可知，即切点为，
又因为，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）解：由，设，则，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
又因为，所以对于任意的有，即，
因此在单调递增，在单调递增，
设，则，
所以时，，单调递减，
所以， 即， 即，
当时，，单调递增， 所以，
即， 即，所以是其定义域上的增函数.
（3）解：由（2）可知，当时，，所以，故，
令，，，
由题意可知，当时，；当时，，
若，则当时，，
不满足条件，所以，
又因为，
令 ，
则 ，
令，得，
当时，；
当时，，
在单调递减，在单调递增，
若，
则当时，，单调递减，
此时，不满足题意；
若，
则当 时，，单调递减，
此时，不满足题意；
若，
则当时，，单调递增，此时
且当时，，单调递增，此时满足题意，
所以， 解得，
综上所述，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先代入到函数解析式得出切点坐标，再求出切点处的导数值得出切线斜率，则根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
（2）对求导后，令，对继续求导，得出对于任意有，故只需要证明当时，；当时，，从而判断出函数的单调性.
（3）由（2）得，再令，，，则结合题意知当时，；当时，，从而对分类讨论得出实数a的值.
（1）由题意， 即切点为，
，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）证明： 由，设，
则，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，又，
所以对于任意的有，即，
因此在单调递增，在单调递增，
设，则，
所以时，，单调递减，
所以， 即， 即，
时，，单调递增， 所以，
即， 即，所以是其定义域上的增函数.
（3）由（2）可知，时，，所以，故，
令，，，
由题意时，，时，，
若，则当时，，
不满足条件， 所以， 而，
令 ，
则 ，
令，得，
且当时，；当时，，
在单调递减，在单调递增，
若，则当时，，单调递减，
此时，不满足题意；
若，则当 时，，单调递减，
此时，不满足题意；
若，
则当时，，单调递增，此时，
且当时，，单调递增，此时，满足题意，
所以， 解得，
综上所述，.
1 / 1浙江省春晖中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·浙江期中）已知，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2024高二下·浙江期中） 的展开式的第6项的系数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·浙江期中），则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·浙江期中）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点的个数是（ ）
A．36 B．30 C．25 D．20
5．（2024高二下·浙江期中）已知数列的前项和为，设，，则（ ）
A． B． C． D．1012
6．（2024高二下·浙江期中）假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品：第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·浙江期中）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（ ）
A．90 B．135 C．150 D．180
8．（2024高二下·浙江期中）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024高二下·浙江期中）20是（ ）
A．通项为的数列的第3项
B．通项为的数列的第3项
C．前项和为的数列的第9项
D．前项和为的数列的第9项
10．（2024高二下·浙江期中）已知为离散型随机变量，为随机事件，为的对立事件，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若互斥事件，则
11．（2024高二下·浙江期中）已知的展开式共有13项，则下列说法正确的有（ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为
B．二项式系数最大的项为第7项
C．所有项的系数和为
D．有理项共有5项
12．（2024高二下·浙江期中） （用数字表示）．
13．（2024高二下·浙江期中）若，则 ．
14．（2024高二下·浙江期中）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为 ．
15．（2024高二下·浙江期中）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）解不等式：．
16．（2024高二下·浙江期中）班级迎接元旦晚会有个唱歌节目、个相声节目和个魔术节目，要求排出一个节目单．
（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
（3）现在临时增加个魔术节目，要求重新编排节目单，要求个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，有多少种排法？
17．（2024高二下·浙江期中）抽屉中装有4双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
（1）取了2次后，取出的一次性筷子的双数的分布列；
（2）取了2次后，取出的一次性筷子的双数的均值和方差；
（3）在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率．
18．（2024高二下·浙江期中）已知数列、满足，.
（1）若数列为等差数列，求数列的通项公式；
（2）若数列是公比2的等比数列，求数列的前项和．
19．（2024高二下·浙江期中）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）判断函数的单调性；
（3）若，其中且，求实数的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据函数的解析式先化简，再由导数定义和函数极限的关系，从而可得.
2．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由题得 ，
令r=5,所以 ，
所以 的展开式的第6项的系数是 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 的展开式的第6项的系数 。
3．【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由，得.
故答案为：C.
【分析】利用复合函数的求导方法，从而计算得出导函数.
4．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：第一步：从中任取一个数记为横坐标有6种取法；
第二步：从中任取一个数记为纵坐标有6种取法，
所以，不同的点共有个.
故答案为：A.
【分析】根据取横坐标、纵坐标分步，再由分步乘法计数原理得出在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点的个数.
5．【答案】C
【知识点】函数的周期性；数列的求和
【解析】【解答】解：依题意，易知，由得，
又因为，所以，，，
故数列是以3为最小正周期的周期数列，
所以.
故答案为：C.
【分析】由已知条件得出，从而得出数列的前几项，观察规律可得数列的周期，再根据数列的周期性求和得出的值.
6．【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件表示从第箱中取一个零件，事件B表示取出的零件是次品，
则
，
即取出的零件是次品的概率为.
故答案为：C.
【分析】由题意知本题属于全概率问题，利用全概率公式得出取出的零件是次品的概率.
7．【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意，在等比数列中，，
由等比数列前n项和的性质可得，，，成等比数列，
∴有，即，
整理可得，解得（舍）或，
∵，
∴，解得，
故答案为：C.
【分析】利用等比数列的性质得出，，，之间的关系，从而求出，进而得出的值.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题可得，故令，即，
令，则，
由，
所以在单调递增；在d单调递减，
又因为，，
在与分别有一个零点，
所以有两个零点，故有两个零点.
故答案为：B.
【分析】先确定函数的定义域，再令分解因式得，由求导判断函数的单调性，从而确定最小值符号，即可得出函数的零点个数.
9．【答案】B,C,D
【知识点】数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用数列的通项公式和的关系式，从而分别计算出对应项，即可逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A正确；
对于B：因为，故B错误；
对于C：因为，又因为，所以，
所以独立，所以，故C正确；
对于D：若互斥，则，得，
又因为，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据离散型随机变量的均值与方差的性质，即可判断选项A和选项B；根据独立事件的判断方法与条件概率的应用、互斥事件的定义，即可判断选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式共有13项，则；
A、所有奇数项的二项式系数和为，故A正确；
B、二项式展开式有13项，则二项式系数最大的项为第7项，故B正确；
C、令，则所有项的系数和为，故C错误；
D、展开式的通项为，
当为整数时，即，共有5项，即有理项共有5项，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】由题意先求，再根据二项式系数的性质结合二项式展开式的通项公式逐项判断即可.
12．【答案】20
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由题意可知：.
故答案为：20.
【分析】根据组合数公式计算得出答案.
13．【答案】-592
【知识点】组合及组合数公式；二项展开式
【解析】【解答】解：表示个因式的乘积，而为展开式中的系数，则这个因式中分别取、、三项：只有一个因式取，则从其余得4个因式中选3个因式取，剩余的一个因式取2；有2个因式取，则从剩余得3个因式中选择一个因式取，剩余得2多个因式都取2；5个因式都取，
故.
故答案为：-592.
【分析】根据题意，由组合数公式以及乘方的几何意义求值即可.
14．【答案】100
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，每组人数分别为2、2、1或3、1、1，
此时分组方法有：，然后将这三组同学分配给三门劳动教育校本课程，
由于甲不能参加课程，此时分配方法有：，
由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为，
故答案为：.
【分析】先分组后排列，分组时有均分组则需要消序，排列时有特殊元素则需要优先排，再根据分步乘法计数原理得出不同的报名方法数.
15．【答案】（1）解：由题意得：，，
令得，；
令得，或，
所以在单调递减，在单调递增，
故的极大值为，的极小值为.
（2）解：由(1)可知：在单调递减，在单调递增，
，，
又因为，
所以只有一解即，
故当时，，
故不等式解集为：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求导判断函数的单调性，从而得到函数的单调区间，进而确定函数的极大值和极小值.
（2）根据(1)判断出函数的单调性，从而判断出极值的符号，再利用得出只有一解，从而得出不等式的解集.
（1）由题得：，
，
令得，，
令得，或，
所以在单调递减，在单调递增，
故的极大值为，的极小值为.
（2）由(1)可知：在单调递减，在单调递增，
，，又，
所以只有一解即，
故时：，
故不等式解集为：.
16．【答案】（1）解：将个相声节目捆绑在一起，看成个节目，与其余个节目一起排，
则共有种不同排法.
（2）解：若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法；
若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法；
若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，
可以用个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，
再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，
所以共有种不同排法.
（3）解：若个相声节目相邻，则有种不同排法；
若个魔术节目相邻，也有种不同排法；
若个相声节目相邻，并且个魔术节目也相邻，则有种不同排法，
则个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，可由个节目的全排列减去个相声节目相邻的排列数和个魔术节目相邻的排列数，
再加上个相声节目相邻并且个魔术节目也相邻的排列数，
所以共有种不同排法．
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和捆绑法以及排列数公式，从而得出2个相声节目要排在一起的排法.
（2）利用全排列公式减去不符合题意的情况，从而得出相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目的排法.
（3）利用全排列公式减去不符合题意的情况，从而得出要求个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻的排法.
（1）将个相声节目捆绑在一起，看成个节目，与其余个节目一起排，
则共有种不同排法；
（2）若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法，
若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，
可以用个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，
再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，
所以共有种不同排法；
（3）若个相声节目相邻，则有种不同排法，
若个魔术节目相邻，也有种不同排法，
若个相声节目相邻，并且个魔术节目也相邻，则有种不同排法，
则个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，可由个节目的全排列减去个相声节目相邻的排列数和个魔术节目相邻的排列数，
再加上个相声节目相邻并且个魔术节目也相邻的排列数，
所以共有种不同排法．
17．【答案】（1）解：记取出的一次性筷子的双数为，则的可能取值为0，1，2，
则的分布列为
0 1 2
（2）解：由（1）知，
.
（3）解：记第2次取出的是非一次性筷子为事件，
第1次取出的是一次性筷子为事件，
则，，
则==.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）因为取出的一次性筷子的双数为1时是有序的，取了2次后注意到第一双一次性筷子已扔掉，从而得出随机变量X的可能的取值，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出随机变量X的分布列.
（2）由（1）中的分布列和数学期望公式和方差公式得出取了2次后，取出的一次性筷子的双数的均值和方差.
（3）根据已知条件和条件概率公式得出在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率.
（1）记取出的一次性筷子的双数为，则的可能取值为0，1，2.
则的分布列为
0 1 2
（2）由（1）知
（3）记第2次取出的是非一次性筷子为事件，第1次取出的是一次性筷子为事件，
则，，
则==.
18．【答案】（1）解：由题可知：若数列为等差数列，，
令，则，
故：，
由，故.
（2）解：由数列是公比2的等比数列可得：，
又因为，可得，
故猜测是以公比为2的等比数列，
故，下用数学归纳法证明.
当时，成立；
假设时，成立，
下证时，，
由可得：，
故时，仍成立，所以，
又因为，根据等比数列求和可得：.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；数学归纳法的应用；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由数列为等差数列，和已知条件求出的值，结合等差数列的通项公式得出公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，代入求出数列的通项公式.
（2）由等比数列的通项公式求出数列的通项公式，则由已知条件计算出的值，先猜测为等比数列，再由数学归纳法证明，即可得到数列的通项公式，则由等比数列求和公式得出数列的前项和.
（1）由题可知：若数列为等差数列，，令，则，
故：，由，
故.
（2）由数列是公比2的等比数列可得：，
又，可得，
故猜测是以公比为2的等比数列，
故，下用数学归纳法证明，
当时，成立；
假设时，成立，
下证时，，
由可得：，
故时，仍成立，
所以，
又，根据等比数列求和可得：.
19．【答案】（1）解：由题意可知，即切点为，
又因为，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）解：由，设，则，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
又因为，所以对于任意的有，即，
因此在单调递增，在单调递增，
设，则，
所以时，，单调递减，
所以， 即， 即，
当时，，单调递增， 所以，
即， 即，所以是其定义域上的增函数.
（3）解：由（2）可知，当时，，所以，故，
令，，，
由题意可知，当时，；当时，，
若，则当时，，
不满足条件，所以，
又因为，
令 ，
则 ，
令，得，
当时，；
当时，，
在单调递减，在单调递增，
若，
则当时，，单调递减，
此时，不满足题意；
若，
则当 时，，单调递减，
此时，不满足题意；
若，
则当时，，单调递增，此时
且当时，，单调递增，此时满足题意，
所以， 解得，
综上所述，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先代入到函数解析式得出切点坐标，再求出切点处的导数值得出切线斜率，则根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
（2）对求导后，令，对继续求导，得出对于任意有，故只需要证明当时，；当时，，从而判断出函数的单调性.
（3）由（2）得，再令，，，则结合题意知当时，；当时，，从而对分类讨论得出实数a的值.
（1）由题意， 即切点为，
，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）证明： 由，设，
则，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，又，
所以对于任意的有，即，
因此在单调递增，在单调递增，
设，则，
所以时，，单调递减，
所以， 即， 即，
时，，单调递增， 所以，
即， 即，所以是其定义域上的增函数.
（3）由（2）可知，时，，所以，故，
令，，，
由题意时，，时，，
若，则当时，，
不满足条件， 所以， 而，
令 ，
则 ，
令，得，
且当时，；当时，，
在单调递减，在单调递增，
若，则当时，，单调递减，
此时，不满足题意；
若，则当 时，，单调递减，
此时，不满足题意；
若，
则当时，，单调递增，此时，
且当时，，单调递增，此时，满足题意，
所以， 解得，
综上所述，.
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