湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·长沙期中）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·长沙期中）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高二下·长沙期中）已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2024高二下·长沙期中）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·长沙期中）已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代号 1 2 3 4 5
成交额y（万元） 50 60 70 80 100
若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2023年“五一”黄金周的成交额是（ ）
A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元
6．（2024高二下·长沙期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·长沙期中）设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·长沙期中）设曲线与函数的图象关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图象，则实数t的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·长沙期中）下列说法中正确的是（ ）
A．线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越好
B．已知随机变量服从二项分布，若，，则
C．已知随机变量服从正态分布，若，则
D．已知随机事件，满足，，则
10．（2024高二下·长沙期中）已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（ ）
A．
B．
C．函数为减函数
D．函数的图象关于点对称
11．（2024高二下·长沙期中）已知点分别为双曲线的左、右焦点，为的右支上一点，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高二下·长沙期中）平面向量满足，，，则 ．
13．（2024高二下·长沙期中）已知函数，则的最大值为 ．
14．（2024高二下·长沙期中）已知正实数满足，则的最小值为 .
15．（2024高二下·长沙期中）某同学用“五点法”画函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
（1）请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）；
（2）根据表格中的数据作出在一个周期内的图象；
（3）求函数在区间上的值域．
16．（2024高二下·长沙期中）已知函数．
（1）求证：当时，曲线与直线只有一个交点；
（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．
17．（2024高二下·长沙期中）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30
合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60
（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求和；
（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期
望.
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
18．（2024高二下·长沙期中）已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率．
19．（2024高二下·长沙期中）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，.
（1）设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值；
（2）记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值：
（3）记集合T中所有点构成的几何体为W.
①求W的体积的值；
②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式，解得，即集合，
因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】先解对数不等式求得集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
化简得，解得或，
故“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B．
【分析】由结合复数求模公式，从而建立关于的等量关系，进而求出的值，再根据充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
3．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；等差中项
【解析】【解答】解：由等差数列为单调递增数列，可得公差，
因为与的等差中项为8，可得，则，即，
又因为，可得，
即，解得或（舍去）.
故答案为：C.
【分析】根据题意和数列的单调性得出公差的正负，再结合等差中项公式和等差数列的通项公式，从而列出关于的方程组，解方程组求出公差的值.
4．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设，
因为，故A错误；
因为，故B错误；
因为，故C错误；
因为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用赋值法判断选项A、选项B和选项C；根据指数与对数的运算法则，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
5．【答案】C
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，即，
当时，.
故答案为：C.
【分析】根据线性回归直线恒过样本中心点这一性质和平均数公式，从而得出线性回归直线，再结合代入法预测出该店2023年“五一”黄金周的成交额.
6．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，则，
则由和复合而成，
因为在上单调递增，
则要使得函数在上单调递减，
需满足在上恒成立，且在上单调递减，
则，解得，即.
故答案为：A.
【分析】先确定由和复合而成，再根据复合函数的单调性列出不等式组，解不等式组得出实数a的取值范围.
7．【答案】C
【知识点】三角函数诱导公式二~六；等差中项
【解析】【解答】解：设，根据题意可得，且，
即，又，则，，解得，又，则.
故答案为：C.
【分析】本题考查等差中项的应用，三角函数的诱导公式.先设出三个角度的大小关系，根据等差中项的定义可推得：，再结合三角形为直角三角形利用三角函数的诱导公式可得：，通过推到可得，利用同角三角函数的基本关系可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】解：设是在点处的切线，
因为曲线与函数的图象关于直线对称，
所以直线关于对称后的直线方程必为，且曲线图象不超过切点位置，
才满足函数的图象，
如图所示，
直线与的夹角为，所以的倾斜角为，
所以的方程为
联立方程得，即，
则，即与同解，所以，
则的取值范围为，所以实数t的最大值为.
故答案为：A.
【分析】设直线是在点处的切线，再根据题意得出直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图象，从而得出直线的方程为，再联立直线与曲线方程可得的最大值.
9．【答案】B,C
【知识点】可线性化的回归分析；二项分布；条件概率；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：对于A：线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，
若的值越小，则模型的拟合效果越差，故A错误；
对于B：随机变量服从二项分布，若，，
则，解得，故B正确；
对于C：随机变量服从正态分布，若，
则，所以，故C正确；
对于D：因为，，则，
又因为，所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据决定系数的性质、二项分布的期望和方差的计算公式、正态分布的性质和条件概率公式，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：A、令，则有，故，故A正确；
B、令，，则有，故，故B错误；
C、令，则有，其中，，
令，，即有对、，当时，恒成立，即函数为减函数，故C正确；
D、令，则，又，故，故函数的图象关于点对称，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】赋值令计算即可判断A；借助赋值法令，计算即可判断B；结合函数单调性的定义及赋值法令计算即可判断C；结合函数对称性及赋值法令计算即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
由双曲线的定义可得，则，
所以，
所以，当且仅当共线时等号成立，故选项A错误、选项B正确；
因为，
当且仅当共线且在两点中间时，等号成立，此时点在第四象限，故C正确；
对于D，因为，所以，
当且仅当共线且在两点中间时，，此时点位于第四象限；
当且仅当共线且在两点中间时，，此时点位于第一象限，
因为，双曲线的渐近线方程为，
又因为，所以共线时，点只能位于第四象限，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据双曲线的定义结合三角形三边之间的关系，从而逐项判断找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设向量，由可得，
因为，则，
解得，，则，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，设向量，由向量共线的坐标表示和数量积的坐标表示，从而列出方程组得出向量的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的模.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由可得，
令可得，
因为，所以，
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增，
易知，
因此的最大值为.
故答案为：.
【分析】先求导判断出函数在上的单调性，从而得出函数的极值，再结合与端点处的函数值比较大小求出函数在上的最大值.
14．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，，，且满足，
所以
，
，当且仅当，即，时等号成立；
则，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为16.
故答案为：16．
【分析】原式变形得到，利用基本不等式求出最小值即可．
15．【答案】（1）解：由表格知，，函数的周期，
则，显然，解得，
所以，
数据补全如下表：
0
0 3 0 0
（2）解：由（1），得在一个周期内的图象，如图，
（3）解：当时，则，
因此，则，
所以函数在区间上的值域为.
【知识点】五点法画三角函数的图象；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用表格中的数据依次求出、 的值，结合五点对应法求出的值，从而得出函数的解析式，再由函数的解析式补全表格.
（2）由表格中的数据，描点、连线、作图，从而作出函数在一个周期内的图象.
（3）由自变量所在区间求出相位所在区间，再利用正弦型函数求值域的方法得出函数在区间上的值域.
（1）由表格知，，函数的周期，则，
显然，解得，
所以，
数据补全如下表：
0
0 3 0 0
（2）由（1），得在一个周期内的图象，如图，
（3）当时，则，
因此，有，
所以函数在区间上的值域为.
16．【答案】（1）证明：当时，函数，求导得：，
令，得；令，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故，
所以曲线与直线只有一个交点.
（2）解：因为函数的定义域为，
求导得，
设，
令，解得，.
因为既存在极大值，又存在极小值，即在有两个变号零点，
则，解得且，
综上所述：的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）当时，对求导，则根据导数判断函数的单调性，从而确定函数的图象，进而证明出曲线与直线只有一个交点.
（2）将既存在极大值，又存在极小值转换为有两个变号零点问题，再讨论零点位置可得实数的取值范围.
（1）当时，函数，求导得：，
令，得；令，得；
则函数在上递增，在上递减，
故，
所以曲线与直线只有一个交点.
（2）函数的定义域为，
求导得，
设，
令，解得，.
因为既存在极大值，又存在极小值，即在有两个变号零点，
则，解得且，
综上所述：的取值范围为.
17．【答案】（1）解：列联表
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.
（2）解：因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率.
故
.
（3）解：10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，Y服从超几何分布：
，
，
故所求分布列为
Y 0 1 2 3
P
【知识点】二项分布
【解析】【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论；
（2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和；
（3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.
18．【答案】（1）解：圆过，
，
又圆过，
，
又
，
椭圆的方程为.
（2）解：设，则，
由题意知且，
则直线，
直线，
由，解得，
，
，
，
又，，
直线的斜率或.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，先依次得出，，再进一步结合椭圆的离心率公式和椭圆中的关系式，即可得出a的值，从而得出椭圆的标准方程.
（2）设，利用图形的对称性得出，从而进一步表示出点的坐标，再结合作差法和三角形的面积公式得出的面积，则根据已知条件可得点的坐标，最后由两点求斜率公式得出直线的斜率.
（1）圆过，
，
又圆过，
，
又
，
椭圆的方程为.
（2）设，则，
由题知且，
则，
，
由，解得，
，
又，
，
又，
，
直线的斜率或.
19．【答案】（1）解：因为集合表示平面上所有的点，
表示
这八个顶点形成的正方体内所有的点，
又因为可以看成正方体在平面上的截面内所有的点，
发现它是边长为2的正方形，因此，
对于，当时，
表示经过，，的平面在第一象限的部分，
由对称性可知Q表示，，，
这六个顶点形成的正八面体内所有的点，
又因为可以看成正八面体在平面上的截面内所有的点，
它是边长为的正方形，因此.
（2）解：记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，，
考虑集合的子集，
即为三个坐标平面与围成的四面体，
四面体四个顶点分别为，，，，
此四面体的体积为，
由对称性知，，
考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体，
即，
，
显然为两个几何体公共部分，
记，，，，
容易验证，，在平面上，同时也在的底面上，
则为截去三棱锥所剩下的部分，
的体为积，
三棱锥的体积为.
故的体积，
由对称性知，.
（3）解：①如图所示，即为所构成的图形，
其中正方体为集合P所构成的区域，
构成了一个正四棱锥，其中到面的距离为，
，.
②由题意可知面方程为，由题中定义知其法向量
面方程为，由题中定义知其法向量，
故，
由图可知两个相邻的面所成角为钝角，故与H相邻两个面所成角为，
由图可知共有12个面，24条棱.
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先分析题意，分别表示出集合代表的点，从而得到的截面是正方形，进而求出，同理得到是正方形，进而求出.
（2）先根据（1）分析得出为截去三棱锥所剩下的部分，再用割补法、立体图形的对称性和棱柱、棱锥的体积公式，从而得出和的值.
（3）利用题中的定义求出平面和平面的法向量，结合数量积求向量夹角公式得出与W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，再由图得到W的面数和棱数.
（1）集合表示平面上所有的点，
表示这八个顶点形成的正方体内所有的点，
而可以看成正方体在平面上的截面内所有的点.
发现它是边长为2的正方形，因此.
对于，当时，
表示经过，，的平面在第一象限的部分.
由对称性可知Q表示，，
这六个顶点形成的正八面体内所有的点.
而可以看成正八面体在平面上的截面内所有的点.
它是边长为的正方形，因此.
（2）记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，；
考虑集合的子集；
即为三个坐标平面与围成的四面体.
四面体四个顶点分别为，，，，
此四面体的体积为
由对称性知，
考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体，
即，
，
显然为两个几何体公共部分，
记，，，.
容易验证，，在平面上，同时也在的底面上.
则为截去三棱锥所剩下的部分.
的体积，三棱锥的体积为.
故的体积.
当由对称性知，.
（3）如图所示，即为所构成的图形.
其中正方体即为集合P所构成的区域.构成了一个正四棱锥，
其中到面的距离为，
，.
由题意面方程为，由题干定义知其法向量
面方程为，由题干定义知其法向量
故.
由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H相邻两个面所成角为.
由图可知共有12个面，24条棱.
1 / 1湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·长沙期中）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式，解得，即集合，
因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】先解对数不等式求得集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．（2024高二下·长沙期中）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
化简得，解得或，
故“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B．
【分析】由结合复数求模公式，从而建立关于的等量关系，进而求出的值，再根据充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
3．（2024高二下·长沙期中）已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；等差中项
【解析】【解答】解：由等差数列为单调递增数列，可得公差，
因为与的等差中项为8，可得，则，即，
又因为，可得，
即，解得或（舍去）.
故答案为：C.
【分析】根据题意和数列的单调性得出公差的正负，再结合等差中项公式和等差数列的通项公式，从而列出关于的方程组，解方程组求出公差的值.
4．（2024高二下·长沙期中）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设，
因为，故A错误；
因为，故B错误；
因为，故C错误；
因为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用赋值法判断选项A、选项B和选项C；根据指数与对数的运算法则，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
5．（2024高二下·长沙期中）已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代号 1 2 3 4 5
成交额y（万元） 50 60 70 80 100
若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2023年“五一”黄金周的成交额是（ ）
A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元
【答案】C
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，即，
当时，.
故答案为：C.
【分析】根据线性回归直线恒过样本中心点这一性质和平均数公式，从而得出线性回归直线，再结合代入法预测出该店2023年“五一”黄金周的成交额.
6．（2024高二下·长沙期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，则，
则由和复合而成，
因为在上单调递增，
则要使得函数在上单调递减，
需满足在上恒成立，且在上单调递减，
则，解得，即.
故答案为：A.
【分析】先确定由和复合而成，再根据复合函数的单调性列出不等式组，解不等式组得出实数a的取值范围.
7．（2024高二下·长沙期中）设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数诱导公式二~六；等差中项
【解析】【解答】解：设，根据题意可得，且，
即，又，则，，解得，又，则.
故答案为：C.
【分析】本题考查等差中项的应用，三角函数的诱导公式.先设出三个角度的大小关系，根据等差中项的定义可推得：，再结合三角形为直角三角形利用三角函数的诱导公式可得：，通过推到可得，利用同角三角函数的基本关系可求出答案.
8．（2024高二下·长沙期中）设曲线与函数的图象关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图象，则实数t的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】解：设是在点处的切线，
因为曲线与函数的图象关于直线对称，
所以直线关于对称后的直线方程必为，且曲线图象不超过切点位置，
才满足函数的图象，
如图所示，
直线与的夹角为，所以的倾斜角为，
所以的方程为
联立方程得，即，
则，即与同解，所以，
则的取值范围为，所以实数t的最大值为.
故答案为：A.
【分析】设直线是在点处的切线，再根据题意得出直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图象，从而得出直线的方程为，再联立直线与曲线方程可得的最大值.
9．（2024高二下·长沙期中）下列说法中正确的是（ ）
A．线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越好
B．已知随机变量服从二项分布，若，，则
C．已知随机变量服从正态分布，若，则
D．已知随机事件，满足，，则
【答案】B,C
【知识点】可线性化的回归分析；二项分布；条件概率；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：对于A：线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，
若的值越小，则模型的拟合效果越差，故A错误；
对于B：随机变量服从二项分布，若，，
则，解得，故B正确；
对于C：随机变量服从正态分布，若，
则，所以，故C正确；
对于D：因为，，则，
又因为，所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据决定系数的性质、二项分布的期望和方差的计算公式、正态分布的性质和条件概率公式，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．（2024高二下·长沙期中）已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（ ）
A．
B．
C．函数为减函数
D．函数的图象关于点对称
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：A、令，则有，故，故A正确；
B、令，，则有，故，故B错误；
C、令，则有，其中，，
令，，即有对、，当时，恒成立，即函数为减函数，故C正确；
D、令，则，又，故，故函数的图象关于点对称，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】赋值令计算即可判断A；借助赋值法令，计算即可判断B；结合函数单调性的定义及赋值法令计算即可判断C；结合函数对称性及赋值法令计算即可判断D.
11．（2024高二下·长沙期中）已知点分别为双曲线的左、右焦点，为的右支上一点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
由双曲线的定义可得，则，
所以，
所以，当且仅当共线时等号成立，故选项A错误、选项B正确；
因为，
当且仅当共线且在两点中间时，等号成立，此时点在第四象限，故C正确；
对于D，因为，所以，
当且仅当共线且在两点中间时，，此时点位于第四象限；
当且仅当共线且在两点中间时，，此时点位于第一象限，
因为，双曲线的渐近线方程为，
又因为，所以共线时，点只能位于第四象限，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据双曲线的定义结合三角形三边之间的关系，从而逐项判断找出正确的选项.
12．（2024高二下·长沙期中）平面向量满足，，，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设向量，由可得，
因为，则，
解得，，则，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，设向量，由向量共线的坐标表示和数量积的坐标表示，从而列出方程组得出向量的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的模.
13．（2024高二下·长沙期中）已知函数，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由可得，
令可得，
因为，所以，
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增，
易知，
因此的最大值为.
故答案为：.
【分析】先求导判断出函数在上的单调性，从而得出函数的极值，再结合与端点处的函数值比较大小求出函数在上的最大值.
14．（2024高二下·长沙期中）已知正实数满足，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，，，且满足，
所以
，
，当且仅当，即，时等号成立；
则，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为16.
故答案为：16．
【分析】原式变形得到，利用基本不等式求出最小值即可．
15．（2024高二下·长沙期中）某同学用“五点法”画函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
（1）请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）；
（2）根据表格中的数据作出在一个周期内的图象；
（3）求函数在区间上的值域．
【答案】（1）解：由表格知，，函数的周期，
则，显然，解得，
所以，
数据补全如下表：
0
0 3 0 0
（2）解：由（1），得在一个周期内的图象，如图，
（3）解：当时，则，
因此，则，
所以函数在区间上的值域为.
【知识点】五点法画三角函数的图象；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用表格中的数据依次求出、 的值，结合五点对应法求出的值，从而得出函数的解析式，再由函数的解析式补全表格.
（2）由表格中的数据，描点、连线、作图，从而作出函数在一个周期内的图象.
（3）由自变量所在区间求出相位所在区间，再利用正弦型函数求值域的方法得出函数在区间上的值域.
（1）由表格知，，函数的周期，则，
显然，解得，
所以，
数据补全如下表：
0
0 3 0 0
（2）由（1），得在一个周期内的图象，如图，
（3）当时，则，
因此，有，
所以函数在区间上的值域为.
16．（2024高二下·长沙期中）已知函数．
（1）求证：当时，曲线与直线只有一个交点；
（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明：当时，函数，求导得：，
令，得；令，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故，
所以曲线与直线只有一个交点.
（2）解：因为函数的定义域为，
求导得，
设，
令，解得，.
因为既存在极大值，又存在极小值，即在有两个变号零点，
则，解得且，
综上所述：的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）当时，对求导，则根据导数判断函数的单调性，从而确定函数的图象，进而证明出曲线与直线只有一个交点.
（2）将既存在极大值，又存在极小值转换为有两个变号零点问题，再讨论零点位置可得实数的取值范围.
（1）当时，函数，求导得：，
令，得；令，得；
则函数在上递增，在上递减，
故，
所以曲线与直线只有一个交点.
（2）函数的定义域为，
求导得，
设，
令，解得，.
因为既存在极大值，又存在极小值，即在有两个变号零点，
则，解得且，
综上所述：的取值范围为.
17．（2024高二下·长沙期中）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30
合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60
（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求和；
（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期
望.
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）解：列联表
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.
（2）解：因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率.
故
.
（3）解：10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，Y服从超几何分布：
，
，
故所求分布列为
Y 0 1 2 3
P
【知识点】二项分布
【解析】【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论；
（2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和；
（3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.
18．（2024高二下·长沙期中）已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率．
【答案】（1）解：圆过，
，
又圆过，
，
又
，
椭圆的方程为.
（2）解：设，则，
由题意知且，
则直线，
直线，
由，解得，
，
，
，
又，，
直线的斜率或.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，先依次得出，，再进一步结合椭圆的离心率公式和椭圆中的关系式，即可得出a的值，从而得出椭圆的标准方程.
（2）设，利用图形的对称性得出，从而进一步表示出点的坐标，再结合作差法和三角形的面积公式得出的面积，则根据已知条件可得点的坐标，最后由两点求斜率公式得出直线的斜率.
（1）圆过，
，
又圆过，
，
又
，
椭圆的方程为.
（2）设，则，
由题知且，
则，
，
由，解得，
，
又，
，
又，
，
直线的斜率或.
19．（2024高二下·长沙期中）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，.
（1）设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值；
（2）记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值：
（3）记集合T中所有点构成的几何体为W.
①求W的体积的值；
②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.
【答案】（1）解：因为集合表示平面上所有的点，
表示
这八个顶点形成的正方体内所有的点，
又因为可以看成正方体在平面上的截面内所有的点，
发现它是边长为2的正方形，因此，
对于，当时，
表示经过，，的平面在第一象限的部分，
由对称性可知Q表示，，，
这六个顶点形成的正八面体内所有的点，
又因为可以看成正八面体在平面上的截面内所有的点，
它是边长为的正方形，因此.
（2）解：记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，，
考虑集合的子集，
即为三个坐标平面与围成的四面体，
四面体四个顶点分别为，，，，
此四面体的体积为，
由对称性知，，
考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体，
即，
，
显然为两个几何体公共部分，
记，，，，
容易验证，，在平面上，同时也在的底面上，
则为截去三棱锥所剩下的部分，
的体为积，
三棱锥的体积为.
故的体积，
由对称性知，.
（3）解：①如图所示，即为所构成的图形，
其中正方体为集合P所构成的区域，
构成了一个正四棱锥，其中到面的距离为，
，.
②由题意可知面方程为，由题中定义知其法向量
面方程为，由题中定义知其法向量，
故，
由图可知两个相邻的面所成角为钝角，故与H相邻两个面所成角为，
由图可知共有12个面，24条棱.
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先分析题意，分别表示出集合代表的点，从而得到的截面是正方形，进而求出，同理得到是正方形，进而求出.
（2）先根据（1）分析得出为截去三棱锥所剩下的部分，再用割补法、立体图形的对称性和棱柱、棱锥的体积公式，从而得出和的值.
（3）利用题中的定义求出平面和平面的法向量，结合数量积求向量夹角公式得出与W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，再由图得到W的面数和棱数.
（1）集合表示平面上所有的点，
表示这八个顶点形成的正方体内所有的点，
而可以看成正方体在平面上的截面内所有的点.
发现它是边长为2的正方形，因此.
对于，当时，
表示经过，，的平面在第一象限的部分.
由对称性可知Q表示，，
这六个顶点形成的正八面体内所有的点.
而可以看成正八面体在平面上的截面内所有的点.
它是边长为的正方形，因此.
（2）记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，；
考虑集合的子集；
即为三个坐标平面与围成的四面体.
四面体四个顶点分别为，，，，
此四面体的体积为
由对称性知，
考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体，
即，
，
显然为两个几何体公共部分，
记，，，.
容易验证，，在平面上，同时也在的底面上.
则为截去三棱锥所剩下的部分.
的体积，三棱锥的体积为.
故的体积.
当由对称性知，.
（3）如图所示，即为所构成的图形.
其中正方体即为集合P所构成的区域.构成了一个正四棱锥，
其中到面的距离为，
，.
由题意面方程为，由题干定义知其法向量
面方程为，由题干定义知其法向量
故.
由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H相邻两个面所成角为.
由图可知共有12个面，24条棱.
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