广东省汕头市澄海中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·澄海期中）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，
则，
复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】先根据复数的乘、除法运算化简求得复数，再结合复数的几何意义求解即可.
2．（2024高二下·澄海期中）记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，因为，所以，故．
故答案为：C．
【分析】由题意，根据等比数列的性质求得，再根据等比数列的求和公式求解即可.
3．（2024高二下·澄海期中）在中，是的中点，是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在中，是的中点，是的中点，
则，
即，故.
故答案为：B.
【分析】利用向量表示向量，结合平面向量基本定理求解即可.
4．（2024高二下·澄海期中）函数在上没有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，当时，，
因为函数在上没有最小值，所以，解得，
则的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦函数的性质列式求解即可.
5．（2024高二下·澄海期中）过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（ ）
A．26 B． C．13 D．
【答案】C
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：圆化成标准方程为，
则圆心为，半径为，且点在圆上，因为，所以AB是圆C的一条直径，
当时，面积取得最大值，
则最大值为．
故答案为：C.
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，求得圆心和半径，AB是圆C的一条直径，当时，面积取得最大值，代入数据求面积即可.
6．（2024高二下·澄海期中）由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行．现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ）
A．60种 B．120种 C．150种 D．240种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：5名获奖者按去到三个不同会场，有种方法，
5名获奖者按去到三个不同会场，有种方法，
则不同的派出方法有种.
故答案为：C.
【分析】由题意，将获奖者按去到三个不同会场分类，再利用分组分配列式计算即可.
7．（2024高二下·澄海期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，，则，即，
则，从而，，所以，
取的中点为，如图所示：
则，在中，，
在中，由余弦定理得，
化简得，则.
故答案为：D.
【分析】根据线段比及椭圆的定义求得，，取的中点为，根据余弦定理建立关于的方程求解离心率即可.
8．（2024高二下·澄海期中）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设函数，求导可得，
当时，，在上单调递增，则，即，
即，；
设，则，
当时，，即在上单调递增，
则，，，即，
综上，.
故答案为：C．
【分析】构造函数，求导得到函数单调性，得到，求出，构造，求导得到函数单调性，得到，故.
9．（2024高二下·澄海期中）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、因为，所以，则，故A正确；
B、当，则，故B错误；
C、 若，即，则，故，故C正确；
D、因为，而，
则，
所以，即，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用作差法即可判断AD；当时即可判断B；由指数函数的单调性即可判断C.
10．（2024高二下·澄海期中）在棱长为1的正方体中，是线段的中点，以下关于直线的结论正确的有（ ）
A．与平面平行 B．与直线垂直
C．与直线所成角为 D．与平面的距离为
【答案】A,B,D
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】 解：A、连接，，
因为且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又，平面，
所以平面平面，而平面，故平面，A正确；
B、连接，，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，而平面，故，B正确；
C、由于，所以与所成角就是直线与直线所成角，
因为，，，
所以，
所以，即与直线所成角为，C不正确；
D、由选项A可知，与平面的距离就是点到平面的距离．
设点到平面的距离为，由，得，
即，解得，即与平面的距离为，D正确.
故选：ABD．
【分析】通过证明平面平面，即可判断A，通过证明平面，即可判断B，由，所以与所成角就是直线与直线所成角，利用余弦定理求出，即可判断C，利用等体积法求出点到平面的距离，即可判断D.
11．（2024高二下·澄海期中）已知直线是曲线上任一点处的切线，直线是曲线上点处的切线，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，
B．存在，使得
C．若与交于点时，且三角形为等边三角形，则
D．若与曲线相切，切点为，则
【答案】A,D
【知识点】导数的几何意义；两角和与差的正切公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：A、由题意得，由，得，如图所示：
可知与交点是，可得，，
由，得，所以直线的斜率为，
由，得，所以直线的斜率为，
即直线的斜率等于直线的斜率，所以，故A正确；
B、因为，
所以不存在，使得，故B错误；
C、如图所示：
设的倾斜角分别为，
因为三角形为等边三角形，所以，
又，
所以当，，
整理得，所以（负值舍去）；
当，，
整理得，所以（负值舍去），所以，
又由题意可得关于直线对称，为等边三角形，故C错误；
D、若与曲线相切，切点为，则，
即，又在上，所以，所以，即，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据导数求出两直线斜率即可判断AB；根据斜率与倾斜角的关系及和差角公式求出即可判断C；利用导数的几何意义求出斜率即可判断D.
12．（2024高二下·澄海期中）若的展开式中的系数为15，则 ．
【答案】3
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项为：，
则的项为，即，故.
故答案为：.
【分析】根据二项式展开式通项公式求解即可.
13．（2024高二下·澄海期中）在数列中，，则通项公式 ．
【答案】
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，即
则，
，
所以
，
即，
又因为，所以，
故答案为：
【分析】本题考查数列的通项公式，数列求出.先对递推关系式进行变形和裂项可得：，再利用裂项相消法和累加法可求出数列的通项公式.
14．（2024高二下·澄海期中）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：且中，则B中所有元素之和为奇数的概率为 ．
【答案】
【知识点】子集与真子集；古典概型及其概率计算公式；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有675个偶数，1349个奇数，记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成，
显然集合E共有个，集合F共有个，
所以所有元素之和为奇数的集合B共有个，
又集合A的非空子集共有个，所以B中所有元素之和为奇数的概率为.
故答案为：.
【分析】记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成求解即可.
15．（2024高二下·澄海期中）如图，在平面四边形ABCD中，，．
（1）若，，求的值；
（2）若，，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：在中，因为，，所以，且，
在中，，，，由正弦定理得，
可得；
（2）解：在和中，由余弦定理得：
，
，
得，因为，所以，所以，，
则四边形ABCD的面积
.
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在中，求出，再在中，利用正弦定理求解即可；
（2）分别在和中，利用余弦定理求出和，结合求得和，再求四边形ABCD的面积即可．
（1）在中，，，则，
，
在中，由正弦定理得，
.
（2）在和中，由余弦定理得
，
，
得，又，得，
则，，
四边形ABCD的面积
.
16．（2024高二下·澄海期中）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.3 0.5 0.2
球队胜率 0.8 0.6 0.7
（1）当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
（2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当边锋的概率；
（3）如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在场上的哪个位置？请说明理由.
【答案】（1）解：用表示“甲出任边锋”，表示“甲出任前卫”，表示“甲出任中场”，用表示“球队赢球”.则甲出场时，球队赢球的概率为：
所以甲出场比赛时，球队输球的概率为：.
（2）因为.
所以.
即当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，球员甲担当边锋的概率为.
（3）因为，.
因为.
所以球员甲最有可能在前卫.
【知识点】条件概率与独立事件；条件概率；条件概率乘法公式；贝叶斯公式
【解析】【分析】(1)由条件概率计算分别计算甲出任三个位置赢球的概率再相加可得；
(2)由条件概率计算公式可得；
(3)比较三个位置上的赢球概率，作出判断即可。
（1）用表示“甲出任边锋”，表示“甲出任前卫”，表示“甲出任中场”，用表示“球队赢球”.
则甲出场时，球队赢球的概率为：
所以甲出场比赛时，球队输球的概率为：.
（2）因为.
所以.
即当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，球员甲担当边锋的概率为.
（3）因为，.
因为.
所以如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在前卫.
17．（2024高二下·澄海期中）如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，.
（1）若，求证： ；
（2）若，，直线与平面所成的角为，求点到直线的距离.
【答案】（1）证明：由题意知平面平面，平面平面，
，且平面，故平面，
又平面，故；
又，且平面，
故平面，而平面，
故；
（2）解：以O为坐标原点，所在直线为轴，过点O作平面的垂线作为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
由于，，
则，设，则，
则，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则可得，
由于直线与平面所成的角为，
故，
解得，结合，则，
故，
由，则，
故点到直线的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先证明平面，推出，即可证明平面，再根据线面垂直的性质定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间向量法求解即可.
（1）由题意知平面平面，平面平面，
，且平面，故平面，
又平面，故；
又，且平面，
故平面，而平面，
故；
（2）以O为坐标原点，所在直线为轴，过点O作平面的垂线作为z轴，
建立空间直角坐标系，如图：
由于，，
则，设，则，
则，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则可得，
由于直线与平面所成的角为，
故，
解得，结合，则，
故，
由，则，
故点到直线的距离为.
18．（2024高二下·澄海期中）设F为抛物线的焦点，点P在H上，点，若．
（1）求的方程；
（2）过点F作直线l交H于A、B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围．
【答案】（1）解：易知点的坐标为，
又因为，，所以点的横坐标为，
由拋物线的定义得，解得，
则拋物线的方程为；
（2）解：由（1）知点的坐标为，设直线的方程为，
联立，消去整理可得，易知，
设，则，故，
因为的准线为，因为直线平行于轴，
所以点的坐标为，则直线的斜率为，
所以直线的斜率为，其方程为，
因为点的纵坐标为，所以点的横坐标为，
所以，
因为，则，所以，
即的取值范围是.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先由得点的横坐标，再利用抛物线的定义求解即可；
（2）联立直线与抛物线的方程，得到，再根据题意依次求得点与点的坐标，从而将转化为关于的表达式求解即可.
（1）依题意，点的坐标为，
又，，所以点的横坐标为，
由拋物线的定义得，所以，
所以拋物线的方程为.
（2）由（1）知点的坐标为，设直线的方程为，
联立，消去，得，易知，
设，则，故，
因为的准线为，因为直线平行于轴，
所以点的坐标为，则直线的斜率为，
所以直线的斜率为，其方程为，
因为点的纵坐标为，
所以点的横坐标为，
所以
，
因为，则，所以，
即的取值范围是.
19．（2024高二下·澄海期中）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
（1）判断函数和是否具有C关系；
（2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
（3）若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：与是具有C关系，理由如下：
根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，
因为，，，
所以，
令，即，解得，
所以与具有C关系；
（2）解：令，
因为，，所以，
令，则，故，
因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，
又因为开口向下，所以在上恒为负，
即在上恒成立，
当时，显然成立；
当时，在上恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以，
综上：，即；
（3）解：因为和，
令，则，
因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，
因为，
当且时，因为，所以，
所以在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意；
当时，显然当时，，
当时，因为在上单调递增，且，
故在上存在唯一零点，设为，则，
所以当；当；又当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，
因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有C关系，
综上：，即.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，判断函数和是否具有C关系即可 ；
（2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式求a的取值范围即可；
（3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解据此求解即可.
（1）与是具有C关系，理由如下：
根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，
因为，，，
所以，
令，即，解得，
所以与具有C关系.
（2）令，
因为，，所以，
令，则，故，
因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，
又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立，
当时，显然成立；
当时，在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以，
综上：，即.
（3）因为和，
令，则，
因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，
因为，
当且时，因为，所以，
所以在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意；
当时，显然当时，，
当时，因为在上单调递增，且，
故在上存在唯一零点，设为，则，
所以当；当；又当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，
因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有C关系，
综上：，即.
1 / 1广东省汕头市澄海中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·澄海期中）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高二下·澄海期中）记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2024高二下·澄海期中）在中，是的中点，是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．1
4．（2024高二下·澄海期中）函数在上没有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·澄海期中）过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（ ）
A．26 B． C．13 D．
6．（2024高二下·澄海期中）由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行．现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ）
A．60种 B．120种 C．150种 D．240种
7．（2024高二下·澄海期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·澄海期中）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·澄海期中）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2024高二下·澄海期中）在棱长为1的正方体中，是线段的中点，以下关于直线的结论正确的有（ ）
A．与平面平行 B．与直线垂直
C．与直线所成角为 D．与平面的距离为
11．（2024高二下·澄海期中）已知直线是曲线上任一点处的切线，直线是曲线上点处的切线，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，
B．存在，使得
C．若与交于点时，且三角形为等边三角形，则
D．若与曲线相切，切点为，则
12．（2024高二下·澄海期中）若的展开式中的系数为15，则 ．
13．（2024高二下·澄海期中）在数列中，，则通项公式 ．
14．（2024高二下·澄海期中）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：且中，则B中所有元素之和为奇数的概率为 ．
15．（2024高二下·澄海期中）如图，在平面四边形ABCD中，，．
（1）若，，求的值；
（2）若，，求四边形ABCD的面积．
16．（2024高二下·澄海期中）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.3 0.5 0.2
球队胜率 0.8 0.6 0.7
（1）当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
（2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当边锋的概率；
（3）如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在场上的哪个位置？请说明理由.
17．（2024高二下·澄海期中）如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，.
（1）若，求证： ；
（2）若，，直线与平面所成的角为，求点到直线的距离.
18．（2024高二下·澄海期中）设F为抛物线的焦点，点P在H上，点，若．
（1）求的方程；
（2）过点F作直线l交H于A、B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围．
19．（2024高二下·澄海期中）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
（1）判断函数和是否具有C关系；
（2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
（3）若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，
则，
复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】先根据复数的乘、除法运算化简求得复数，再结合复数的几何意义求解即可.
2．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，因为，所以，故．
故答案为：C．
【分析】由题意，根据等比数列的性质求得，再根据等比数列的求和公式求解即可.
3．【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在中，是的中点，是的中点，
则，
即，故.
故答案为：B.
【分析】利用向量表示向量，结合平面向量基本定理求解即可.
4．【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，当时，，
因为函数在上没有最小值，所以，解得，
则的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦函数的性质列式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：圆化成标准方程为，
则圆心为，半径为，且点在圆上，因为，所以AB是圆C的一条直径，
当时，面积取得最大值，
则最大值为．
故答案为：C.
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，求得圆心和半径，AB是圆C的一条直径，当时，面积取得最大值，代入数据求面积即可.
6．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：5名获奖者按去到三个不同会场，有种方法，
5名获奖者按去到三个不同会场，有种方法，
则不同的派出方法有种.
故答案为：C.
【分析】由题意，将获奖者按去到三个不同会场分类，再利用分组分配列式计算即可.
7．【答案】D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，，则，即，
则，从而，，所以，
取的中点为，如图所示：
则，在中，，
在中，由余弦定理得，
化简得，则.
故答案为：D.
【分析】根据线段比及椭圆的定义求得，，取的中点为，根据余弦定理建立关于的方程求解离心率即可.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设函数，求导可得，
当时，，在上单调递增，则，即，
即，；
设，则，
当时，，即在上单调递增，
则，，，即，
综上，.
故答案为：C．
【分析】构造函数，求导得到函数单调性，得到，求出，构造，求导得到函数单调性，得到，故.
9．【答案】A,C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、因为，所以，则，故A正确；
B、当，则，故B错误；
C、 若，即，则，故，故C正确；
D、因为，而，
则，
所以，即，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用作差法即可判断AD；当时即可判断B；由指数函数的单调性即可判断C.
10．【答案】A,B,D
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】 解：A、连接，，
因为且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又，平面，
所以平面平面，而平面，故平面，A正确；
B、连接，，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，而平面，故，B正确；
C、由于，所以与所成角就是直线与直线所成角，
因为，，，
所以，
所以，即与直线所成角为，C不正确；
D、由选项A可知，与平面的距离就是点到平面的距离．
设点到平面的距离为，由，得，
即，解得，即与平面的距离为，D正确.
故选：ABD．
【分析】通过证明平面平面，即可判断A，通过证明平面，即可判断B，由，所以与所成角就是直线与直线所成角，利用余弦定理求出，即可判断C，利用等体积法求出点到平面的距离，即可判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】导数的几何意义；两角和与差的正切公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：A、由题意得，由，得，如图所示：
可知与交点是，可得，，
由，得，所以直线的斜率为，
由，得，所以直线的斜率为，
即直线的斜率等于直线的斜率，所以，故A正确；
B、因为，
所以不存在，使得，故B错误；
C、如图所示：
设的倾斜角分别为，
因为三角形为等边三角形，所以，
又，
所以当，，
整理得，所以（负值舍去）；
当，，
整理得，所以（负值舍去），所以，
又由题意可得关于直线对称，为等边三角形，故C错误；
D、若与曲线相切，切点为，则，
即，又在上，所以，所以，即，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据导数求出两直线斜率即可判断AB；根据斜率与倾斜角的关系及和差角公式求出即可判断C；利用导数的几何意义求出斜率即可判断D.
12．【答案】3
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项为：，
则的项为，即，故.
故答案为：.
【分析】根据二项式展开式通项公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，即
则，
，
所以
，
即，
又因为，所以，
故答案为：
【分析】本题考查数列的通项公式，数列求出.先对递推关系式进行变形和裂项可得：，再利用裂项相消法和累加法可求出数列的通项公式.
14．【答案】
【知识点】子集与真子集；古典概型及其概率计算公式；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有675个偶数，1349个奇数，记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成，
显然集合E共有个，集合F共有个，
所以所有元素之和为奇数的集合B共有个，
又集合A的非空子集共有个，所以B中所有元素之和为奇数的概率为.
故答案为：.
【分析】记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成求解即可.
15．【答案】（1）解：在中，因为，，所以，且，
在中，，，，由正弦定理得，
可得；
（2）解：在和中，由余弦定理得：
，
，
得，因为，所以，所以，，
则四边形ABCD的面积
.
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在中，求出，再在中，利用正弦定理求解即可；
（2）分别在和中，利用余弦定理求出和，结合求得和，再求四边形ABCD的面积即可．
（1）在中，，，则，
，
在中，由正弦定理得，
.
（2）在和中，由余弦定理得
，
，
得，又，得，
则，，
四边形ABCD的面积
.
16．【答案】（1）解：用表示“甲出任边锋”，表示“甲出任前卫”，表示“甲出任中场”，用表示“球队赢球”.则甲出场时，球队赢球的概率为：
所以甲出场比赛时，球队输球的概率为：.
（2）因为.
所以.
即当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，球员甲担当边锋的概率为.
（3）因为，.
因为.
所以球员甲最有可能在前卫.
【知识点】条件概率与独立事件；条件概率；条件概率乘法公式；贝叶斯公式
【解析】【分析】(1)由条件概率计算分别计算甲出任三个位置赢球的概率再相加可得；
(2)由条件概率计算公式可得；
(3)比较三个位置上的赢球概率，作出判断即可。
（1）用表示“甲出任边锋”，表示“甲出任前卫”，表示“甲出任中场”，用表示“球队赢球”.
则甲出场时，球队赢球的概率为：
所以甲出场比赛时，球队输球的概率为：.
（2）因为.
所以.
即当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，球员甲担当边锋的概率为.
（3）因为，.
因为.
所以如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在前卫.
17．【答案】（1）证明：由题意知平面平面，平面平面，
，且平面，故平面，
又平面，故；
又，且平面，
故平面，而平面，
故；
（2）解：以O为坐标原点，所在直线为轴，过点O作平面的垂线作为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
由于，，
则，设，则，
则，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则可得，
由于直线与平面所成的角为，
故，
解得，结合，则，
故，
由，则，
故点到直线的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先证明平面，推出，即可证明平面，再根据线面垂直的性质定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间向量法求解即可.
（1）由题意知平面平面，平面平面，
，且平面，故平面，
又平面，故；
又，且平面，
故平面，而平面，
故；
（2）以O为坐标原点，所在直线为轴，过点O作平面的垂线作为z轴，
建立空间直角坐标系，如图：
由于，，
则，设，则，
则，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则可得，
由于直线与平面所成的角为，
故，
解得，结合，则，
故，
由，则，
故点到直线的距离为.
18．【答案】（1）解：易知点的坐标为，
又因为，，所以点的横坐标为，
由拋物线的定义得，解得，
则拋物线的方程为；
（2）解：由（1）知点的坐标为，设直线的方程为，
联立，消去整理可得，易知，
设，则，故，
因为的准线为，因为直线平行于轴，
所以点的坐标为，则直线的斜率为，
所以直线的斜率为，其方程为，
因为点的纵坐标为，所以点的横坐标为，
所以，
因为，则，所以，
即的取值范围是.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先由得点的横坐标，再利用抛物线的定义求解即可；
（2）联立直线与抛物线的方程，得到，再根据题意依次求得点与点的坐标，从而将转化为关于的表达式求解即可.
（1）依题意，点的坐标为，
又，，所以点的横坐标为，
由拋物线的定义得，所以，
所以拋物线的方程为.
（2）由（1）知点的坐标为，设直线的方程为，
联立，消去，得，易知，
设，则，故，
因为的准线为，因为直线平行于轴，
所以点的坐标为，则直线的斜率为，
所以直线的斜率为，其方程为，
因为点的纵坐标为，
所以点的横坐标为，
所以
，
因为，则，所以，
即的取值范围是.
19．【答案】（1）解：与是具有C关系，理由如下：
根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，
因为，，，
所以，
令，即，解得，
所以与具有C关系；
（2）解：令，
因为，，所以，
令，则，故，
因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，
又因为开口向下，所以在上恒为负，
即在上恒成立，
当时，显然成立；
当时，在上恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以，
综上：，即；
（3）解：因为和，
令，则，
因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，
因为，
当且时，因为，所以，
所以在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意；
当时，显然当时，，
当时，因为在上单调递增，且，
故在上存在唯一零点，设为，则，
所以当；当；又当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，
因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有C关系，
综上：，即.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，判断函数和是否具有C关系即可 ；
（2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式求a的取值范围即可；
（3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解据此求解即可.
（1）与是具有C关系，理由如下：
根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，
因为，，，
所以，
令，即，解得，
所以与具有C关系.
（2）令，
因为，，所以，
令，则，故，
因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，
又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立，
当时，显然成立；
当时，在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以，
综上：，即.
（3）因为和，
令，则，
因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，
因为，
当且时，因为，所以，
所以在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意；
当时，显然当时，，
当时，因为在上单调递增，且，
故在上存在唯一零点，设为，则，
所以当；当；又当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，
因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有C关系，
综上：，即.
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