综合质量评价(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题 共48分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．函数y＝中自变量x的取值范围是( B )
A．x＞2 B．x≥2
C．x≠2 D．x≤2
2．下列计算正确的是( C )
A．＝
B．3＝3
C．＝7
D．÷＝2
3．在平面直角坐标系中，点P(1，3)到原点的距离是( C )
A．1 B．3
C． D．±
4．某市欲从师范院校招聘一名“特岗教师”，对甲、乙、丙、丁四位应聘者进行了面试和笔试，他们的成绩如表：
应聘者 甲 乙 丙 丁
测试成绩 面试 86 91 90 83
笔试 90 83 83 92
根据录用程序，作为“特岗教师”面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，分别赋予它们6和4的权．根据四人各自的平均成绩，将录取( B )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
5．一次函数y＝(k－2)x＋3的图象如图，则k的取值范围是( D )
A．k＞3 B．k＜3
C．k＞2 D．k＜2
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E，F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是( B )
A．∠ACD＝∠BCD
B．AD＝BD
C．CD⊥AB
D．CD＝AC
7．直线y＝ax＋b(a≠0)过点A(0，1)，B(2，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解为( C )
A．x＝0 B．x＝1
C．x＝2 D．x＝3
8．下表是某公司员工月收入情况：
月收 入/元 45 000 18 000 10 000 5 500 5 000 3 400 3 300 1 000
人数 /人 1 1 1 3 6 1 11 1
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是( C )
A．平均数和众数
B．平均数和中位数
C．中位数和众数
D．平均数和方差
9．已知△ABC的三个角是∠A，∠B，∠C，它们所对的边分别是a，b，c．有下列条件：①c2－a2＝b2；②∠A＝∠B＝∠C； ③c＝a＝b；④a＝2，b＝2，c＝．其中，能判定△ABC为直角三角形的有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
10．若一组数据x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1＋2，x2＋2，…，xn＋2的平均数和方差分别为( B )
A．17，2 B．18，2
C．17，3 D．18，3
11．若点A(m，n)在一次函数y＝3x＋b的图象上，且3m－n＞2，则b的取值范围为( D )
A．b＞2
B．b＞－2
C．b＜2
D．b＜－2
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A(2，1)，C(6，3)，且AB∥x轴，可移动的直线l: y＝2x＋b从直线y＝2x＋1的位置出发，沿x轴正方向平移，平移距离为m，有以下结论：①当m＝2时，直线l的解析式为y＝2x－3；②若矩形的四个顶点分别在直线l的两侧，则1≤m≤6；③当m＝时，点D和点B关于直线l对称．其中，正确的是( B )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
第Ⅱ卷(非选择题 共102分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．直线l1与直线y＝－3x＋2平行，与直线y＝2x＋1相交于y轴上同一个点，则直线l1的函数解析式是 y＝－3x＋1 ．
14．如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组 的解是 ．
15．计算：6÷＝ 6 ．
16．若直角三角形的三边长分别为x，8，10，则x2＝ 36或164 ．
17．如图，直线y＝kx＋b(k＜0)的图象经过点A(3，1)，当kx＋b＜x时，x的取值范围为 x＞3 ．
18．如图，在矩形ABCD中，P是对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若PB＝2，PD＝5，图中阴影部分的面积之和为8，则矩形ABCD的周长为 12＋2 ．
三、解答题(本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(8分)计算：
(1)－4；
(2)()2－()()．
解：(1)原式＝2＝．
(2)原式＝2＋4＋6－(5－3)＝4＋6．
20．(8分) 《中学生体质健康标准》 规定的等级标准如下：90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两个年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析，成绩如下：
七年级 80 74 83 63 90 91 74 61 82 62
八年级 74 61 83 91 60 85 46 84 74 82
(1)根据上述数据，补充完成下列表格．
整理数据：
优秀 良好 及格 不及格
七年级 2 3 5 0
八年级 1 4 4 1
分析数据：
平均数 众数 中位数
七年级 76 74 77
八年级 74 74 78
(2)该校目前七年级有200人，八年级有300人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人．
(3)结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好？请说明理由．
解：(2)估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有200×＋300×＝40＋30＝70(人)．
(3)七年级学生的体质健康情况更好．因为七年级的优秀人数多，没有不及格的，且平均成绩较高．
21．(8分)如图，已知一次函数的图象经过A(3，5)，B(0，－1)两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若C为y轴上一点，且△ABC的面积为6，求点C的坐标．
解：(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b．
把A(3，5)，B(0，－1)分别代入，得
解得
∴一次函数的解析式为y＝2x－1．
(2)设点C的坐标为(0，m)．
∵△ABC的面积为6，
∴×3×|m－(－1)|＝6，即|m＋1|＝4，
解得m＝3或m＝－5．
∴点C的坐标为(0，3)或(0，－5)．
22．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．求：
(1)AD的长；
(2)AE的长．
解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝10．
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝AB＝5．
(2)∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE．
设EC＝x，则AE＝BE＝8－x．
在Rt△CBE中，BC2＋EC2＝BE2，
即62＋x2＝(8－x)2，
解得x＝．
∴AE＝8－x＝8－＝．
23．(10分)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF．
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵AE＝CF，
∴OE＝OF．
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF(SAS)．
(2)解：四边形EBFD是矩形．理由如下：
∵OD＝OB，OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
∵BD＝EF，
∴四边形EBFD是矩形．
24．(10分)为了响应“绿色出行”的号召，越来越多的市民选择租用共享单车出行．已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种支付方式应支付金额y(单位：元)与骑行时间x(单位：h)之间的函数关系，根据图象回答下列问题：
(1)求手机支付金额y关于骑行时间x的函数解析式；
(2)李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．
解：(1)当0≤x<0.5时，y＝0；
当x≥0.5时，设手机支付金额y关于骑行时间 x 的函数解析式为y＝kx＋b，把(0.5，0)，(1，0.5)代入，
得
解得
所以当x≥0.5时，手机支付金额y关于骑行时间 x 的函数解析式为y＝x－0.5．
综上所述，手机支付金额y关于骑行时间x的函数解析式为y＝
(2)设会员卡支付对应的函数解析式为y＝ax，把(1，0.75)代入，
得0.75＝a×1，
解得a＝0.75，
即会员卡支付对应的函数解析式为y＝0.75x．
令0.75x＝x－0.5，得x＝2．
由图象可知，当0＜x＜2时，李老师选择手机支付比较合算；
当x＝2时，李老师选择两种支付方式同样合算；
当x＞2时，李老师选择会员卡支付比较合算．
25．(12分)为了响应“节能减排”号召，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1 200只，这两种节能灯的进价、售价如表：
种类 进价/(元/只) 售价/(元/只)
甲种 25 30
乙种 45 60
(1)求如何进货能使进货款恰好为46 000元；
(2)设商场购进甲种节能灯x只，求商场销售完这批节能灯时总利润w关于购进甲种节能灯数x的函数解析式；
(3)求如何进货能使商场销售完这批节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，并求出此时的利润．
解：(1)设商场应购进甲种节能灯x只，则购进乙种节能灯(1 200－x)只．
根据题意，得25x＋45(1 200－x)＝46 000，
解得x＝400．
1 200－400＝800(只)．
∴购进甲种节能灯400只、乙种节能灯800只时，进货款恰好为46 000元．
(2)根据题意，得w＝(30－25)x＋(60－45)(1 200－x)＝5x＋18 000－15x＝－10x＋18 000，∴w＝－10x＋18 000．
(3)∵商场销售完这批节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，
∴－10x＋18 000≤[25x＋45(1 200－x)]×30%，
解得x≥450．
∵w＝－10x＋18 000，且－10＜0，
∴w随x的增大而减小．
∴当x＝450时，w最大，w最大＝13 500．
1 200－x＝1 200－450＝750．
∴商场购进甲种节能灯450只，购进乙种节能灯750只时，商场销售完这批节能灯获利最多且不超过进货价的30%，此时的最大利润为 13 500元．
26．(14分)如图，矩形OABC顶点B的坐标为(8，3)，定点D的坐标为(12，0)，动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P，Q两点同时运动，当点Q到达点O时两点同时停止运动．设运动时间为t s．
(1)当t为何值时，四边形OCPQ为矩形？
(2)当t为何值时，以C，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形？
(3)若点E的坐标为(5，0)，当△OEP为等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
解：(1)由题意可知0≤t≤6．
∵四边形OCPQ为矩形，
∴CP＝OQ．
∴t＝12－2t，解得t＝4．
∴当t＝4时，四边形OCPQ为矩形．
(2)当四边形CPQA为平行四边形时，CP＝AQ，
即t＝12－8－2t，∴t＝．
当四边形CPAQ为平行四边形时，CP＝QA，
即t＝2t－(12－8)，∴t＝4．
综上所述，当t的值为或4时，以C，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形．
(3) 当△OEP为等腰三角形时，
则有OE＝OP或OE＝EP或OP＝EP．
①当OE＝OP＝5时，
∵OC＝3，
∴CP＝＝4．
∴P(4，3)．
②当OE＝EP＝5时，
同理可得CP＝5－4＝1．
∴P(1，3)．
③当OP＝EP时，点P在OE的垂直平分线上，
∴CP＝2.5．
∴P(2.5，3)．
综上所述，点P的坐标为(1，3)或(2.5，3)或(4，3)．综合质量评价(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题 共48分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．如果是二次根式，那么x应满足的条件是( C )
A．x＝ B．x＜
C．x≤ D．x≥
2．下列式子中，是最简二次根式的是( D )
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是( D )
A．2×3＝6
B．＝
C．5－2＝3
D．÷＝
4．下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不是直角三角形的是( D )
A．a＝9，b＝41，c＝40
B．a＝b＝5，c＝5
C．a∶b∶c＝1∶∶2
D．a＝11，b＝12，c＝15
5．在 ABCD中，若∠A∶∠B＝2∶1，则∠C和∠D分别为( B )
A．60°和30°
B．120°和60°
C．240°和120°
D．150°和30°
6．按如图的运算程序计算，若输入数字“9”，则输出的结果是( A )
A．7
B．11－6
C．1
D．11－3
7．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O，则图中与△AOB全等的三角形有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角α＝30°．若AC＝8，BD＝6，则 ABCD的面积是( D )
A．6 B．8
C．10 D．12
9．如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接DE并延长交AB的延长线于点F，AB＝BF，添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．下列条件正确的是( C )
A．AD＝BC
B．CD＝BF
C．∠F＝∠CDE
D．∠A＝∠C
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是( C )
A．AB＝AD
B．OE＝AB
C．∠DOE＝∠DEO
D．∠EOD＝∠EDO
11．如图，已知点A，B的坐标分别为(4，0)，(0，3)，连接AB，取AB的中点C，连接OC，则OC的长度为( C )
A．3 B．4
C． D．5
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，∠ADC＝30°，有下列结论：①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是10＋2；④四边形ACEB的面积是16．其中，正确的有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
第Ⅱ卷(非选择题 共102分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．＝ －2 ．
14．化简：当2＜x＜4时，＝ 2x－6 ．
15．若直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或 ．
16．矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的面积是 4 ．
17．如图，在 ABCD中，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，点E在AD上．若BE＝12，CE＝5，则 ABCD的周长是 39 ．
18．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，P是对角线AC上的一个动点，M，N分别是边AB，BC的中点，则PM＋PN的最小值是 5 ．
三、解答题(本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(8分)计算：
(1)；
(2)(2－3)÷．
解：(1)原式＝3－2＝0．
(2)原式＝(8－9)÷＝－．
20．(8分)已知a，b分别是4＋的整数部分和小数部分．
(1)分别写出a，b的值；
(2)求b2＋2a的值．
解：(1)∵1＜＜2，
∴5＜4＋＜6．
∴a＝5，b＝－1．
(2)∵a＝5，b＝－1，
∴b2＋2a＝(－1)2＋2×5＝4－2＋10＝14－2．
21．(8分)如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE相交于点F，连接CF．
(1)求证：BF＝2AE；
(2)若CD＝，求AD的长．
(1)证明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD＝BD．
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，
∠CBE＋∠ACD＝90°．
∴∠CAD＝∠CBE．
在△ADC和△BDF中，
∴△ADC≌△BDF(ASA)．
∴BF＝AC．
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AC＝2AE．
∴BF＝2AE．
(2)解：由(1)知△ADC≌△BDF，
∴DF＝CD＝．
在Rt△CDF中，根据勾股定理，
得CF＝＝＝2．
∵BE⊥AC，AE＝EC，
∴AF＝CF＝2．
∴AD＝AF＋DF＝2＋．
22．(10分)如图，一架方梯AB长25 m，斜靠在一面墙上．
(1)若梯子底端离墙7 m，求这个梯子的顶端距地面有多高；
(2)在(1)的条件下，如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
解：(1)在Rt△AOB中，
AB＝25 m，OB＝7 m，
∴OA＝＝＝24(m)．
∴这个梯子的顶端距地面24 m．
(2)在Rt△A′OB′中，
A′O＝OA－AA′＝24－4＝20(m)，
∴OB′＝＝＝15(m)．
∴BB′＝OB′－OB＝15－7＝8(m)．
∴梯子的底端在水平方向滑动了8 m．
23．(10分)如图，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，BC＝6 cm，点P从点A出发沿AB以3 cm/s的速度向点B移动(不与点A，B重合)，同时点Q从点C出发沿CD以2 cm/s的速度向点D 移动(不与点C，D重合)，经过几秒，△PDQ为直角三角形？请说明理由．
解：经过2 s或 s或 s时，△PDQ为直角三角形．理由如下：
设经过x s，△PDQ为直角三角形．
∵点P不与点A重合，
∴∠PDQ≠90°．
∴△PDQ为直角三角形分两种情况：
①当∠DPQ＝90°时，△PDQ为直角三角形，
如图，过点Q作QM⊥AB于点M，则四边形BCQM为矩形．
∵AP＝3x cm，BM＝CQ＝2x cm，
∴PM＝(16－5x)cm，DQ＝(16－2x)cm．
在Rt△DPQ中，∵PQ2＋DP2＝DQ2，
∴(16－5x)2＋62＋(3x)2＋62＝(16－2x)2，
解得x1＝2，x2＝．
②当∠DQP＝90°时，AP＋CQ＝16，
∴3x＋2x＝16，解得x＝．
综上可知，经过2 s或 s或 s时，△PDQ为直角三角形．
24．(10分)两个完全相同的矩形纸片ABCD，BFDE按如图所示的方式放置，已知AB＝BF＝8，BC＝16．
(1)求证：四边形BHDG是菱形；
(2)求四边形BHDG的周长．
(1)证明：∵矩形纸片ABCD，BFDE完全相同，且矩形的对边平行，
∴AD∥BC，BE∥DF．
∴四边形BHDG是平行四边形．
∵∠ABG＋∠GBH＝90°，∠GBH＋∠FBH＝90°，
∴∠ABG＝∠FBH．
在△ABG和△FBH中，
∴△ABG≌△FBH(ASA)．
∴BG＝BH．
∴四边形BHDG是菱形．
(2)解：由(1)知，BG＝BH＝HD＝DG，
设BH＝x，则DH＝x．
∵BC＝16，AB＝CD＝8，HC＝16－x，
在Rt△DCH中，DH2＝CD2＋HC2，
即x2＝82＋(16－x)2，
解得x＝10，即BH＝10．
∴菱形BHDG的周长为4×10＝40．
25．(10分)如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．
(1)证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥DB，且EC＝DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD＝DB＝CD．
∴EC＝AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵ED∥BC，
∴∠AOD＝∠ACB＝90°．
∴四边形ADCE是菱形．
(2)解：在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，
∴AB＝12，AD＝DB＝CD＝6．
由勾股定理，得AC＝＝6．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE＝BC＝6．
∴S菱形ADCE＝＝＝18．
26．(14分)某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图(1)，在正方形ABCD中，AB＝4，将三角尺放在正方形ABCD上，使三角尺的直角顶点与点D重合．三角尺的一直角边交AB于点P，另一直角边交BC的延长线于点Q．
(1)求证：AP＝CQ；
(2)如图(2)，小明在图(1)的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
(3)在(2)的条件下，若AP＝1，求PE的长．
(1) (2)
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠A＝∠BCD＝∠DCQ＝90°，
AD＝CD＝4．
∵∠PDQ＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ．
在△APD和△CQD中，
∴△APD≌△CQD(ASA)．∴AP＝CQ．
(2)解：PE＝QE．证明如下：
由(1)得△APD≌△CQD，
∴PD＝QD．
∵DE平分∠PDQ，∴∠PDE＝∠QDE．
在△PDE和△QDE中，
∴△PDE≌△QDE(SAS)．∴PE＝QE．
(3)解：由(2)得PE＝QE．
由(1)得CQ＝AP．
又∵AP＝1，
∴BQ＝BC＋CQ＝5，BP＝AB－AP＝3．
设PE＝QE＝x，则BE＝5－x．
在Rt△BPE中，由勾股定理，
得32＋(5－x)2＝x2，
解得x＝3.4，即PE的长为3.4．
