人教版八年级数学下册 第17章 运用勾股定理解决最短路径问题 练习（含解析）

第17章《勾股定理》--运用勾股定理解决最短路径问题
【题型1 正方体中的最短路径】
1.如图，在棱长为的正方体上有一些线段，把所有的面都分成9个小正方形，每个小正方形的边长都为．若一只蚂蚁每秒爬行，则它从下底面点沿表面爬行至右侧点最少要花多长时间？

2.如图，正方体盒子的棱长为2，M为的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，有一棱长为的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（ ）．
A． B． C． D．
4.棱长分别为两个正方体如图放置，点P在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 ．
【题型2 长方体中的最短路径】
1.如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）

A． B． C． D．
2.如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点开始经过四个侧面绕到上底面的顶点，如果缠绕的圈数是，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米．
3.如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ．
4.如图，一个长方体蛋糕盒的长、宽、商分别为，点到点的距离为．现有一只蚂蚁从点出发，沿着长方体的表面爬行到点处，则蚂蚁需要爬行的最短距离是（ ）

A． B． C． D．
【题型3 圆柱中的最短路径】
1.如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ．
3.如图，圆柱底面圆的周长为6cm，CD、AB分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm．
4.如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为 ．
【题型4 圆锥中的最短路径】
1.已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是 ．
2.如图，小明用半径为20，圆心角为的扇形，围成了一个底面半径r为5的圆锥.
（1）扇形的圆心角为 ；
（2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 .
3.某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为 ，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）

A． B． C． D．
4.如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【题型5 台阶中的最短路径】
1.如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（ ）
A． B． C． D．
3.如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4， 和 ，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁想到点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
4.如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是 ．
【题型6 由垂线段最短求最短路径】
1.如图，中，，，点，分别是、的中点，在上找一点，连接、，当最小时，这个最小值是 ．
2.如下图，某国道通过A、B两个村庄，而C村庄离国道较远，为了相应政府“村村通公路”的号召，C村决定采用自己筹集一部分，政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道，已知C村到A、B两村的距离分别为、，A，B两村的距离为，那么这条水泥路的最短距离为多少？
3.如图A，B，C为三个村庄，A，B两村沿河而建且相距17千米，A，C相距千米，B，C相距13千米，C村需从河边修建一条引水渠到村庄，每千米造价1.5万元，则费用最低为（ ）万元
A．6 B． C．4.5 D．7.5
4.如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ．
【题型7 由将军饮马求最短路径】
1.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是 km．
2.如图，河的同侧有、两个村，且，、两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向、两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用（元）．

3.如图，已知直线，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，，试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足且的长度和最短，则此时 ．

【题型8 不规则图形中求最短路径】
1.如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A． B． C．5 D．
2.在一个长11cm，宽5cm的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽，它的底面边长为1cm的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是 cm．
3.如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4的半圆，其边缘，点E在上，，一滑行爱好者从点滑行到点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．

4.固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点爬行到点的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
参考答案
【题型1 正方体中的最短路径】
1.解：如图所示，分两种情况讨论：
①如图1，将正方体的正前和右侧两面展开，使点，在同一平面内．则点到点的最短路径是线段，
由题意，得，，
根据勾股定理，得；
②如图2，将正方体的正前和上底两面展开，使点，在同一平面内，则点到点的最短路径为线段，
由题意，得，，
根据勾股定理．得．
∵，
∴图1中的路径最短，
∴这只蚂蚁至少要爬行的时间为．

2.B
【分析】本题考查了两点之间线段最短、正方体的展开图、勾股定理等知识，先利用展开图确定最短路径，再由勾股定理求解即可，牢记相关概念和灵活应用是解题的关键．
【详解】解：如图，蚂蚁沿路线爬行路程最短，
，为的中点，
，
．
故选：．
3.C
【分析】此题考查了勾股定理的应用，把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于个棱长，利用勾股定理可求得，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”解题的关键．
【详解】如图，将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线，
展开后由勾股定理得：，
∴，即有：，
故选：．
4.cm．
【分析】求出两种展开图的值，比较即可判断；
【详解】解：如图，有两种展开方法：
方法一∶，
方法二∶．
故需要爬行的最短距离是cm．
故答案为：cm．
【题型2 长方体中的最短路径】
1.C
【分析】展成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．本题考查平面展开路径问题、勾股定理，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线．
【详解】解：就是蚂蚁爬的最短路线．

但有三种情况：
当：，．
．
当，．
．
当，
．
∵
∴第三种情况最短．
故选：C．
2.
【分析】本题主要考查最短路径问题，画出展开图，运用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
米，米，
由勾股定理得，（米）；
故答案为：．
3.
【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键．
【详解】解：如图，将长方体侧面展开得，
蚂蚁的爬行的最短路径为的长，
（），
，
蚂蚁的爬行的最短路径为 ，
故答案：．
4.C
【分析】考虑蚂蚁从正面和上面沿直线爬到点，从正面和右侧面沿直线爬到点，从左侧面和上面沿直线爬到点，画出图形，利用勾股定理求出距离，进行比较即可解答．
【详解】解：当蚂蚁从正面和上面沿直线爬到点，如图所示：

此时，则，
；
当蚂蚁从正面和右侧面沿直线爬到点，如图所示：

此时，则，
；
从左侧面和上面沿直线爬到点，如图所示：

此时，则，
；
，
蚂蚁需要爬行的报短距离是，
故选：C．
【题型3 圆柱中的最短路径】
1.C
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，先根据题意画出圆柱的侧面展开图，然后连接，再利用勾股定理即可得出的长即可得到结论．利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
在圆柱的侧面展开图中，，，设，
∵点移动的最短距离为，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴圆柱的底面周长为：．
故选：C．
2.
【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
∵圆柱底面的周长为，圆柱高为，
∴，
∴，
∴，
∴这圈金属丝的周长最小为．
故答案为：．
3.
【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理的应用，把立体图形展开成平面图形，依题意，从A到C缠绕了一圈半，则，，根据两点之间线段最短求出长即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，
∴展开后，，
由勾股定理得：
故答案为：．
4.
【分析】本题主要考查了平面展开图最短路径问题，先“化曲面为平面”，把圆柱的侧面展开成矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．
【详解】解：如图，
根据题意，， ，
∵点位于圆周顶面处，
∴，，
∴小虫爬行的最短路程．
故选：．
【题型4 圆锥中的最短路径】
1.
【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得．
【详解】解：圆锥的底面周长是：，
则
，
即圆锥侧面展开图的圆心角是，
如图所示，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵C是的中点，
∴，
∴，
∵在圆锥侧面展开图中，，
∴在圆锥侧面展开图中：，
∴蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是：，
故答案为：．
2.
【分析】（1）由于圆锥的底面圆周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求出侧面展开图的圆心角；
（2）根据两点之间线段最短，把圆锥的侧面展开成平面图形，构造直角三角形根据勾股定理即可求得．
【详解】解（1）圆锥的底面周长，
，
解得；
故答案为．
（2）圆锥的侧面展开图如图所示，构造，根据两点之间线段最短得最短路程为：．
故答案为．
3.B
【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为，进而即可求解．
【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为 ，
∴
解得：
∵
解得：
∴侧面展开图的圆心角为
如图所示，即为所求，过点作，
∵，，则
∵，则
∴，，

故选：B．
4.C
【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．
【详解】圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是 6π，
以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l=6π，
设展开后的圆心角是n°，则
解得：n=180，
即展开后
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，
由勾股定理得：
故选C．
【题型5 台阶中的最短路径】
1.C
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理．根据题意画出台阶的侧面展开图，再根据勾股定理求出的长即可得出结论．
【详解】解：如图所示，
，
．
故选C．
2.C
【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高分别为,
∴
即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是，
故选：C．
3.C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．将台阶展开为矩形，然后利用勾股定理计算的值，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．
【详解】解：如下图，将台阶展开为矩形，线段恰好是直角三角形的斜边，
则，，
在中，，
所以蚂蚁所走的最短路线长度为5．
故选：C．
4.
【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短．
【详解】解：将台阶展开成平面图形：
在中，，，
，
其爬行的最短长度，
故答案为：．
【题型6 由垂线段最短求最短路径】
1.
【分析】连接，BP，根据等腰三角形的性质可得CD垂直平分AB，从而得到AP=BP，进而得到就是的最小值，再由勾股定理求出BE，即可求解．
【详解】解：如图，连接，BP，
∵，点是的中点，
∴CD垂直平分AB，
∴AP=BP，
∴AP+PE=BP+PE≥BE，
∴就是的最小值，
∵中，，点，分别是，的中点，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
2.解：过点C作，垂足为D点，
则这条水泥路的最短距离为的长度，
，
在中，，，，
则，即：，
∴为直角三角形，
∴，
这条水泥路的最短距离为．
3.D
【分析】本题主要考查了勾股定理，正确理解勾股定理的含义是解题关键．过点C作，设千米，则千米，由勾股定理可得，列出方程求解，再用勾股定理求出即可得出答案．
【详解】如图，过点C作，
设千米，则千米，
，
，
，
，
千米，
（千米），
费用最低为万元．
故选：D
4.
【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．
如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H．因为，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小．
【详解】解：如图所示：在上取点，使，
∵,
∴,
∴.
在中，
．
过点C作，垂足为H．
，
，
∵，
∴当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为的长，
的值最小为，
故答案为：．
【题型7 由将军饮马求最短路径】
1.17
【分析】如图（见详解），将小河看成直线MN，由题意先作A关于MN的对称点，连接A`B，构建直角三角形，则A`B就是最短路线；在Rt△A`DB中，∠A`DB=90°，BD=8km，A`D=AD+A`A，利用勾股定理即可求出A`B．
【详解】如图，做出点A关于小河MN的对称点A`，连接A`B交MN于点P，则A`B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．
在Rt△A`DB中，由勾股定理求得．
则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．
2.解：如图，作点关于的对称点，连接交于，点即为水厂的位置．
分过点作交的延长线于点，过点作于点，

则，，．
∴．
在中，，
∴，
∴．
在中，，
由勾股定理得．
∴（元）．
故铺设水管的总费用为20000元．
3.
【分析】表示直线与直线之间的距离，是定值，只要满足的值最小即可．过作直线的垂线，并在此垂线上取点，使得，连接，则与直线的交点即为，过作于点．则为所求，利用勾股定理可求得其值．
【详解】解：过作直线的垂线，并在此垂线上取点，使得，连接，与直线交于点，过作直线的垂线，交直线于点，连接，过点作，交射线于点，如图．
，，
．
又，
四边形是平行四边形，
．
由于要最小，且固定为4，所以最小．
由两点之间线段最短，可知的最小值为．
，，
，
，
所以的最小值为．
故答案为：．

【题型8 不规则图形中求最短路径】
1.C
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于，连接，
此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程，
∵米，米，点到的距离是米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．
故选：C．
2.13
【分析】将木块展开看作平面后，由两点之间线段最短知蚂蚁的最短距离为线段AC，由勾股定理计算即可．
【详解】将长方形纸片与木块展开后如图所示
由两点之间线段最短可知蚂蚁的最短距离为线段AC
此时AB长度为11-1+2=12
由勾股定理有
即
故答案为：13．
3.20
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—最短路径问题．通过将U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理求最短路径是解题的关键．将半圆面展开，连接，则是最短路径，根据，计算求解即可．
【详解】解：将半圆面展开如图：连接，则是最短路径，

∴，，
由勾股定理得，．
∴滑行的最短距离约为，
故答案为：20．
4.A
【分析】本题考查勾股定理的应用．根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，
由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
正方体的棱长为4，
，，
在中，，
在中，，
．
故选：A．