人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理 章节测试卷 （含解析）

第17章《勾股定理》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在中，斜边，则等于（ ）
A．8 B．4 C．6 D．以上都不对
2．2002年8月在北京召开的国际数学大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：如果大正方形的面积是7，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．

A． B． C． D．
6．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（　　）
A．2 B．+1 C．2 D．﹣1
7．我国是较早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在西周 由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（　 　）
A．9 B．35 C．45 D．无法计算
9．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为（ ）

A．3 B． C． D．9
10．在中，是直线上一点，已知，，，，则的长为（ ）
A．4或14 B．10或14 C．14 D．10
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为 　
12．直角三角形的两条直角边为和，斜边长为6，若，则 ．
13．《九章算术》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一道有趣的题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何 ”其大意如下：已知甲、乙两人同时从一地出发，甲的速度为7步/秒（步为古代长度计量单位，与现在的米类似），乙的速度为3步/秒．乙一直向东行走，甲向南行走10步后，偏离原方向，朝北偏东的方向直行一段后与乙相遇，问甲、乙各行走了多少步 设乙经过秒后两人相遇，则根据题意，可列方程为 ．
14．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为，那么的值为 ．
15．如图，有一个圆柱形储油罐，要以A点为起点环绕油罐侧面建梯子，正好到达A点正上方的B点，则梯子最短需要（已知油罐底面周长是12米，高8米） ．
16．若，则的最小值为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）已知：在中，，于，，．求：

(1)求的面积；
(2)求线段的长：
(3)求高的长．
18．（6分）为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地的面积．
19．（8分）在中， 、、三边的长分别为 、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．

(1)的面积为： ．
(2)若三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的
20．（8分）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．
(1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在和中，，（点，，在一条直线上），，，．
证明：；
(2)请利用“数形结合”思想，画图并推算出的结果．
21．（8分）如图是一个长、宽、高的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少？
22．（8分）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因为证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．

(1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上分别找出表示数0的点O，表示数3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．
(2)应用场景2——解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索的长．
23．（8分）如图，长方形ABCD中，，．E为CD边上一点，．
（1）求AE的长；
（2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，是等腰三角形；
②当t=______时，．
参考答案
一．选择题
1．A
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可知，进而可知．
【详解】解：∵在中，斜边为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选A．
2．A
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及完全平方公式．根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解．
【详解】解：如图，大正方形的面积是，
，
，
直角三角形的面积是，
∴直角三角形的面积是，
，
，
，
故选：A．
3．A
【分析】本题主要考查了勾股定理．利用直角三角形的勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵ 在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，
∴任意两个格点间的距离为，，，
1，2，，，．
∴任意两个格点间的距离不可能是，
故选：A．
4．D
【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，根据已知条件以及勾股定理可得，根据正方形的面积可得到结果，正确应用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，
∴，
∵正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，
∴，
故选：D．
5．C
【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设，则，
由勾股定理得：
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
所以：，
解得：．
所以，应建在距点处．
故选：．
6．D
【分析】由题意可知，CD=CB=1，AD=AE，利用勾股定理求出AC的长，即可得到AE的长.
【详解】由题意可得CD=CB=1，AD=AE，
∵点A，B表示的数分别为0，2，
∴AB=2，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴，
∴，
∴E表示的数为：．
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据图形面积之间的关系，逐项推理论证判断即可．
【详解】解：A．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意；
B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
D．图中图形面积等于边长为c的正方形面积，加上两个直角边分别为a、b的长方形面积，即其面积为：，也可看作是一个梯形面积加上一个等腰直角三角形的面积，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意；
故选：C．
8．C
【详解】【分析】由勾股定理求出BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，再代入可得MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2），化简可求得结果.
【详解】在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，
∴MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）
=AC2-AB2
=45．
故选C
9．C
【分析】做点F做交AD于点H，因此要求出EF的长，只要求出EH和HF即可；由折叠的性质可得BE=DE=9-AE，在中应用勾股定理求得AE和BE，同理在 中应用勾股定理求得BF，在中应用勾股定理即可求得EF．
【详解】过点F做交AD于点H．

∵四边形是四边形沿EF折叠所得，
∴ED=BE，CF=，
∵ED=BE，DE=AD-AE=9-AE
∴BE=9-AE
∵，AB=3，BE=9-AE
∴
∴AE=4
∴DE=5
∴
∴，,
∴
∴BF=5，EH=1
∵，HF=3，EH=1
∴
故选：C．
10．A
【分析】根据AC=13，AD=12，CD=5，可判断出△ADC是直角三角形，在Rt△ADB中求出BD，继而可得出BC的长度．
【详解】∵AC=13，AD=12，CD=5，
∴，
∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，
由于点D在直线BC上，分两种情况讨论：
当点D在线段BC上时，如图所示，
在Rt△ADB中，，
则；
②当点D在BC延长线上时，如图所示，
在Rt△ADB中，，
则．
故答案为：Ａ．
二．填空题
11．
【分析】本题考查图形规律探究，等腰直角三角形、正方形的性质，勾股定理，总结归纳出规律是解题的关键．
根据题意表示出，，的值，找到规律，根据规律计算即可．
【详解】解：由题意可知，面积为的正方形的边长为1，，
面积为的正方形的边长为，，
面积为的正方形的边长为，，
面积为的正方形的边长为，，
．
一般规律为：
，则．
故答案为：．
12．504
【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式、求代数式的值，先由勾股定理得出，利用完全平方公式的变形得出，再将式子变形为，整体代入计算即可得解．
【详解】解：直角三角形的两条直角边为和，斜边长为6，
，
，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】根据题意画出三角形ABC，用含x的代数式表示三边长，利用勾股定理可得方程．
【详解】解：如图，两人同时从A地出发，甲向南行走10步后到达C地后，偏离原方向．设x秒两人在B处相遇，这时乙行驶，甲共行驶，

∵，
∴，
∵，
由勾股定理得：，
故答案为：．
14．
【分析】阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可．
【详解】由题意作出如下图，阴影部分由四个与全等的三角形和一个边长为的正方形组成
由题意得：，，
∴，
∴
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理；
将圆柱侧面展开，得到长方形，然后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：把圆柱形储油罐的侧面展开，如图：
∵油罐底面周长是12米，高8米，
∴，，
∴，
即梯子最短需要，
故答案为：．
16．15．
【分析】构造和，其中，，，，由图可知当点C、E、D三点共线时最小，然后根据勾股定理求解即可
【详解】解：构造和，
其中，，，，
那么，
当点C、E、D三点共线时最小，
且
．
即的最小值为15．
故答案为：15．
三．解答题
17．（1）解：∵，，，
∴；
（2）∵，，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴．
18．解：如图，连接，
在中，，
在中，，
而，
即，
为直角三角形，
，
，
答：空地的面积．
19．（1）解：由图可得，，
故答案为：．
（2）解：如图，即为所求；

20．（1）证明：梯形的面积，
梯形的面积，
∴，
化简可得：；
（2）解：如图所示：
大正方形的面积；
大正方形的面积，
∴．
21．解：由题意可知，仓库的长为、宽为、高为，点A是长的四等分点，点B是宽的三等分点
如图1，此时，，，
，
；
如图2，此时，，，
，
；
如图3，此时，，，
，
，
，
壁虎爬到蚊子处的最短距离为．
22．（1）解：在中，，，
又∵O为圆心，点C表示的数大于零，
∴点C表示的数是．
故答案为：；
（2）解：设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
由题意知，四边形为矩形，
∴
在中，，
即，
解得，
即的长度为，
答：绳索的长度为
23．解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴，，
∴，
在中，，
（2）①若为等腰三角形，则有三种可能.
当时，，
∴，
当时，，
∴，
当时，过点E作，
在中，，
∴，
即，
解得：， ，
∴
综上所述，符合要求的t值为2或或；
②当时，
在中，，
即，
在中，，
即，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴当时，．