初中数学苏科版（2024）七年级下册 第10章《二元一次方程组》章节测试卷 （含解析）

第10章《二元一次方程组》章节测试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于的二元一次方程的一个解是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知方程组，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．用代入法解方程组时，将②代入①正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．关于x，y 的方程组 的解也是二元一次方程的解，则 m的值是 （ ）
A． B．3 C．2 D．
6.中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在（孙子算经）中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有辆车，人，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．是关于，的二元一次方程，则 ．
10．已知关于，的方程组的解满足，则 ．
11．若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值= ．
12．班级要用40元钱买、两种彩笔，两种彩笔必须都买，已知型彩笔每个6元，型彩笔每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有 种．
13．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则的值 ．
14．a为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则 ．
15．对于有理数定义一种新运算：，其中a，b为常数，已知，则 ．
16．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于 ；
三、解答题（本大题共7小题，共68分．）
17．解方程组：
(1) (2)．
18．小明在解方程组时的过程如下：
解：由①×2，得③， … 第一步 ②- ③，得，… 第二步 得． … 第三步 把代入①，得，… 第四步 所以原方程组的解为
(1)小明的解题过程从第 步开始出现错误；
(2)请你写出正确的解方程组的过程．
19.若 是二元一次方程组 的解，求 的值．
20．甲、乙两种作物单位面积产量的比是．现要把一块长，宽为的长方形土地，如图分为两块小长方形土地，左边长方形种甲种作物，右边长方形种乙种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量相等？
21．先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多．
解方程组
解：，得，③
，得，④
，得，
将代入③得，
所以原方程组的解是，
根据上述材料，解答问题：
(1)解方程组；
(2)在（1）的条件下，求式子的值．
22．甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下：
人数 人 人 人以上
票价 元/人 元/人 元/人
(1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元；
若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览；
(2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数．
23．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元．
(1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
参考答案
一、选择题．
1．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义；
如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次 ，那么这样的整式方程组叫做二元一次方程组，据此判断即可．
【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程组；
B、第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组；
C、第一个方程不是二元一次方程，不是二元一次方程组；
D、符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
故选：D．
2．B
【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了解二元一次方程组．利用加减消元法两个方程相加，再利用整体法求解即可．
【详解】解：，
①+②得：，
两边同时除以4得：，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，用替换即可求解
【详解】解：将②代入①得：，
故选：C
5．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组，正确求出、的值是解题的关键．
先求出方程组的解，然后代入方程中即可求出的值．
【详解】解：，
②①得，，即，
把代入①得，，
把、的值代入中，得，
解得：．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：根据题意可得：
，
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可．
【详解】解：由题意，得把，代入②，得，
解得，
把，代入①，得，
解得，
所以，．
故选C．
8．A
【分析】将变形为，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程组，再得其解即可．
【详解】解：将变形为,
设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：，
因为方程组的解是，
所以，解得：，
所以方程组的解是，
故选：A．
二、填空题
9．1
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值．
【详解】解：根据题意，得且，
解得，
故答案为：1．
10．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点①②得，，结合已知可得，即可求解．
【详解】解：
①②得，
∵
∴，
解得：
故答案为： ．
11．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程运算，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】解：根据题意，
得：，
将代入①得：，
将代入得：
，
得：，
将代入④得：，
当时，
故答案为：．
12．3
【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设购买A型彩笔x个，购买B型彩笔y个，根据购买费用为40元建立关于x、y的方程，再求出方程的正整数个数即可得到答案．
【详解】解：设购买A型彩笔x个，购买B型彩笔y个，
由题意得，，
∴，
∴
∵两种彩笔必须都买，
∴x、y都为正整数，
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴一共有3种购买方案，
故答案为：3．
13．
【分析】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义．根据方程的解的概念得出是方程②的解，是方程①的解，从而得到、满足，，解之求出、的值，代入代数式计算即可．
【详解】解：将代入，
可得：，，
解得：，
将代入，
可得：，
解得：，
当，时，．
故答案为：．
14．4
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和方程解的定义．先利用加减消元法消去，求出，根据为正整数和方程组有整数解，列出关于的方程，求出的值，再把求的代入②求出，最后根据也是整数，对的值进行取舍，然后解答后即可．
【详解】解：，
①②得：，
是正整数，
或，
解得：或7，
把代入②得：，
把代入得，
把代入得，
已知二元一次方程组有整数解，
不符合题意舍去，
，
，
故答案为：4．
15．13
【分析】本题主要考查了新运算法则、解二元一次方程组、代数式求值等知识点，根据新运算法则将已知等式转换成二元一次方程组成为解题的关键．
先根据新运算法则将已知等式转换成二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，最后代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：13．
16．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、同底数幂相乘，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出，再根据同底数幂乘法得出，整体代入计算即可得解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
∴，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：，
①3得，③，
得，，
∴，
将代入方程①，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
得，，
将代入方程②，解得：，
将代入方程①，解得：，
∴原方程组的解为：．
18．（1）解：第一步开始错误，
∵由①，方程右边的常数项没有．
（2）解：
由①，得③，
③②，得，
把代入①，得，
所以原方程组的解为
19．解： 是二元一次方程组 的解，
，
整理得：，
得：，
得：，
．
20．解：设，，
由题意得，，
解得，
答：把长方形土地分成左边长为，右边长，可使甲，乙两种作物的总产量相等．
21．（1）解：
得：，即③，
得：④，
得：，
把代入③得：，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：当时，．
22．（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元），
，
乙公司人数超过人，
则乙公司游览人数为：（人），
故答案为：；；
（2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，
若时，
根据题意，得，
解得，；
若时，
根据题意，得，
解得，，
甲公司不超过人，
此情况不符合题意，舍去；
答：甲公司有人游览，乙公司有人游览．
23．（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，
共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元．