中考数学冲刺满分计划压轴集训测试三
一、选择题
1．（2023·锦州）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥EF于点H，
∵DE=DF=5，EF=8，
∴EH=FH=EF=4，
∴；
①当0≤t＜4时，如图，重叠部分为△EPQ，此时EQ=t，PQ∥DH，
∴△EPQ∽△EDH，
∴，即，
∴，
∴；
②当4≤t＜8时，如图，重叠部分为四边形POC'B'，此时CC'=t，PB'∥DE，
∴B'F=BC+CF-BB'=12-t，CF=8-t，
∵PB'∥DE，
∴△PB'F∽△DCF，
∴，
又∵S△DCF=×8×3=12，
∴，
∵DH⊥BC，∠AB'C'=90°，
∴AC'∥DH，
∴△C'QF∽△HFD，
∴，即，
∴，
∴；
③当8＜t≤12时，如图，重叠部分为△PFB'，此时BB'=CC'=t，PB'∥DE，
∴B'F=BC+CF-BB'=12-t，
∵PB'∥DE，
∴△PB'F∽△DCF，
∴，即，
∴，
综上
∴函数分为三段，第一段是开口向上的抛物线，第二段是开口向下的抛物线，第三段又是开口向上的抛物线，
∴符合题意得函数图象是A选项.
故答案为：A.
【分析】首先根据等腰三角形的三线合一得出EH=FH=EF=4，然后根据勾股定理算出DH的长；然后分类讨论：①当0≤t＜4时，如图，重叠部分为△EPQ，此时EQ=t，PQ∥DH，判断出△EPQ∽△EDH，根据相似三角形对应边成比例用含t的式子表示出PQ，进而根据三角形面积计算公式表示出S；②当4≤t＜8时，如图，重叠部分为四边形POC'B'，此时CC'=t，PB'∥DE，判断出△PB'F∽△DCF，△C'QF∽△HFD，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方表示出△PB'F及△C'FQ的面积，进而根据S=S△PB'F-S△C'QF表示出S；③当8＜t≤12时，如图，重叠部分为△PFB'，此时BB'=CC'=t，PB'∥DE， 判断出△PB'F∽△DCF，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方表示出三角形PB'F的面积，从而根据各段函数图象的开口方向判断得出答案.
2．（2023·盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，，，点P是边AD上一点不与点A，D重合，连接PB，PC，点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AD的对称点C'，连接BC'、PC'，
∴PC=PC'，CD=C'D=，
∴PC+PB=PC'+PB，
∴当B、P、C'三点在同一直线上时，BP+PC'=BC'最小，此时BC'=；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，
∵点M、N分别是BP、CP的中点，
∴AM=BP，DN=PC，MN∥BC，
∴MN∥AD，
又∵DN∥ME，
∴四边形MNED是平行四边形，
∴DN=ME，
∴AM+ME=AM+DN=(BP+PC)，
∴要求AM+ME的最小值，就是求BP+PC的最小值，
∴AM+ME=AM+DN=(BP+PC)=.
故答案为：C.
【分析】作点C关于AD的对称点C'，连接BC'、PC'，由轴对称性质得PC=PC'，CD=C'D=，则PC+PB=PC'+PB，B、P、C'三点在同一直线上时，BP+PC'=BC'最小，在Rt△BCC'中，利用勾股定理算出BC'；由矩形性质得∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AM=BP，DN=PC，由三角形中位线定理得MN∥BC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得MN∥AD，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形MNED是平行四边形，由平行四边形的对边相等得DN=ME，可推出AM+ME=AM+DN=(BP+PC)，故要求AM+ME的最小值，就是求BP+PC的最小值，从而即可求出答案.
二、填空题
3．（2023·盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，，，点E为边BC的中点，点F为边AD上一点，将四边形ABEF沿EF折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则FD的长是 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设B'E交AD于点G，过点E作EM⊥AD于点M，
∴∠AME=90°，
∵BC=6，点E是BC的中点，
∴BE=BC=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=6，AB=CD=，AD∥BC，
∴四边形ABEM是矩形，∠DFE=∠BEF，
∴ME=AB=，AM=BE=3，∠BEM=90°，
∴ME⊥BC，
由折叠得∠BEF=∠B'EF，BE=B'E=3，
∴∠DFE=∠B'EF，
∴FG=GE，
在Rt△B'EH中，，
∵ME⊥BC，B'H⊥BC，
∴B'H∥ME，
∴∠EB'H=∠B'EH，
∴△MEG∽△HB'E，
∴，即，
∴，，
∴FM=FG-MG=，
∴AF=AM-FM=，
∴FD=AD-AF=.
故答案为：.
【分析】设B'E交AD于点G，过点E作EM⊥AD于点M，由矩形性质得∠A=∠B=90°，AD=BC=6，AB=CD=，AD∥BC，进而根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形ABEM是矩形，则ME=AB=，AM=BE=3，∠BEM=90°，根据中点的性质及平行线的性质可推出∠DFE=∠B'EF，由等角对等边得FG=GE；在Rt△B'EH中，由勾股定理算出EH，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△MEG∽△HB'E，由相似三角形对应边成比例可求出EG、MG，进而根据线段的和差可解决此题.
4．（2024·顺城模拟）如图，在中，，，，点D为边上一点（不与A，B重合），点E为的中点，将沿翻折，得到，连接，当以点D，E，B，F为顶点的四边形为平行四边形时，的长为 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
根据勾股定理得：，
分类讨论：
①四边形为平行四边形，
由翻折可知，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴.
②四边形为平行四边形，
由翻折可知，，
∵点E为的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
解得：，
∴；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【分析】先利用勾股定理求出，然后分类讨论：①四边形为平行四边形，②四边形为平行四边形，由折叠的性质及勾股定理分别求解即可．
5．（2024·坪山模拟）如图，E是菱形边BC上一点，，把绕点E顺时针旋转 得到交于点G，，则 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】证明：，，
，
，
∴．
连结交于，过作的平行线交于．连接
菱形中，，，
，
，互相垂直平分，
，
，
．
，
．
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即
，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
解得
故答案为：
【分析】根据相似三角形判定定理可得，连结交于，过作的平行线交于．连接，根据菱形性质可得，，，，互相垂直平分，则，再根据勾股定理可得OA，再根据相似三角形性质可得，根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据直线平行性质可得，则，再根据含30°角的直角三角形性质及勾股定理可得，，再根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则代值计算即可求出答案.
三、证明题
6．（2025·长沙模拟）定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数．
（1）试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由；
（2）已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式；
（3）如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标．
【答案】（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得，
解得，或，
∴两函数图象的交点为和，
∵，
∴，
∴，
∴它们存在“属合成”函数，
∵，
∴“属合成”函数解析式为．
（2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为，
∴的解为和，即，
∴，
∵存在“属合成”函数为，
∴，即，
∴，
∴．
①当时，
联立，
解得，
∴，
把点代入解得（舍），
∴；
②当时，
联立，
解得或，
∴，
把点代入，解得或（舍），
∴，
综上可得，的解析式为或．
（3）解：∵与存在“2属合成”函数，
∴根据（2）的计算可得，则，
设其两个根为，
∴，
∴，则，
∴，
∴“2属合成”函数解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∴，
如图，作垂线和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
又，
∴，
设，可求得，
由可求得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
设，
，
解得或（舍），
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据“属合成”函数的定义，联立方程组求解即可；
（2）设两函数图象的交点横坐标为和，根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据存在“属合成”函数为，得到，即，可求出，再分类讨论计算即可求解；
（3）根据题意，结合（2）的计算方法得到，“2属合成”函数解析式为，根据二次函数顶点坐标可得，，如图，作垂线和，可证，设，可求得，可证，求出，，点在以为圆心，为半径的圆上，设，根据数量关系列式求解即可．
（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得，
解得，或，
∴两函数图象的交点为和，
∵，
∴，
∴，
∴它们存在“属合成”函数，
∵，
∴“属合成”函数解析式为．
（2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为，
∴的解为和，即，
∴，
∵存在“属合成”函数为，
∴，即，
∴，
∴．
①当时，
联立，
解得，
∴，
把点代入解得（舍），
∴；
②当时，
联立，
解得或，
∴，
把点代入，解得或（舍），
∴，
综上，的解析式为或．
（3）解：∵与存在“2属合成”函数，
∴根据（2）的计算可得，则，设其两个根为，
∴，
∴，则，
∴，
∴“2属合成”函数解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∴，
如图，作垂线和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
又，
∴，
设，可求得，
由可求得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
设，
，
解得或（舍），
∴．
四、实践探究题
7．（2024·顺城模拟）（1）【问题初探】
在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1，是等腰直角三角形，，，点D在上，连接．求证：．
①如图2，小明同学从结论出发给出如下的解题思路：过点C作，垂足为E，在中，，依据，，进行等量变换得出结论．
②如图3，小亮同学从条件出发给出如下的解题思路：过点C作，且，连接，，依据，得到，，在中，，由得出结论．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】
小红同学在深刻感悟前面两名同学的解题思路的基础上发现，当点D在如图4的位置时（1）中的结论还成立，请你写出证明过程；
（3）【学以致用】
赵老师在此基础上提出问题：若（1）中的点D在直线上，当时，画出草图并求出的度数．
【答案】（1）解：过点C作，垂足为E
在中，根据勾股定理得，
．
（2）解：过点C作，垂足为E
在中，根据勾股定理得，
．
（3）解：如图，当点D在上时
，
在中，
如图，当点D在延长线上时
，
在中，
综上所述，的度数为或．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的性质可得，在中，根据勾股定理得，，结合，即可证明结论；
（2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的性质可得，在中，根据勾股定理得，，结合，即可证明结论；
（3）分类讨论：当点在上时，当点在延长线上时，根据直角三角形的性质，分别求解即可.
8．（2024九下·辽宁模拟）【问题初探】
（1）如图1，在中，，点E在上（且不与点B，C重合），在的外部作，使，，连接，过点A作，过点D作，DF交于点F，连接．根据以上操作，判断：四边形的形状是_____，_____．
【变换探究】
（2）如图2，将图1中的绕点B逆时针旋转，使点E落在边上，过点A作，过点D作，交于点F，连接，若，求的长．
勤奋小组通过第（1）问的解题经验，尝试连接，猜想为特殊的三角形；
创思小组在勤奋小组的提示下，成功的证明出一对三角形全等，进而求得的长度．
请结合两个小组的解题思路，写出解题过程．
【迁移拓展】
（3）博文小组在第（2）问的基础上进行了如下创新，将图1中的绕点B顺时针旋转，使点D在的右侧，过点A作过点D作，交于点F，连接，并尝试连接，．
他们发现：若，，当四边形为菱形时．可求得的长度．请完成以下问题：
①求的长；
②当点D在左侧时，请直接写出的长．
【答案】（1）平行四边形，；（2）；（3）①；②
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质；已知余弦值求边长
五、综合题
9．（2023·锦州模拟）如图，已知点D是外接圆上的一点，于G，连接AD，过点B作直线交AC于E，交于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD．
（1）求证：；
（2）若，试探究与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：，
，
，
；
（2）证明：与之间的数量关系为：．
理由如下：
作于点M，连接OC、DF、CF，
，
，
为CD中点，
，
，
于G，
，
，
，，
，，
，
，
设，则，
，，，
，，，
，
，
，
，
即．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再结合，即可得到；
（2）作于点M，连接OC、DF、CF，设，则，，，， 得到，再结合，求出，即可得到。
10．（2025·浙江模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D位于⊙O外一点，连接AD，BD，CD，BD交⊙O于点 E，连接CE.已知AB=AC=AD.
（1）如图1，求证：∠ACE=∠ADE.
（2）如图2，BD经过圆心O，AB=2CD.
①求 cos∠BAC 的值；
②若AB=3，求⊙O的半径，
【答案】（1）证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ACE＝∠ABE，
∴∠ACE＝∠ADE.
（2）解：①如图，连接AO，CO，
∵AO＝BO＝CO，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAC＝∠OCA，
∵AB＝AC，
∴∠AOB＝∠AOC.
∴∠OBA＝∠OAB＝∠BAC.
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC.
∵∠ACE＝∠ADE，
∴∠ECD＝∠EDC＝∠BEC.
∵∠BAC＝∠BEC，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠ECD＝∠EDC.
∴△ABO∽△CDE.
∵AB＝2CD，
∴BO＝2EC，
∴BE＝4EC，
∵BD经过圆心O，
∴BD是⊙O的直径.
∴∠BCE＝90°.
∴cos∠BAC＝cos∠BEC＝
（其他解法提示：如图3，连接AE并延长与CD相交于点G，
可证∠BAC＝∠ACG，cos∠BAC＝cos∠ACG＝)
②如图，延长AO交BC于点F，
∵AB＝AC，∠OAB＝∠OAC，
∴AF⊥BC.
∴∠AFB＝90°，BF＝CF.
∵O为BE的中点，
∴FO＝.
∵BO＝AO＝2CE，
∴BF2＝BO2－FO2＝CE2.
∴BF2＝AB2－AF2＝9－CE2.
∴CE2＝.
∴CE＝（舍去），CE=.
∴.
【知识点】求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）先根据等边对等角，证明∠ABD＝∠ADB， 再根据圆周角定理得出∠ACE＝∠ABE，从而可得∠ACE＝∠ADE.
（2）①先证明等边对等角，通过证明两对角分别相等，来证明△ABO∽△CDE，列出比例式，可证明BE＝4EC， 再求出cos∠BAC；
②先证明AF⊥BC，利用中位线的定理可得FO＝，再利用勾股定理可求得CE，从而可求得AO.
1 / 1中考数学冲刺满分计划压轴集训测试三
一、选择题
1．（2023·锦州）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，，，点P是边AD上一点不与点A，D重合，连接PB，PC，点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题
3．（2023·盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，，，点E为边BC的中点，点F为边AD上一点，将四边形ABEF沿EF折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则FD的长是 .
4．（2024·顺城模拟）如图，在中，，，，点D为边上一点（不与A，B重合），点E为的中点，将沿翻折，得到，连接，当以点D，E，B，F为顶点的四边形为平行四边形时，的长为 ．
5．（2024·坪山模拟）如图，E是菱形边BC上一点，，把绕点E顺时针旋转 得到交于点G，，则 ．
三、证明题
6．（2025·长沙模拟）定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数．
（1）试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由；
（2）已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式；
（3）如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标．
四、实践探究题
7．（2024·顺城模拟）（1）【问题初探】
在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1，是等腰直角三角形，，，点D在上，连接．求证：．
①如图2，小明同学从结论出发给出如下的解题思路：过点C作，垂足为E，在中，，依据，，进行等量变换得出结论．
②如图3，小亮同学从条件出发给出如下的解题思路：过点C作，且，连接，，依据，得到，，在中，，由得出结论．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】
小红同学在深刻感悟前面两名同学的解题思路的基础上发现，当点D在如图4的位置时（1）中的结论还成立，请你写出证明过程；
（3）【学以致用】
赵老师在此基础上提出问题：若（1）中的点D在直线上，当时，画出草图并求出的度数．
8．（2024九下·辽宁模拟）【问题初探】
（1）如图1，在中，，点E在上（且不与点B，C重合），在的外部作，使，，连接，过点A作，过点D作，DF交于点F，连接．根据以上操作，判断：四边形的形状是_____，_____．
【变换探究】
（2）如图2，将图1中的绕点B逆时针旋转，使点E落在边上，过点A作，过点D作，交于点F，连接，若，求的长．
勤奋小组通过第（1）问的解题经验，尝试连接，猜想为特殊的三角形；
创思小组在勤奋小组的提示下，成功的证明出一对三角形全等，进而求得的长度．
请结合两个小组的解题思路，写出解题过程．
【迁移拓展】
（3）博文小组在第（2）问的基础上进行了如下创新，将图1中的绕点B顺时针旋转，使点D在的右侧，过点A作过点D作，交于点F，连接，并尝试连接，．
他们发现：若，，当四边形为菱形时．可求得的长度．请完成以下问题：
①求的长；
②当点D在左侧时，请直接写出的长．
五、综合题
9．（2023·锦州模拟）如图，已知点D是外接圆上的一点，于G，连接AD，过点B作直线交AC于E，交于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD．
（1）求证：；
（2）若，试探究与之间的数量关系，并证明．
10．（2025·浙江模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D位于⊙O外一点，连接AD，BD，CD，BD交⊙O于点 E，连接CE.已知AB=AC=AD.
（1）如图1，求证：∠ACE=∠ADE.
（2）如图2，BD经过圆心O，AB=2CD.
①求 cos∠BAC 的值；
②若AB=3，求⊙O的半径，
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥EF于点H，
∵DE=DF=5，EF=8，
∴EH=FH=EF=4，
∴；
①当0≤t＜4时，如图，重叠部分为△EPQ，此时EQ=t，PQ∥DH，
∴△EPQ∽△EDH，
∴，即，
∴，
∴；
②当4≤t＜8时，如图，重叠部分为四边形POC'B'，此时CC'=t，PB'∥DE，
∴B'F=BC+CF-BB'=12-t，CF=8-t，
∵PB'∥DE，
∴△PB'F∽△DCF，
∴，
又∵S△DCF=×8×3=12，
∴，
∵DH⊥BC，∠AB'C'=90°，
∴AC'∥DH，
∴△C'QF∽△HFD，
∴，即，
∴，
∴；
③当8＜t≤12时，如图，重叠部分为△PFB'，此时BB'=CC'=t，PB'∥DE，
∴B'F=BC+CF-BB'=12-t，
∵PB'∥DE，
∴△PB'F∽△DCF，
∴，即，
∴，
综上
∴函数分为三段，第一段是开口向上的抛物线，第二段是开口向下的抛物线，第三段又是开口向上的抛物线，
∴符合题意得函数图象是A选项.
故答案为：A.
【分析】首先根据等腰三角形的三线合一得出EH=FH=EF=4，然后根据勾股定理算出DH的长；然后分类讨论：①当0≤t＜4时，如图，重叠部分为△EPQ，此时EQ=t，PQ∥DH，判断出△EPQ∽△EDH，根据相似三角形对应边成比例用含t的式子表示出PQ，进而根据三角形面积计算公式表示出S；②当4≤t＜8时，如图，重叠部分为四边形POC'B'，此时CC'=t，PB'∥DE，判断出△PB'F∽△DCF，△C'QF∽△HFD，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方表示出△PB'F及△C'FQ的面积，进而根据S=S△PB'F-S△C'QF表示出S；③当8＜t≤12时，如图，重叠部分为△PFB'，此时BB'=CC'=t，PB'∥DE， 判断出△PB'F∽△DCF，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方表示出三角形PB'F的面积，从而根据各段函数图象的开口方向判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AD的对称点C'，连接BC'、PC'，
∴PC=PC'，CD=C'D=，
∴PC+PB=PC'+PB，
∴当B、P、C'三点在同一直线上时，BP+PC'=BC'最小，此时BC'=；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，
∵点M、N分别是BP、CP的中点，
∴AM=BP，DN=PC，MN∥BC，
∴MN∥AD，
又∵DN∥ME，
∴四边形MNED是平行四边形，
∴DN=ME，
∴AM+ME=AM+DN=(BP+PC)，
∴要求AM+ME的最小值，就是求BP+PC的最小值，
∴AM+ME=AM+DN=(BP+PC)=.
故答案为：C.
【分析】作点C关于AD的对称点C'，连接BC'、PC'，由轴对称性质得PC=PC'，CD=C'D=，则PC+PB=PC'+PB，B、P、C'三点在同一直线上时，BP+PC'=BC'最小，在Rt△BCC'中，利用勾股定理算出BC'；由矩形性质得∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AM=BP，DN=PC，由三角形中位线定理得MN∥BC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得MN∥AD，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形MNED是平行四边形，由平行四边形的对边相等得DN=ME，可推出AM+ME=AM+DN=(BP+PC)，故要求AM+ME的最小值，就是求BP+PC的最小值，从而即可求出答案.
3．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设B'E交AD于点G，过点E作EM⊥AD于点M，
∴∠AME=90°，
∵BC=6，点E是BC的中点，
∴BE=BC=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=6，AB=CD=，AD∥BC，
∴四边形ABEM是矩形，∠DFE=∠BEF，
∴ME=AB=，AM=BE=3，∠BEM=90°，
∴ME⊥BC，
由折叠得∠BEF=∠B'EF，BE=B'E=3，
∴∠DFE=∠B'EF，
∴FG=GE，
在Rt△B'EH中，，
∵ME⊥BC，B'H⊥BC，
∴B'H∥ME，
∴∠EB'H=∠B'EH，
∴△MEG∽△HB'E，
∴，即，
∴，，
∴FM=FG-MG=，
∴AF=AM-FM=，
∴FD=AD-AF=.
故答案为：.
【分析】设B'E交AD于点G，过点E作EM⊥AD于点M，由矩形性质得∠A=∠B=90°，AD=BC=6，AB=CD=，AD∥BC，进而根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形ABEM是矩形，则ME=AB=，AM=BE=3，∠BEM=90°，根据中点的性质及平行线的性质可推出∠DFE=∠B'EF，由等角对等边得FG=GE；在Rt△B'EH中，由勾股定理算出EH，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△MEG∽△HB'E，由相似三角形对应边成比例可求出EG、MG，进而根据线段的和差可解决此题.
4．【答案】或
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
根据勾股定理得：，
分类讨论：
①四边形为平行四边形，
由翻折可知，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴.
②四边形为平行四边形，
由翻折可知，，
∵点E为的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
解得：，
∴；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【分析】先利用勾股定理求出，然后分类讨论：①四边形为平行四边形，②四边形为平行四边形，由折叠的性质及勾股定理分别求解即可．
5．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】证明：，，
，
，
∴．
连结交于，过作的平行线交于．连接
菱形中，，，
，
，互相垂直平分，
，
，
．
，
．
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即
，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
解得
故答案为：
【分析】根据相似三角形判定定理可得，连结交于，过作的平行线交于．连接，根据菱形性质可得，，，，互相垂直平分，则，再根据勾股定理可得OA，再根据相似三角形性质可得，根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据直线平行性质可得，则，再根据含30°角的直角三角形性质及勾股定理可得，，再根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则代值计算即可求出答案.
6．【答案】（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得，
解得，或，
∴两函数图象的交点为和，
∵，
∴，
∴，
∴它们存在“属合成”函数，
∵，
∴“属合成”函数解析式为．
（2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为，
∴的解为和，即，
∴，
∵存在“属合成”函数为，
∴，即，
∴，
∴．
①当时，
联立，
解得，
∴，
把点代入解得（舍），
∴；
②当时，
联立，
解得或，
∴，
把点代入，解得或（舍），
∴，
综上可得，的解析式为或．
（3）解：∵与存在“2属合成”函数，
∴根据（2）的计算可得，则，
设其两个根为，
∴，
∴，则，
∴，
∴“2属合成”函数解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∴，
如图，作垂线和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
又，
∴，
设，可求得，
由可求得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
设，
，
解得或（舍），
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据“属合成”函数的定义，联立方程组求解即可；
（2）设两函数图象的交点横坐标为和，根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据存在“属合成”函数为，得到，即，可求出，再分类讨论计算即可求解；
（3）根据题意，结合（2）的计算方法得到，“2属合成”函数解析式为，根据二次函数顶点坐标可得，，如图，作垂线和，可证，设，可求得，可证，求出，，点在以为圆心，为半径的圆上，设，根据数量关系列式求解即可．
（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得，
解得，或，
∴两函数图象的交点为和，
∵，
∴，
∴，
∴它们存在“属合成”函数，
∵，
∴“属合成”函数解析式为．
（2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为，
∴的解为和，即，
∴，
∵存在“属合成”函数为，
∴，即，
∴，
∴．
①当时，
联立，
解得，
∴，
把点代入解得（舍），
∴；
②当时，
联立，
解得或，
∴，
把点代入，解得或（舍），
∴，
综上，的解析式为或．
（3）解：∵与存在“2属合成”函数，
∴根据（2）的计算可得，则，设其两个根为，
∴，
∴，则，
∴，
∴“2属合成”函数解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∴，
如图，作垂线和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
又，
∴，
设，可求得，
由可求得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
设，
，
解得或（舍），
∴．
7．【答案】（1）解：过点C作，垂足为E
在中，根据勾股定理得，
．
（2）解：过点C作，垂足为E
在中，根据勾股定理得，
．
（3）解：如图，当点D在上时
，
在中，
如图，当点D在延长线上时
，
在中，
综上所述，的度数为或．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的性质可得，在中，根据勾股定理得，，结合，即可证明结论；
（2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的性质可得，在中，根据勾股定理得，，结合，即可证明结论；
（3）分类讨论：当点在上时，当点在延长线上时，根据直角三角形的性质，分别求解即可.
8．【答案】（1）平行四边形，；（2）；（3）①；②
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质；已知余弦值求边长
9．【答案】（1）证明：，
，
，
；
（2）证明：与之间的数量关系为：．
理由如下：
作于点M，连接OC、DF、CF，
，
，
为CD中点，
，
，
于G，
，
，
，，
，，
，
，
设，则，
，，，
，，，
，
，
，
，
即．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再结合，即可得到；
（2）作于点M，连接OC、DF、CF，设，则，，，， 得到，再结合，求出，即可得到。
10．【答案】（1）证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ACE＝∠ABE，
∴∠ACE＝∠ADE.
（2）解：①如图，连接AO，CO，
∵AO＝BO＝CO，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAC＝∠OCA，
∵AB＝AC，
∴∠AOB＝∠AOC.
∴∠OBA＝∠OAB＝∠BAC.
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC.
∵∠ACE＝∠ADE，
∴∠ECD＝∠EDC＝∠BEC.
∵∠BAC＝∠BEC，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠ECD＝∠EDC.
∴△ABO∽△CDE.
∵AB＝2CD，
∴BO＝2EC，
∴BE＝4EC，
∵BD经过圆心O，
∴BD是⊙O的直径.
∴∠BCE＝90°.
∴cos∠BAC＝cos∠BEC＝
（其他解法提示：如图3，连接AE并延长与CD相交于点G，
可证∠BAC＝∠ACG，cos∠BAC＝cos∠ACG＝)
②如图，延长AO交BC于点F，
∵AB＝AC，∠OAB＝∠OAC，
∴AF⊥BC.
∴∠AFB＝90°，BF＝CF.
∵O为BE的中点，
∴FO＝.
∵BO＝AO＝2CE，
∴BF2＝BO2－FO2＝CE2.
∴BF2＝AB2－AF2＝9－CE2.
∴CE2＝.
∴CE＝（舍去），CE=.
∴.
【知识点】求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）先根据等边对等角，证明∠ABD＝∠ADB， 再根据圆周角定理得出∠ACE＝∠ABE，从而可得∠ACE＝∠ADE.
（2）①先证明等边对等角，通过证明两对角分别相等，来证明△ABO∽△CDE，列出比例式，可证明BE＝4EC， 再求出cos∠BAC；
②先证明AF⊥BC，利用中位线的定理可得FO＝，再利用勾股定理可求得CE，从而可求得AO.
1 / 1
