苏科版数学七年级下册12.3~12.4证明与定理（分层练习）
一、基础夯实
1．（2024七下·梓潼期末）下列说法中，正确的是( )
A．经过证明为正确的真命题叫做公理
B．假命题不是命题
C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可
D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可
2．七年级（1）班的四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”.名次公布后，他们每人只猜对一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为（ ）
A．甲、乙、丙、丁 B．甲、丙、乙、丁
C．甲、丁、乙、丙 D．甲、丙、丁、乙
3．（2023七下·石家庄期末） 定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线，被直线所截，．
对说明理由．
方法： 如图，量角器测量所得， 对顶角相等， 角的度数相等． 同位角相等，两直线平行．
方法： 如图，已知， 对顶角相等， 等量代换， 同位角相等，两直线平行．
下列说法正确的是（ ）
A．方法只要测量够组内错角进行验证，就能说明该定理的正确性
B．方法用特殊到一般的数学方法说明了该定理的正确性
C．方法用严谨的推理说明了该定理的正确性
D．方法还需说明其他位置的内错角，对该定理的说明才完整
4．（2024七下·江油月考）如图，直线a，b被直线l所截，∠1＝60°，∠2＝120°．求证：a∥b．下面是某同学的证明过程，则①为 ．
证明：∵∠1＝60°，
∴∠1＝∠3＝60°（对顶角相等）．
∵∠2＝120°，
∴∠2+∠3＝120°+60°＝180°．
∴a∥b（①）．
5．（2025七下·杭州月考）如图，已知，，，若，则 ．
6．（2024七下·长沙月考）根据解答过程填空（理由或数学式）：
已知：如图，，，求证：．
证明：（▲），
又（▲），
（▲），
（▲），
▲．
（▲），
▲，
（▲），
（▲）
7．（2024七下·惠阳月考）补全下面的证明过程和理由；
如图，和相交于点O，，，，求证：．
证明：，，且．
（ ）．
（ ），
（ ）．
，
（ ）．
．
二、巩固提高
8．（2024七下·东台月考）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．
9．（2021七下·姑苏期中）如图， 的三个顶点 ， 和 分别在平行线 ， 上， 平分 ，交线段 于点 ，若 ， ，则 的大小为 .
10．（2023七下·丰城开学考）七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（ ）
A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
B．当n为偶数时，无论m何值，对下的学生人数不可能为偶数个
C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个
D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
11．（2024七下·路桥期末）完成下面的证明.
如图， 已知 ， 求证： .
证明： (已知)，
▲).
(▲).
(已知)，
(等量代换).
▲ (同位角相等， 两直线平行).
（▲）
又 (已知)，
.
(垂直的定义).
12．（2023七下·东莞期中）如图，点在直线上，，．
求证：．
13．（2024七下·长沙月考）如图，，证明：，请将说明过程填写完整．
证明：，（▲）
▲，（▲）
（已知）
∴▲．（▲）
∴．
∴．（▲）
14．（2024七下·中江月考）如图，在三角形中，于，点是上一点，于交于点，点是延长线上一点，连接，.
（1）求证：；（补全证明过程，并在括号内填写推理的依据）
证明：，（已知），
（① ）
② ▲ （同位角相等，两直线平行），
（③ ）
（已知），
④ ▲ ）（⑤ ）
（⑥ ）.
（2）若，，求的度数.
三、拓展提升
15．（2024七下·北京市期中）破译密码：根据下面五个已知条件，推断正确密码是 ．
16．（2024七下·湛江期末）如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，以此类推，则 ．
17．（2023七下·封开期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：
①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
18．（2025七下·嘉兴月考）“九宫格”源于我国古代的“洛书”，九宫格的上面三格称为“上三宫”，下面三格称为“下三宫”，中间一小格称为“中宫”，左右两格称为“左宫”和“右宫”．如图，九宫格中分别对应着从九个数字，并且无论纵向、横向、斜向三条线上的三个数字之和皆相等．设“九宫”中九个数字分别为．
（1）证明：九宫格中“中宫”的数字一定是5．
（2）判断“左宫”和“右宫”的位置上能否是偶数，并说明理由．
19．（2023七下·内乡县期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角内部有一点D，在其两边和上各取任意一点E，F，连接．
求证：．
小丽的证法 小红的证法
证明： 如图2，连接并延长至点M， ， （ 依据 ）， 又∵， ， ∴． 证明： ∵， （量角器测量所得）， ∴， （计算所得）． ∴（等量代换）．
任务：
（1）小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________；
（2）下列说法正确的是____________．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理
B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，该定理的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理
D．小红的证法只要将点D在的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理
（3）如图，若点D在锐角外部，与相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索之间的关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；证明过程；猜想与证明
【解析】【解答】解；A、经过长期实践证实为正确的真命题称为公理，A不符合题意；
B、假命题是不正确的命题，B不符合题意；
C、要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可，C符合题意；
D、要证明一个命题是真命题，需要进行推论论证说明它正确，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据公理的定义、假命题的定义、真假命题的证明结合题意对选项逐一判断即可求解。
2．【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】因为他们每人只猜对一半，
可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：
明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；
若假设明明说“乙得第二”是正确的，由此进行推导：
明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．
所以甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．
故选B．
【分析】因为他们每人只猜对一半，可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：分别分析得出所有的可能即可．
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【解答】∵方法1利用测量的方法总是有误差的，∴不严谨，且说法不正确；
∵方法2时用严谨的推理说明了该定理的正确，
故答案为：C.
【分析】利用对顶角相等可得∠1=∠3，再利用等量代换可得∠2=∠3，再利用平行线的判定方法可得答案.
4．【答案】同旁内角互补，两直线平行
【知识点】平行线的判定；推理与论证
【解析】【解答】∵∠2和∠3是同旁内角，
∴∠2+∠3＝120°+60°＝180°，
∴a//b，理由是同旁内角互补，两直线平行，
故答案为：同旁内角互补，两直线平行.
【分析】利用平行线的判定方法同旁内角互补，两直线平行分析求解即可.
5．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：连接AC，
设，，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，则∠EAB=(3x)°，∠ECD=(3y)°，由角的构成得∠FAB=(2x)°，∠FCD=(2y)°，由二直线平行，同旁内角互补及角的构成得，，再由三角形的内角和定理推出，，则，从而代入即可求出答案.
6．【答案】证明：（邻补角定义），
又（已知），
（同角的补角相等），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法及推理方法分析求解即可.
7．【答案】证明：，，且．
（等量代换）．
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
，
（两直线平行，同位角相等）．
．
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【分析】本题考查几何命题的推理和证明，运用所学等式性质，平行线的性质和判定，即可填空.
8．【答案】30
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
9．【答案】75°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠AEF=36°，∠BEG=57°
∴∠FEH=180°-∠AEF-∠BEG=87°
∵
∴∠EFG=∠AEF=36°
∵FH平分∠EFG
∴∠EFH= ∠EFG=18°
∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=75°
故答案为：
【分析】首先由平角的概念结合已知条件可得∠FEH的度数，由平行线的性质可得∠EFG的度数，然后根据角平分线的概念可得∠EFH的度数，最后在△EFH中应用三角形内角和定理进行求解.
10．【答案】A
【知识点】推理与论证；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：站立的记为“+1”，蹲下的记为“-1”，原来共有49个“+1”，乘积为“+1”，
若当n为偶数时，无论m何值，mn为偶数，最后还是“+1”，即站立的人数为奇数个，蹲下的人数为偶 数个；
n为奇数时，m为奇数，mn为奇数，最后还是“-1”，即站立的人数为偶数个，蹲下的人数为奇数个；
n为奇数时，m为偶数，mn为偶数，最后还是“+1”，即站立的人数为奇数个，蹲下的人数为偶数个；
∴选项B、C、D不符合题意，
故选：A.
【分析】假设站立即为“+1”，则蹲下为“-1”，原来49个“+1”，根据mn的奇偶性判断求解即可.
11．【答案】证明： (已知)，
同位角相等，两直线平行).
(两直线平行，内错角相等).
(已知)，
(等量代换).
GF (同位角相等， 两直线平行).
（两直线平行，同旁内角互补）
又 (已知)，
.
(垂直的定义).
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；GF；两直线平行，同旁内角互补.
【知识点】垂线的概念；推理与论证；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】利用平行线的判定方法（同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行）和性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等和同旁内角互补）及推理方法和步骤分析求解即可.
12．【答案】证明：已知，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
又已知，
，
，
等式的性质，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【分析】由同旁内角互补，两直线平行可得AD∥CD，由两直线平行，内错角相等可得∠BAP=∠APC，进而根据等量减去等量差相等可得∠3=∠4，再由内错角相等，两直线平行得AE∥PF，最后根据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠F.
13．【答案】证明：，（已知）
，（两直线平行，同位角相等）
（已知）
∴．（同旁内角互补，两直线平行）
∴．
∴．（等量代换）
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定及等量代换分析求解即可.
14．【答案】（1）解：①垂直的定义 ②③两直线平行，同旁内角互补
④⑤同角的补角相等 ⑥同位角怚等，两直线平行
（2）解：，
设，，
，
即，解得.
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定方法和性质及推理方法分析求解即可；
（2）设，，再结合可得求出x的值，再求出即可.
15．【答案】798
【知识点】推理与论证
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
17．【答案】A
【知识点】平行线的性质；推理与论证
【解析】【解答】解：①∵FG⊥EH，FD∥EH
∴FG⊥FD，即∠GFD=90°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠D=180°，
∵∠AFD=∠AFG+∠GFD=2∠D+90°，
∴2∠D+90°+∠D=180°
∴∠D=30°，故 ① 正确；
②∵EH∥FD，∴∠EHC=∠D=30°，∴2∠D+∠EHC=90°成立，故 ② 正确；
③∵AB∥CD，∴∠BFD=∠D=30°，当H在CD上不同位置时，∠HFD的度数会发生变化，不一定等于∠BFD，所以FD不一定是∠HFB的角平分线，故 ③ 错误；
④∵∠GFD=90°，当EH平分∠GFD时，则∠GFH=∠DFH=45°，当同（3），当H在CD上不同位置时，∠HFD的度数会发生变化，不一定等于45°，故 ④ 错误.
综上，①②正确，
故答案为：A.
【分析】熟练利用“平行线的性质定理”进行角度间数量关系的分析，并结合题干中的数量关系进行转化.特别注意的是，F、H均为AB、CD上的动点，当动点变化过程中，y要观察角度的一般性变化.
18．【答案】（1）证明 ∵九宫格中分别对应着从九个数字，
∴所有数字之和为1+2++9=45，
即
∵纵向、横向、斜向3个数字之和均相等
∴纵向之和=横向之和=斜向之和=45÷3=15，
∵由图知，中宫(e)参与四个方向的和(中间行、中间列、两条对角线)=15×3=60，
即，
总和关系：4x15+3e=60，
解得：e=5，
即“中宫”的数字一定是5．
（2）解：由（1）可知e=5，若左宫(a)和右宫(f)均为偶数，
则中间行需满足d+5+f=15，即d+f=10.
可能的偶数组合：d=2，f=8 或 d=4，f=6 等.
假设“左宫”数字为偶数，因为纵向、横向、斜向3个数字之和均为，中宫数字是5，为奇数；
则“右宫”数字也为偶数，
则数字必为一奇一偶，
不妨设为奇数，为偶数，
则必为偶数，为奇数，
这与中4个偶数5个奇数相矛盾，
所以“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数．
根据九宫格的对称性知为偶数，为奇数，也会产生矛盾．
奇 偶 偶
偶 5奇 偶
偶 偶 奇
故“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数．
【知识点】推理与论证；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【分析】（1）根据题意，分别对应中的一个数字，得到9个数之和为，纵向、横向、斜向3个数字之和皆相等，进而得到，求解即可；
（2）假设“左宫”数字为偶数，则“右宫”数字也为偶数，推出与中4个偶数5个奇数相矛盾，即可．
（1）设纵向、横向、斜向3个数字之和均为．
因为，
所以
所以，
又因为，
所以，
所以，
即“中宫”的数字一定是5．
（2）假设“左宫”数字为偶数，
因为纵向、横向、斜向3个数字之和均为，中宫数字是5，为奇数；
则“右宫”数字也为偶数，
则数字必为一奇一偶，
不妨设为奇数，为偶数，
则必为偶数，为奇数，
这与中4个偶数5个奇数相矛盾，
所以“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数．
根据九宫格的对称性知为偶数，为奇数，也会产生矛盾．
奇 偶 偶
偶 5奇 偶
偶 偶 奇
故“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数．
19．【答案】（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
（2）A
（3）不成立，
【知识点】三角形的外角性质；证明过程
1 / 1苏科版数学七年级下册12.3~12.4证明与定理（分层练习）
一、基础夯实
1．（2024七下·梓潼期末）下列说法中，正确的是( )
A．经过证明为正确的真命题叫做公理
B．假命题不是命题
C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可
D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；证明过程；猜想与证明
【解析】【解答】解；A、经过长期实践证实为正确的真命题称为公理，A不符合题意；
B、假命题是不正确的命题，B不符合题意；
C、要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可，C符合题意；
D、要证明一个命题是真命题，需要进行推论论证说明它正确，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据公理的定义、假命题的定义、真假命题的证明结合题意对选项逐一判断即可求解。
2．七年级（1）班的四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”.名次公布后，他们每人只猜对一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为（ ）
A．甲、乙、丙、丁 B．甲、丙、乙、丁
C．甲、丁、乙、丙 D．甲、丙、丁、乙
【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】因为他们每人只猜对一半，
可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：
明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；
若假设明明说“乙得第二”是正确的，由此进行推导：
明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．
所以甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．
故选B．
【分析】因为他们每人只猜对一半，可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：分别分析得出所有的可能即可．
3．（2023七下·石家庄期末） 定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线，被直线所截，．
对说明理由．
方法： 如图，量角器测量所得， 对顶角相等， 角的度数相等． 同位角相等，两直线平行．
方法： 如图，已知， 对顶角相等， 等量代换， 同位角相等，两直线平行．
下列说法正确的是（ ）
A．方法只要测量够组内错角进行验证，就能说明该定理的正确性
B．方法用特殊到一般的数学方法说明了该定理的正确性
C．方法用严谨的推理说明了该定理的正确性
D．方法还需说明其他位置的内错角，对该定理的说明才完整
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【解答】∵方法1利用测量的方法总是有误差的，∴不严谨，且说法不正确；
∵方法2时用严谨的推理说明了该定理的正确，
故答案为：C.
【分析】利用对顶角相等可得∠1=∠3，再利用等量代换可得∠2=∠3，再利用平行线的判定方法可得答案.
4．（2024七下·江油月考）如图，直线a，b被直线l所截，∠1＝60°，∠2＝120°．求证：a∥b．下面是某同学的证明过程，则①为 ．
证明：∵∠1＝60°，
∴∠1＝∠3＝60°（对顶角相等）．
∵∠2＝120°，
∴∠2+∠3＝120°+60°＝180°．
∴a∥b（①）．
【答案】同旁内角互补，两直线平行
【知识点】平行线的判定；推理与论证
【解析】【解答】∵∠2和∠3是同旁内角，
∴∠2+∠3＝120°+60°＝180°，
∴a//b，理由是同旁内角互补，两直线平行，
故答案为：同旁内角互补，两直线平行.
【分析】利用平行线的判定方法同旁内角互补，两直线平行分析求解即可.
5．（2025七下·杭州月考）如图，已知，，，若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：连接AC，
设，，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，则∠EAB=(3x)°，∠ECD=(3y)°，由角的构成得∠FAB=(2x)°，∠FCD=(2y)°，由二直线平行，同旁内角互补及角的构成得，，再由三角形的内角和定理推出，，则，从而代入即可求出答案.
6．（2024七下·长沙月考）根据解答过程填空（理由或数学式）：
已知：如图，，，求证：．
证明：（▲），
又（▲），
（▲），
（▲），
▲．
（▲），
▲，
（▲），
（▲）
【答案】证明：（邻补角定义），
又（已知），
（同角的补角相等），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法及推理方法分析求解即可.
7．（2024七下·惠阳月考）补全下面的证明过程和理由；
如图，和相交于点O，，，，求证：．
证明：，，且．
（ ）．
（ ），
（ ）．
，
（ ）．
．
【答案】证明：，，且．
（等量代换）．
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
，
（两直线平行，同位角相等）．
．
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【分析】本题考查几何命题的推理和证明，运用所学等式性质，平行线的性质和判定，即可填空.
二、巩固提高
8．（2024七下·东台月考）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．
【答案】30
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
9．（2021七下·姑苏期中）如图， 的三个顶点 ， 和 分别在平行线 ， 上， 平分 ，交线段 于点 ，若 ， ，则 的大小为 .
【答案】75°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠AEF=36°，∠BEG=57°
∴∠FEH=180°-∠AEF-∠BEG=87°
∵
∴∠EFG=∠AEF=36°
∵FH平分∠EFG
∴∠EFH= ∠EFG=18°
∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=75°
故答案为：
【分析】首先由平角的概念结合已知条件可得∠FEH的度数，由平行线的性质可得∠EFG的度数，然后根据角平分线的概念可得∠EFH的度数，最后在△EFH中应用三角形内角和定理进行求解.
10．（2023七下·丰城开学考）七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（ ）
A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
B．当n为偶数时，无论m何值，对下的学生人数不可能为偶数个
C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个
D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
【答案】A
【知识点】推理与论证；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：站立的记为“+1”，蹲下的记为“-1”，原来共有49个“+1”，乘积为“+1”，
若当n为偶数时，无论m何值，mn为偶数，最后还是“+1”，即站立的人数为奇数个，蹲下的人数为偶 数个；
n为奇数时，m为奇数，mn为奇数，最后还是“-1”，即站立的人数为偶数个，蹲下的人数为奇数个；
n为奇数时，m为偶数，mn为偶数，最后还是“+1”，即站立的人数为奇数个，蹲下的人数为偶数个；
∴选项B、C、D不符合题意，
故选：A.
【分析】假设站立即为“+1”，则蹲下为“-1”，原来49个“+1”，根据mn的奇偶性判断求解即可.
11．（2024七下·路桥期末）完成下面的证明.
如图， 已知 ， 求证： .
证明： (已知)，
▲).
(▲).
(已知)，
(等量代换).
▲ (同位角相等， 两直线平行).
（▲）
又 (已知)，
.
(垂直的定义).
【答案】证明： (已知)，
同位角相等，两直线平行).
(两直线平行，内错角相等).
(已知)，
(等量代换).
GF (同位角相等， 两直线平行).
（两直线平行，同旁内角互补）
又 (已知)，
.
(垂直的定义).
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；GF；两直线平行，同旁内角互补.
【知识点】垂线的概念；推理与论证；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】利用平行线的判定方法（同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行）和性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等和同旁内角互补）及推理方法和步骤分析求解即可.
12．（2023七下·东莞期中）如图，点在直线上，，．
求证：．
【答案】证明：已知，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
又已知，
，
，
等式的性质，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【分析】由同旁内角互补，两直线平行可得AD∥CD，由两直线平行，内错角相等可得∠BAP=∠APC，进而根据等量减去等量差相等可得∠3=∠4，再由内错角相等，两直线平行得AE∥PF，最后根据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠F.
13．（2024七下·长沙月考）如图，，证明：，请将说明过程填写完整．
证明：，（▲）
▲，（▲）
（已知）
∴▲．（▲）
∴．
∴．（▲）
【答案】证明：，（已知）
，（两直线平行，同位角相等）
（已知）
∴．（同旁内角互补，两直线平行）
∴．
∴．（等量代换）
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定及等量代换分析求解即可.
14．（2024七下·中江月考）如图，在三角形中，于，点是上一点，于交于点，点是延长线上一点，连接，.
（1）求证：；（补全证明过程，并在括号内填写推理的依据）
证明：，（已知），
（① ）
② ▲ （同位角相等，两直线平行），
（③ ）
（已知），
④ ▲ ）（⑤ ）
（⑥ ）.
（2）若，，求的度数.
【答案】（1）解：①垂直的定义 ②③两直线平行，同旁内角互补
④⑤同角的补角相等 ⑥同位角怚等，两直线平行
（2）解：，
设，，
，
即，解得.
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定方法和性质及推理方法分析求解即可；
（2）设，，再结合可得求出x的值，再求出即可.
三、拓展提升
15．（2024七下·北京市期中）破译密码：根据下面五个已知条件，推断正确密码是 ．
【答案】798
【知识点】推理与论证
16．（2024七下·湛江期末）如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，以此类推，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
17．（2023七下·封开期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：
①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的性质；推理与论证
【解析】【解答】解：①∵FG⊥EH，FD∥EH
∴FG⊥FD，即∠GFD=90°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠D=180°，
∵∠AFD=∠AFG+∠GFD=2∠D+90°，
∴2∠D+90°+∠D=180°
∴∠D=30°，故 ① 正确；
②∵EH∥FD，∴∠EHC=∠D=30°，∴2∠D+∠EHC=90°成立，故 ② 正确；
③∵AB∥CD，∴∠BFD=∠D=30°，当H在CD上不同位置时，∠HFD的度数会发生变化，不一定等于∠BFD，所以FD不一定是∠HFB的角平分线，故 ③ 错误；
④∵∠GFD=90°，当EH平分∠GFD时，则∠GFH=∠DFH=45°，当同（3），当H在CD上不同位置时，∠HFD的度数会发生变化，不一定等于45°，故 ④ 错误.
综上，①②正确，
故答案为：A.
【分析】熟练利用“平行线的性质定理”进行角度间数量关系的分析，并结合题干中的数量关系进行转化.特别注意的是，F、H均为AB、CD上的动点，当动点变化过程中，y要观察角度的一般性变化.
18．（2025七下·嘉兴月考）“九宫格”源于我国古代的“洛书”，九宫格的上面三格称为“上三宫”，下面三格称为“下三宫”，中间一小格称为“中宫”，左右两格称为“左宫”和“右宫”．如图，九宫格中分别对应着从九个数字，并且无论纵向、横向、斜向三条线上的三个数字之和皆相等．设“九宫”中九个数字分别为．
（1）证明：九宫格中“中宫”的数字一定是5．
（2）判断“左宫”和“右宫”的位置上能否是偶数，并说明理由．
【答案】（1）证明 ∵九宫格中分别对应着从九个数字，
∴所有数字之和为1+2++9=45，
即
∵纵向、横向、斜向3个数字之和均相等
∴纵向之和=横向之和=斜向之和=45÷3=15，
∵由图知，中宫(e)参与四个方向的和(中间行、中间列、两条对角线)=15×3=60，
即，
总和关系：4x15+3e=60，
解得：e=5，
即“中宫”的数字一定是5．
（2）解：由（1）可知e=5，若左宫(a)和右宫(f)均为偶数，
则中间行需满足d+5+f=15，即d+f=10.
可能的偶数组合：d=2，f=8 或 d=4，f=6 等.
假设“左宫”数字为偶数，因为纵向、横向、斜向3个数字之和均为，中宫数字是5，为奇数；
则“右宫”数字也为偶数，
则数字必为一奇一偶，
不妨设为奇数，为偶数，
则必为偶数，为奇数，
这与中4个偶数5个奇数相矛盾，
所以“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数．
根据九宫格的对称性知为偶数，为奇数，也会产生矛盾．
奇 偶 偶
偶 5奇 偶
偶 偶 奇
故“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数．
【知识点】推理与论证；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【分析】（1）根据题意，分别对应中的一个数字，得到9个数之和为，纵向、横向、斜向3个数字之和皆相等，进而得到，求解即可；
（2）假设“左宫”数字为偶数，则“右宫”数字也为偶数，推出与中4个偶数5个奇数相矛盾，即可．
（1）设纵向、横向、斜向3个数字之和均为．
因为，
所以
所以，
又因为，
所以，
所以，
即“中宫”的数字一定是5．
（2）假设“左宫”数字为偶数，
因为纵向、横向、斜向3个数字之和均为，中宫数字是5，为奇数；
则“右宫”数字也为偶数，
则数字必为一奇一偶，
不妨设为奇数，为偶数，
则必为偶数，为奇数，
这与中4个偶数5个奇数相矛盾，
所以“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数．
根据九宫格的对称性知为偶数，为奇数，也会产生矛盾．
奇 偶 偶
偶 5奇 偶
偶 偶 奇
故“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数．
19．（2023七下·内乡县期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角内部有一点D，在其两边和上各取任意一点E，F，连接．
求证：．
小丽的证法 小红的证法
证明： 如图2，连接并延长至点M， ， （ 依据 ）， 又∵， ， ∴． 证明： ∵， （量角器测量所得）， ∴， （计算所得）． ∴（等量代换）．
任务：
（1）小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________；
（2）下列说法正确的是____________．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理
B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，该定理的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理
D．小红的证法只要将点D在的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理
（3）如图，若点D在锐角外部，与相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索之间的关系．
【答案】（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
（2）A
（3）不成立，
【知识点】三角形的外角性质；证明过程
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