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2025年浙江数学中考预测专项突破
专题01 数与式（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题数与式分析
选择题第1道：本题主要考查的是实数的基本概念，如求一个数的绝对值、相反数、判断正负数、比较两个数的大小以及对无理数的识别和估算，分值3分，难度：容易；
选择题第3道：本题主要考查的是科学记数法，如用科学记数法表示大于1的数和用科学记数法表示小于1的数，分值3分，难度：容易；
选择题第4道：本题主要考查的是整式的乘除运算，如幂的运算、整式的加减乘除运算、分式的加减乘除运算等，分值3分，难度：容易；
填空题第11道：本题主要考查的是因式分解的基础运算，分值3分，难度：容易；
解答题第17道：本题主要考查的是实数的综合运算，此题型综合零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式以及特殊角的三角函数值，分值8分，难度：中等偏下；
题型一：实数的基本概念（高频考题）
1．（2025·浙江湖州·一模）与式子的值最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2025·浙江·模拟预测）有，0，，四个数，其中最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．
3．（2025·浙江·模拟预测）下列各数：，0，，，其中最大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）下列各式的值等于的相反数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江台州·模拟预测）以下四个数中，最大的是（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（2024·浙江绍兴·二模）在，0，，这四个数中，最大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
7．（2024·浙江温州·二模）在实数，，0，中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
8．（2024·浙江宁波·二模）下列无理数中，大小在4与5之间的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：实数与数轴的结合
1．（2025·浙江温州·一模）如图，数轴上点A表示的数比点B表示的数（ ）
A．大4 B．大2 C．小2 D．小4
2．（2025·浙江·一模）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江杭州·一模）比数轴上的点表示的数大2的数是（ ）
A．2 B． C．1 D．0
4．（2025·浙江宁波·一模）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示哪个数字的点重合？ （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2024·浙江杭州·二模）实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，点A，C分别表示数与5，点B在线段上，且，则点B对应的数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·浙江嘉兴·一模）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，数轴上点表示的数绝对值最小的是（ ）
A． B． C． D．
题型三：科学记数法表示大于1（小于1）的数（高频考题）
1．（2025·浙江温州·一模）据某新闻报道，温州三澳核电项目6台机组建成后，预计年发电量可达52500000000千瓦时，将为服务国家“双碳”战略作出贡献．数据52500000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江·模拟预测）2024年上半年浙江全省规模以上文化及相关产业企业实现营业收入7803亿元，同比增长，增速高于全国平均数2.8个百分点．其中数据7803亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江嘉兴·一模）年央视蛇年春晚全媒体观看人次再创新高，截至月日，观看人次达亿，较去年增长了，数据“亿”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江舟山·一模）数据显示，自2025年1月10日正式发布至2025年1月26日，的全球下载量已突破1600万次，这无疑是应用市场上的一次巨大成功，数据1600万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江金华·模拟预测）截至3月12日，《哪吒2》全球总票房已突破14900000000元，位居全球动画电影票房榜第1名．全球影史票房榜第6位．其中数14900000000 用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·浙江·一模）据国家电影局统计，截至2月5日9：00，2025年春节档票房为95.10亿元，观影人次为1.87亿，创下历史纪录．将数据“95.10亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·浙江宁波·一模）我国“北斗导航系统”用的原子钟以纳秒级计算时间．已知1秒=1000000000纳秒，则数据1000000000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·浙江宁波·一模）深度求索（DeepSeek AI）的崛起，其意义涉及国家战略乃至全球AI竞争态势的重塑．从2025年1月20日发布DeepSeek-R1并开源，DeepSeek一度登顶苹果中国地区和美国地区应用商店免费APP下载排行榜，据统计截至2月9日，DeepSeek App 的累计下载量已超1.1亿次，周活跃用户规模最高近 9780 万．将9780万用科学记数法表示为（ ）
A． B．9 C． D．
9．（2025·浙江湖州·一模）按照国家统计局的数据，2024年中国生产芯片在4300亿颗以上，数据4300亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·浙江杭州·一模）由遂昌籍科学家毛承元为总设计师设计的长征十二号运载火箭起飞质量约为430000千克，其中数430000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
题型四：实数的混合运算（高频考题）
1．（2025·浙江温州·一模）计算：．
2．（2025·浙江嘉兴·一模）计算：．
3．（2025·浙江舟山·一模）计算：．
4．（2025·浙江衢州·一模）计算：
5．（2025·浙江杭州·一模）计算：
6．（2025·浙江·模拟预测）计算：．
7．（2024·浙江·模拟预测）计算：．
8．（2024·浙江台州·模拟预测）计算：．
9．（2024·浙江·模拟预测）计算：．
题型五：实数中定义新运算
1．（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2024·浙江杭州·一模）定义符号的含义为：当时；当时． 如：，． 则的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）用[x]表示不超过实数x的最大整数，，，．若正整数满足，则称为“好数”，那么在这个正整数中“好数”的个数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ．
5．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：对于任意的非零实数x，y，，若，则的值为 ．
6．（2024·浙江杭州·模拟预测）定义一种运算，计算 ．
7．（2024·浙江杭州·三模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如1．若y关于x的函数的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
8．（2024·浙江宁波·三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数m，n，．若，则x的值为 ．
题型六：判断等式是否成立（高频考题）
1．（2025·浙江杭州·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江温州·模拟预测）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江嘉兴·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·浙江温州·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江绍兴·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江台州·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·浙江湖州·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型七：利用代数式求值（高频考题）
1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）当时，代数式的值是，那么当时，代数式的值是（ ）
A．2021 B．2022 C．2019 D．2020
2．（2025·浙江宁波·模拟预测）若，那么代数式的值是 ．
3．（2024·浙江杭州·三模）已知，则 ．
4．（2024·浙江杭州·二模）已知，，且为正整数，则正整数a的值是 ．
5．（2024·浙江杭州·模拟预测）设，，，若，，则 ．
6．（2024·浙江宁波·二模）多项式与多项式的乘积为，则 ．
7．（2024·浙江温州·一模）已知，，则多项式的值为 ．
8．（2023·浙江宁波·一模）已知，满足，则式子的值是 ．
题型八：整式中找规律题型
1．（2025·浙江台州·一模）观察下面三行数：
①
②
③
设分别为第①②③行的第个数，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（ ）块
A．28 B．30 C．34 D．36
3．（2024·浙江·一模）如图，一把直尺和两叠杯子放在同一水平桌面上，左、右两叠杯子的上边缘对应在刻度尺上的读数分别是，7，要使右叠杯子的高度与刻度10对齐，还需再叠加同样的杯子个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2024·浙江温州·二模）在二维码中常用黑白方格表示数码1和0，若下图表示1011，则表示0110的图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·浙江温州·模拟预测）等角螺线在自然界中很常见．如图，连接大正六边形六条边的中点，形成一个小的正六边形，再连接小正六边形六条边的中点，形成一个更小的正六边形，重复多次，可形成以逆时针方向环绕的等腰三角形串（如阴影部分所示），这个三角形串就是一个简单的等角螺线．若大正六边形的边长为1，则该等角螺线中第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江·一模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ．
7．（2024·浙江绍兴·一模）某班40名同学按学号1，2，3，…，40顺次顺时针方向围坐成一圈做游戏：从某个同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下39人，第一轮结束；接着从退出游戏的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下38人，第二轮结束；……，按这种方式，在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，则第一轮第一位报数同学的学号是 ．
8．（2024·浙江台州·一模）一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积．若这组数第1个数是a，第5个数是，则第2028个数是 （用含a的式子表示）．
题型九：因式分解的简单应用（高频考题）
1．（2025·浙江·模拟预测）因式分解： ．
2．（2025·浙江嘉兴·一模）分解因式： ．
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）分解因式： ．
4．（2024·浙江金华·二模）因式分解： ．
5．（2024·浙江宁波·二模）因式分解： ．
6．（2023·浙江杭州·三模）分解因式： ．
7．（2023·浙江湖州·一模）因式分解： ．
题型十：分式中基本性质的应用（高频考点）
1．（2024·浙江温州·二模）若分式的值为0，则x 的值为（ ）
A． B．0 C． D．2
2．（2024·浙江杭州·二模）要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江嘉兴·二模）化简的结果是（ ）
A．a B． C．0 D．1
4．（2024·浙江舟山·一模）小红带着数学兴趣小组研究分式，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当越来越大时，的值越来越接近于1
5．（2024·浙江·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江杭州·模拟预测）下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江宁波·一模）对于分式，下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式的值为 B．当时，分式无意义
C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为
1．（2025·浙江嘉兴·一模）下列计算正确的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江温州·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江衢州·一模）因式分解：（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江·模拟预测）截至2025年2月26日13时45分，《哪吒之魔童闹海》的全球票房达到亿人民币，不仅刷新了中国影史纪录，更是在全球动画领域树立了新标杆，成为中国文化软实力输出的重要里程碑．其中数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江嘉兴·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江嘉兴·三模）如图，数轴上有A，B两点，分别表示的数为，2，则下列各数在数轴上对应的点落在线段上的是（ ）
A． B． C． D．3
7．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图一个大平行四边形被分割成 2 个全等的小平行四边形和三个菱形后仍是中心对称图形，已知哪个图形的周长，就能得到大平行四边形的周长（ ）
A．①或③ B．②或③ C．①或③ D．①或②
8．（2025·浙江宁波·一模）已知 则 的值是 （ ）
A．13 B．11 C．9 D．8
9．（2025·浙江宁波·一模）的小数部分是 ．
10．（2025·浙江杭州·模拟预测）比较大小 （填“”、“”或“”）．
11．（2024·浙江舟山·三模）车间里有五台车床同时出现故障． 已知第一台至第五台修复的时间如下表：
车床代号 A B C D E
修复时间（分钟） 16 6 30 5 9
若每台车床停产一分钟造成经济损失 10 元，修复后即可投入生产，现只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号），最少为 元．
12．（2024·浙江嘉兴·一模）已知，当取最小值时，S的取值范围是 ．
13．（2025·浙江温州·模拟预测）计算：．
14．（2025·浙江金华·一模）小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
先化简，再求值：，其中． 解：原式 当时，原式．
15．（2025·浙江衢州·一模）先化简，再求值：，其中，．
16．（2025·浙江宁波·模拟预测）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式________；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
17．（2025·浙江宁波·一模）在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，，且是的相切函数，点为切点．
(1)试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式_____．
(2)当时，试判断以下两组值①，；②，能否使成立？并说明理由．
(3)若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
2025年浙江数学中考预测专项突破
专题01 数与式（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题数与式分析
选择题第1道：本题主要考查的是实数的基本概念，如求一个数的绝对值、相反数、判断正负数、比较两个数的大小以及对无理数的识别和估算，分值3分，难度：容易；
选择题第3道：本题主要考查的是科学记数法，如用科学记数法表示大于1的数和用科学记数法表示小于1的数，分值3分，难度：容易；
选择题第4道：本题主要考查的是整式的乘除运算，如幂的运算、整式的加减乘除运算、分式的加减乘除运算等，分值3分，难度：容易；
填空题第11道：本题主要考查的是因式分解的基础运算，分值3分，难度：容易；
解答题第17道：本题主要考查的是实数的综合运算，此题型综合零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式以及特殊角的三角函数值，分值8分，难度：中等偏下；
题型一：实数的基本概念（高频考题）
1．（2025·浙江湖州·一模）与式子的值最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算．根据二次根式的混合计算法则化简后，估算即可得到结果．
【详解】解：，
∵，，
∴，即，
故最接近的整数是4．
故选：B．
2．（2025·浙江·模拟预测）有，0，，四个数，其中最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
利用实数大小的比较方法，按照从小到大的顺序排列，即可求解．
【详解】解：∵，
∴最小的数是．
故选：D．
3．（2025·浙江·模拟预测）下列各数：，0，，，其中最大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数的大小比较，正确的估算无理数的大小是解题的关键．
根据实数的大小比较即可求解．
【详解】解：∵，
∴最大的数为：，
故选：C．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）下列各式的值等于的相反数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查实数的运算、相反数，先得到的相反数是2，再根据绝对值、负整数指数幂、有理数的乘法、算术平方根的运算法则计算各选项的值，进而可得答案．
【详解】解：的相反数是2，
∵，，，，
∴选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意，
故选：D．
5．（2024·浙江台州·模拟预测）以下四个数中，最大的是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数大小的比较，无理数的估算等知识；按照正数大于零，零大于一切负数进行即可．
【详解】解：由于，则；
而，
则，
故4最大；
故选：B．
6．（2024·浙江绍兴·二模）在，0，，这四个数中，最大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数的比较大小，算术平方根．先比较与的大小，进而可得出结论．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：D．
7．（2024·浙江温州·二模）在实数，，0，中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查实数的大小比较，掌握实数大小比较的法则是解题的关键．
利用正数大于零，负数小于零，结合无理数的估算比较实数的大小，即可找出最大的数．
【详解】∵，
∴最大的数是，
故选：A．
8．（2024·浙江宁波·二模）下列无理数中，大小在4与5之间的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的性质，分别估算出每个选项无理数的范围，判断即可得出答案．
【详解】解：，
，即，故A不符合题意；
，
，即，故B不符合题意；
，
，
，即，故C符合题意；
，
，即，故D不符合题意；
故选：C．
题型二：实数与数轴的结合
1．（2025·浙江温州·一模）如图，数轴上点A表示的数比点B表示的数（ ）
A．大4 B．大2 C．小2 D．小4
【答案】D
【分析】本题考查了数轴、有理数的减法法等知识点，掌握有理数减法法则是解题的关键．
先根据数轴确定点A、点B表示的数，然后再列式计算即可．
【详解】解：由数轴可得：点A表示的数是，点B表示的数为3，
∴：，即数轴上点A表示的数比点B表示的数小4．
故选：D．
2．（2025·浙江·一模）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查数轴的知识，解题的关键是根据点在数轴上的位置，得出，，然后根据有理数的除法法则，加法法则以及乘方法则逐项判断即可．
【详解】解：由数轴知：，，
∴，，，，，，
∴，，
故选：D．
3．（2025·浙江杭州·一模）比数轴上的点表示的数大2的数是（ ）
A．2 B． C．1 D．0
【答案】C
【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，先得到表示，再判断即可.
【详解】解：∵表示，
∴比数轴上的点表示的数大2的数是，
故选：C
4．（2025·浙江宁波·一模）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示哪个数字的点重合？ （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴了，发现圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解题的关键．
圆周上的0点与重合，滚动到2025，圆滚动了2026个单位长度，用2026除以4，余数即为重合点．
【详解】解：∵圆表示数字0的点与数轴上表示的点重合，
∴当数轴上表示2025的点，圆滚动了个单位长度，
∵，
∴圆滚动了506周及2个单位到2025，
∴圆周上的2与数轴上的2025重合．
故选C．
5．（2024·浙江杭州·二模）实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据数轴及不等式的性质逐一分析判断得出对应选项的范围即可．
【详解】解：由数轴可知，，
对于A，，此时为负数，不符合题意；
对于B，，此时为负数，不符合题意；
对于C，，此时a 1为负数，不符合题意；
对于D，，此时为正数，符合题意．
故选：D．
6．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，点A，C分别表示数与5，点B在线段上，且，则点B对应的数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，设点B对应的数为，则，据此建立方程，解方程即可．
【详解】解：设点B对应的数为，
由题意得，，
∵，
∴，
解得，
∴点B对应的数为3，
故选：C．
7．（2024·浙江嘉兴·一模）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴，利用数轴上的点表示的数：原点左边的数小于零，原点右边的数大于零，得出a、b的大小是解题关键．
根据数轴上的点表示的数：原点左边的数小于零，原点右边的数大于零，可得a、b的大小，可得答案．
【详解】A、由数a在原点的右侧，故，故A不符合题意；
B、由数b在原点的左侧，故，故B不符合题意；
C、∵b到原点的距离大于a到原点的距离
∴，故C不符合题意；
D、∵，，
∴，故D符合题意；
故选D．
8．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，数轴上点表示的数绝对值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值的意义，掌握数轴的定义是解题关键．
先根据数轴的定义以及绝对值的意义得出点A、B、C、D的绝对值的范围，然后比较范围即可解答．
【详解】解：先根据数轴的定义以及绝对值的意义：，，，，点B的数绝对值最小．
故选：B．
题型三：科学记数法表示大于1（小于1）的数（高频考题）
1．（2025·浙江温州·一模）据某新闻报道，温州三澳核电项目6台机组建成后，预计年发电量可达52500000000千瓦时，将为服务国家“双碳”战略作出贡献．数据52500000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
【详解】解：52500000000用科学记数法表示为．
故选：B．
2．（2025·浙江·模拟预测）2024年上半年浙江全省规模以上文化及相关产业企业实现营业收入7803亿元，同比增长，增速高于全国平均数2.8个百分点．其中数据7803亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可．
【详解】解：7803亿，
故选：C．
3．（2025·浙江嘉兴·一模）年央视蛇年春晚全媒体观看人次再创新高，截至月日，观看人次达亿，较去年增长了，数据“亿”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，先把亿转化为，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：亿，
故选：
4．（2025·浙江舟山·一模）数据显示，自2025年1月10日正式发布至2025年1月26日，的全球下载量已突破1600万次，这无疑是应用市场上的一次巨大成功，数据1600万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；据此即可求解．
【详解】解：1600万．
故选：B．
5．（2025·浙江金华·模拟预测）截至3月12日，《哪吒2》全球总票房已突破14900000000元，位居全球动画电影票房榜第1名．全球影史票房榜第6位．其中数14900000000 用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
【详解】解：14900000000用科学记数法表示为．
故选：C．
6．（2025·浙江·一模）据国家电影局统计，截至2月5日9：00，2025年春节档票房为95.10亿元，观影人次为1.87亿，创下历史纪录．将数据“95.10亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可．
【详解】解：“95.10亿”用科学记数法表示为．
故选：B．
7．（2025·浙江宁波·一模）我国“北斗导航系统”用的原子钟以纳秒级计算时间．已知1秒=1000000000纳秒，则数据1000000000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法．用科学记数法表示较大数时的形式为，其中，n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0的数字后面即可，确定n的值时，n比这个数的整数位数小1．
【详解】解：数据1000000000用科学记数法可以表示为，
故选：B．
8．（2025·浙江宁波·一模）深度求索（DeepSeek AI）的崛起，其意义涉及国家战略乃至全球AI竞争态势的重塑．从2025年1月20日发布DeepSeek-R1并开源，DeepSeek一度登顶苹果中国地区和美国地区应用商店免费APP下载排行榜，据统计截至2月9日，DeepSeek App 的累计下载量已超1.1亿次，周活跃用户规模最高近 9780 万．将9780万用科学记数法表示为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，先确定a，n，再写成的形式，其中，n为正整数．
【详解】解：根据题意，得9780万，
．
故选：C．
9．（2025·浙江湖州·一模）按照国家统计局的数据，2024年中国生产芯片在4300亿颗以上，数据4300亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，先确定a，n，再写成的形式，其中，n为正整数．
【详解】解：根据题意，得．
故选：C．
10．（2025·浙江杭州·一模）由遂昌籍科学家毛承元为总设计师设计的长征十二号运载火箭起飞质量约为430000千克，其中数430000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，正确确定a的值以及n的值即可．
【详解】解：将430000用科学记数法表示为：．
故选：B．
题型四：实数的混合运算（高频考题）
1．（2025·浙江温州·一模）计算：．
【答案】5
【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据负整数指数幂，立方根定义进行求解即可．
【详解】解：
．
2．（2025·浙江嘉兴·一模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，利用零指数幂、算术平方根的定义、负整数指数幂、绝对值的性质分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
3．（2025·浙江舟山·一模）计算：．
【答案】
【分析】利用零指数幂，负整数指数幂，算术平方根的定义，绝对值的性质计算即可．
本题考查实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
4．（2025·浙江衢州·一模）计算：
【答案】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，实数的混合运算，先利用零指数幂的法则，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
5．（2025·浙江杭州·一模）计算：
【答案】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算负整数指数幂，求解算术平方根，乘方运算，再合并即可.
【详解】解：
；
6．（2025·浙江·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
先代入特殊角的三角函数值，并进行二次根式乘法运算，再计算乘方和负整数指数幂，最后进行加减计算即可．
【详解】解：
．
7．（2024·浙江·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
8．（2024·浙江台州·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、实数的性质及特殊角三角函数等知识，熟悉这些基础知识是关键；依次计算零指数幂、绝对值、负整数指数幂及特殊角三角函数值，最后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
9．（2024·浙江·模拟预测）计算：．
【答案】4
【分析】先计算绝对值、特殊角三角函数、负整数指数幂、二次根式的化简，再进行加减计算．
【详解】解：原式
．
题型五：实数中定义新运算
1．（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可．
本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键．
【详解】∵ ，，
∴，
整理，得，
解得或，
故选C．
2．（2024·浙江杭州·一模）定义符号的含义为：当时；当时． 如：，． 则的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，新定义，一次函数的性质，当时，则，可求出当时，，据此利用一次函数的性质求解即可；当或时，，则，据此利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：当时，则，
∴，
∴，
∴或，
解不等式组，可知不等式组无解；
解不等式组得，
∴当时，，
∴此时的最大值为；
当或时，，则，
∴；
综上所述，的最大值为2，
故选：B．
3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）用[x]表示不超过实数x的最大整数，，，．若正整数满足，则称为“好数”，那么在这个正整数中“好数”的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查取整函数的定义，理解定义是关键．
根据取整函数的定义即可求解．
【详解】解∶ 设，
则
'∵，
∴
又∵，
，
，
综上所述，符合条件的有个，即符合条件的好数有个．
故选： B．
4．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ．
【答案】或/4或0
【分析】本题考查了新定义运算，涉及了二次函数的图象与性质，根据题意得，画出函数的图象即可求解
【详解】解：∵，
∴
∴
∵
如图所示，画出该函数的函数图象：
可知：当或时，，则；
∴的值是或
故答案为：或
5．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：对于任意的非零实数x，y，，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到，据此可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2024·浙江杭州·模拟预测）定义一种运算，计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，根据定义运算进行列式，再化简计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
故答案为：
7．（2024·浙江杭州·三模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如1．若y关于x的函数的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
【答案】
【分析】由定义的新运算求得y关于x的函数为：，再由y关于x函数的图象与x轴仅有一个公共点得到，求解即可．
【详解】解：∵，
∴
即，
∵的图象与x轴仅有一个公共点，令，得，
∴，
∴，
解得：（舍去）或．
故答案为：．
8．（2024·浙江宁波·三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数m，n，．若，则x的值为 ．
【答案】1
【分析】根据新定义的运算列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
故答案为：1．
题型六：判断等式是否成立（高频考题）
1．（2025·浙江杭州·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了幂的乘方及同底数幂的乘法和除法，熟练掌握各个运算是解题的关键．根据幂的乘方及同底数幂的乘法和除法可进行求解．
【详解】解：A．不能合并，原计算错误，故不符合题意；
B．，计算正确，故符合题意；
C．，原计算错误，故不符合题意；
D．，原计算错误，故不符合题意．
故选：B．
2．（2025·浙江·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则进行判断．由合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方的运算法则分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、与不能合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故选：C．
3．（2025·浙江温州·模拟预测）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的性质；根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
4．（2024·浙江嘉兴·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根，合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是掌握相关知识．根据算术平方根，合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方，逐一判断即可．
【详解】解：A、，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项正确；
D、，故该选项错误；
故选：C．
5．（2024·浙江温州·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则进行判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】、与不是同类项，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
故选：．
6．（2024·浙江绍兴·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项，根据相关运算法则即可求解．
【详解】A、 故该项不正确，不符合题意；
B、 故该项不正确，不符合题意；
C、故该项不正确，不符合题意；
D、 故该项正确，符合题意；
故选：D
7．（2024·浙江台州·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了幂的运算，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方等知识，掌握运算法则是关键；根据幂的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，故计算正确；
B、，故计算错误；
C、不是同类项，不能合并，故计算错误；
D、，故计算错误；
故选：A．
8．（2024·浙江湖州·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，依据各个运算法则依次计算判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键
【详解】解：A. ，原计算错误，不符合题意；
B. ，原计算错误，不符合题意；
C. ，原计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意；
故选D
题型七：利用代数式求值（高频考题）
1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）当时，代数式的值是，那么当时，代数式的值是（ ）
A．2021 B．2022 C．2019 D．2020
【答案】B
【分析】本题主要考查了求代数式的值．根据题意可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵当时，代数式的值是，
∴，
∴，
∴当时， ．
故选：B
2．（2025·浙江宁波·模拟预测）若，那么代数式的值是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了代数式求值，解此题的关键在于掌握整体代入的数学思想．
先将变形为：，将代数式进行变形，利用整体思想进行求解即可．
【详解】解： ∵
∴．
．
故答案为：．
3．（2024·浙江杭州·三模）已知，则 ．
【答案】//
【分析】本题主要考查了分式的化简，比例的基本性质、代数式求值等知识点，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
由可得，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
4．（2024·浙江杭州·二模）已知，，且为正整数，则正整数a的值是 ．
【答案】4
【分析】此题考查了已知字母的值求代数式的值，根据已知等式变形为，再根据要求得到，，且a是整数，再分别取a的整数值代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵为正整数，，a是正整数，
∴，且a是整数，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
故答案为4．
5．（2024·浙江杭州·模拟预测）设，，，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，由题意得出，利用加减消元法得出的值，代入计算即可得出答案．
【详解】解：，，
，
解得：，
，
故答案为：．
6．（2024·浙江宁波·二模）多项式与多项式的乘积为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是多项式乘多项式和单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式和单项式乘单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：多项式与多项式的乘积为，
设多项式，
由题意得：
，
，，，
，
故答案为：．
7．（2024·浙江温州·一模）已知，，则多项式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查整式、因式分解的知识，解题的关键是对多项式变形为，再把、的值，代入，即可．
【详解】∵，
∴当，时，，
故答案为：．
8．（2023·浙江宁波·一模）已知，满足，则式子的值是 ．
【答案】
【分析】根据平方和算术平方根的非负性求出x，y，代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
题型八：整式中找规律题型
1．（2025·浙江台州·一模）观察下面三行数：
①
②
③
设分别为第①②③行的第个数，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字规律、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
先观察数据，发现规律，确定的值，然后代入计算即可．
【详解】由题知，第①行是以2为底数，从1开始的连续自然数为指数，奇数位置为负，偶数位置为正的数，所以第①行的第20个数为，
第②行的数比第①行对应的数大2，所以第②行的第20个数为，即，
第③行的数由第①行对应的数除以2所得，所以第③行的第20个数为，
所以
．
故选B．
2．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（ ）块
A．28 B．30 C．34 D．36
【答案】D
【分析】根据所给图形，依次求出图形中灰砖和白砖的块数，发现规律即可解决问题．本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现灰砖及白砖块数变化的规律是解题的关键．
【详解】由所给图形可知，
第 1 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：，
第 2 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：，
第3个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：，
所以第个图形中灰砖块数为块，白砖块数为块，
当时，（舍负），
则（块），
即所选的图中灰砖有 64 块，则白砖有 36 块．
故选：D．
3．（2024·浙江·一模）如图，一把直尺和两叠杯子放在同一水平桌面上，左、右两叠杯子的上边缘对应在刻度尺上的读数分别是，7，要使右叠杯子的高度与刻度10对齐，还需再叠加同样的杯子个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了计算能力，关键是理解题意和准确计算．
先计算出每增加一个杯子，高度增加，即可计算出高度增加时还需再叠加同样的杯子个数．
【详解】解：由已知可得，每增加一个杯子，高度增加，
∴要使右个杯子的高度与刻度10对齐，还需再叠加同样的杯子个数是(个)．
故选：A．
4．（2024·浙江温州·二模）在二维码中常用黑白方格表示数码1和0，若下图表示1011，则表示0110的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形规律，理解图示，掌握图形规律是解题的关键．
根据材料提示，黑色的为1，白色的为0，由此即可求解．
【详解】解：根据材料提示，黑色的为1，白色的为0，
∴的图形规律为：白黑黑白，
故选：D ．
5．（2023·浙江温州·模拟预测）等角螺线在自然界中很常见．如图，连接大正六边形六条边的中点，形成一个小的正六边形，再连接小正六边形六条边的中点，形成一个更小的正六边形，重复多次，可形成以逆时针方向环绕的等腰三角形串（如阴影部分所示），这个三角形串就是一个简单的等角螺线．若大正六边形的边长为1，则该等角螺线中第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正六边形的性质，得到等角螺线中等腰三角形顶点到中心的距离等于正六边形的边长，由此规律可得第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为即可得出结果．
【详解】解：如图，正六边形，中心为O，点分别是正六边形各边的中点，
六边形是正六边形，边长为1，
，
，
是等边三角形，
，
点是的中点，
，
，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
同理得：由正六边形各边中点连接形成的正六边形，顶点到中心O点的距离为，
同理可得：第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为，
故选：C．
6．（2024·浙江·一模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ．
【答案】4160
【分析】本题考查了数字类规律探索，要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果，准确计算、发现规律是解题的关键．
【详解】由题意得：
∴；
∴；
∴；
∴；
∴；
∴
∴，，
，
，
由规律可得每三次变换为一个循环，
∴
∴
故答案为：4160．
7．（2024·浙江绍兴·一模）某班40名同学按学号1，2，3，…，40顺次顺时针方向围坐成一圈做游戏：从某个同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下39人，第一轮结束；接着从退出游戏的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下38人，第二轮结束；……，按这种方式，在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，则第一轮第一位报数同学的学号是 ．
【答案】
【分析】此题考查了数字类规律题和一元一次方程的应用，设第一轮第一位报数同学的学号是a，共40人，依次进行运算即可得到答案．
【详解】解：设第一轮第一位报数同学的学号是a，共40人，
则第一轮报号40的同学学号为,
∴第二轮第一个报号的同学学号仍为a，共39人，
则第二轮报号40的同学学号为,
∴第三轮第一个报号的同学学号仍为，共38人，
则第三轮报号40的同学学号为,
∴第四轮第一个报号的同学学号仍为，共37人，
则第四轮报号40的同学学号为,
∴第五轮第一个报号的同学学号仍为，共36人，
则第五轮报号40的同学学号为,
∵在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，
∴，
∴，
故答案为：9
8．（2024·浙江台州·一模）一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积．若这组数第1个数是a，第5个数是，则第2028个数是 （用含a的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查数字类规律探究，设第2个数为，第3个数为，第4个数为，根据任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积，求出，进而得到这组数每6个一组进行循环，进一步求出第2028个数即可．
【详解】解：设第2个数为，第3个数为，第4个数为，由题意，得：，
∴，
∴，
进而可得第六个数为，
∴依次可得这组数据为，即：这组数以6个为一组，进行循环，
∵，
∴第2028个数是；
故答案为：．
题型九：因式分解的简单应用（高频考题）
1．（2025·浙江·模拟预测）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．用提取公因式法分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
2．（2025·浙江嘉兴·一模）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法解答即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）分解因式： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查提公因式法因式分解，能准确找出公因式是解题的关键．
直接提取公因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
4．（2024·浙江金华·二模）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解提公因式法．利用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
5．（2024·浙江宁波·二模）因式分解： ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．利用十字相乘法分解后再用平方差公式分解．
【详解】解：
．
故答案为：．
6．（2023·浙江杭州·三模）分解因式： ．
【答案】
【分析】根据提公因式法即可求出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
7．（2023·浙江湖州·一模）因式分解： ．
【答案】
【分析】利用提公因式法进行因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
题型十：分式中基本性质的应用（高频考点）
1．（2024·浙江温州·二模）若分式的值为0，则x 的值为（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2024·浙江杭州·二模）要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的定义中分式的分母不能为零即可解答．本题考查了分式的定义及解不等式，理解分式的定义是解题的关键．
【详解】解：∵要使分式有意义，则必须有
，
∴，
故选．
3．（2024·浙江嘉兴·二模）化简的结果是（ ）
A．a B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的加减运算，通过变形得到相同的分母成为解题的关键．
先通过变形得到相同的分母，然后按照同分母分式加减运算求解即可．
【详解】解：．
故选D．
4．（2024·浙江舟山·一模）小红带着数学兴趣小组研究分式，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当越来越大时，的值越来越接近于1
【答案】D
【分析】本题考查了分式的性质，解分式方程．直接代入计算可判断选项A；解分式方程可判断选项B；利用求差法可判断选项C；利用分式的性质可判断选项D．
【详解】解：当时，，原说法错误，选项A不符合题意；
当时，去分母得，解得，经检验是方程的解，原说法错误，选项B不符合题意；
当时，∵，
∴，原说法错误，选项C不符合题意；
当越来越大时，的值越来越接近于1，说法正确，选项D符合题意；
故选：D．
5．（2024·浙江·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式的基本性质，分式加减运算，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，分式加减运算法则，本题属于基础题型．根据分式的基本性质和分式加减运算法则，逐项判断即可．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
6．（2024·浙江杭州·模拟预测）下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式分母不为零逐项判断即可．
【详解】解：A、，分式有意义，符合题意；
B、，当时，分式无意义，不符合题意；
C、，当时，分式无意义，本选项不符合题意；
D、时，分式无意义，本选项不符合题意，
故选：A．
7．（2023·浙江宁波·一模）对于分式，下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式的值为 B．当时，分式无意义
C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为
【答案】C
【分析】直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断即可．
【详解】解：A．当时，，，分式的值为，故此项选项不符合题意；
B．当时，，分式无意义，故此选项不符合题意；
C 当时，当时，，分式无意义，故此选项符合题意；
D．当时，，故此选项不符合题意．
故选：C．
1．（2025·浙江嘉兴·一模）下列计算正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质和运算法则逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
故选：．
2．（2025·浙江温州·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了积的乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
先运用积的乘方计算，然后再运用同底数幂相乘的运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故选D．
3．（2025·浙江衢州·一模）因式分解：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，掌握平方差公式因式分解是关键．
运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故选：D ．
4．（2025·浙江·模拟预测）截至2025年2月26日13时45分，《哪吒之魔童闹海》的全球票房达到亿人民币，不仅刷新了中国影史纪录，更是在全球动画领域树立了新标杆，成为中国文化软实力输出的重要里程碑．其中数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：亿
，
故选：D．
5．（2024·浙江嘉兴·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了比例的性质，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据，可得，代入代数式化简求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
6．（2024·浙江嘉兴·三模）如图，数轴上有A，B两点，分别表示的数为，2，则下列各数在数轴上对应的点落在线段上的是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】本题考查了实数的比较大小，数轴上点表示的数，理解比较方法：“正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．” 是解题的关键．
【详解】解：设线段上的点表示的数为，
，
，
故选：B．
7．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图一个大平行四边形被分割成 2 个全等的小平行四边形和三个菱形后仍是中心对称图形，已知哪个图形的周长，就能得到大平行四边形的周长（ ）
A．①或③ B．②或③ C．①或③ D．①或②
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形、菱形、整式加减的应用，熟练掌握菱形和平行四边形的性质是解题关键．设菱形③的边长为，小平行四边形①的短边的长为，先求出菱形②的边长为，小平行四边形①的长边的长，大平行四边形的短边的长、大平行四边形的长边的长，再分别求出图形①②③和大平行四边形的周长，由此即可得．
【详解】解：设菱形③的边长为，小平行四边形①的短边的长为，
∴菱形②的边长为，
∴小平行四边形①的长边的长为，
大平行四边形的短边的长为，
∴大平行四边形的长边的长为，
∴小平行四边形①的周长为，
菱形②的周长为，
菱形③的周长为，
大平行四边形的周长为，
由此可知，已知①或②的周长，就能得到大平行四边形的周长，
故选：D．
8．（2025·浙江宁波·一模）已知 则 的值是 （ ）
A．13 B．11 C．9 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，平方差公式，正确推出是解题的关键．设，，根据完全平方公式的变形求出，则，即可利用平方差公式求出．
【详解】解：设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．（2025·浙江宁波·一模）的小数部分是 ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，解题的关键是确定的范围，进而得到的整数部分，再求出其小数部分．
先确定的取值范围，从而得到的取值范围，找出其整数部分，再用减去整数部分得到小数部分．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为2，
∴小数部分为，
故答案为：．
10．（2025·浙江杭州·模拟预测）比较大小 （填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的大小比较，先得出，,再比较，2．即可作答．
【详解】解：∵，，
∴2．
故答案为：．
11．（2024·浙江舟山·三模）车间里有五台车床同时出现故障． 已知第一台至第五台修复的时间如下表：
车床代号 A B C D E
修复时间（分钟） 16 6 30 5 9
若每台车床停产一分钟造成经济损失 10 元，修复后即可投入生产，现只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号），最少为 元．
【答案】 ① 1380
【分析】本题考查了有理数的混合运算，要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可，找出方案是解题的关键．
【详解】解：要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，然先修复时间短的，即按5、6、9、16、30分钟顺序修复，即线路①；
此时经济损失为元，
故答案为：①；1380．
12．（2024·浙江嘉兴·一模）已知，当取最小值时，S的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的性质及完全平方公式，解决本题的关键是熟练掌握运用不等式的性质解决问题，先求出，，求得，再求得当时，取最小值，再求得，再求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
当时，取最小值，
，
，
，
故答案为：
13．（2025·浙江温州·模拟预测）计算：．
【答案】．
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先进行有理数乘法，算术平方根化简，化简绝对值，求立方根，然后通过有理数加减运算法则即可求解．
【详解】解：
．
14．（2025·浙江金华·一模）小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
先化简，再求值：，其中． 解：原式 当时，原式．
【答案】首次出现错误步骤的序号是，见解析
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
先根据分式的运算法则化简，再代入求值即可．
【详解】解：首次出现错误步骤的序号是，
正确的解答：原式，
，
，
，
当时，原式．
15．（2025·浙江衢州·一模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握完全平方公式和整式乘法运算法则，是解题的关键．先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行化简，然后再代入数据进行求值即可．
【详解】解：
，
当，时，
原式
．
16．（2025·浙江宁波·模拟预测）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式________；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查了规律题，数字的变化，推理能力和运算能力．
（1）观察给出的三个等式，可以发现以下规律：第n个等式的左边为，右边为，分数的分子比分母大1，且右边的整数等于分子．验证等式两边的计算结果相等：左边：右边：；因此左边等于右边．
（2）第n个不等式的一般形式为．
【详解】（1）解： ．
（2）解：
所以右=左，即等式成立．
17．（2025·浙江宁波·一模）在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，，且是的相切函数，点为切点．
(1)试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式_____．
(2)当时，试判断以下两组值①，；②，能否使成立？并说明理由．
(3)若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且，求的值．
【答案】(1)，，
(2)①不成立，②成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）联立与，得，整理得，由题意得，于是可得，即，将代入方程，得，解方程即可求出的值，进而可求出相对应的值，于是可得切点的坐标；
（2）由（1）得，则，，要使成立，则，整理得，由可得，进而可得，据此对、的两组值进行验证，即可得出答案；
（3）由“函数的图象经过点，函数的图象经过点”可得，，再结合，可得，由（1）得，将代入并整理，得，由可得，进而可得，解方程即可求出的值．
【详解】（1）解：联立与，得：
，
整理，得：，
由题意得：，
即：
，
，
，
将代入方程，得：
，
整理，得：，
，
，
，即：，
将代入，得：
，
切点的坐标为，
故答案为：，，；
（2）解：①不成立，②成立，理由如下：
由（1）得：，
，
，
要使成立，则：
，
整理，得：，
，
，
，
，
①当，时，
，不满足，
不成立；
②当，时，
，满足，
成立；
（3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点，
，，
，
，
即：，
由（1）得：，
将代入，得：，
整理，得：，
，
，
，
解得：或，
的值为或．
