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2025年浙江数学中考预测专项突破
专题02 方程（组）和不等式（组）（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题方程（组）和不等式（组）分析
选择题第7道：一元一次不等式组在数轴上的表示，此题型主要考查的是不等式（组）中的计算问题，分值3分，难度：中等偏下；
选择题第12道：解分式方程，此题型主要考查的是方程（组）的计算问题，分值3分，难度：中等偏下；
选择题第22道：一元一次方程的实际应用与图像的结合，此题型主要考查的是实际应用问题，分值10分，难度：中等；
题型一：一元一次方程中去分母问题
1．（2023·浙江温州·一模）将方程去分母，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江温州·三模）解方程，以下去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江温州·二模）解方程，去分母后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江温州·一模）解方程， 以下去分母正确的是 ( )．
A． B．
C． D．
5．（2023·浙江温州·一模）解方程，以下去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：解二元一次方程组（选填题）（高频考题）
1．（2025·浙江温州·一模）方程组的解为 ．
2．（2025·浙江温州·模拟预测）已知二元一次方程，若时，则 ．
3．（2025·浙江杭州·一模）方程组的解是 ．
4．（2024·浙江宁波·一模）已知二元一次方程组，则的值为 ．
5．（2023·浙江温州·模拟预测）二元一次方程组的解为 ．
6．（2023·浙江宁波·二模）若，，则的值为 ．
7．（2024·浙江湖州·一模）二元一次方程组的解是 ．
8．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二元一次方程组，则的值为 ．
题型三：解二元一次方程组中求参数的值（高频考题）
1．（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是 ．
2．（2025·浙江宁波·一模）若方程组 的解是 则方程组 的解是
3．（2024·浙江杭州·三模）已知方程组，则的值为 ．
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）设，，，若，，则 ．
5．（2023·浙江杭州·二模）已知是方程的一个解，则m的值为 ．
6．（2024·浙江宁波·一模）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 ．
7．（2023·浙江杭州·三模）已知关于x，y的方程组的解是，则直线与的交点坐标为 ．
题型四：方程组与不等式（组）列方程（高频考题）
1．（2025·浙江金华·一模）我国古代著作《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，得到方程组为，则根据图2所示的算筹图，列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·浙江·一模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·浙江温州·一模）小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·浙江嘉兴·一模）我国古代数学专著《孙子算经》中有一个“多人共车”的问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：“现有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，则有辆车是空的；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行．问人和车各有多少？”设人数为人，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·浙江衢州·一模）（我国古代算题）马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马，牛各价几何？设马价为每匹两，牛价为每头两，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·浙江宁波·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：现在有数人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问共有多少人，物品的价格是多少钱？若设人数共有人，物品的价格为钱，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江宁波·模拟预测）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量分别为两、两，则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·浙江杭州·一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何 ”意思是：今有匹马、头牛的总价超过钱，其超出的钱数相当于匹马的价格．匹马、头牛的总价不足钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？可设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱，下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·浙江台州·二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
10．（2024·浙江温州·三模）某社区积极响应“创文”活动，购买了甲、乙两种树木，其中甲种树木每棵100元，乙种树木每棵80元，乙种树木比甲种树木少8棵，共用去资金8000元．设甲种树木购买了x棵，乙种树木购买了y棵，根据题意，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·浙江宁波·三模）有甲、乙两种铺路沥青车，乙型沥青车比甲型沥青车每小时多铺沥青，铺120平方米的面积所用的时间甲型沥青车比乙型沥青车多用40分钟，两种型号沥青车每小时分别可以铺路多少平方米？若设甲型沥青车每小时铺路x平方米，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·浙江嘉兴·三模）已知物体自由下落的距离可以表示为，表示物体下落的末速度，表示物体下落的时间，声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，测得米/秒，设石头下落的时间为，则可列得方程（ ）
A． B．
C． D．
题型五：一元二次方程中相关求解问题
1．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中有与两点（），关于过两点的直线与二次函数图像的交点个数判定，哪项为真命题（ ）
A．只有，才一定有两交点 B．只有，才一定有两交点
C．只有，才一定有两交点 D．只有，才一定有两交点
2．（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数的图象与轴没有交点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江·模拟预测）一次函数与二次函数的交点个数为（ ）．
A． B． C． D．不确定
4．（2024·浙江嘉兴·三模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，m有最大值 B．若，m有最小值
C．若，m有最大值 D．若，m有最小值
5．（2023·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，称关于的方程为点的对应方程．若点，，则线段上任意点的对应方程的实数根有 个．
6．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ．
7．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数（b，c为常数且，），当时，，则c的值为 ．
8．（2024·浙江嘉兴·一模）已知，且，则的最小值是 ．
9．（2024·浙江台州·一模）点A在一次函数（）的图象上，点B在反比例函数 的图象上．点A，B之间的距离记为k．当时，k的最小值是 ．当k的最小值是0时，则b的取值范围是 ．
10．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）关于x的方程的根满足，则m的值是 ．
11．（2024·浙江杭州·三模）已知a、b为实数，且满足，，则 ．
题型六：一元二次方程中根的判别式
1．（2025·浙江·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江温州·三模）若一元二次方程的根判别式的值为，则的值为( )
A．1 B． C．3 D．
5．（2024·浙江台州·二模）已知关于x的一元二次方程，该方程的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．与b的取值有关
6．（2024·浙江宁波·一模）一个三位数，百位上的数字a与个位上的数字c的和恰好等于十位上的数字b，且，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．两个相等的实数根 B．两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定有没有实数根
7．（2023·浙江温州·二模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数c的值可能是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
8．（2025·浙江·一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
9．（2025·浙江湖州·一模）关于x的方程有实数根，则m的取值范围是 ．
10．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于实数a，b，定义一种运算“※”为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，则实数k的值为 ．
题型七：一元二次方程中根与系数的关系（高频考题）
1．（2024·浙江宁波·二模）已知是方程的一个根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
2．（2023·浙江温州·三模）若是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江宁波·一模）已知是关于x的一元二次方程的一个解，则该方程的另一个解是 ．
4．（2023·浙江金华·二模）已知关于x的一元二次方程的两根分别为，，则常数___________，___________．
5．（2023·浙江嘉兴·一模）已知，，且，则 ．
6．（2023·浙江金华·一模）若一元二次方程的两根分别为，，则代数式 ．
7．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛物线与轴的交点．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少有三个交点，求的取值范围．
8．（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题：
(1)若，解此方程；
(2)若，求证：此方程至少有一个实数根；
(3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：．
9．（2023·浙江宁波·三模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根．
(2)若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根．
10．（2024·浙江杭州·一模）已知反比例函数与一次函数（，k是常数）的图象交于点，．
(1)当时，求的值．
(2)若，求的值．
11．（2024·浙江杭州·一模）关于的一元二次方程．
(1)如果方程有两个相等的实数根，求的值；
(2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值．
12．（2023·浙江衢州·模拟预测）抛物线（，，为常数，）经过，两点．
(1)当时，求抛物线的表达式．
(2)求一元二次方程的根．
(3)求证：．
13．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线与动直线有公共点，，且．
(1)求实数t的取值范围；
(2)当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．
题型八：不等式在数轴上表示
1．（2024·浙江宁波·二模）不等式的解集在数轴上表示为图中的（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江温州·三模）一元一次不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C． D．
3．（2024·浙江杭州·二模）如图，数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b，，a，则下列关于原点位置的描述正确的是（ ）
A．原点在B点的左侧 B．原点在B、C之间
C．原点在C、A之间 D．原点在A点的右侧
4．（2024·浙江台州·二模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·浙江湖州·模拟预测）将不等式组中不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上的表示如图所示，则另一个不等式可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江衢州·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型九：利用一元一次不等式（组）求解（高频考题）
1．（2025·浙江嘉兴·一模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江温州·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江台州·三模）不等式组的解集是（ ）．
A． B． C． D．无解
4．（2024·浙江宁波·一模）设二次函数（为实数）的图象过点，设，下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则 B．若，且，则
C．若，且，则 D．若，且，则
5．（2023·浙江杭州·二模）设二次函数（m为实数）的图象过点，设，下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
6．（2023·浙江杭州·二模）已知a为实数，且满足．若，则b的最大值是 ．
7．（2022·浙江杭州·模拟预测）对于实数a，b，定义运算“*”：，关于x的方程恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是
题型十：解方程（组）和不等式（组）（高频考题）
1．（2025·浙江嘉兴·一模）解方程组：．
2．（2025·浙江舟山·一模）解不等式组，把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．
3．（2025·浙江衢州·一模）解方程：
4．（2025·浙江·模拟预测）解不等式组：，并把解集在数轴上表示．
5．（2024·浙江温州·模拟预测）（1）解不等式组
（2）解方程：
6．（2024·浙江台州·二模）解方程：．
7．（2024·浙江绍兴·二模）（1）计算：；
（2）解不等式组．
8．（2024·浙江杭州·二模）（1）计算：；
（2）解方程：．
9．（2024·浙江嘉兴·一模）（1）计算： ．
（2）解分式方程：．
10．（2024·浙江衢州·模拟预测）（1）计算：．
（2）解不等式组：
题型十一：方程（组）和不等式（组）的实际应用（高频考题）
1．（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克元的价格购入，再以每千克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为千克．
(1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到千克．求月份到月份的销售量月平均增长率；
(2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨元，月销量将减少千克， 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出元．
设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式．
现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每千克应涨价多少元．
2．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同．
(1)两种型号电脑每台进价各是多少？
(2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价)
3．（2024·浙江温州·三模）如图某户外俱乐部计划组织成员到露营基地进行野餐活动，准备租赁，两款野餐垫．已知款野餐垫单价是款的倍，用元租款比租款多张．
(1)求，两款野餐垫的租赁单价．
(2)该俱乐部用元租这两款野餐垫且恰好全部用完，每张野餐垫都坐满，最多能提供多少人就坐？写出此时的租赁方案．
4．（2024·浙江宁波·二模）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒．
(1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价；
(2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值；
(3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值．
5．（2023·浙江湖州·一模）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
(1)求篮球、足球的单价分别为多少元？
(2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
(3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
6．（2023·浙江衢州·一模）“冰墩墩”和“雪容融”作为第届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，
下图是某文旅店订购情况:
(1)表示出“雪容融”的单价．
(2)若“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多元．
①分别求出这两种吉祥物的数量．
②该文旅店分别以元和元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出一半，“雪容融”售完时，文旅店为了尽快卖完，决定对剩余的“冰墩墩”每个降价元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于元，求的最大值．
7．（2023·浙江温州·一模）1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件．
(1)求该商品的单价；
(2)2月份，两商店以单价元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变．
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小．
②已知，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量．
8．（2023·浙江衢州·二模）（1）【阅读理解】
倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含、两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台型机器人和1台型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台型机器人先工作5小时后，再加入1台型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台型机器人和1台型机器人每小时各处理垃圾多少吨？
分析 可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系．
由图可得如下的数量关系：
①1台型10小时的垃圾处理量台型10小时的垃圾处理量吨；
②________________吨．
（2）【问题解决】
请你通过列方程（组）解答（1）中的问题．
（3）【拓展提升】
据市场调研，机器人公司对、两款机器人的报价如下表：
型号 型 型
报价（万元／台） 20 14
若垃圾处理厂采购的这批机器人（、两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？
9．（2023·浙江温州·模拟预测）某校准备组织师生共人，从温州乘坐动车前往雁落山参加夏令营活动，教师按成人票价购买，学生按学生票价购买，动车票价格如表所示：
运行区间 成人票价元张 学生票价元张
出发站 终点站 一等座 二等座 二等座
温州南 雁落山
若师生均购买二等座票，则共需元．
(1)参加活动的教师和学生各有多少人；
(2)由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有人，购买一、二等座票全部费用为元．求关于的函数关系式．
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个 “赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为，大正方形面积为，直角三角形中较小的锐角为 ，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·浙江杭州·二模）设a，b，m均为实数，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2024·浙江温州·二模）若代数式的值为8，则代数式的值为（ ）
A．0 B．11 C． D．
5．（2024·浙江台州·二模）在一次学农活动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，设调往甲处人，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·浙江宁波·二模）已知，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江温州·模拟预测）已知方程组，若，的值互为相反数，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
8．（2024·浙江宁波·一模）表示小于a的最大整数，表示不小于b的最小整数，若整数x、y满足，则的平方根为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数，当时，，则，值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的函数，y的最大值为4，则a的取值范围是 ．
11．（2024·浙江温州·三模）不等式组的解为 ．
12．（2025·浙江宁波·一模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为 天，
13．（2023·浙江杭州·一模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 ，时，分式方程的解为 ．
14．（2024·浙江宁波·二模）已知两条线段的长度、满足 ，且，若另一线段长度是、的比例中项，则 ．
15．（2024·浙江宁波·模拟预测）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，图1是一个已完成的幻方．图2是一个未完成的幻方，其中的值为 ．
16．（2023·浙江台州·三模）解方程组：．
17．（2025·浙江杭州·二模）对于关于x，y的二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值，方程组的解x，y的值一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由．
18．（2023·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）
(1)当时，求函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)若函数图象经过点，，求证：；
(3)若，，的图象交于点,，，设为图象上一点，求的值．
19．（2025·浙江宁波·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务
设计弹弹珠游戏
素材1∶ 某班级组织趣味弹弹珠游戏， 设计如下∶（1）距离水平地面米处有一带弹簧的装置；（2）每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从点水平飞出，研究路径时弹珠直径可忽略，如图1．
素材2∶某班进行试玩，发现∶ 当弹珠从点飞出后形成的路径是抛物线的一半， 并正好从挡板1的顶部经过， 此时带弹簧的装置距离水平地面的高度米，挡板1至点距离为米，挡板1的高度为米，如图2．
素材3∶ 弹珠游戏装置变化，如图3∶（1）在距离点米处新增长度为米的挡板2， 挡1与挡板2之间记为区域∶（2）在距离 点米处新增长度为米的挡板3， 挡板2 与挡板3之间记为区域．
问题解决
任务 1∶ 确定弹珠路径．请在图2中以点为原点建立直角坐标系，并求出弹珠飞出路径对应的抛物线解析式．
任务 2∶ 确定移动方案．要想让弹珠飞出后落入区域内，该弹簧装置向上移动的距离要满足什么条件？
任务 3∶灵活变通．根据同学们的实际游戏情况，上下移动装置很难精准将弹珠落入固定区域内，希望作出调整．现做出如下改动，在任务1的基础上，先将装置向上移动米， 再通过左右移动三块挡板（区域和区域的宽度不改变），让弹珠落入得分更高的区域 内， 请计算挡板3横坐标的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
2025年浙江数学中考预测专项突破
专题02 方程（组）和不等式（组）（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题方程（组）和不等式（组）分析
选择题第7道：一元一次不等式组在数轴上的表示，此题型主要考查的是不等式（组）中的计算问题，分值3分，难度：中等偏下；
选择题第12道：解分式方程，此题型主要考查的是方程（组）的计算问题，分值3分，难度：中等偏下；
选择题第22道：一元一次方程的实际应用与图像的结合，此题型主要考查的是实际应用问题，分值10分，难度：中等；
题型一：一元一次方程中去分母问题
1．（2023·浙江温州·一模）将方程去分母，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据解一元一次方程的步骤可进行求解．
【详解】解：将方程去分母得：；
故选A．
2．（2024·浙江温州·三模）解方程，以下去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用等式的性质在分式方程两边分别乘 即可．
【详解】A，故此选项不符合题意．
B，故此选项不符合题意．
C，故此选项不符合题意．
D，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（2024·浙江温州·二模）解方程，去分母后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】两边同时乘以分母的最小公倍数6，化简即可，注意不要漏乘．
【详解】解：∵分母的最小公倍数是6，
∴两边同乘以6得到：，
故选：A．
4．（2024·浙江温州·一模）解方程， 以下去分母正确的是 ( )．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】去分母的方法是方程两边同时乘以各分母的最小公倍数12，去分母的过程中需要注意没有分母的项不能漏乘．
【详解】方程两边同时乘12，得
去括号，得
故选：B．
5．（2023·浙江温州·一模）解方程，以下去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】各项同时乘以运算即可．
【详解】解：，
去分母得，，
故选：A．
题型二：解二元一次方程组（选填题）（高频考题）
1．（2025·浙江温州·一模）方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解二元一次方程组即可得解．
【详解】解：，
由可得：，
解得：，
将代入①可得，
解得：，
∴原方程组的解为，
故答案为：．
2．（2025·浙江温州·模拟预测）已知二元一次方程，若时，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二元一次方程的解，依题意，把代入，得，解得，即可作答．
【详解】解：∵二元一次方程，
∴把代入，得，
解得，
故答案为：2．
3．（2025·浙江杭州·一模）方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，由①②先求解，再求解即可.
【详解】解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为：；
故答案为：
4．（2024·浙江宁波·一模）已知二元一次方程组，则的值为 ．
【答案】4
【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．对于方程组，将①②即可得出的值．
【详解】解：对于方程组，
①②得：．
故答案为：4．
5．（2023·浙江温州·模拟预测）二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组，两个方程相加得出，将代入①得出，即可得出答案．
【详解】解：，
得出：，
将代入①得出：，
所以方程组的解为：，
故答案为：．
6．（2023·浙江宁波·二模）若，，则的值为 ．
【答案】3
【分析】方程组中两方程相加即可求出的值．
【详解】解：，
①②得：，
则，
故答案为：3．
7．（2024·浙江湖州·一模）二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【分析】利用加减消元法求出方程组的解，即可作出判断．
【详解】解：，
①+②得：3x＝3，
解得：x＝1，
把x＝1代入②得：y＝0，
则方程组的解为，
故答案为：．
8．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二元一次方程组，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，方程组两方程相加求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：，
得：，
故答案为：．
题型三：解二元一次方程组中求参数的值（高频考题）
1．（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键．
将解代入原方程组即可求解．
【详解】解：∵二元一次方程组的解是，
∴，
解得，
故答案为：5．
2．（2025·浙江宁波·一模）若方程组 的解是 则方程组 的解是
【答案】
【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，把求解的方程组进行合理变形，并把和看做一个整体换元得到一个关于和的新方程组是解答本题的关键.把的两边都除以4变形为，然后把和看做一个整体，用换元法求解.
【详解】解：∵，
∴，即
∵的解为，
∴，
∴.
故答案为：
3．（2024·浙江杭州·三模）已知方程组，则的值为 ．
【答案】2
【分析】
本题考查了解二元一次方程组．观察方程组中未知数的系数的特点直接相减得出的值．
【详解】解：，
，得，
故答案为：2．
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）设，，，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，由题意得出，利用加减消元法得出的值，代入计算即可得出答案．
【详解】解：，，
，
解得：，
，
故答案为：．
5．（2023·浙江杭州·二模）已知是方程的一个解，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于m的一次方程，求解即可．掌握一元一次方程的解的意义是解决本题的关键.
【详解】解：把代入方程，得，
．
．
故答案为：．
6．（2024·浙江宁波·一模）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．将方程组可化为，然后根据题意即可得出，从而求出、的值．
【详解】解：方程组可化为，
关于、的方程组的解为，
方程组的解是，即，
故答案为：．
7．（2023·浙江杭州·三模）已知关于x，y的方程组的解是，则直线与的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】把代入即可求出m的值，再根据二元一次方程组和一次函数的关系，即可进行解答．
【详解】解：把代入，
得：，
关于x、y的方程组的解是，
直线与的交点坐标为，
故答案为：．
题型四：方程组与不等式（组）列方程（高频考题）
1．（2025·浙江金华·一模）我国古代著作《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，得到方程组为，则根据图2所示的算筹图，列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，此题要理解图1中算筹所示的表示方法，依此即可推出图2所示的方程组．
【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，
可推出图2所示的算筹表示的方程组：．
故选：A．
2．（2025·浙江·一模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得，据此列出相应的方程组即可．
【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱，
依题意得，
故选：A．
3．（2025·浙江温州·一模）小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），根据“第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒”这一等量关系可列方程．
【详解】解：设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程
故答案为：C．
4．（2025·浙江嘉兴·一模）我国古代数学专著《孙子算经》中有一个“多人共车”的问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：“现有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，则有辆车是空的；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行．问人和车各有多少？”设人数为人，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设人数为人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设人数为人，
由题意得，，
故选：．
5．（2025·浙江衢州·一模）（我国古代算题）马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马，牛各价几何？设马价为每匹两，牛价为每头两，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据马四匹，牛六头，共价四十八两，马三匹，牛五头，共价三十八两，列出方程组即可．
【详解】解：由题意，可列方程组为：
；
故选D．
6．（2023·浙江宁波·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：现在有数人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问共有多少人，物品的价格是多少钱？若设人数共有人，物品的价格为钱，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：D．
7．（2023·浙江宁波·模拟预测）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量分别为两、两，则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，根据数量关系列式求解即可．
【详解】解：设每只雀、燕的重量分别为 两、 两，
∵五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），
∴，
∵雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，
∴，
∴，
故选：D ．
8．（2023·浙江杭州·一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何 ”意思是：今有匹马、头牛的总价超过钱，其超出的钱数相当于匹马的价格．匹马、头牛的总价不足钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？可设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱，下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱，根据题意列出方程组即可，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱，
根据题意得：，
故选：．
9．（2024·浙江台州·二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，不等式组的应用，设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式列出面积S关于x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，然后分别令和，解方程求出x，取在x取值范围内的值即可．
【详解】解：设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为，
∴，
根据题意，得不等式组，
解得：，
当时，，
解得（不合题意，舍去）；
当时，，
解得，（不合题意，舍去），
故小明错误，小亮说法正确．
故选：B．
10．（2024·浙江温州·三模）某社区积极响应“创文”活动，购买了甲、乙两种树木，其中甲种树木每棵100元，乙种树木每棵80元，乙种树木比甲种树木少8棵，共用去资金8000元．设甲种树木购买了x棵，乙种树木购买了y棵，根据题意，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
利用总价单价数量，结合购进两种树苗棵数间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵购进的乙种树木比甲种树木少8棵，
∴；
∵购进这批树木共用去资金8000元，
∴．
∴根据题意可列方程组．
故选：B．
11．（2023·浙江宁波·三模）有甲、乙两种铺路沥青车，乙型沥青车比甲型沥青车每小时多铺沥青，铺120平方米的面积所用的时间甲型沥青车比乙型沥青车多用40分钟，两种型号沥青车每小时分别可以铺路多少平方米？若设甲型沥青车每小时铺路x平方米，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了分式方程的实际应用，设甲型沥青车每小时铺路x平方米，则乙型沥青车每小时铺路平方米，铺120平方米的面积所用的时间甲型沥青车比乙型沥青车多用40分钟，据此列方程即可．
【详解】解：设甲型沥青车每小时铺路x平方米，则乙型沥青车每小时铺路平方米，由题意可得，
故选：D．
12．（2024·浙江嘉兴·三模）已知物体自由下落的距离可以表示为，表示物体下落的末速度，表示物体下落的时间，声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，测得米/秒，设石头下落的时间为，则可列得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程式是解题的关键．
根据题意列出方程式即可选出．
【详解】解：∵声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，设石头下落的时间为
∴从石头落水时，传到井口用的时间为，
∴从井底到井口的总路程，
将米/秒，石头下落的时间为，代入，得，
即，
故选．
题型五：一元二次方程中相关求解问题
1．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中有与两点（），关于过两点的直线与二次函数图像的交点个数判定，哪项为真命题（ ）
A．只有，才一定有两交点 B．只有，才一定有两交点
C．只有，才一定有两交点 D．只有，才一定有两交点
【答案】C
【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数解析式是解题的关键．根据已知条件用表示直线l的解析式，将交点个数问题转化为联立方程组后解的个数问题，即判别式正负问题，其中为判断判别式的正负故采用主元配方法进行配凑分析得出结果．
【详解】解：设经过与两点的直线l的解析式为，
代入得，，解得，
直线l的解析式为，
与二次函数联立则有：，
整理得：，
，
当且仅当时，，
即时，，直线l与二次函数有两个交点．
故选C．
2．（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数的图象与轴没有交点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
由题意得，然后分两种情况讨论：①当时；②当时；分别利用不等式的性质进行推导即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
分两种情况讨论：
①当时，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，，
故选：．
3．（2024·浙江·模拟预测）一次函数与二次函数的交点个数为（ ）．
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，求出方程的的值，据此即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一次函数和二次函数的交点个数的关系是解题的关键．
【详解】当时，
整理得，，
∵，
∴一次函数与二次函数的交点有个交点，
故选：．
4．（2024·浙江嘉兴·三模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，m有最大值 B．若，m有最小值
C．若，m有最大值 D．若，m有最小值
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数与一次函数，一元二次方程的综合应用，先联立两个函数解析式可得，再进一步建立二次函数的关系式结合二次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵直线与抛物线相交于，且，如图，
∴，，，，
∴，
当时，
∴，
当时，的最小值为，
此时，不符合题意，故A，B不符合题意；
当，
∴，
当时，的最小值为，
此时，符合题意，故C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
5．（2023·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，称关于的方程为点的对应方程．若点，，则线段上任意点的对应方程的实数根有 个．
【答案】0
【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、用待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质，．求得直线的解析式为，设直线上的任意一点为，可得这个点的对应方程为，再利用判别式和二次函数的性质即可判断．
【详解】解：设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线上的任意一点为，
∴这个点的对应方程为，
∵
∵，
当有最小值，当有最大值，
∴，即，
∴线段上任意点的对应方程都没有实数根，
故答案为：0
6．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，，，得到，由可得，即得到，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：由根和系数的关系可得，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
7．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数（b，c为常数且，），当时，，则c的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．由题意可知，函数图象的对称轴为，求出，，时函数值，分两种情况：当时，此时，当时，随增大而增大；当时，即，此时，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，根据增减性判断函数值，结合，列方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：∵二次函数（b，c为常数且，）
∴函数图象的对称轴为：，
当时，，当时，，当时，，
①当时，此时，当时，随增大而增大，
∴，与矛盾，不符合题意；
②当时，即，
此时，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，
∴，与矛盾，不符合题意；
或，则，整理得：，即：，
解得：或2，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
综上，的值为，
故答案为：．
8．（2024·浙江嘉兴·一模）已知，且，则的最小值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,二次函数求最值．由可知，b是方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到，，从而得到，，变形为，代入即可得到，根据二次函数的性质求得最小值是2．
【详解】解：由已知得，，
∵，
∴，b是方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最小值是2．
故答案为：2．
9．（2024·浙江台州·一模）点A在一次函数（）的图象上，点B在反比例函数 的图象上．点A，B之间的距离记为k．当时，k的最小值是 ．当k的最小值是0时，则b的取值范围是 ．
【答案】 0
【分析】本题考查一次函数图象及性质，根据题意可得当时，一次函数为，反比例函数为，继而求得俩函数交点为，即可求出k的最小值，第二空利用有交点联立方程组即为，继而得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴一次函数为：，反比例函数为：，
∴，解得：，
∴俩函数交于点时距离最小，即k的最小值为0，
∵k的最小值是0时，
∴，整理得：，
∴，即：，
∵，
∴，
故答案为：0，．
10．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）关于x的方程的根满足，则m的值是 ．
【答案】6
【分析】此题考查了分式方程和一元二次方程含参数问题，
首先求出分式方程的解为，然后根据有意义的条件得到，，然后求出一元二次方程的解为或，然后根据题意得到或，进而求解即可．
【详解】
去分母得，
解得
∴
∴，
∴或
解得或
∵关于x的方程的根满足，
∴或
解得（舍去），．
故答案为：6．
11．（2024·浙江杭州·三模）已知a、b为实数，且满足，，则 ．
【答案】13
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，注意：解答此题需要分类讨论．根据已知条件推知、是方程，即的两个根，然后通过解方程求得①，；②，；最后将所求的代数式转化为完全平方和的形式，并将①②分别代入求值．
【详解】解：、为实数，且满足，，
，，
、是方程，即的两个根，
或；
①当，时，，即；
②当，时，，即，不合题意；
综上所述，；
故答案为：13．
题型六：一元二次方程中根的判别式
1．（2025·浙江·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程有两个实数根据得到，然后这个不等式即可求解．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
故选：B．
2．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的情况与判别式之间的关系是解题的关键．根据一元二次方程有两个相等实根，则根的判别式为0，据此解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
或．
故选：C．
3．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此列式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．（2024·浙江温州·三模）若一元二次方程的根判别式的值为，则的值为( )
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：因为一元二次方程的根判别式的值为，
所以，
解得．
故选：B．
5．（2024·浙江台州·二模）已知关于x的一元二次方程，该方程的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．与b的取值有关
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
6．（2024·浙江宁波·一模）一个三位数，百位上的数字a与个位上的数字c的和恰好等于十位上的数字b，且，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．两个相等的实数根 B．两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定有没有实数根
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，先根据题意得到，，据此可得，即可得到原方程有两个不相等的实数根；对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
7．（2023·浙江温州·二模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数c的值可能是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【分析】根据有两个不相等的实数根，得,求出c的范围即可；
【详解】解：方程有两个不相等的实数根，
，
即：，
解得：，
故选：D
8．（2025·浙江·一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意得出，求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：1．
9．（2025·浙江湖州·一模）关于x的方程有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
10．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于实数a，b，定义一种运算“※”为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，则实数k的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算以及根据根得情况求参数，根据新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解方程即可．
【详解】解：，
整理得：，
∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，且，
解得：，
故答案为：．
题型七：一元二次方程中根与系数的关系（高频考题）
1．（2024·浙江宁波·二模）已知是方程的一个根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可．
【详解】解：由题意，得：，方程的另一个根为，
∴，
∴
；
故选B．
2．（2023·浙江温州·三模）若是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两根之积等于即可求解．
【详解】解：是关于x的一元二次方程的一个根，设该方程的另一个根是，
则，解得，
故选：C．
3．（2024·浙江宁波·一模）已知是关于x的一元二次方程的一个解，则该方程的另一个解是 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．设方程的另一个根为，由一元二次方程根与系数的关系可得：，即，即可求解．
【详解】
解：设方程的另一个根为，由一元二次方程根与系数的关系可得：
，即，
解得．
故答案为：．
4．（2023·浙江金华·二模）已知关于x的一元二次方程的两根分别为，，则常数___________，___________．
【答案】，
【分析】因为x的一元二次方程的两根分别为，，所以直接把，代入和即可．
【详解】解：因为x的一元二次方程的两根分别为，，
所以直接把，代入和，
得，
解得，
故答案为：，．
5．（2023·浙江嘉兴·一模）已知，，且，则 ．
【答案】
【分析】根据，把方程两边同时除以，然后把，看成的两个实数根，最后利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：由题意知：，，
把变形为，
∵，，且，，
∴把，看成的两个实数根，
∴．
故答案为：．
6．（2023·浙江金华·一模）若一元二次方程的两根分别为，，则代数式 ．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可．若，是关于x的一元二次方程（，a，b，c为常数）的两个实数根，则．
【详解】∵，
这里，，
∴．
故答案为：2．
7．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛物线与轴的交点．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少有三个交点，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意，作出图象，结合二次函数图象与性质，由得到、和，解不等式即可得到的取值范围；
（2）根据题意，由一元二次方程根与系数关系得到，从而求出新抛物线的表达式，作出图象，数形结合，可知，当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点，求出此时的值；当直线与抛物线只有一个交点，求出此时的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线的开口向上，点 和点 是该抛物线与轴的交点，，如图所示：
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，的取值范围为；
（2）解：令，则，
由一元二次方程根与系数关系可得，
，
，解得，
，则，即，
解得或，
抛物线与轴的交点为，
现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，如图所示：
抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折后得到的抛物线表达式为，
根据抛物线关于轴对称时，，则此时抛物线的表达式为，
当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点，
将代入，解得；
联立方程组 ，消去得，
将直线向上平移，根据直线与新抛物线恰好有3个交点，
直线与抛物线只有一个交点，故方程有两个相等的实数根，解得，则，
，
综上所述，当直线与新得到的函数图象至少有三个交点时，的取值范围为 ．
8．（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题：
(1)若，解此方程；
(2)若，求证：此方程至少有一个实数根；
(3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：．
【答案】(1)(2)见解析(3)见解析
【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程．
（1）将代入，利用配方法求解方程即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明；
（3）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论．
【详解】（1）解：，
原方程为，
解得：；
（2）证明：中，
，
，
，
，
，
此方程至少有一个实数根；
（3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为，
，
，
，
即，
．
9．（2023·浙江宁波·三模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根．
(2)若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根．
【答案】(1)见解析(2)3
【分析】本题考查根的判别式和根与系数关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数关系是解题关键．
（1）判断即可证明；
（2）设方程的另一个根为x，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根．
【详解】（1）解：∵，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为x，则
，
解得，
故该方程的另一个根为3．
10．（2024·浙江杭州·一模）已知反比例函数与一次函数（，k是常数）的图象交于点，．
(1)当时，求的值．
(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)0
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系：
（1）将一次函数与反比例函数关系式联立，整理出一元二次方程，则是该方程的两个根，利用根与系数的关系即可求解；
（2）将与联立，整理得，根据得出，进而可得点，关于原点对称，推出．
【详解】（1）解：当时，一次函数为，
令，整理得，
∵反比例函数与一次函数的图象交于点，，
∴是方程的两个根，
∴；
（2）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，，
∴是方程的两个根，
方程整理得，
∵，
∴，
∴，
∴一次函数为（，k是常数），
∴点，关于原点对称，
∴．
11．（2024·浙江杭州·一模）关于的一元二次方程．
(1)如果方程有两个相等的实数根，求的值；
(2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系：
（1）根据题意可得，解之即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系得到，再由，即可得，则．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，是这个方程的两个根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
12．（2023·浙江衢州·模拟预测）抛物线（，，为常数，）经过，两点．
(1)当时，求抛物线的表达式．
(2)求一元二次方程的根．
(3)求证：．
【答案】(1)(2)，(3)见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴交点的坐标是它所对应一元二次方程的两个根，关键是利用一元二次方程的根与系数的关系以及根的判别式的应用，熟练运用是关键．
（1）由，根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可；
（2）根据已知可得两根是2和，由一元二次方程根与系数的关系，可得，进而化简方程求解即可；
（3）根据已知可得两根是2和，由一元二次方程根与系数的关系，可得，根据的范围得证．
【详解】（1）解：中，
，
，，为常数，经过，，
的两个根为：2和，
，，
解得：，，
抛物线的表达式为：；
（2）解：，，为常数，经过，，
的两个根为：2和，
，
，
当时，则，
，
，
，
解得：，；
（3）证明：，，为常数，经过，，
的两个根为：2和，
，
，
，
，
．
13．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线与动直线有公共点，，且．
(1)求实数t的取值范围；
(2)当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．
【答案】(1)(2)时，c最小值为
【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是：
（1）两函数解析式联立方程组，可得出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出，，利用完全平方公式变形可得出，代入方程①后，根据方程有解可求出t的取值范围，然后根据是非负数求出t的取值范围，即可求解；
（2）利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵与，
∴①
有实数根，，则，．
∴
②
②式代入①
∴
∴
∵t的取值应满足，
∴或，
∴t的取值范围为；
（2）解：由②式知．
由于，
当时，c随着t的增大而增大，
∴当时，．
题型八：不等式在数轴上表示
1．（2024·浙江宁波·二模）不等式的解集在数轴上表示为图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式，将一元一次不等式的解集表示在数轴上，先根据解一元一次不等式的步骤解不等式，再把解集表示在数轴上即可．
【详解】解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
将解集表示在数轴上如图所示：
故选：A．
2．（2024·浙江温州·三模）一元一次不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解一元一次不等式及在数轴上表示其解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．按步骤解一元一次不等式，然后在数轴上表示即可．
【详解】解：，
去括号，得：，
移项，得：，
系数化为1，得：，
在数轴表示为：
故选：A．
3．（2024·浙江杭州·二模）如图，数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b，，a，则下列关于原点位置的描述正确的是（ ）
A．原点在B点的左侧 B．原点在B、C之间
C．原点在C、A之间 D．原点在A点的右侧
【答案】A
【分析】本题考查了数轴上点的特征，解不等式，熟练掌握“正数在原点右侧，负数在原点左侧”是解题的关键．数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b，，a，则有，进而可判断原点的位置．
【详解】解：∵数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b， ，a，
∴，即，
∴，
∴原点在B点的左侧．
故选：A．
4．（2024·浙江台州·二模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查了一元一次不等式的解法和在数轴上表示解集，解不等式后，把解集表示在数轴上即可.
【详解】解：
移项得，
合并同类项得，
系数化1得，
在数轴上表示为
故选：A
5．（2024·浙江湖州·模拟预测）将不等式组中不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：，
数轴表示如下：
．
故选：B．
6．（2024·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上的表示如图所示，则另一个不等式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组及数轴的表示，熟练掌握知识点是解题的关键．
先求出的解集为，由数轴可得不等式组的解集为，故另一个不等式的解集为，，再从选项出发求解即可．
【详解】解：解不等式得，，
由数轴可得不等式组的解集为，
∴另一个不等式的解集为，，
A、，，故本选项不符合题意；
B、，，故本选项不符合题意；
C、，，故本选项符合题意；
D、，，故本选项不符合题意，
故选：C．
7．（2023·浙江衢州·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示，熟练求得不等式组的解集是解题的关键．先求出每个不等式的解集，后把解集表示到数轴上即可．
【详解】解：∵解得：；
解得：；
∴不等式组的解集为，
表示到数轴上如下：
故选：C．
题型九：利用一元一次不等式（组）求解（高频考题）
1．（2025·浙江嘉兴·一模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再由不等式组无解，可得关于m的不等式，即可求解．
【详解】解：
解不等式②得，
∵不等式组无解，
∴，
故选：C．
2．（2025·浙江温州·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，结合关于的一元一次不等式组无解，得出，即可作答．
【详解】解：∵关于的一元一次不等式组无解，
∴，
故选：B．
3．（2024·浙江台州·三模）不等式组的解集是（ ）．
A． B． C． D．无解
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解本题的关键；先分别求解每个不等式，再找出公共部分即可求解．
【详解】解：
解①可得：，
解②可得：，
故不等组的解集为：，
故选：A．
4．（2024·浙江宁波·一模）设二次函数（为实数）的图象过点，设，下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则 B．若，且，则
C．若，且，则 D．若，且，则
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及解不等式组，用表示、，再根据条件求的范围即可得出答案，解题的关键是用的代数式表示、．
【详解】解：二次函数（为实数）的图象过点，，，，
代入变形可得，，，，
，，
，，
A、若，且，则①，且②，
由①得，由②得，
，故A不符合题意；
B、若，且，则③，且④，
由③得，由④得，
，故B不符合题意；
C、若，且，则⑤，且⑥，
由⑤得或，由⑥得，
，故C不符合题意；
D、若，且，则⑦，且⑧，
由⑦得或，由⑧得，
，故D符合题意，
故选：D．
5．（2023·浙江杭州·二模）设二次函数（m为实数）的图象过点，设，下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解一元一次不等式组，先将点代入函数解析式，进而求出的值，再根据题干给的条件，列出不等式组，求解后逐一进行判断即可．
【详解】解：将代入得．
将代入得，
将代入得，
将代入得，
∴，
，
∴；
若，且，则，且，
∴，
解得，
若，且，则，且，
∴，
解得，
若，且，则，
∴，
解得，
若，且，则，
∴，
解得，
故选：C．
6．（2023·浙江杭州·二模）已知a为实数，且满足．若，则b的最大值是 ．
【答案】3
【分析】根据二次根式有意义的条件以及可得且，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴且，
解得：，
∴，
即，
∴b的最大值是3．
故答案为：3
7．（2022·浙江杭州·模拟预测）对于实数a，b，定义运算“*”：，关于x的方程恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是
【答案】
【分析】根据新定义分和两种情况分别讨论，得到两个一元二次方程，然后讨论其根的情况即可．
【详解】解：当，即时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当，即时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵关于x的方程恰好有三个不相等的实数根，
∴方程和一共有3个实数根，
∴方程和都有实数根，
解方程得，
解方程得，
∴只有当方程有一个负实数根，方程有两个正实数根才能满足题意，
∴，
∴，
故答案为：．
题型十：解方程（组）和不等式（组）（高频考题）
1．（2025·浙江嘉兴·一模）解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减法解答即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】解：，
得，，
∴，
把代入①得，，
∴，
∴方程组的解为．
2．（2025·浙江舟山·一模）解不等式组，把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．
【答案】，见解析，不等式组的整数解为：，0，1，
【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤求出不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
，
，
，
不等式组的解集为：，
不等式组的解集表示在数轴上为：
不等式组的整数解为：，0，1，
3．（2025·浙江衢州·一模）解方程：
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
解得：；
当时，，
∴是原方程的解．
4．（2025·浙江·模拟预测）解不等式组：，并把解集在数轴上表示．
【答案】，见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组解集的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组解集的原则确定出不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可．．
【详解】解：，
由①得，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
数轴上表示：
5．（2024·浙江温州·模拟预测）（1）解不等式组
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解不等式组与解二元一次方程，正确求解是解题的关键；
（1）分别求出每个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可．
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）解第一个不等式得：；
解第二个不等式得：；
则不等式组的解集为：；
（2）方程可化为：，
即或，
故．
6．（2024·浙江台州·二模）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解法．先去分母，两边同时乘，化为整式方程后解整式方程，最后检验即可．
【详解】解：两边同时乘，得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
7．（2024·浙江绍兴·二模）（1）计算：；
（2）解不等式组．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数值的混合运算、解不等式组等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）先运用特殊角的三角函数值、零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可；
（2）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
．
（2），
解①得；
解②得；
．
8．（2024·浙江杭州·二模）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）无解
【分析】本题考查了解分式方程、求特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先计算特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验即可得出答案．
【详解】解：（1）
；
（2）去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：当时，，
故原分式方程无解．
9．（2024·浙江嘉兴·一模）（1）计算： ．
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的运算以及解分式方程．熟练掌握相关定义与解分式方程的基本步骤是解题的关键．
（1）分别根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及二次根式的性质计算即可；
（2）先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
方程两边都乘以得：，
解得：，
检验：时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解为．
10．（2024·浙江衢州·模拟预测）（1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）2 ；（2）
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，求不等式组的解集：
（1）分别计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，再合并即可．
（2）分别求出每个不等式的解集，并将其解集表示在数轴上即可．
【详解】解：（1）
．
（2） 解：解不等式，
，
解得：．
解不等式，
，
解得：．
所以原不等式组的解集是：．
题型十一：方程（组）和不等式（组）的实际应用（高频考题）
1．（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克元的价格购入，再以每千克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为千克．
(1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到千克．求月份到月份的销售量月平均增长率；
(2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨元，月销量将减少千克， 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出元．
设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式．
现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每千克应涨价多少元．
【答案】(1)月份到月份的销售量月平均增长率为；
(2)；每千克应涨价元．
【分析】（）设月份到月份的销售量月平均增长率，根据题意列出方程，解方程并检验即可；
（）由题意销售量：千克，售价：元，运输的消耗：元，据此列出函数关系式即可；
当时，得，解方程并检验即可；
本题考查了一元二次方程的应用，求二次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：设月份到月份的销售量月平均增长率，
由题意得：，
解得：，（舍去）；
答：月份到月份的销售量月平均增长率为；
（2）解：由题意销售量：千克，售价：元，运输的消耗：元，
；
由题意得：，
解得 或，
由于要尽可能的给予顾客优惠，
答：每千克应涨价元．
2．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同．
(1)两种型号电脑每台进价各是多少？
(2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价)
【答案】(1)型电脑每台进价元，型电脑每台进价元
(2)型电脑总共购进台，型电脑总共购进台
【分析】（）设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元，根据题意列出方程即可求解；
（）由题意可得型电脑购进台 ，型电脑购进台，即得型电脑的利润为万元，
再根据函数图象可得，设总利润为万 元，可分别求出时，时，进而即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数和二次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，符合题意，
∴，
答：型电脑每台进价元，型电脑每台进价元；
（2）解：∵销售量台，
∴型电脑购进台 ，
∴型电脑购进台，
∴型电脑的利润为万元，
由图象可知，当时，与的函数解析式为，
把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴，
∴，
设总利润为万 元，
当时，总利润，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值，(万元)；
当时，总利润，
∵，对称轴为直线，
∴当时，有最大值，(万元)；
∵，
∴型电脑总共购进台，型电脑总共购进台时，利润最大．
3．（2024·浙江温州·三模）如图某户外俱乐部计划组织成员到露营基地进行野餐活动，准备租赁，两款野餐垫．已知款野餐垫单价是款的倍，用元租款比租款多张．
(1)求，两款野餐垫的租赁单价．
(2)该俱乐部用元租这两款野餐垫且恰好全部用完，每张野餐垫都坐满，最多能提供多少人就坐？写出此时的租赁方案．
【答案】(1)款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元
(2)最多提供人就坐；租款野餐垫张，则租款野餐垫张
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用；
（1）设款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设租款野餐垫张，则租款野餐垫张，根据是正整数，得出的范围，设提供人就坐，根据题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元，根据题意得，
解得：，经检验是原方程的解，
∴元，
答：款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元；
（2）解：设租款野餐垫张，则租款野餐垫张，
∵是正整数，
∴
设提供人就坐，根据题意得，
∴当取得最大值时，，
∴
此时的租赁方案为：租款野餐垫张，则租款野餐垫张．
答：最多提供人就坐；租款野餐垫张，则租款野餐垫张．
4．（2024·浙江宁波·二模）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒．
(1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价；
(2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值；
(3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值．
【答案】(1)甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元
(2)总利润的最大值为元
(3)或
【分析】本题考查一次函数，分式方程以及一元一次不等式等的实际应用，理解题意，准确建立一次函数、不等式或方程进行求解是解题关键．
（1）设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，根据题意，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购进甲坚果的数量为盒，总利润为，根据题意，列出不等式和一次函数的解析式，利用一次函数的性质，进行求解，即可；
（3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，根据题意，列出一元一次不等式和二元二次方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，由题意，得：，
解得：（舍去）或，
经检验：是原方程的根；
∴；
答：甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元；
（2）设购进甲坚果的数量为盒，则购进乙坚果的数量为盒，
由题意，得：，
解得：，
∴的最大整数解为：35，
设总利润为，则：，
∴当时，有最大值：；
故总利润的最大值为元．
（3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，
由题意，得：，
解得：，
∵第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，
∴，
整理，得：，
∵均为正整数，
∴或，
∴或．
5．（2023·浙江湖州·一模）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
(1)求篮球、足球的单价分别为多少元？
(2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
(3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
【答案】(1)篮球每个100元，足球每个80元；
(2)；
(3)足球45个，篮球15，费用最少为5100元．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价，注意分式方程要检验；
（2）根据题意，可以写出w与m的函数关系式；
（3）根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少；
【详解】（1）设篮球每个x元，足球每个 元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
则足球的单价为： （元），
答：篮球每个100元，足球每个80元；
（2）由题意得：，
即w与m的函数关系式为；
（3）由题意可得：，
解得：，
，
由（2）得：，
，
随m的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，
此时元，，，
故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元．
6．（2023·浙江衢州·一模）“冰墩墩”和“雪容融”作为第届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，
下图是某文旅店订购情况:
(1)表示出“雪容融”的单价．
(2)若“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多元．
①分别求出这两种吉祥物的数量．
②该文旅店分别以元和元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出一半，“雪容融”售完时，文旅店为了尽快卖完，决定对剩余的“冰墩墩”每个降价元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于元，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)①“冰墩墩”的订购的数量个．“雪容融”的订购的数量个；②的最大值元．
【分析】（1）根据总花费及购买的数量即可解答；
（2）①分别表示出“冰墩墩”的订购单价，“雪容融”的订购单价，再根据“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多元列方程即可解答；②根据题意为了保证文旅店总利润不低于元，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵“雪容融”的总花费为：元，购买的数量为个，
∴“雪容融”的单价：．
（2）解：①“冰墩墩”的订购单价为：；“雪容融”的订购单价：，
∴根据题意可得：，
解得：，
∴（个），
答：“冰墩墩”的订购的数量个，“雪容融”的订购的数量个；
②根据题意可得，
∴，
∴的最大值为：元，
答：的最大值元．
7．（2023·浙江温州·一模）1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件．
(1)求该商品的单价；
(2)2月份，两商店以单价元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变．
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小．
②已知，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量．
【答案】(1)该商品的单价为21元
(2)①甲的平均单价等于乙的平均单价；②或28
【分析】（1）设该商品的单价为x元，根据商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件列出方程求解即可；
（2）①分别求出甲、乙两次一共购买的商品数量，进而求出甲、乙的平均单价，然后比较大小即可；②先求出甲商品一月份一共购进的商品数量为件 二月份甲购进的商品数量为件，设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出件，再根据销售额成本利润列出方程推出，再由m、n都是正整数，得到，由2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，得到，进而得到且m是正整数，再由也是正整数，得到m必须是偶数，即m的值为或28．
由题意得，，
【详解】（1）解：设该商品的单价为x元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴该商品的单价为21元；
（2）解：①由题意得，甲两次一共购买的商品数量为件，
乙两次一共购买的商品数量为，
∴甲的平均单价为，
乙的平均单价为，
即，
∴甲的平均单价等于乙的平均单价；
②甲商品一月份一共购进的商品数量为件
当时，则二月份甲购进的商品数量为件，
设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出件，
由题意得，，
∴，
∴；
∴，
∵m、n都是正整数，
∴，
∴，
∵2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，
∴，
∴，
∴，
∴且m是正整数，
又∵也是正整数，
∴m必须是偶数，
∴m的值为或28．
8．（2023·浙江衢州·二模）（1）【阅读理解】
倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含、两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台型机器人和1台型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台型机器人先工作5小时后，再加入1台型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台型机器人和1台型机器人每小时各处理垃圾多少吨？
分析 可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系．
由图可得如下的数量关系：
①1台型10小时的垃圾处理量台型10小时的垃圾处理量吨；
②________________吨．
（2）【问题解决】
请你通过列方程（组）解答（1）中的问题．
（3）【拓展提升】
据市场调研，机器人公司对、两款机器人的报价如下表：
型号 型 型
报价（万元／台） 20 14
若垃圾处理厂采购的这批机器人（、两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？
【答案】（1）1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量
（2）1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨
（3）当采购型机器人66台，型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元
【分析】（1）根据第二个线段图可以得到解答；
（2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾吨和吨，由题意得到关于、的二元一次方程组并解方程组即可；
（3）设采购型机器人台，由题意可以用表示型机器人的台数，并求得的取值范围．然后用表示出采购费用，根据一次函数的增减性即可得解．
【详解】解：（1）根据第二个线段图可得：
1台型8小时的垃圾处理量台型13小时的垃圾处理量吨；
故答案为：1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量；
（2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾吨和吨，
则：，解之可得：，
经检验，是原方程组的解，且符合题意，
答：1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨；
（3）设采购型机器人t台，则采购型机器人（台），
则：，
解之可得：（为整数），
由题意可知，采购费用为：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，采购费用最低，为（万元），
此时台，即采购型机器人66台，型机器人1台，
答：当采购型机器人66台，型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元．
9．（2023·浙江温州·模拟预测）某校准备组织师生共人，从温州乘坐动车前往雁落山参加夏令营活动，教师按成人票价购买，学生按学生票价购买，动车票价格如表所示：
运行区间 成人票价元张 学生票价元张
出发站 终点站 一等座 二等座 二等座
温州南 雁落山
若师生均购买二等座票，则共需元．
(1)参加活动的教师和学生各有多少人；
(2)由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有人，购买一、二等座票全部费用为元．求关于的函数关系式．
【答案】(1)教师有人，学生有人；(2)
【分析】本题主要考查一次函数，二元一次方程组等知识点，解题的关键是根据题意等量关系建立方程．
设参加活动的教师有人，学生有人，根据等量关系：师生共人；若师生均购买二等座票，则共需元；列出方程组，求出方程组的解即可；
根据购买一、二等座票全部费用购买一等座票钱数教师购买二等座票钱数学生购买二等座票钱数，依此可得解析式．
【详解】（1）解：设参加活动的教师有人，学生有人，依题意有
，
解得．
故参加活动的教师有人，学生有人；
（2）依题意有：．
故关于的函数关系式是．
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个 “赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为，大正方形面积为，直角三角形中较小的锐角为 ，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．
由题意知，小正方形的边长为，大正方形的边长为，设直角三角形中较小的边的边长为，然后列出方程，然后解方程即可求解．
【详解】解：由题意知，小正方形的边长为，大正方形的边长为，
设直角三角形中较小的边的边长为，
∴，
解得（负值不合题意，舍去），
∴，
故选：．
2．（2025·浙江·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：由，得，故选项A，选项B，选项C错误，选项D正确，
故选：D．
3．（2023·浙江杭州·二模）设a，b，m均为实数，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】根据等式的性质和不等式的性质可直接进行排除选项．
【详解】解：A、若，则不一定大于，故错误；
B、若，则，故正确；
C、若，则不一定大于b，故错误；
D、若，，则；若，，则或，故错误；
故选：B．
4．（2024·浙江温州·二模）若代数式的值为8，则代数式的值为（ ）
A．0 B．11 C． D．
【答案】C
【分析】由的值为8，求得x=0，再将x=0代入计算可得．
【详解】解：∵的值为8，
∴2x+2+3x+6=8，
∴x=0，
当x=0时，2×(-2)+3×(-1)=-7．
故选：C．
5．（2024·浙江台州·二模）在一次学农活动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，设调往甲处人，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设应调往甲处人，那么调往乙处的人数是人，调动后甲处的人数是人，乙处的人数是人，根据在甲处劳动的人数为乙处人数的2倍，就可以列出方程即可．
【详解】解：设应调往甲处人，那么调往乙处的人数是人，
根据题意得：．
故选：D．
6．（2024·浙江宁波·二模）已知，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解二元一次方程组，再根据即可求出；
本题考查不等式的解法，解二元一次方程组，解题的关键是列出方程组求解，再根据不等式的性质求解．
【详解】由题意得，
解得：
解得：
故选：C．
7．（2023·浙江温州·模拟预测）已知方程组，若，的值互为相反数，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，根据二元一次方程组的解法求出x，y，再根据，即可求出答案．
【详解】解：，
两式相加得：，
，
，
∵x，y的值互为相反数，
∴，
，
解得：，
故选：D．
8．（2024·浙江宁波·一模）表示小于a的最大整数，表示不小于b的最小整数，若整数x、y满足，则的平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据题意先求出和的值，从而可得，然后把的值代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∵为整数，
∴，
∴，
∴的平方根是，
故选：D．
9．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数，当时，，则，值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，二次函数的图象性质，先求出对称轴，再结合越靠近对称轴的横坐标所对应的纵坐标越大，分析得在对称轴的左边，然后建立方程组，进行解方程，即可作答．
【详解】解：∵二次函数，
∴开口向下，对称轴为直线，
∵当时，，
∴
即，
故在对称轴的左边，
即把，分别代入，得
，
整理得，
即分别是一元二次方程的两个解，
得，
则，
∵，
∴，，
故选：B
10．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的函数，y的最大值为4，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的最值．通过转化得到，即，根据，推出，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，
即，
∴，即，
又∵，
∴，即，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
11．（2024·浙江温州·三模）不等式组的解为 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故答案为：．
12．（2025·浙江宁波·一模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为 天，
【答案】11
【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．设规定时间为天，根据快马的速度是慢马的倍列出方程，再解方程即可．
【详解】解：设规定时间为天，根据题意得：
，
整理得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：11．
13．（2023·浙江杭州·一模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 ，时，分式方程的解为 ．
【答案】 且 /2
【分析】本题考查了分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解出分式方程，根据解是非负数求出的取值范围，再根据是分式方程的增根，求出此时的值，得到答案再把代入求出，然后检验即可，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键．
【详解】解：原方程去分母得：，
解得：，
∵原方程的解是非负数，
∴且，
解得：且；
当时，，
检验：当时，，
故此时原方程的解为，
故答案为：且；．
14．（2024·浙江宁波·二模）已知两条线段的长度、满足 ，且，若另一线段长度是、的比例中项，则 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组，比例中项，熟练掌握解二元一次方程组的方法和比例中项的定义是解题的关键．由题给出了关于、满足的二元一次方程组，可以解得，由比例中项的定义即可求解．
【详解】解：根据题意得，
解得：，
∵是、的比例中项，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（2024·浙江宁波·模拟预测）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，图1是一个已完成的幻方．图2是一个未完成的幻方，其中的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及数学常识，设左下角的空格中的数字为，根据每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于（y可以消掉）的三元一次方程组，解之可用含x的代数式表示出的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】设左下角的空格中的数字为，
根据题意得：，
解得：，
．
故答案为：．
16．（2023·浙江台州·三模）解方程组：．
【答案】
【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】解：，
得，，
解得，，
把代入得，，
解得，，
∴原方程组的解为．
17．（2025·浙江杭州·二模）对于关于x，y的二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值，方程组的解x，y的值一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由．
【答案】同意他的结论，理由见解析
【分析】本题考查了解二元一次方程组，，熟练掌握以上知识点是解题的关键．用代入消元法解二元一次方程组得到，，即可证明结论．
【详解】解：同意他的结论，理由如下：
由①得，③
将代入②，
∵，
∴可解得
将代入③得，
∴
18．（2023·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）
(1)当时，求函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)若函数图象经过点，，求证：；
(3)若，，的图象交于点,，，设为图象上一点，求的值．
【答案】(1)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线
(2)见详解
(3)
【分析】（1）由配方法可求出顶点坐标；
（2）将已知两点代入求出，，再表示出，由，即可求解；
（3）联立， 解得：再根据与关于对称轴对称即可得出结果．
【详解】（1）解：当时，，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）证明：函数图象经过点，，
，，
，
；
（3）解：联立， 解得：
，
，故，
的图象交于点，，
与关于二次函数的对称轴对称，
，，
．
19．（2025·浙江宁波·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务
设计弹弹珠游戏
素材1∶ 某班级组织趣味弹弹珠游戏， 设计如下∶（1）距离水平地面米处有一带弹簧的装置；（2）每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从点水平飞出，研究路径时弹珠直径可忽略，如图1．
素材2∶某班进行试玩，发现∶ 当弹珠从点飞出后形成的路径是抛物线的一半， 并正好从挡板1的顶部经过， 此时带弹簧的装置距离水平地面的高度米，挡板1至点距离为米，挡板1的高度为米，如图2．
素材3∶ 弹珠游戏装置变化，如图3∶（1）在距离点米处新增长度为米的挡板2， 挡1与挡板2之间记为区域∶（2）在距离 点米处新增长度为米的挡板3， 挡板2 与挡板3之间记为区域．
问题解决
任务 1∶ 确定弹珠路径．请在图2中以点为原点建立直角坐标系，并求出弹珠飞出路径对应的抛物线解析式．
任务 2∶ 确定移动方案．要想让弹珠飞出后落入区域内，该弹簧装置向上移动的距离要满足什么条件？
任务 3∶灵活变通．根据同学们的实际游戏情况，上下移动装置很难精准将弹珠落入固定区域内，希望作出调整．现做出如下改动，在任务1的基础上，先将装置向上移动米， 再通过左右移动三块挡板（区域和区域的宽度不改变），让弹珠落入得分更高的区域 内， 请计算挡板3横坐标的取值范围．
【答案】任务1：（）；任务2：；任务3：
【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，解一元二次方程，理清题中的数量关系，掌握待定系数法及二次函数的图象与性质是解题关键．
任务1：设此抛物线的解析式为，由题意得顶点，对称轴，且经过，分别代入，即可求解；
任务2：设抛物线为，把、分别代入，即可求解；
任务3：根据题意，得知，可得，通过挡板2的高度解得其横坐标为，因区域和区域的宽度不改变，推出挡板1的横坐标和纵坐标，得抛物线不被挡板1挡住，将挡板3的高度代入抛物线，得横坐标，结合区域的宽度即可求解．
【详解】解：任务1：根据题意，得：抛物线的顶点，对称轴，
设此抛物线为，即，
此抛物线经过挡板1顶部，
即过点，代入，
解得：，
此抛物线的解析式为（）．
任务2：该弹簧装置向上移动，
设，
想让弹珠飞出后落入区域内，且挡板2，
把代入，
解得：．
把挡板1代入，
解得：，
．
任务3：装置向上移动米，
，
得．
当时，解得：（负值舍去），
区域和区域的宽度不改变，
此时挡板1的横坐标为，，不会被挡板1挡住．
当时，解得：（负值舍去），
挡板2的横坐标为，
，
．
