(共17张PPT)
第六章 平行四边形
4 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形的内角和与外角和（1）
由平面内不在同一条直线上的三条线
段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做
三角形。
三角形的定义:
第1课时 多边形的内角和
与外角和（1）
与形状有关吗？
多边形的内角和
上面的五边形的五个内角的和是多少度？与同伴交流一下
下图是两位同学的设计思路：
·
第1课时 多边形的内角和
与外角和（1）
A
B
C
D
E
这个五边形的内角和呢？
180° × 3 = 540°
A
B
C
D
E
这个五边形的内角和呢？
180° × 5 - 180°× 2 = 540°
仿照五边形分割成三角形的方法，选出你认为最简单的一种分割六边形并求其内角和吗
A
B
C
D
E
F
．
180°× 4 = 720°
按第二种方法，六边形能分成几个三角形？
多边形边数 从一个顶点引出对角线数 图形 分割成的三角形个数 多边形的内角和
4
5
6
... … … … …
n
2
2×180°
3
3×180°
4
4×180°
n-2
(n-2)×180°
1
2
3
n-3
（n-2） 180°
(n为不小于3的整数)
定理：n边形的内角和等于
例1 在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B和∠D有怎样的关系？
如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补。
A
B
C
D
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？
剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩下几个角？其内角和是多少度？
答：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是180°，360°，540°，720°，1 080°
答：纸片还剩下角的情况下有三种：三个内角，四个内角，五个内角，其内角和分别是180°，360°，540°.
1.填空：
(1)一个n边形有____个顶点，____条边，____个内
角，____个外角，从一个顶点出发，能引____条对
角线。
(2) 多边形的边数每多一条，它的内角和就增加 _____。
n
n
n
n
n-3
180°
2.如图：
(1)作多边形所有过顶点A的对角线，并分别用字母表达出来。
(2)求这个多边形的内角和。
A
B
C
D
E
F
解：(1)过顶点A的对角线共有 三 条，分别是AC，AD和AE .
(2)这个多边形的内角和是(6-2) · 180° = 720°
3.（1）如果一个多边形的内角和是1 440°，那么这是 _____边形。
解：由多边形的内角和公式可得
（n - 2）· 180 = 1440，
(n - 2) = 8，
n = 10。
∴这是十边形。
十
3.（2）已知一个多边形的每一个内角都是156°，则它的边数为___。
15
解：由多边形的内角和公式可得
（n - 2）· 180 = 156n
n = 15
4.在四边形ABCD中，∠A=120°，∠B∶∠C∶∠D = 3∶4∶5，求∠B，∠C，∠D的度数。
解：设∠B，∠C，∠D的度数分别是3x, 4x , 5x 由四边形的内角和等于360°，得
120 + 3x + 4x + 5x = 360，
12x = 240，
x = 20，
∴ 3x = 60, 4x = 80, 5x = 100。
答：∠B，∠C，∠D分别为60°，80°,100 °.
2.已知多边形的内角和求边数；
3.已知多边形的边数求内角和。
1.多边形内角和公式；
第1课时 多边形的内角和
与外角和（1）(共15张PPT)
第六章 平行四边形
4 多边形的内角和与外角和
第2课时 多边形的内角和与外角和（2）
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步。
（1）他从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？
第2课时 多边形的内角和
与外角和（2）
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？这些角的和是多少？
第2课时 多边形的内角和
与外角和（2）
在多边形的顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
三角形的外角和是多少度
A
B
C
D
E
F
3×180°-(3-2) ×180°=360°
1.先把三角形的三个外角和三个内角这六个角
的和求出来，刚好是三个平角。
2.再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下
的就是三角形的外角和了！
容易看出，4个外角+4个内角=4个平角，
而4个内角的和是（4-2） × 180 °
那么四边形的外角和就是
4× 180°-（4-2） × 180°= 360°。
整体思路：
1.先求4个外角+4个内角的和；
2.再减去4个内角的和。
用以上方法，你能算算上面五边形的外角和吗？
五边形的外角和是多少度？
六边形的外角和是多少度？
n边形的外角和是多少度？
… … … … … … …
5×180°-(5-2) ×180°=360°
6×180°-(6-2) ×180°=360°
n×180°-(n-2) ×180°=
360°
n边形的外角和等于360°
理论证明：
所以n个外角与n个内角的和是 n×180°，
所以n边形外角和是n×180°-(n-2) ×180°=360°.
而n边形的内角和是（n-2）×180°
因为n边形的每个外角与它相邻的内角互补，
分析：n×180°-(n-2) ×180°
(n≥3）
n边形的外角和等于360°
变式：你能反过来由多边形外角和公式来推导多边形的内角和公式吗？
n 180°- 360°
=n 180°-2×180°
=（n-2） 180°。
分析：n×180°-(n-2) ×180°
(n≥3）
解： 设这个多边形的边数为n，则它的内角和等于 (n-2) 180°，
因为外角和等于360 ，所以
(n-2) 180°= 3×360 ，
n = 8。
这个多边形是八边形。
例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
例 2 求正六边形每个内角及每个外角的度数。
解：正六边形的内角和为
(6-2) 180°= 720 ，
每个内角的度数为
720°÷6=120°，
每个外角的度数为
180°-120°=60°。
1.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这
个多边形是几边形
解：（n-2)×180°=360°×2，
解得n=6。
2.下图是三个不完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？
解：正多边形的每一个内角的度数是360°÷3=120°，
（n-2)×180°=120°n
n=6.
这种多边形是六边形。
3.下列角度中是正多边形的外角的有：
90°； 180° ；120° ；72°；36°
4.求正八边形每个内角的度数和每个外角的度数。
答：90°，120°，72°，36°.
解：正八边形每个内角的度数是
180°×（8-2）÷8=135°.
正八边形每个外角的度数是360°÷8=45°.
2.多边形的外角及外角和的定义
3.多边形的外角和等于360°
1.多边形的内外角的关系
第2课时 多边形的内角和
与外角和（2）
