(共20张PPT)
第一章 三角形的有关证明
2 直角三角形
第1课时 直角三角形（1）
曾经探索过的直角三角形的哪些性质和判定方法？
1.在直角三角形中，两锐角互余.
2.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它
所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形的性质
第1课时 直角三角形（1）
直角三角形的判定
1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形.
2.有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
1.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；
2.了解勾股定理及其逆定理的证明方法；
3.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
第1课时 直角三角形（1）
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
a
c
b
勾
弦
股
在上学期我们曾经用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.那么，你会证明吗？
勾股定理的证明有很多方法，例如，拼图计算法、割补法、赵爽的弦图、总统证法、青朱出入图、折纸法、拼图计算等，下面我们来了解一下其中的“总统证法”.
总统证法
伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话, 后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法 ．
a
b
a
b
c
c
反过来，如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形吗？ 如果是，你能证明吗？
已知: 如图, 在△ABC中, AC2+BC2=AB2.
求证: △ABC是直角三角形.
a
c
b
A
B
C
证明: 作Rt △A′B′C′,使∠C′=90 °,A′C′=AC,B′C′=BC(如图2),
已知: 如图1 , 在△ABC中, AC2+BC2=AB2.
求证: △ABC是直角三角形.
a
c
b
A
B
C
图1
a
c
b
B′
A′
C′
图2
则 A′C′2+B′C′2=A′B′2 .
∵AC2+BC2=AB2,
A′C′=AC,B′C′=BC,
∴ AB2=A′B′2.
∴ AB=A′B′.
∴ △ABC≌ △A′B′C′ (SSS).
∴ ∠A=∠A′＝ 90°.
∴ △ABC是直角三角形 .
几何的三种语言
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
这是判定直角三角形的根据之一.
在△ABC中,
∵AC2+BC2=AB2(已知),
∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).
a
c
b
A
B
C
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.
观察上面两个命题, 它们的条件与结论之间有怎样的关系 与同伴交流.
再观察下面三组命题:
如果两个角是对顶角, 那么它们相等,
如果两个角相等, 那么它们是对顶角;
如果小明患了肺炎, 那么他一定会发烧,
如果小明发烧, 那么他一定患了肺炎;
三角形中相等的边所对的角相等,
三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗
在两个命题中, 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 , 那么这两个命题称为互逆命题, 其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗
它们都是真命题吗
想一想: 一个命题是真命题, 它逆命题是真命题还是假命题
命题与逆命题
一个命题是真命题, 它逆命题却不一定是真命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它是一个定理, 这两个定理称为互逆定理, 其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
定理与逆定理
我们已经学习了一些互逆的定理, 如:
勾股定理及其逆定理；
两直线平行,内错角相等;
内错角相等,两直线平行.
你还能举出一些例子吗
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系
1.说出下列命题的逆命题, 并判断每对命题的真假:
（1）四边形是多边形;
（2）两直线平行, 同旁内角互补;
（3）如果ab=0, 那么a=0, b=0.
解：(1) 多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．
(2) 同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题都是真命题．
(3) 如果a＝0，b＝0，那么ab＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．
你是否能将有关命题的知识予以整理.
2.请你举出一些命题, 然后写出它的逆命题, 并判断这些逆命题的真假.
3. 如图(单位：m), 在一个长方体的房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1m的A处, 苍蝇则在对面墙的正中间离地板1 m的B处.
问: 蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少
●
A
B
●
30
12
12
第1课时 直角三角形（1）
勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别为a,b，斜边为c，那么a2+b2=c2,即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
命题与逆命题
在两个命题中, 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件, 那么这两个命题称为互逆命题, 其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它是一个定理, 其中一个定理称另一个定理的逆定理.(共15张PPT)
第一章 三角形的有关证明
2 直角三角形
第2课时 直角三角形（2）
三角形全等的判定
公理: 三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
公理: 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.
公理: 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.
推论: 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
（AAS）.
第2课时 直角三角形（2）
1.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性；
2.利用“HL’’定理解决实际问题.
你能证明这些结论吗？
想一想:
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
如果其中一边的所对的角是直角呢
如果其中一边所对的角是直角, 那么这两个三角形全等.
第2课时 直角三角形（2）
命题: 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
举反例证明假命题千万不可忘记噢!
证明: 这是一个假命题, 只要举一个反例即可. 如图:
A
B
C
A′
B′
C′
A′
B′
C′
●
●
●
图1
图2
图3
由图 1和图 2可知,这两个三角形全等;
由图 1 和图 3可知,这两个三角形不全等;
因此, 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等. 但如果其中一边的所对的角是直角, 那么这两个三角形全等.
已知: 如图,在△ABC和△A′B′C′中,
AC=A′C′, AB=A′B′,
∠C=∠C′=90°.
求证: △ABC≌△A′B′C′.
A
B
C
A′
B′
C′
分析: 要证明△ABC≌△A′B′C′ ,只要能满足公理SSS,SAS,ASA和推论AAS中的一个即可. 由已知和根据勾股定理易知, 第三条边也对应相等.
做一做
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如图，线段a，c（a求作：Rt △ABC，使∠C= ∠ α ，BC=a，AB=c.
你作的直角三角形与小明作的全等吗
小明的作法如下：
（1）作∠MCN= ∠α=90°.
（2）在射线CM上截取CB=a.
（3）以点B为圆心，线段c
的长为半径作弧，交
射线CN与点A.
（4）连接AB，得到Rt △ABC.
直角三角形全等的判定定理及其三种语言
定理: 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或HL）.
如图, 在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=90°,
∵AC=A′C′, AB=A′B′ (已知),
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL).
A
B
C
A′
B′
C′
证明：在△ABC中，
∵∠C=90°，
∴BC2=AB2－AC2（勾股定理）.
同理，B′C′2 = A′B′2 － A′C′2 .
∵AB=A′B′，AC=A′C′，
∴BC=B′C′.
∴ △ABC ≌ △A′B′C′（SSS）.
已知：如图, 在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=90°,
AC=A′C′, AB=A′B′ .
求证：△ABC≌△A′B′C′ .
A
B
C
A′
B′
C′
例 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角 ∠B和∠F的大小有什么关系？
解：根据题意，可知∠BAC= ∠EDF=90°，BC=EF,AC=DF,
∴Rt △BAC ≌Rt △EDF（HL）.
∴ ∠B= ∠DEF（全等三角形的对应角相等）.
∵ ∠DEF+ ∠F=90°,
∴ ∠B+ ∠F=90°.
议一议
如图, 已知∠ACB=∠BDA=90°, 要使△ABC≌△BAD, 还需要什么条件 把它们分别写出来.
增加AC=BD;
A
B
C
D
增加BC=AD;
增加∠ABC=∠BAD ;
增加∠CAB=∠DBA ;
你能分别写出它们的证明过程吗
若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗
O
你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗 你能证明吗？
1. 判断下列命题的真假,并说明理由:
两个锐角分别相等的两个直角三角形全等;
斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等;
两直角边分别相等的两个直角三角形全等;
一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
假
真
真
真
2. 已知: 如图, AB=CD, DE⊥AC, BF⊥AC, 垂足分别为E,F, DE=BF.
求证: (1)AE=AF; (2)AB∥CD.
B
C
A
E
D
F
分析: (1) 要证明AE=CF,
由此AE=CF可证.
需要证明内错角∠A=∠C;
而由△ABF≌△CDE可得证.
(2) 要证明AB∥CD,
由已知条件, AB=CD, DE⊥AC, BF⊥AC, DE=BF.
可证得△ABF≌△CDE, 从而可得AF=CE.
直角三角形全等的判定条件可归纳为:
一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两边对应相等的两个直角三角形全等;
切记!!!
命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
第2课时 直角三角形（2）
