(共14张PPT)
第一章 三角形的有关证明
1 等腰三角形
第4课时 等腰三角形（4）
（1）等边三角形的定义.
（2）定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
（3）定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
1.等边三角形的判定方法有哪些？
第4课时 等腰三角形（4）
（1）定理:在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（2）逆定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°.
2.特殊的直角三角形的性质有哪些？
1.会用反证法证明简单的问题；
2.结合实例体会反证法的含义.
知识应用
已知：如图，AB=DC，BD=CA.
求证：△AED是等腰三角形.
C
B
D
E
证明： ∵AB=DC，
BD=CA，AD=DA，
∴ △ABD ≌ △DCA（SSS）.
∴ ∠ADB= ∠DAC（全等三角形的对应角相等）.
∴AE=DE（等角对等边）.
∴ △AED是等腰三角形.
第4课时 等腰三角形（4）
A
小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.
你认为这个结论成立吗
如果成立,你能证明它吗
B
A
C
即在△ABC中,
如果∠B≠∠C,
那么AB≠AC.
想一想
证明命题的新思路
路边苦李
古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动.小朋友问他为何不去摘，他说：“树长在路边，李子那么多，李子肯定是苦的，不好吃.不然早就没了！”.小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃.
小明是这样想的:
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等,要么不相等.
C
A
B
●
● ●
假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C.“∠B=∠C”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC.
证一证
小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
反证法的一般步骤:
1.假设:先假设命题的结论不成立，即结论的反面成立;
2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果;
典型例题
1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角
已知：△ABC．
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，
所以∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
议一议
如何证明这个结论？
用反证法来证:
(1)假设:先假设命题的结论不成立;
(2)归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果;
(3)结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
反证法的一般步骤:
本节课你有什么收获？
谈一谈
第4课时 等腰三角形（4）(共21张PPT)
第一章 三角形的有关证明
1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形（1）
证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论;
(2)根据题意画出相应的图形;
(3)根据题设和结论写出已知和求证;
(4)分析证明思路,写出证明过程.
第1课时 等腰三角形（1）
1.掌握等腰三角形的性质定理：“等边对等角”及“三线合一”；掌握等腰三角形的判定定理：“等角对等边”，并会证明；
2.借助辅助线来证明等腰三角形的性质和判定.
你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的
中线、底边上的高互相重合.
简称： 三线合一
1.等腰三角形的两个底角相等.
简称：等边对等角
A
C
B
D
1
2
第1课时 等腰三角形（1）
如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足.
→
→
D
C
B
A
D
C
B
A
D
(C)
B
A
动手操作
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
已知:如图,在△ABC中, AB=AC.
求证: ∠B=∠C.
C
A
B
证一证：
A
C
B
已知:如图,在△ABC中, AB=AC.
求证:∠B=∠C.
在△ABD和△ACD中，
∵ AB=AC （已知）,
AD=AD（公共边）,
BD=CD（中点的定义），
∴ △ABD≌△ACD（SSS）.
此时AD还是什么线
证明:
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
取 BC的中点D,连接AD,
D
A
C
B
已知:如图,在△ABC中, AB=AC.
求证: ∠B=∠C.
在△ABD和△ACD中，
∵ AB=AC （已知）,
∠BAD= ∠CAD（角平分线的定义），
AD=AD（公共边）,
∴ △ABD≌△ACD（SAS）.
此时AD还是什么线
证明:
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
做∠BAC的平分线，交边BC于点D，
D
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图，在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
证明后的结论,以后可以直接运用.
A
C
B
几何的三种语言
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知),
∴BD=CD,AD⊥BC（三线合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知),
∴∠1=∠2,AD⊥BC（三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知),
∴BD=CD, ∠1=∠2（三线合一）.
A
C
B
D
1
2
1.求下列各等腰三角形中未知角的度数.
A
B
C
36°
72°
72°
A
B
C
30°
30°
120°
2.已知等腰三角形的一个角为50°，则另两个角为多少度？
65°, 65°或50°, 80°
如果把50°的角改为100°呢？
40°, 40°
用一用
3.若等腰三角形的周长为13，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为___________.
3或5
4.若等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是___________.
17
4
4
5
5
5
3
7
7
3
3
3
7
用一用
5.如图,△ABC是等腰三角形（AB=AC, ∠BAC=90°）AD是底边BC上的高，标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数.图中有哪些相等的线段？
A
B
C
D
45°
45°
45°
45°
AB=AC, BD=AD=CD
用一用
前面已经证明了“等边对等角”，反过来，“等角对等边”吗
即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗
A
C
B
已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C.
求证:AB=AC.
等腰三角形的判定
请同学们自己试着写出证明过程.
A
C
B
已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C.
求证:AB=AC.
D
证明：做底边BC上的高AD.
在△ABD和 △ACD中,
∵∠B＝∠C,
∠ADB＝∠ADC,
AD=AD,
∴△ABD≌ △ACD（AAS）.
∴ AB=AC.
证明：做顶角的平分线AD.
在△ABD和 △ACD中,
∵∠B＝∠C,∠1＝∠2,AD=AD,
∴△ABD≌ △ACD（AAS）.
∴ AB=AC.
A
C
B
已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C.
求证:AB=AC.
D
1
2
作底边上的中线行吗？
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）.
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.
几何的三种语言
1.如果两个等腰三角形的顶角和底边对应相等，那么这两个三角形全等吗？请证明你的结论.
A
B
C
A′
B′
C′
2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，AD与BE相交于点H，且已知AE=BE.求证：AH=2BD.
A
B
C
D
E
H
分析：由三线合一知BC=2BD,只须证AH=BC
即可.要证AH=BC只须证△AEH≌△BEC.
证明： ∵ AD和BE分别是高,
∴∠1+ ∠C=90 ° , ∠2+ ∠C=90 °.
∴∠1= ∠2.
又∵ AE=BE ，∠AEH= ∠BEC,
∴ △AEH≌△BEC（ASA）.
2
1
∴ AH=BC.
∵ AB=AC,AD是高,
∴BC=2BD（三线合一）.
∴ AH=2BD.
3.上午6时，一条船从A处出发以每小时15海里的速度向正北方向航行，8时到达B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，则从B处到灯塔C的距离是_____________.
A
B
C
N
36°
72°
分析：∵AB=15×2=30（海里），
36°
∠A= ∠C，
∴ BC=AB=30 海里.
30海里
等腰三角形的性质：
（1）定理：等腰三角形的两个底角相等
简称：等边对等角
（2）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上
的中线、底边上的高互相重合。
简称：三线合一
（3）定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形
简称：等角对等边
A
C
B
D
1
2
第1课时 等腰三角形（1）(共22张PPT)
第一章 三角形的有关证明
1 等腰三角形
第3课时 等腰三角形（3）
定理:等腰三角形的两个底角相等.
简称:等边对等角
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合 .
1.等腰三角形的性质:
判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简称三线合一
简称:等角对等边.
第3课时 等腰三角形（3）
（1）等腰三角形两底角的平分线相等.
（2）等腰三角形两腰上的中线相等.
（3）等腰三角形两腰上的高相等.
2.关于等腰三角形的几个结论:
1.掌握并会证明等边三角形的性质和判定；
2.理解含30°角的直角三角形的性质，并会用它解决线段之间的倍半关系的问题.
等边三角形的判定:
一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？
1.三条边都相等的三角形是等边三角形.
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
第3课时 等腰三角形（3）
证明:∵∠A=∠B (已知),
∴ BC=AC(等角对等边).
又∵∠B=∠C(已知),
∴ AB=AC(等角对等边).
∴AB=BC=AC(等式性质).
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形定义).
已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.
求证:△ABC是等边三角形.
A
C
B
三个角都相等的三角形是等边三角形.
证一证：
定理：
你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流。
A
C
B
60°
A
C
B
60°
想一想：
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
证明:∵AB=AC, ∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(等边对等角).
∴∠A=60°(三角形内角和定理).
∴∠A=∠B=∠C .
∴ △ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
已知:如图,在△ABC中 AB=AC,∠B=60°.
求证:△ABC是等边三角形.
A
C
B
证一证：
2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
在△ABC中,
∵AB=AC,∠B=60°(或∠A=60°或∠C=60°).
∴△ABC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).
等边三角形的判定定理：
1.三个角都相等的三角形是等边三角形.
在△ABC中, ∵ ∠A=∠B=∠C.
∴△ABC是等边三角形.
A
C
B
例1 如图,△ABC是等边三角形，DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等边三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵ △ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C =60°.
∵ DE∥BC,
∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60°.
∴∠ADE=∠AED=∠A.
∴△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形）.
用一用：
用两个含有30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？
30°
30°
30°
30°
能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
30°
30°
做一做：
能证明你的结论吗？
结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角 边等于斜边的一半.
由刚才的拼图你想到，在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
30°
猜一猜：
30°
30°
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
30°
A
B
C
已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∠A=30°
求证:BC= AB.
证一证：
300
A
B
C
D
∵ ∠ACB=90°,
∴∠ACD=90°.
∵BC=DC，
∠ACB=∠ACD，
AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）.
∴ AD=AB,∠BAC=∠DAC=30°.
∴∠BAD=60°.
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
定理:
在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
30°
几何的三种语言
例3 已知:如图,等腰三角形ABC的底角为15°,腰长为2a.求:腰上的高.
A
C
B
D
15°
15°
2a
2a
命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°是真命题吗
如果是,请你证明它.
A
B
C
逆向思维
A
B
C
D
证明:如图, 延长BC至点D,使CD=BC,连接AD.
定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°.
A
B
C
30°
几何的三种语言
你能规范地写出证明过程吗？
A
C
B
D
30°
思路：
先证△ABE≌△CAD(SAS),
∴ ∠ABE= ∠CAD.
∵∠BPD= ∠ABE+ ∠BAD，
∴∠BPD= ∠CAD+ ∠BAD= 60°.
∴BP=2PQ.
2.已知：如图，△ABC是等边三角形,D，E分别是BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于点P,BQ⊥AD, 垂足是Q,
(1)求∠BPD的度数；
(2)求证:BP=2PQ.
A
C
D
B
P
E
Q
1.等边三角形的判定方法:
（1）等边三角形的定义.
（2）定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
（3）定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
2.特殊的直角三角形的性质:
（1）定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（2）逆定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°.
第3课时 等腰三角形（3）(共15张PPT)
第一章 三角形的有关证明
1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形（2）
等腰三角形的性质：
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的
中线、底边上的高互相重合.
简称： 三线合一
1.等腰三角形的两个底角相等.
简称：等边对等角
A
C
B
D
1
2
3.有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简称：等角对等边
第2课时 等腰三角形（2）
1.能够正确运用等腰三角形的性质及判定定理证明一些相等关系；
2.能够掌握等腰三角形中常用的辅助线；
3.了解证明文字命题的一般步骤.
在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）.你能发现其中的一些相等的线段吗 你能证明你的结论吗
探一探
第2课时 等腰三角形（2）
A
C
B
D
E
A
C
B
D
E
A
C
B
D
E
结论：
1.等腰三角形两底角的平分线相等.
2.等腰三角形两腰上的中线相等.
3.等腰三角形两腰上的高相等.
BD=CE
1.证明:等腰三角形两底角的平分线相等.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,
BD,CE是△ABC的角平分线.
求证:BD=CE.
证一证
A
C
B
D
1
E
2
证明:
∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵∠1= ∠ABC,∠2= ∠ACB(角平分 线的定义)，
∴∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中，
∵ ∠ACB=∠ABC（已证），
BC=CB（公共边）,
∠1=∠2（已证）,
A
C
B
D
1
E
2
∴△BDC≌△CEB（ASA）.
∴BD=CE.
2.证明:等腰三角形两腰上的中线相等.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,
BD,CE是△ABC两腰上的中线.
求证:BD=CE.
A
C
B
D
E
证一证
在△ABD和△ACE中，
∵ AB=AC(已知),
∠A=∠A（公共角），
AD=AE（已证），
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴BD=CE.
证明：∵ AD= AC,AE= AB ,AB=AC ，∴AD=AE.
3 .证明:等腰三角形两腰上的高相等.
证明:在△ABD和△ACE中，
∵ ∠A=∠A （公共角），
∠ADB=∠AEC=90°（高的定义），
AB=AC（已知），
∴△ABD≌△ACE（AAS）.∴BD=CE.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,
BD,CE是△ABC两腰上的高.
求证:BD=CE.
证一证
A
C
B
D
E
典型例题
例2 已知：如图，点D，E在ΔABC的边AB上，AB=AC，AD=AE.
求证：BD=CE.
B
C
E
D
A
分析：因为ΔABC和ΔADE是有公共顶点，并且底边在同一直线上的等腰三角形，所以作ΔABC（或ΔADE）的高AF，可同时平分BC，DE.
F
如图，作AF⊥BC，垂足为点F，则AF⊥DE.
证明：
∵ AB=AC，AD=AE，
∴ BF=CF，DF=EF（等腰三角形底边上的中线、底边上的高互相重合）.
∴ BF－DF=CF－EF，
即BD=CE.
B
C
E
D
A
1.如图， 在△ABC中， ∠A=36°，AB=AC,BD平分∠ABC,DE∥BC,EF平分∠AED，问：在这个图形中，有那几个等腰三角形？请分别写出来.
A
B
C
D
E
F
36°
△ABC，△BCD ，△EBD ，△EDF ，△FAE ，△ADE，△ABD.
1
2
A
B
C
D
E
已知：如图，∠CAE是 △ABC的外角，AD∥BC,且∠1= ∠2。求证：AB=AC.
用一用
证明：∵ AD∥BC,
∴ ∠1= ∠B, ∠2= ∠C.
又∵ ∠1= ∠2,
∴ ∠B= ∠C.
∴ AB=AC(等角对等边).
2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为____________.
60°
60°
30°或 150°
30°
本节课你有什么收获？
谈一谈
研究了等腰三角形的一些特殊线段：
A
C
B
D
E
①等腰三角形两底角的平分线相等.
②等腰三角形两腰上的中线相等.
③等腰三角形两腰上的高相等.
第2课时 等腰三角形（2）
