(共21张PPT)
第一章 三角形的有关证明
3 线段的垂直平分线
第2课时 线段的垂直平分线（2）
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
A
C
B
P
M
N
如图,
∵ AC=BC, MN⊥AB,
P是MN上任意一点(已知),
∴ PA=PB
(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).
第2课时 线段的垂直
平分线（2）
几何语言描述：
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在线段AB的垂直平分线上
(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).
逆定理: 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
A
B
P
这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
已知: 线段AB（如图）.
求作: 线段AB的垂直平分线.
作法:
用尺规作线段的垂直平分线.
A
B
C
D
2. 作直线CD.
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点且这一点到三个顶点的距离相等；
2.能够利用尺规作已知底边及底边上的高的等腰三角形.
第2课时 线段的垂直
平分线（2）
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.
观察这三条垂直平分线, 你发现了什么
结论: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
你能证明这个命题吗
利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.
观察这三条垂直平分线, 你发现了什么
结论: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
你能证明这个命题吗
如何证三条直线交于一点？
命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
基本想法是这样的: 我们知道,两条直线相交只有一个交点. 要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可. 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.
如图, 在△ABC中, 设AB,BC的垂直平分线相交于点P, 连接AP,BP,CP.
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB .
同理,PB=PC.
∴PA=PC.
∴点P在线段AC的垂直平分线上,
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
A
B
C
P
定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.
想一想：仿照我们上节课讲的线段垂直平分线的定理以及逆定理的几何语言的表示方法，你能把这个定理也用几何语言表示出来吗？
试一试：你能独立完成这个过程吗？
这是证明三条直线交于一点的根据.
如图, 在△ABC中,
∵ c,a,b分别是AB, BC, AC的垂直平分线 (已知),
∴ c,a,b相交于一点P, 且PA=PB=PC
(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).
A
B
C
P
a
b
c
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗
如果能, 能作出几个 所作出的三角形都全等吗
议一议
你能探索出结果并能用尺规作出图形吗？
（2）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗 能作几个
例3
已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形.
已知:线段a, h(如图).
a
h
求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.
请你写出作法.
作法:
（1）作线段BC=a(如图).
（2）作线段BC的垂直平分线m，
交BC于点D.
（3）在m上截取DA=h.
（4）连接AB,AC.
△ABC即为所求作的等腰三角形.
B
C
A
D
m
已知直线 l 和 l外一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P．
已知：直线l和l外一点P．
求作：PC⊥ l ．
作法：
1. 以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l 相交于点A和B．
2. 作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求的垂线．
l
P
A
B
C
议一议
1. 分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外．
2. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的中线，AB的垂直平分线交AD于点O.
求证：OA=OB=OC．
证明：∵AB=AC，AD是BC的中线，
∴AD垂直平分BC．
又∵AB的垂直平分线与AD交于点O，
∴OB=OC=OA(三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等)．
D
C
B
A
O
3. 求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段．
已知：线段a．
求作：作等腰直角三角形ABC，使BC=a．
作法：1．作线段BC=a
2．作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D．
3．在l上作线段DA，使DA=DB．
4．连接AB，AC．
△ABC即为所求作的等腰直角三角形．
1. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.
A
B
C
P
a
b
c
如图, 在△ABC中,
∵ c，a，b分别是AB，BC，AC的垂直平分线 (已知)，
∴ c，a，b 相交于一点P, 且PA=PB=PC.
第2课时 线段的垂直
平分线（2）
2. 尺规作图的解题格式(六步骤):
已知: 作法：
求作: 证明：
分析: 讨论：(共20张PPT)
第一章 三角形的有关证明
3 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线（1）
1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理；
2. 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力；
3.能够用尺规作已知线段的垂直平分线.
第1课时 线段的垂直
平分线（1）
用心想一想
如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
A
B
第1课时 线段的垂直
平分线（1）
我们曾经利用折纸的方法得到: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 你能证明这一结论吗
已知: 如图, 直线MN⊥AB, 垂足是C，
且AC=BC, P是MN上任意一点.
求证: PA=PB.
A
C
B
P
M
N
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
分析：要想证明PA=PB, 可以考虑去证明这条线段所在的三角形是否全等. 也就是想办法证明△APC≌△BPC.
而△APC≌△BPC的条件由已知AC=BC,且MN⊥AB,可推知其能满足三角形全等公理（SAS). 故结论可证.
你能写出它的证明过程吗？
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∵AC=BC, PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
A
C
B
P
M
N
如果点P与点C重合，那么结论显然成立.
几何语言描述
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
A
C
B
P
M
N
如图,
∵ AC=BC, MN⊥AB,
P是MN上任意一点(已知),
∴ PA=PB
(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).
深入思考：你能写出定理 “线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗
逆命题: 到线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗 如果是, 请你证明它.
思考分析
已知: 如图, PA=PB.
求证: 点P在AB的垂直平分线上.
分析: 要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点), 然后证明另一个结论正确.
A
B
P
试一试：你能自己写出这两个证明过程吗？
已知: 如图, PA=PB.
求证: 点P在AB的垂直平分线上.
方法一：
过点P作PC⊥AB,垂足为C，
∵PC⊥AB，
∴△APC和△BPC都是直角三角形.
∵PC=PC,PA=PB,
∴Rt△APC≌Rt△BPC (HL).
∴AC=BC.
∴ 点 P在AB的垂直平分线上.
A
C
B
P
方法二：
把线段AB的中点记为C,连接PC,
∵C为AB的中点,
∴AC=BC.
∵PA=PB,PC=PC
∴△APC≌△BPC(SSS).
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∴PC⊥AB,即P在AB的垂直平分线上.
A
C
B
P
.
已知: 如图, PA=PB.
求证: 点P在AB的垂直平分线上.
逆定理: 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
几何语言描述：
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上
(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)
这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
A
B
P
练一练
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点， 且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
B
C
O
A
你还有其他证明方法吗？
证明：
∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
B
C
O
A
尺规作图
已知:线段AB,如图.
求作:线段AB的垂直平分线.
作法:
用尺规作线段的垂直平分线.
A
B
C
D
2. 作直线CD.
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，并与同伴进行交流.
做一做
1. 如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm, 那么ED= cm;
如果∠ECD=60 °, 那么∠EDC= ° .
E
D
A
B
C
7
60
2. 如图, 在△ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D, 交AC于点E, △BCE的周长等于50, 求BC的长.
B
A
E
D
C
分析提示：题目中出现了线段的垂直平分线，你首先应该想到我们刚刚学习的有关线段垂直平分线的性质，得出相关的结论，再结合已知的三角形的周长，将两个条件有机结合，进行转化，得出最后的结果.
试一试：你能独立完成这道题目吗？
解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE=BE.
∵△BCE的周长等于50,
∴BE+EC+BC=50,
即AE+EC+BC=50.
∴AC+BC=50.
∵AC=27,
∴BC=23.
2. 如图, 在△ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D, 交AC于点E, △BCE的周长等于50, 求BC的长.
B
A
E
D
C
3. 已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.
求证：PB=PC.
P
B
D
C
A
证明：∵AB=AC,
∴点A在线段BC的垂直平分线上.
∵BD=CD，
∴ D在线段BC的垂直平分线上.
∴ AD是线段BC的垂直平分线.
∵P是AD上一点,
∴PB=PC.
1.线段垂直平分线的定理
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
2.线段垂直平分线的逆定理
逆定理: 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
3.用尺规作已知线段的垂直平分线.
第1课时 线段的垂直
平分线（1）
