(共18张PPT)
第一章 三角形的有关证明
4 角平分线
第1课时 角平分线（1）
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
A
C
B
P
M
N
如图,
∵ AC=BC, MN⊥AB,
P是MN上任意一点(已知),
∴ PA=PB
(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).
第1课时 角平分线（1）
逆定理: 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
几何语言描述：
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上
(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).
这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
A
B
P
那么结合我们前面学习的有关线段垂直平分线的定理及证明方法，你还记得角平分线上的点有什么性质吗
第1课时 角平分线（1）
1.能够证明角平分线的性质定理及其逆定理；
2.进一步发展自己的推理证明意识和能力，培养将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力.
你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗
你还记得角平分线上的点有什么性质吗
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你能证明这一结论吗
结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？
已知: 如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E.
求证: PD=PE.
分析: 要证明PD=PE,只要证明△OPD≌△OPE，
而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足公理AAS.
故结论可证.
C
B
1
A
2
P
D
E
O
证明：
∵ OC是∠AOB的平分线，
∴ ∠1= ∠2.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB,
∴ ∠PDO= ∠PEO.
∵OP=OP,
∴ △OPD≌△OPE (AAS).
∴ PD=PE.
已知: 如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E.
求证: PD=PE.
C
B
1
A
2
P
D
E
O
几何语言表示：
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
如图,
∵ OC是∠AOB的平分线, 点P是OC上,
PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D, E (已知)，
∴ PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
C
B
1
A
2
P
D
E
O
思考分析
你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题吗
逆命题
在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
它是真命题吗
如果是，请你证明它.
已知: 如图, PD=PE, PD⊥OA,
PE⊥OB, 垂足分别为点D,E.
求证: 点P在∠AOB的平分线上.
分析: 要证明点P在∠AOB的平分线上, 可以先作出过点P的射线OC, 然后证明∠POD=∠POE.
B
A
C
D
E
O
P
证明：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB，
∴ △POD和△POE都是直角三角形.
∵ PD=PE,OP=OP,
∴ Rt△POD≌Rt△POE(HL).
∴ ∠POD= ∠POE .
∴ OC是∠AOB的平分线.
∴ 点P在∠AOB的平分线上.
已知: 如图, PD=PE, PD⊥OA,
PE⊥OB, 垂足分别为点D,E.
求证: 点P在∠AOB的平分线上.
B
A
C
D
E
O
P
逆定理：在一个角的内部, 并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
如图,
∵ PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB,
垂足分别为点D, E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上
(在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上).
这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
C
B
1
A
2
P
D
E
O
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF，求DE的长.
B
F
E
D
C
A
1. 如图,求作一点P, 使PC=PD, 并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
C●
D●
A
B
O
2. 已知: 如图, 在△ABC中, AD是它的角平分线,且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别为点E,F.
求证: EB=FC.
B
A
E
D
C
F
证明:
∵ AD是△ABC的角平分线，
且DE⊥AB,DF⊥AC，
∴ DE=DF.
∵BD=CD,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL).
∴ EB=FC.
1.角平分线的性质定理
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
如图,
∵ OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点,
PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D, E (已知)，
∴ PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
C
B
1
A
2
P
D
E
O
第1课时 角平分线（1）
2.角平分线的判定定理
定理：在一个角的内部, 并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
如图,∵ PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB,
垂足分别为点D, E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上
(在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上).
这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
C
B
1
A
2
P
D
E
O
习题10.12，第1、3题．
作 业(共18张PPT)
第一章 三角形的有关证明
4 角平分线
第2课时 角平分线（2）
1.角平分线的性质定理
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
如图,
∵ OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点,
PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D, E (已知)，
∴ PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
C
B
1
A
2
P
D
E
O
第2课时 角平分线（2）
2.角平分线的判定定理
定理：在一个角的内部, 并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
如图,∵ PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB,
垂足分别为点D, E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上
(在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上).
这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
C
B
1
A
2
P
D
E
O
1.能够证明三角形的三条角平分线交于一点，且这一点到三条边的距离相等；
2.能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理.
剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.
观察这三条角平分线, 你发现了什么
结论: 三角形三个角的平分线相交于一点.
你能证明这个命题吗
第2课时 角平分线（2）
利用尺规作出三角形三个角的角平分线.
观察这三条角平分线, 你发现了什么
结论: 三角形三个角的角平分线相交于一点.
你能证明这个命题吗
思考分析
命题: 三角形三个角的平分线相交于一点.
基本思路: 我们知道, 两条直线相交只有一个交点. 要想证明三条直线相交于一点, 只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.
如何证三条直线交于一点？
如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,
AB的垂线,垂足分别为点E,F,D.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上，
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理, PE=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上 (在一个角的内部,并且到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上)，并且PD=PE=PF.
∴△ABC的三条角平分线相交于一点P，并且点P到三条边的距离相等.
A
B
C
P
M
N
D
E
F
定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
如图, 在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线，且
PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC，
这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一，这个交点叫作三角形的内心.
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF
(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).
D
E
F
A
B
C
P
M
N
H
例3 如图, 在△ABC中, AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为点E.
(2)求证:AB=AC+CD.
E
D
A
B
C
(1)已知CD= , 求AC的长;
E
D
A
B
C
例3 如图, 在△ABC中, AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为点E.
(1)已知CD= , 求AC的长;
（1）解：∵ AD是△ABC的角平线,
∴DE=CD= .
∵AC=BC,∴ ∠B=∠BAC(等边对等角).
∵ ∠C=90°∴ ∠B= 45°.
∴ ∠BDE= 90°- 45°= 45°.∴BE=DE.
在等腰直角三角形BDE中,
E
D
A
B
C
（2）证明：由（1）的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴ AC=AE.
∵ BE=DE=CD,
∴ AB=AE+BE=AC+CD.
例3 如图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为点E.
(2)求证:AB=AC+CD.
满足条件共4个
l
3
l
2
1
l
C
B
A
2. 已知: 如图, ∠C=90°,∠B=30 °,AD是Rt△ABC的角平分线.
求证: BD=2CD.
A
B
C
D
证明：
∵ ∠C=90°， ∠B= 30°,
∴ ∠BAC= 60°.
∵ AD是△ABC的角平分线,
∴ ∠BAD= ∠DAC= 30°, ∴AD=BD.
∴ Rt△ACD中，AD=2CD.
∴ BD=2CD.
3. 已知: 如图, △ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.
求证: 点F在∠DAE的平分线上.
A
B
C
F
D
E
证明：
∵ BF是∠CBD的平分线，
∴ F到BC,AD的距离相等.
∵ CF是∠BCE的平分线,
∴ F到BC,AE的距离相等.
∴ F到AD,AE的距离相等.
∴点F在∠DAE的平分线上.
证明：(1) ∵P是∠AOB平分线上的一个点，
PC⊥OA, PD⊥OB，
∴PC=PD.
在 Rt△POC和 Rt△POD，OP=OP,PC=PD,
∴ Rt△POC ≌ Rt△POD （HL） .
∴OC=OD.
4. 已知: 如图, P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA,
PD⊥OB,垂足分别是点C, D.
求证: (1)OC=OD;
B
A
P
D
C
O
4. 已知: 如图, P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA,
PD⊥OB,垂足分别是点C, D.
求证: (2)OP是CD的垂直平分线.
B
A
P
D
C
O
证明：
(2) 由PC=PD，得P在CD的垂直平分线上.
由OC=OD,得O在CD的垂直平分线上.
∴OP是CD的垂直平分线.
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边的垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点
直角三角形 交于斜边的中点
交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等
第2课时 角平分线（2）
