2025年中考数学解决问题专项训练：一元二次方程（含解析）

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2025年中考数学解决问题专项训练：一元二次方程
1．郯城有一片银杏种植基地，为了提高银杏产量，基地负责人进行了实验．发现当每平方米种植4棵银杏树苗时，平均每棵树苗的产量为100千克．在一定范围内，每多种植1棵树苗，平均每棵树苗的产量就会减少5千克．现在要使这片种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克，那么每平方米应该种植多少棵银杏树苗？
2．某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份元，若每份卖元，平均每天将销售份；若价格每提高元，则平均每天少销售份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元．
(1)当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润元？
(2)五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
3．某快递公司近年来因电商业务激增，决定将人工分拣中心升级为自动分拣中心．该公司对以下两种自动分拣方案进行了调研．
方案A：公司购买安装智能分拣设备．已知分拣设备日处理10万件时，每日总成本为80万元；日处理15万件时，每日总成本达到最低，最低为75万元；日处理20万件时，每日总成本回升至80万元．
方案B：公司外包分拣服务．外包分拣服务除固定的基础服务费50万元/日外，每处理1万件快递需支付外包公司3万元．
设日处理量为x（万件），方案A的日总成本为（万元），方案B的日总成本为（万元）．
(1)从一次函数，二次函数或反比例函数中选择适当的函数模型模拟与x的函数关系，求出其表达式；
(2)写出与x的函数表达式，并求日处理量为多少万件时，两种方案的日总成本相同？
4．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个
(1)设每件商品售价为x元时，则每件商品的利润为______元，此时每周可以卖出______个；
(2)若商场计划一周的利润达到12000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
5．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒．
销售单价x（元/盒） 15 13
日销售量y（盒） 500 700
(1)直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围；
(2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元．
6．2025年亚洲冬奥会在哈尔滨举行，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点A做水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后延一段抛物线运动．
(1)当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为8米，则______，______；
(2)在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？
(3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，求c的取值范围．
7．利用以下素材解决问题．
莲藕定价问题
素材 年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达米、节孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐饮店主打莲藕汤，其成本为元份，当售价为元份时，平均每天可以卖出份．
素材 经市场调研发现：售价每上涨元份，每天要少卖出份；售价每下降元份，每天可多卖出份．
任务 若涨价元份，则平均每天的销售量为_______份；若设降价元份，则平均每天的销售量为_______份（用含的代数式表示）．
任务 若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到元？
任务 “元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高？
8．某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克），满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
周销售单价x（元/千克） 70 75 80 85 90 95
周销售量y（千克） 100 90 80 70 60 50
假设一段时间内，不计其他因素和费用．解答下列问题：
(1)求y与x函数关系式；
(2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？
(3)求公司销售这种绿茶的最大周利润为多少元？此时周销售单价是多少？
9．如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米．
(1) ______米， ______平方米．（用含x的代数式表示）
(2)若，求x的值．
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值？最大值为多少？
10．某游乐场将修建一款大型过山车，如图1为这款过山车的一部分轨道平面设计图，左半部分可近似的看成为抛物线，为了使轨道稳固，共修建了纵横交错的5条支撑杆，A、E、C、F、B都在抛物线上，其中纵杆，，均垂直于地面，横杆、均平行于地面、过最高点C的主支撑杆米，横杆米，横杆距离地面10米．
数学建模
（1）如图2、以O为原点，所在的直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设轨道上某点距离地面的高度为y（米），该点距水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式．
问题解决
（2）图中的H、E、F，G四点构成的四边形恰好为正方形，求纵杆的长度（结果精确到米，）
（3）安监部门审核时，为确保安全，还需进行加固，添加1根横向加固杆和2根纵向加固杆后与地面构成矩形，其中矩形横杆两个顶点在抛物线上，请直接写出这3根加固杆的总长度最大值为_________米．
11．如图①，“燕几”（宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套“燕几”一共有七张桌子，每张桌子高度相同，其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面可组合成不同的图形．如图②给出了名称为“回文”的桌面拼合方式．若已知“回文”的桌面总面积是45平方尺，问长桌的长为多少尺？
12．已知一元二次方程的求根公式为，当是一元二次方程的两根时，则有：①；②．
【结论证明】请在中选择一个结论进行证明；
【知识应用】若是一元二次方程的两个根，不解方程，求的值；
【类比拓展】若是一元三次方程的三个根，则原方程可变形为，则有：，，，．已知一元三次方程的三个根分别为，求的值．
13．如图，在矩形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动，设、两点移动的时间为秒．
(1)为多少时，以为顶点的三角形与相似？
(2)探究：在、两点移动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值，若不能，请说明理由．
14．如图，的三边长分别为，，， 的三边长分别为，，，，相似比为（为常数且，）．
(1)若，用k表示a和c的数量关系．
(2)在（1）的条件下，请写出符合条件的一对和，使得a，b，c和，，都是正整数．
(3)若，，是否存在和相似使得k是正整数？请说明理由．
15．随着贵州旅游业的高速发展，让越来越多的人看见了贵州的大好山河．暑期来临，两队户外徒步露营爱好者计划同一天从贵阳市出发，沿两条不同的路线徒步游完乌蒙山周边自然景观，最后在九龙镇汇合．甲队走路线，全程120千米；乙队走路线，全程160千米．由于路线的路况没有路线好，甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的，最终甲队比乙队晚2天到达九龙镇．
(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地；
(2)在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致．两队共需花费17640元，求的值．
16．阅读材料：
在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值．
阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，．
(1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m）
(2)求出发后，甲、乙速度相等的时间；
(3)求出发后，甲、乙相遇的时间．
《2025年中考数学解决问题专项训练：一元二次方程》参考答案
1．当每平方米应该种植6棵或18棵银杏树苗，种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程成为解题的关键．
设每平方米应该种植x棵银杏树苗，种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克，然后根据题意列一元二次方程求解，再根据实际意义解答即可．
【详解】解：设每平方米应该种植x棵银杏树苗，种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克，
由题意可得：，
整理得：，
解得：或6，
经验证：或6，均使每棵产量为正且符合实际意义．
所以当每平方米应该种植6棵或18棵银杏树苗，种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克．
2．(1)当每份“特色菜”的售价上涨或元时，菜馆才能实现每天销售利润元
(2)当售价定为时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式与一元二次方程是解题的关键；
（1）如果“特色菜”的售价每提高1元，则平均每天少销售份，可得销售量为，销售量乘以利润即可得到等式，解方程，即可求解．
（2）将(1)中的换成y，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，
解得：．
答：当每份“特色菜”的售价上涨或元时，菜馆才能实现每天销售利润元
（2）由题意：；
，当时，有最大值为元．
则售价为，符合题意
答：当售价定为时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是元．
3．(1)
(2)日处理量为万件或万件时，两种方案的日总成本相同
【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解一元二次方程，理解题意，正确求出二次函数以及一次函数解析式是解此题的关键．
（1）设二次函数与x的函数关系式为，再将代入解析式计算即可得解；
（2）由题意可得与x的函数表达式为，联立可得，求解即可．
【详解】（1）解：设二次函数与x的函数关系式为，
将代入解析式可得：，
解得：，
∴；
（2）解：由题意可得与x的函数表达式为，
联立可得：，
解得：或，
∴日处理量为万件或万件时，两种方案的日总成本相同．
4．(1)
(2)售价应定为每个50元
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用；
（1）每个利润为售价减进价元，根据“价格每涨元，就少卖个”求销量即可；
（2）利用总利润为每件商品的利润乘以销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设每件商品售价为元时，则每件商品的利润为元，
∵价格每涨元，就少卖个，
∴每周可以卖出个数为，
故答案为：；
（2）解：由题意得：
整理得：
解得：，
∵更大优惠让利消费者，
，
答：售价应定为每个元．
5．(1)
(2)当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键．
（1）设乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为，待定系数法即可求解；
（2）根据销售量单价损耗费用销售总利润，列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设函数表达式为，将，；，代入得：
，
解得：，
∵销售单价不低于成本价且不高于20元，
∴，
∴乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为；
（2）解：由题意得：，
解得：，，
∵顾客获得最大实惠，
∴，
∴当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元．
6．(1)，
(2)当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米．
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质及其应用，熟练掌握二次函数的性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
（1）根据抛物线的顶点坐标为，由此即可得；
（2）由（1）可得抛物线的解析式，再根据“他滑行高度与小山坡的竖直距离为米”建立方程，解方程即可得；
（3）先求出小山坡的顶点坐标为，从而可得，再根据“与坡顶距离不低于10米”建立不等式，求出的取值范围，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
，，
解得，，
故答案为：，；
（2）解：由（1）可知，，
设当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米，
则，
解得或（不符题意，舍去），
答：当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米．
（3）解：，
则当时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为，
由题意得：，解得，
则，
当时，，
小张滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，
，
解得．
7．[任务]，；[任务]该餐饮店将售价上涨元份或元份时，才能使每天的利润达到元；[任务]售价下降元份，能使每天的利润最高，最高为元．
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
[任务]根据题意列出代数式即可；
[任务]由题意得，设涨价元份，，然后解方程即可；
[任务]根据题意采取降价销售，每天的利润为，然后利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：[任务]若涨价元份，则平均每天的销售量为（份），
若设降价元份，则平均每天的销售量为（份），
故答案为：，；
[任务]由题意得，设涨价元份，
∴，
整理得：，
解得：，，
答：该餐饮店将售价上涨元份或元份时，才能使每天的利润达到元；
[任务]∵尽快减少库存，
∴采取降价销售，
∴每天的利润为，
∵，
∴当时，每天的利润有最大值为元，
答：售价下降元份，能使每天的利润最高，最高为元．
8．(1)
(2)80元
(3)销售这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价是90元
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数在实际销售问题中的应用，解题的关键是根据给定数据求出函数关系式，并运用函数性质解决利润相关问题．
（1）对于求与的函数关系式，利用给定的两组销售单价和销售量数据，代入一次函数，通过解方程组求出和的值．
（2）计算期望利润为1600元时的销售单价，先根据利润公式列出方程，求解方程得到销售单价的值，再结合销售量不低于50千克的条件进行筛选．
（3）求最大周利润及对应的销售单价，根据利润公式列出二次函数表达式，通过分析二次函数的性质得出结果．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：，
代入得：
，解得：，
∴；
（2）解：由题得：，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴周销售单价定为80元；
（3）解：设周销售利润为W，则：
=，
∴当时，，
∴销售这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价是90元．
9．(1)，
(2)
(3)当时，S有最大值，最大值为．
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键．
（1）根据矩形的性质列式求出，再根据矩形面积公式求出S即可；
（2）根据（2）所求得到方程，进而解方程并检验即可得到答案；
（3）先求出，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，米，
∴矩形菜园的面积为平方米；
（2）解：当时，则，
∴，
解得，，
∵墙长为12米，
∴，即，
∴；
（3）解：由题意，米，
∴，
∵墙长为12米，篱笆长为33米，
∴，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为．
10．（1）；（2）米；（3）
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，读懂题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）由题意可得顶点，可设，把代入即可解答；
（2）设，则可得，代入抛物线即可解答；
（3）设矩形的横杆的长度为为，则可用表示矩形的竖杆的长度，即可解答．
【详解】解：（1）由题意可得顶点，，
设抛物线的解析式为，
把代入可得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）设，
H、E、F，G四点构成的四边形恰好为正方形，
，
，
，
代入抛物线可得，
解得（负值舍去），
米；
（3）设矩形的横杆的长度为为，
则矩形的纵杆为，
这3根加固杆的总长度为，
当时，这3根加固杆的总长度取最大值为米，
故答案为：．
11．长桌的长为6尺
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键．
设每张桌面的宽为尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设每张桌面的宽为尺，
根据图形可得：小桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺，
故可得，
解得：，（舍去），
∴，
∴长桌的长为6尺．
12．[结论证明]见解析；[知识应用]47；[类比拓展]4
【分析】本题考查根与系数的关系，高次方程，乘法完全平方公式，代数式求值，根据所给的结论，能够灵活应用结论是解题的关键．
[结论证明]求出两个根，分别求和与积即可；
[知识应用]利用根与系数的关系可得，再由代入求值即可；
[类比拓展]根据已知可得，再求
【详解】解：[结论证明]，，
，
；
[知识应用]
，
，
；
[类比拓展]
，
，
．
13．(1)为或；
(2)不能相等，理由见解析．
【分析】（1）先求出，由于，那么以为顶点的三角形与相似分两种情况讨论，列出比例式，代入数据求解；
（2）作于点，则，那么，求出，当四边形与的面积相等时，，那么，整理后得到此时方程无实数解，故不存在．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴在中，
∵，
∴当时，
则，即，解得；
当时，
则，即，解得；
∴当为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似；
（2）解：四边形与的面积不能相等．理由如下：
作于点，如图，
∴
∵，
∴，
∴，即
∴，
当四边形与的面积相等时，
，即，
∴，
整理得，
∵
∴此时方程无实数解，
∴四边形与的面积不能相等．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
14．(1)
(2)取，同时取
(3)不存在，理由见解析
【分析】此题主要考查的是相似三角形的性质及三角形三边关系定理的应用，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键．
（1）已知两个三角形的相似比为，则对应边，将所给的条件等量代换即可得到所求的结论；
（2）先选取的三边长，然后以的长作为的值，再根据相似比得到的另外两边的长，只要符合两个三角形的三边及相似比都是整数即可；
（3）首先根据已知条件求出、与的关系，然后根据三角形三边关系定理来判断题目所给出的情况是否成立．
【详解】（1）解：且相似比为（为常数且，），
，；
又，
；
（2）解：取，，，同时取，，；
此时，
，且；
（3）解：不存在这样的和，理由如下：
，，
∴，
∴．
，
，
，
，
，
，
只能取正整数，
，
不存在和相似使得k是正整数．
15．(1)甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地
(2)
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意找到等量关系建立对应的方程是解题的关键：
（1）设甲队计划x天到达目的地，则乙队计划天到达目的地，根据甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的建立方程求解即可；
（2）分别用含x的代数式计算出两队的费用，再根据总费用为17640元建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲队计划x天到达目的地，则乙队计划天到达目的地，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或（舍去）．
16．(1)
(2)秒
(3)秒
【分析】（1）由图可知，甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线，又因其过点，因而甲的速度与时间的函数解析式为，然后根据即可求出甲在秒内经过的路程；
（2）由图可知，甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线，因而设，又因其过点，把代入，得，解得，则乙的速度与时间的函数解析式为，当甲、乙速度相等时，根据题意得，解方程即可求出的值；
（3）甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，甲的路程为，乙的路程为，根据题意得，解方程即可求出的值．
【详解】（1）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线，
又其过点，
甲的速度与时间的函数解析式为，
甲在秒内经过的路程为：
，
故答案为：；
（2）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线，
设，
又其过点，
把代入，得：，
解得：，
乙的速度与时间的函数解析式为，
当甲、乙速度相等时，根据题意得：
，
解得：，
出发后，甲、乙速度相等的时间为秒；
（3）解：甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，
甲的路程为：，
乙的路程为：，
根据题意得：，
即：，
解得：或（不合题意，故舍去），
出发后，甲、乙相遇的时间为秒．
【点睛】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的应用（其他问题），一元二次方程的应用（行程问题），有理数乘法的实际应用等知识点，读懂题意，能够从函数图象中获取正确信息是解题的关键．
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